Matemàtiques, PAU 2026 de Catalunya: l’examen de juny (sèrie 1) resolt

Plantejament Fem servir el teorema de Rouché-Frobenius: comparem el rang de la matriu de coeficients $A$ amb el de la matriu ampliada $A^*$. Primer busquem els valors de $m$ que anuŀlen $|A|$.

1. Matrius del sistema:

   $A$${}= \begin{pmatrix}1&m&1\\1&3&1\\m&1&1\end{pmatrix}$$A^*$${}= \left(\begin{array}{ccc|c}1&m&1&4\\1&3&1&5\\m&1&1&4\end{array}\right)$

2. Determinant de $A$:

   $|A|$${}= \begin{vmatrix}1&m&1\\1&3&1\\m&1&1\end{vmatrix}$${}= 3+m^2+1-3m-1-m$${}= m^2-4m+3$${}= (m-1)(m-3)$

3. Si $m\ne 1$ i $m\ne 3$: $|A|\ne 0$ i el rang de les dues matrius és 3, igual al nombre d’incògnites: sistema compatible determinat.

   $\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=3$

4. Si $m=3$: $\operatorname{rg}(A)=2$, perquè hi ha un menor d’ordre 2 no nul. En canvi, la matriu ampliada té un menor d’ordre 3 no nul:

   $\begin{vmatrix}1&3\\3&1\end{vmatrix}$${}= -8$${}\ne 0$$\begin{vmatrix}1&3&4\\1&3&5\\3&1&4\end{vmatrix}$${}= 8$${}\ne 0$

5. Per tant, per a $m=3$, $\operatorname{rg}(A)=2\ne\operatorname{rg}(A^*)=3$: sistema incompatible.

6. Si $m=1$: la primera i la tercera equació són iguals ($x+y+z=4$), i hi ha un menor d’ordre 2 no nul:

   $\begin{vmatrix}1&1\\1&3\end{vmatrix}$${}= 2$${}\ne 0$${}\Rightarrow \operatorname{rg}(A)$${}= \operatorname{rg}(A^*)$${}= 2$${}< 3$

7. Per a $m=1$ el sistema és compatible indeterminat, amb un grau de llibertat.

Plantejament Cada equació és un pla. El tipus de sistema ens diu quants punts comparteixen els tres plans; per a $m=1$ resolem i obtenim una recta.

1. Si $m\ne 1,3$ (compatible determinat): els tres plans es tallen en un únic punt.

2. Si $m=3$ (incompatible): no hi ha cap punt comú. El primer pla i el segon són paraŀlels i diferents, i el tercer talla cadascun d’ells en una recta (les dues rectes són paraŀleles).

   $x+3y+z=4$$x+3y+z=5$

3. Si $m=1$ (compatible indeterminat): el primer i el tercer pla coincideixen, i el segon els talla en una recta. Resolem:

   $\begin{cases}x+y+z=4\\ x+3y+z=5\end{cases}$${}\Longrightarrow 2y=1$${}\Longrightarrow y=\frac{1}{2}$

4. Prenem $z=\lambda$ com a paràmetre:

   $x=4-\frac{1}{2}-\lambda=\frac{7}{2}-\lambda$

5. Les solucions formen la recta:

   $(x,y,z)$${}= \left(\frac{7}{2}-\lambda,\ \frac{1}{2},\ \lambda\right)$${}= \left(\frac{7}{2},\frac{1}{2},0\right)+\lambda(-1,0,1)$$\lambda\in\mathbb{R}$

Plantejament El punt donat ha de ser una de les solucions del sistema per a $m=1$; si ho és, n’hi ha prou d’afegir una equació que el compleixi i que faci pujar el rang de la matriu de coeficients a 3.

