Matemàtiques, PAU 2026 de Catalunya: l’examen extraordinari resolt

Plantejament Apliquem el teorema de Rouché-Frobenius: calculem $|A|$, trobem quan s’anuŀla i estudiem els rangs en cada cas.

1. Matrius:

   $A$${}= \begin{pmatrix}2&k&1\\-1&2&2\\1&1&1\end{pmatrix}$$A^*$${}= \left(\begin{array}{ccc|c}2&k&1&3\\-1&2&2&1\\1&1&1&2\end{array}\right)$

2. Determinant:

   $|A|$${}= 4+2k-1-2-4+k$${}= 3k-3$${}= 3(k-1)$

3. Si $k\ne 1$: $|A|\ne 0$, els dos rangs valen 3, igual que el nombre d’incògnites: compatible determinat.

   $\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=3$

4. Si $k=1$: $|A|=0$ i hi ha un menor d’ordre 2 no nul, així que $\operatorname{rg}(A)=2$:

   $\begin{vmatrix}2&1\\-1&2\end{vmatrix}$${}= 5$${}\ne 0$

5. Per a $k=1$ les columnes de $y$ i de $z$ són iguals; l’únic menor d’ordre 3 de $A^*$ que pot no ser nul és el de les columnes $x$, $y$ i termes independents:

   $\begin{vmatrix}2&1&3\\-1&2&1\\1&1&2\end{vmatrix}$${}= 8+1-3-6-2+2=0$

6. Per tant $\operatorname{rg}(A^*)=2=\operatorname{rg}(A)<3$: compatible indeterminat amb un grau de llibertat.

Plantejament Per a $k=1$ resolem en funció d’un paràmetre; per a $k\ne 1$ fem servir la regla de Cramer i veurem que $k$ desapareix.

1. Cas $k=1$. Sumant la segona i la tercera equació:

   $3y+3z=3\ \Longrightarrow\ y=1-z$

2. Substituint a la tercera, $x=2-y-z=1$. Amb $z=\lambda$:

   $(x,y,z)=(1,\ 1-\lambda,\ \lambda)$$\lambda\in\mathbb{R}$

3. Cas $k\ne 1$. Regla de Cramer:

   $x$${}= \frac{\begin{vmatrix}3&k&1\\1&2&2\\2&1&1\end{vmatrix}}{3k-3}$${}= \frac{3k-3}{3k-3}$${}= 1$
4. $y$${}= \frac{\begin{vmatrix}2&3&1\\-1&1&2\\1&2&1\end{vmatrix}}{3k-3}$${}= \frac{0}{3k-3}=0$

5. De la tercera equació:

   $z=2-x-y=2-1-0=1$

6. Comprovació a la primera equació, per a qualsevol $k$:

   $2\cdot 1+k\cdot 0+1=3$

Plantejament Cada equació és un pla. El segon i el tercer no depenen de $k$ i es tallen en una recta $r$; el primer pla canvia amb $k$.

1. Recta comuna del segon i el tercer pla (és la solució del cas $k=1$):

   $r:\ (x,y,z)=(1,1,0)+\lambda(0,-1,1)$

2. Si $k=1$, el primer pla conté la recta $r$: els tres plans són diferents i es tallen en aquesta recta (formen part d’un mateix feix).

3. Si $k\ne 1$, el primer pla talla $r$ en un sol punt, $(1,0,1)$, que és el mateix per a tots els valors de $k$. Tots els plans $2x+ky+z=3$ contenen la recta $y=0,\ 2x+z=3$, que passa per $(1,0,1)$: quan $k$ varia, el primer pla gira al voltant d’aquesta recta.

Plantejament Cada aerogenerador funciona amb probabilitat $0{,}9$, independentment dels altres. El nombre $X$ d’aerogeneradors en marxa segueix una binomial $B(10;\,0{,}9)$. Per arribar a 1 000 MW han de funcionar tots deu.

1. $P(X=10)=0{,}9^{10}\approx 0{,}3487$

Plantejament Superar 150 MW vol dir que funcionin almenys 2 aerogeneradors ($2\cdot 100=200>150$, mentre que $1\cdot 100=100<150$). És més fàcil calcular el contrari: que en funcionin 0 o 1.

1. Cap en marxa (tots aturats):

   $P(X=0)=0{,}1^{10}=10^{-10}$

2. Exactament un en marxa:

   $P(X=1)$${}= \binom{10}{1}\,0{,}9\cdot 0{,}1^{9}$${}= 9\cdot 10^{-9}$

3. Complementari:

   $P(X\ge 2)$${}= 1-10^{-10}-9\cdot 10^{-9}$${}= 1-9{,}1\cdot 10^{-9}$

Plantejament La part ombrejada és la regió tancada entre $g(x)=8x$ i $f(x)=2x^3$. Busquem els punts de tall i integrem la diferència de les funcions a cada tros.

