Matemàtiques, PAU 2023 de Catalunya: l’examen de juny (sèrie 5) resolt

Plantejament Fem el mètode de Gauss amb la matriu ampliada i després comparem els rangs segons el valor de $k$ (teorema de Rouché-Frobenius).

1. Matriu ampliada $M^*$ (la matriu de coeficients, sense l’última columna, és $M$):

   $\left(\begin{array}{ccc|c}1&-1&k&-1\\ 1&k&1&3\\ 2&k-1&2&2\end{array}\right)$

2. Fem $F_2-F_1$ i $F_3-2F_1$:

   $\left(\begin{array}{ccc|c}1&-1&k&-1\\ 0&k+1&1-k&4\\ 0&k+1&2-2k&4\end{array}\right)$

3. Fem $F_3-F_2$:

   $\left(\begin{array}{ccc|c}1&-1&k&-1\\ 0&k+1&1-k&4\\ 0&0&1-k&0\end{array}\right)$

4. Els pivots poden anul·lar-se per a $k=-1$ (segona fila) i $k=1$ (tercera fila). Ho confirma el determinant, que és el producte dels pivots:

   $|M|$${}= 1\cdot(k+1)(1-k)$${}= 1-k^2=0$${}\Longleftrightarrow k=\pm 1$

5. Si $k\ne\pm1$, els tres pivots són no nuls: sistema compatible determinat.

   $\operatorname{rang} M=\operatorname{rang} M^*=3$

6. Si $k=1$, la tercera fila és nul·la i la segona és $(0\ \ 2\ \ 0\mid 4)$: sistema compatible indeterminat, amb un grau de llibertat.

   $\operatorname{rang} M=\operatorname{rang} M^*=2<3$

7. Si $k=-1$, les dues últimes files són $(0\ \ 0\ \ 2\mid 4)$ i $(0\ \ 0\ \ 2\mid 0)$, que diuen $2z=4$ i $2z=0$ alhora: sistema incompatible.

   $\operatorname{rang} M=2\ne \operatorname{rang} M^*=3$

Plantejament Fem servir la matriu esglaonada de l’apartat a).

1. Per a $k=0$ la matriu esglaonada és

   $\left(\begin{array}{ccc|c}1&-1&0&-1\\ 0&1&1&4\\ 0&0&1&0\end{array}\right)$

2. Resolem de baix a dalt:

   $z=0$$y=4-z=4$$x=-1+y=3$

3. Comprovació a les tres equacions originals:

   $3-4+0=-1$$3+0+0=3$$6-4+0=2$

4. Per a $k=1$ queden dues equacions independents:

   $\begin{cases}x-y+z=-1\\ 2y=4\end{cases}$${}\Longrightarrow y=2$$x=-1+2-z=1-z$

5. Amb $z=t$ com a paràmetre:

   $(x,y,z)=(1-t,\,2,\,t)$$t\in\mathbb{R}$

Plantejament Busquem un punt i un vector director de cada recta. Si els vectors directors són proporcionals, les rectes són paral·leles o coincidents, i ho decideix si un punt d’una recta és de l’altra.

1. Recta $r$: igualem les tres expressions a un paràmetre $t$, és a dir, $x=t$, $y=-t$, $z=t-m$:

   $P_r=(0,0,-m)$$\vec{v}_r=(1,-1,1)$

2. Recta $s$: el vector director és el producte vectorial dels vectors normals dels dos plans, i un punt s’obté donant el valor $x=1$:

   $\vec{v}_s$${}= (1,1,0)\times(1,0,-1)$${}= \begin{vmatrix}\vec{\imath}&\vec{\jmath}&\vec{k}\\ 1&1&0\\ 1&0&-1\end{vmatrix}$${}= (-1,\,1,\,-1)$$Q_s=(1,0,1)$

3. Els vectors directors són proporcionals (oposats), així que tenen la mateixa direcció:

   $\vec{v}_s=-\vec{v}_r$

4. Per tant, $r$ i $s$ són paral·leles o coincidents. Són coincidents si $Q_s=(1,0,1)$ és de $r$, és a dir, si compleix $x=-y=z+m$. Però ja la primera igualtat falla, sigui quin sigui $m$:

   $x=1\ne 0=-y$

Plantejament Com que són paral·leles, la distància entre $r$ i $s$ és la distància del punt $P_r$ a la recta $s$: $d(r,s)$${}= \dfrac{|\vec{v}_s\times\overrightarrow{P_rQ_s}|}{|\vec{v}_s|}$.