1. El punt és de la recta de solucions (per a $\lambda=\frac{1}{2}$):

   $\left(\frac{7}{2}-\frac{1}{2},\ \frac{1}{2},\ \frac{1}{2}\right)=\left(3,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$

2. Afegim, per exemple, l’equació $x=3$, que aquest punt compleix. La nova matriu de coeficients té rang 3:

   $\begin{vmatrix}1&1&1\\1&3&1\\1&0&0\end{vmatrix}$${}= 1\cdot(1\cdot 1-1\cdot 3)$${}= -2$${}\ne 0$

3. El sistema de quatre equacions és compatible (el punt compleix totes les equacions) i el rang és 3, igual al nombre d’incògnites: és compatible determinat i la seva única solució és el punt donat.

Plantejament Calculem quina proporció de seguidors acaba tenint entrada (pel sorteig o per la web) i, com que sabem que el 16 % són exactament 24 persones, passem de proporció a nombre de persones.

1. Successos: $E_S$ = «obtenir entrada al sorteig», $W$ = «intentar comprar-la a la web», $E_W$ = «aconseguir-la a la web».

   $P(E_S)=0{,}16$

2. Intenten la web sis setenes parts dels que no han guanyat al sorteig:

   $P(W)$${}= (1-0{,}16)\cdot\frac{6}{7}$${}= 0{,}84\cdot\frac{6}{7}$${}= 0{,}72$

3. D’aquests, el 25 % l’aconsegueix:

   $P(E_W)=0{,}72\cdot 0{,}25=0{,}18$

4. Proporció de seguidors amb entrada:

   $P(E)=0{,}16+0{,}18=0{,}34$

5. El 16 % dels seguidors són les 24 persones del sorteig; per tant, hi ha 150 seguidors:

   $N=\frac{24}{0{,}16}=150$

6. Persones amb entrada:

   $0{,}34\cdot 150=51$

Plantejament És una probabilitat condicionada: sabem que la persona no té entrada i volem la probabilitat que hagués provat la web. Apliquem la fórmula de Bayes.

1. Sigui $\overline{E}$ = «no tenir entrada». De l’apartat anterior:

   $P(\overline{E})=1-0{,}34=0{,}66$

2. Si ha provat la web, no té entrada amb probabilitat $1-0{,}25$:

   $P(\overline{E}\mid W)=0{,}75$

3. Fórmula de Bayes:

   $P(W\mid\overline{E})$${}= \frac{P(\overline{E}\mid W)\,P(W)}{P(\overline{E})}$${}= \frac{0{,}75\cdot 0{,}72}{0{,}66}$${}= \frac{0{,}54}{0{,}66}$${}= \frac{9}{11}$${}\approx 0{,}82$

Plantejament Volem saber si $S(t)$ arriba a $100$. Definim $D(t)=S(t)-100$, que és contínua, i apliquem el teorema de Bolzano; després anem reduint l’interval fins a tenir la precisió d’una dècima.

1. $D$ és polinòmica i, per tant, contínua a $[0,5]$:

   $D(t)$${}= S(t)-100$${}= -t^3+12t^2-30t$${}-10$

2. Valors als extrems:

   $D(0)=-10<0$$D(5)$${}= -125+300-150-10$${}= 15$${}> 0$

3. Pel teorema de Bolzano existeix $c\in(0,5)$ amb $D(c)=0$, és a dir, $S(c)=100$: els efectes s’activen.

4. Abans d’això $S$ no arriba a $100$: $S'(t)=-3t^2+24t-30$ s’anuŀla a $t=4-\sqrt{6}\approx 1{,}55$; $S$ decreix a $[0;\,1{,}55]$ (on $S\le 90$) i després creix, així que només travessa el valor $100$ una vegada.

5. Acotem l’arrel:

   $D(4)=-2<0$$D(4{,}2)=1{,}592>0\ \Rightarrow\ c\in(4;\,4{,}2)$
6. $D(4{,}1)$${}= -0{,}201$${}< 0$${}\Rightarrow c\in(4{,}1;\,4{,}2)$

7. Per decidir l’arrodoniment a les dècimes mirem el punt mitjà:

   $D(4{,}15)$${}\approx 0{,}70$${}> 0$${}\Rightarrow c\in(4{,}1;\,4{,}15)$${}\Rightarrow c$${}\approx 4{,}1$

ResultatSí; s’activen als $t\approx 4{,}1$ minuts.

