Matemàtiques, PAU 2024 de Catalunya: l’examen de juny (sèrie 5) resolt

Plantejament Es demana si $\boldsymbol{P}$ té inversa i quina és. Una matriu quadrada és invertible si i només si el seu determinant no és zero, i llavors $\boldsymbol{P}^{-1}=\frac{1}{|\boldsymbol{P}|}\left(\operatorname{Adj}\boldsymbol{P}\right)^t$, on $\operatorname{Adj}\boldsymbol{P}$ és la matriu dels adjunts.

1. Determinant de $\boldsymbol{P}$ per la regla de Sarrus:

   $|\boldsymbol{P}|$${}= \begin{vmatrix}2&1&-1\\2&1&0\\1&0&1\end{vmatrix}$${}= (2+0+0)-(-1+0+2)$${}= 1$

2. Com que $|\boldsymbol{P}|=1\neq 0$, la matriu $\boldsymbol{P}$ és invertible.

3. Adjunts $A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$, on $M_{ij}$ és el determinant que queda en treure la fila $i$ i la columna $j$. Primera fila:

   $A_{11}$${}= \begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}$${}= 1$$A_{12}$${}= -\begin{vmatrix}2&0\\1&1\end{vmatrix}$${}= -2$$A_{13}$${}= \begin{vmatrix}2&1\\1&0\end{vmatrix}$${}= -1$

4. Segona fila:

   $A_{21}$${}= -\begin{vmatrix}1&-1\\0&1\end{vmatrix}$${}= -1$$A_{22}$${}= \begin{vmatrix}2&-1\\1&1\end{vmatrix}$${}= 3$$A_{23}$${}= -\begin{vmatrix}2&1\\1&0\end{vmatrix}$${}= 1$

5. Tercera fila:

   $A_{31}$${}= \begin{vmatrix}1&-1\\1&0\end{vmatrix}$${}= 1$$A_{32}$${}= -\begin{vmatrix}2&-1\\2&0\end{vmatrix}$${}= -2$$A_{33}$${}= \begin{vmatrix}2&1\\2&1\end{vmatrix}=0$

6. Matriu adjunta i inversa (la transposada de l’adjunta dividida per $|\boldsymbol{P}|=1$):

   $\operatorname{Adj}\boldsymbol{P}$${}= \begin{pmatrix}1&-2&-1\\-1&3&1\\1&-2&0\end{pmatrix}$${}\Longrightarrow \boldsymbol{P}^{-1}$${}= \frac{1}{1}\left(\operatorname{Adj}\boldsymbol{P}\right)^t$${}= \begin{pmatrix}1&-1&1\\-2&3&-2\\-1&1&0\end{pmatrix}$

7. Comprovació: $\boldsymbol{P}\,\boldsymbol{P}^{-1}=\boldsymbol{I}$. Per exemple, la primera fila de $\boldsymbol{P}$, $(2,1,-1)$, per les tres columnes de $\boldsymbol{P}^{-1}$ dona $2-2+1=1$, $-2+3-1=0$ i $2-2+0=0$.

Plantejament Es demana la matriu $\boldsymbol{X}$ de l’equació $\boldsymbol{P}\boldsymbol{X}+\boldsymbol{Q}=2\boldsymbol{R}$. L’aïllem: com que $\boldsymbol{P}$ és invertible (apartat a), multipliquem per $\boldsymbol{P}^{-1}$ per l’esquerra, que és el costat on és $\boldsymbol{P}$ (el producte de matrius no és commutatiu).

1. Passem $\boldsymbol{Q}$ a l’altre membre i multipliquem els dos membres per $\boldsymbol{P}^{-1}$ per l’esquerra:

   $\boldsymbol{P}\boldsymbol{X}$${}= 2\boldsymbol{R}-\boldsymbol{Q}$${}\Longrightarrow \boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{P}\boldsymbol{X}$${}= \boldsymbol{P}^{-1}(2\boldsymbol{R}-\boldsymbol{Q})$${}\Longrightarrow \boldsymbol{X}=\boldsymbol{P}^{-1}(2\boldsymbol{R}-\boldsymbol{Q})$

2. Calculem $2\boldsymbol{R}-\boldsymbol{Q}$ element a element:

   $2\boldsymbol{R}-\boldsymbol{Q}$${}= \begin{pmatrix}2&4&6\\2&2&2\\6&4&2\end{pmatrix}$${}-\begin{pmatrix}2&2&2\\2&2&2\\2&2&2\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}0&2&4\\0&0&0\\4&2&0\end{pmatrix}$

3. Multipliquem, fila per columna, la inversa de l’apartat a) per aquesta matriu:

   $\boldsymbol{X}$${}= \begin{pmatrix}1&-1&1\\-2&3&-2\\-1&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&2&4\\0&0&0\\4&2&0\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}4&4&4\\-8&-8&-8\\0&-2&-4\end{pmatrix}$

4. Per exemple, l’element de la fila 2 i la columna 2 és $(-2)\cdot 2+3\cdot 0+(-2)\cdot 2=-8$.

5. Comprovació: $\boldsymbol{P}\boldsymbol{X}$ ha de ser $2\boldsymbol{R}-\boldsymbol{Q}$. Per exemple, la primera fila de $\boldsymbol{P}$ per la primera columna de $\boldsymbol{X}$ dona $2\cdot 4+1\cdot(-8)+(-1)\cdot 0=0$, que és l’element que toca.