1. Vector entre els dos punts:

   $\overrightarrow{P_rQ_s}$${}= (1,0,1)-(0,0,-m)$${}= (1,\,0,\,1+m)$

2. Producte vectorial amb $\vec{v}_s$:

   $\vec{v}_s\times\overrightarrow{P_rQ_s}$${}= \begin{vmatrix}\vec{\imath}&\vec{\jmath}&\vec{k}\\ -1&1&-1\\ 1&0&1+m\end{vmatrix}$${}= (1+m,\ m,\ -1)$

3. Distància, amb $|\vec{v}_s|=\sqrt{3}$:

   $d(r,s)$${}= \frac{\sqrt{(1+m)^2+m^2+1}}{\sqrt{3}}$

4. Imposem que valgui $\sqrt{2}$ i elevem al quadrat:

   $\frac{(1+m)^2+m^2+1}{3}$${}= 2$${}\Longrightarrow 2m^2+2m+2$${}= 6$${}\Longrightarrow m^2+m-2=0$

5. Resolem:

   $m=\frac{-1\pm\sqrt{1+8}}{2}=\frac{-1\pm 3}{2}\ \Longrightarrow\ m=1$$m=-2$

Plantejament Sigui $x$ la distància, en km, de l’encreuament $O$ a la torre $T$, amb $0\le x\le 12$. El cable $TA$ fa $12-x$ km, i el cable $TB$ és la hipotenusa d’un triangle rectangle de catets $x$ i $9$.

1. Teorema de Pitàgores:

   $d(T,B)=\sqrt{9^2+x^2}=\sqrt{81+x^2}$

2. Preu del cablejat, en euros:

   $P(x)$${}= 125\,(12-x)$${}+250\sqrt{81+x^2}$

3. Derivem:

   $P'(x)$${}= -125$${}+250\cdot\frac{2x}{2\sqrt{81+x^2}}$${}= -125$${}+\frac{250x}{\sqrt{81+x^2}}$

4. Igualem a zero i elevem al quadrat (els dos costats són positius per a $x>0$):

   $\frac{250x}{\sqrt{81+x^2}}$${}= 125$${}\Longrightarrow \sqrt{81+x^2}$${}= 2x$${}\Longrightarrow 81+x^2$${}= 4x^2$${}\Longrightarrow x^2$${}= 27$

5. Solució positiva:

   $x=\sqrt{27}=3\sqrt{3}\approx 5{,}20$

6. Signe de la derivada a banda i banda: el preu decreix abans i creix després, així que és un mínim:

   $P'(1)=-125+\frac{250}{\sqrt{82}}<0$$P'(6)=-125+\frac{1\,500}{\sqrt{117}}>0$

7. Preu mínim, amb $\sqrt{81+27}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}$:

   $P(3\sqrt{3})$${}= 125\,(12-3\sqrt{3})$${}+250\cdot 6\sqrt{3}$${}= 1\,500-375\sqrt{3}$${}+1\,500\sqrt{3}$${}= 1\,500+1\,125\sqrt{3}$${}\approx 3\,449$

8. Als extrems de l’interval el preu és més alt, així que és el mínim absolut:

   $P(0)=1\,500+2\,250=3\,750$$P(12)=250\cdot 15=3\,750$

Plantejament Calculem la inversa de la segona matriu amb la fórmula de les matrius $2\times 2$, $\begin{pmatrix}p&q\\ r&s\end{pmatrix}^{-1}$${}= \dfrac{1}{ps-qr}\begin{pmatrix}s&-q\\ -r&p\end{pmatrix}$, i després multipliquem.