La pauta oficial dona: $\text{Sí}$, $t\approx 4{,}1\ \text{min}$

Plantejament Anomenem $x$ la longitud de barana del cercle; la resta, $10-x$, és el perímetre del quadrat. Escrivim la suma de les dues àrees en funció de $x$ i en busquem el mínim a $[0,10]$.

1. Cercle de perímetre $x$:

   $r=\frac{x}{2\pi}$$A_1=\pi r^2=\frac{x^2}{4\pi}$

2. Quadrat de perímetre $10-x$:

   $c=\frac{10-x}{4}$$A_2=\frac{(10-x)^2}{16}$

3. Funció a minimitzar:

   $A(x)=\frac{x^2}{4\pi}+\frac{(10-x)^2}{16}$$0\le x\le 10$

4. Derivem i igualem a zero:

   $A'(x)$${}= \frac{x}{2\pi}-\frac{10-x}{8}=0$${}\Longrightarrow 4x=\pi(10-x)$${}\Longrightarrow x=\frac{10\pi}{4+\pi}$${}\approx 4{,}4$

5. És un mínim, perquè la segona derivada és positiva:

   $A''(x)=\frac{1}{2\pi}+\frac{1}{8}>0$

6. Barana del quadrat:

   $10-\frac{10\pi}{4+\pi}=\frac{40}{4+\pi}\approx 5{,}6$

7. Superfície mínima (també és menor que als extrems, $A(0)=6{,}25$ i $A(10)\approx 7{,}96$):

   $A\left(\frac{10\pi}{4+\pi}\right)=\frac{25}{4+\pi}\approx 3{,}5$

Plantejament Dos vectors del pla, $\overrightarrow{PQ}$ i $\overrightarrow{PR}$, donen el vector normal amb el producte vectorial; després imposem que el pla passi per $P$.

1. Vectors:

   $\overrightarrow{PQ}=(2,-2,1)$$\overrightarrow{PR}=(0,1,2)$

2. Vector normal:

   $\vec n$${}= \overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}$${}= \begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\2&-2&1\\0&1&2\end{vmatrix}$${}= (-5,-4,2)$

3. El pla és $5x+4y-2z+D=0$ (normal $(5,4,-2)$). Passa per $P$:

   $5\cdot 1+4\cdot 0-2\cdot(-1)$${}+D=0$${}\Longrightarrow D=-7$

4. Comprovació amb $Q$ i $R$:

   $15-8-0-7=0$$5+4-2-7=0$

Plantejament L’àrea d’un triangle és la meitat del mòdul del producte vectorial de dos dels seus costats, que ja hem calculat.

1. $A_{PQR}$${}= \frac{1}{2}\left|\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}\right|$${}= \frac{1}{2}\sqrt{(-5)^2+(-4)^2+2^2}$${}= \frac{\sqrt{45}}{2}$${}= \frac{3\sqrt{5}}{2}$

Plantejament L’altura del tetraedre és la distància de $S$ al pla $\pi$ del triangle. Imposem que el volum valgui 1 i resolem l’equació amb valor absolut.

1. Distància de $S=(x,y,z)$ al pla $\pi$:

   $d(S,\pi)$${}= \frac{|5x+4y-2z-7|}{\sqrt{5^2+4^2+(-2)^2}}$${}= \frac{|5x+4y-2z-7|}{3\sqrt{5}}$

2. Volum igual a 1:

   $\frac{1}{3}\cdot\frac{3\sqrt{5}}{2}\cdot\frac{|5x+4y-2z-7|}{3\sqrt{5}}$${}= \frac{|5x+4y-2z-7|}{6}$${}= 1$

3. Valor absolut:

   $5x+4y-2z-7=6$$\text{o}\ \quad 5x+4y-2z-7=-6$