1. Punts de tall:

   $2x^3$${}= 8x$${}\Longrightarrow 2x(x^2-4)=0$${}\Longrightarrow x=-2,\ 0,\ 2$

2. A $(0,2)$ la recta queda per sobre ($8x>2x^3$); a $(-2,0)$, per sota. Les dues fulles són simètriques respecte de l’origen (totes dues funcions són senars):

   $\int_{0}^{2}(8x-2x^3)\,dx$${}= \left[4x^2-\frac{x^4}{2}\right]_0^2$${}= 16-8$${}= 8$
3. $\int_{-2}^{0}(2x^3-8x)\,dx$${}= \left[\frac{x^4}{2}-4x^2\right]_{-2}^{0}$${}= 0-(8-16)$${}= 8$

4. Àrea total ombrejada:

   $A=8+8=16$

Resultat$A=16\ \text{m}^2$ (dues fulles de $8\ \text{m}^2$ cadascuna).

La pauta oficial dona: $16\ \mathrm{m}^2$

Plantejament Al plegar, l’alçària de la capsa és $x$. L’amplada de la base és el que queda dels 50 cm després de treure dues franges d’amplada $x$. Al llarg dels 80 cm hi ha dues alçàries $x$ i dues vegades la llargada de la base (base i tapa).

1. Dimensions:

   $\text{alçària}=x$$\text{amplada}=50-2x$$\text{llargada}=\frac{80-2x}{2}=40-x$

2. Volum:

   $V(x)$${}= x(50-2x)(40-x)$${}= x\,(2x^2-130x+2000)$${}= 2x^3-130x^2$${}+2000x$

3. Perquè la capsa existeixi cal $0<x<25$.

Plantejament Busquem el màxim de $V(x)$ a $(0,25)$: punts crítics amb $V'(x)=0$ i comprovació amb la segona derivada.

1. Derivada:

   $V'(x)$${}= 6x^2-260x+2000=0$${}\Longleftrightarrow 3x^2-130x+1000=0$
2. $x$${}= \frac{130\pm\sqrt{16900-12000}}{6}$${}= \frac{130\pm 70}{6}$${}\Longrightarrow x=10$$\text{o}\ \ x=\frac{100}{3}$

3. $x=\frac{100}{3}\approx 33{,}3$ no és vàlid ($x<25$). Segona derivada:

   $V''(x)=12x-260$$V''(10)=-140<0\ \Rightarrow\ \text{màxim}$

4. Dimensions per a $x=10$:

   $40-10=30$$50-20=30$$x=10$

5. Volum màxim:

   $V(10)=30\cdot 30\cdot 10=9000$

Plantejament La tapa és un paraŀlelogram (de fet, un rectangle) amb costats $AB$ i $AC$: el quart vèrtex s’obté sumant a $B$ el vector $\overrightarrow{AC}$.

1. Vectors dels costats:

   $\overrightarrow{AB}=(3,0,4)$$\overrightarrow{AC}=(0,9,0)$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0$

2. Quart vèrtex:

   $D$${}= B+\overrightarrow{AC}$${}= (4,1,5)+(0,9,0)$${}= (4,10,5)$

3. Longituds:

   $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{3^2+0^2+4^2}=5$$|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{0^2+9^2+0^2}=9$

Plantejament El pla $\pi$ és paraŀlel a la tapa, així que l’alçària és la distància d’un vèrtex de la tapa a $\pi$. El vèrtex de sota de $A$ és la projecció ortogonal de $A$ sobre $\pi$.

1. El vector normal de $\pi$, $(-4,0,3)$, és perpendicular als dos costats de la tapa, de manera que $\pi$ és paraŀlel a la tapa:

   $(-4,0,3)\cdot(3,0,4)=0$$(-4,0,3)\cdot(0,9,0)=0$

2. Alçària:

   $d(A,\pi)$${}= \frac{|-4\cdot 1+3\cdot 1-24|}{\sqrt{(-4)^2+0^2+3^2}}$${}= \frac{25}{5}=5$

3. Recta perpendicular a $\pi$ per $A$:

   $(x,y,z)=(1,1,1)+\lambda(-4,0,3)$

4. Intersecció amb $\pi$:

   $-4(1-4\lambda)+3(1+3\lambda)$${}= 24$${}\Longrightarrow 25\lambda-1$${}= 24$${}\Longrightarrow \lambda=1$

5. Vèrtex:

   $A'=(1,1,1)+(-4,0,3)=(-3,1,4)$