1. Determinant, que no és nul (la inversa existeix):

   $\begin{vmatrix}2&1\\ 1&2\end{vmatrix}$${}= 4-1$${}= 3$

2. Inversa:

   $\begin{pmatrix}2&1\\ 1&2\end{pmatrix}^{-1}$${}= \frac{1}{3}\begin{pmatrix}2&-1\\ -1&2\end{pmatrix}$

3. Producte:

   $\begin{pmatrix}2&3\\ 3&2\end{pmatrix}\cdot\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2&-1\\ -1&2\end{pmatrix}$${}= \frac{1}{3}\begin{pmatrix}4-3&-2+6\\ 6-2&-3+4\end{pmatrix}$${}= \frac{1}{3}\begin{pmatrix}1&4\\ 4&1\end{pmatrix}$

4. El resultat també és de la família $\mathcal{S}$ (els dos elements de cada diagonal són iguals):

   $\begin{pmatrix}\frac{1}{3}&\frac{4}{3}\\ \frac{4}{3}&\frac{1}{3}\end{pmatrix}$

Plantejament Calculem $\boldsymbol{A}^2$ i l’igualem a $\boldsymbol{I}$ element a element.

1. Quadrat de $\boldsymbol{A}$:

   $\boldsymbol{A}^2$${}= \begin{pmatrix}a&b\\ b&a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&b\\ b&a\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}a^2+b^2&2ab\\ 2ab&a^2+b^2\end{pmatrix}$

2. Igualant a $\boldsymbol{I}$:

   $a^2+b^2=1$$2ab=0$

3. De $2ab=0$, o bé $a=0$ o bé $b=0$:

   $a=0\ \Rightarrow\ b^2=1\ \Rightarrow\ b=\pm 1$$b=0\ \Rightarrow\ a^2=1\ \Rightarrow\ a=\pm 1$

Plantejament Derivem $f$ amb la regla del quocient i imposem les dues condicions: $f'(-1)=0$ (extrem relatiu en un punt on $f$ és derivable; el denominador no s’anul·la mai) i $f(-2)=\frac{13}{5}$.

1. Derivada:

   $f'(x)$${}= \frac{(2ax+1)(x^2+1)-(ax^2+x+b)\cdot 2x}{(x^2+1)^2}$${}= \frac{-x^2+2(a-b)x+1}{(x^2+1)^2}$

2. Extrem a $x=-1$:

   $f'(-1)$${}= \frac{-1-2(a-b)+1}{4}$${}= \frac{-2(a-b)}{4}=0$${}\Longrightarrow a=b$

3. Pas pel punt $P$:

   $f(-2)$${}= \frac{4a-2+b}{5}$${}= \frac{13}{5}$${}\Longrightarrow 4a+b$${}= 15$

4. Amb $a=b$:

   $5a=15\ \Longrightarrow\ a=b=3$

5. Comprovació: amb $a=b=3$ la derivada és $f'(x)=\dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$, que canvia de signe a $x=-1$, de manera que hi ha de debò un extrem:

   $f'(-2)=-\frac{3}{25}<0$$f'(0)=1>0$

Plantejament Amb $a=b$ la derivada ja no depèn de $a$. L’enunciat no diu si $a=b$ vol dir els valors de l’apartat a) ($a=b=3$) o qualsevol parella amb $a=b$; com que on hi ha els extrems no depèn de $a$, resolem el cas general i després donem els valors per a $a=b=3$.

1. Amb $a=b$:

   $f'(x)=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$

2. Punts crítics:

   $1-x^2=0\ \Longrightarrow\ x=-1$$x=1$

3. Signe de $f'$ (el denominador és sempre positiu):

   $f'(-2)=-\frac{3}{25}<0$$f'(0)=1>0$$f'(2)=-\frac{3}{25}<0$

4. $f$ decreix a $(-\infty,-1)$, creix a $(-1,1)$ i decreix a $(1,+\infty)$: té un mínim relatiu a $x=-1$ i un màxim relatiu a $x=1$. Els valors, escrivint $f(x)=a+\dfrac{x}{x^2+1}$, són

   $f(-1)=\frac{a-1+a}{2}=a-\frac{1}{2}$$f(1)=\frac{a+1+a}{2}=a+\frac{1}{2}$

5. Amb els valors de l’apartat a), $a=b=3$:

   $f(-1)=\frac{5}{2}$$f(1)=\frac{7}{2}$