Plantejament Es demana el valor de $a$ perquè la tangent a $x=1$ passi per $(2,13)$. Escrivim la tangent en funció de $a$ amb $y-f_a(1)=f_a'(1)(x-1)$ i hi imposem el punt.

1. Punt de tangència: l’ordenada no depèn de $a$, de manera que és $(1,7)$ per a qualsevol $a$:

   $f_a(1)=a+2+5-a=7$

2. Pendent:

   $f_a'(x)=2ax+2$$f_a'(1)=2a+2$

3. Recta tangent en funció de $a$:

   $y-7=(2a+2)(x-1)$

4. Imposem que passi per $(2,13)$:

   $13-7$${}= (2a+2)(2-1)$${}\Longrightarrow 6=2a+2$${}\Longrightarrow a=2$

5. Comprovació: per a $a=2$ la tangent és $y-7=6(x-1)$, és a dir, $y=6x+1$, i a $x=2$ dona $y=13$.

Plantejament Es demanen els punts comuns de $y=f_1(x)$ i $y=f_3(x)$: igualem les dues expressions i resolem l’equació.

1. Les dues paràboles, amb $a=1$ i amb $a=3$:

   $f_1(x)=x^2+2x+4$$f_3(x)=3x^2+2x+2$

2. Igualem:

   $x^2+2x+4$${}= 3x^2+2x+2$${}\Longrightarrow 2x^2-2=0$${}\Longrightarrow x^2$${}= 1$${}\Longrightarrow x=\pm 1$

3. Ordenades:

   $f_1(1)=1+2+4=7$$f_1(-1)=1-2+4=3$

4. Comprovem amb l’altra paràbola: $f_3(1)=3+2+2=7$ i $f_3(-1)=3-2+2=3$.

Plantejament Es demana l’àrea tancada entre les dues paràboles. És la integral, entre els punts de tall $x=-1$ i $x=1$ (apartat b), de la funció de dalt menys la de baix.

1. Quina està per sobre: a $(-1,1)$ la diferència és positiva (per exemple, a $x=0$ val $2$), de manera que $f_1$ queda per sobre de $f_3$:

   $f_1(x)-f_3(x)=-2x^2+2$

2. Àrea, amb la regla de Barrow:

   $A$${}= \int_{-1}^{1}\left(-2x^2+2\right)dx$${}= \left[-\frac{2x^3}{3}+2x\right]_{-1}^{1}$

3. Substituïm els límits d’integració:

   $A$${}= \left(-\frac{2}{3}+2\right)-\left(\frac{2}{3}-2\right)$${}= \frac{4}{3}+\frac{4}{3}$${}= \frac{8}{3}$

Resultat$A=\dfrac{8}{3}\ \text{u}^2\approx 2{,}67\ \text{u}^2$

La pauta oficial dona: $\frac{8}{3}\ \text{u}^2$

Plantejament Es demana la probabilitat que una solució sigui correcta. Depèn de qui l’ha feta (la Rut o Internet), i això ho decideix el dau: fem servir el teorema de la probabilitat total.

1. Successos: $R$ = «la resol la Rut» (dau 1, 2, 3 o 4), $I$ = «la copia d’Internet» (dau 5 o 6) i $C$ = «la solució és correcta». Amb un dau equilibrat:

   $P(R)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$$P(I)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

2. Probabilitats condicionades de l’enunciat:

   $P(C\mid R)=0{,}75$$P(C\mid I)=0{,}4$

3. Teorema de la probabilitat total:

   $P(C)$${}= P(C\mid R)\,P(R)$${}+P(C\mid I)\,P(I)$${}= 0{,}75\cdot\frac{2}{3}+0{,}4\cdot\frac{1}{3}$${}= 0{,}5+\frac{2}{15}$${}= \frac{19}{30}$

Plantejament Sabem que la solució és correcta i volem la probabilitat que l’hagi resolt la Rut: és $P(R\mid C)$, que calculem amb la fórmula de Bayes.

1. Fórmula de Bayes, amb $P(C)=\frac{19}{30}$ de l’apartat a):

   $P(R\mid C)$${}= \frac{P(C\mid R)\,P(R)}{P(C)}$${}= \frac{0{,}75\cdot\frac{2}{3}}{\frac{19}{30}}$${}= \frac{0{,}5}{\frac{19}{30}}$${}= \frac{15}{19}$

Plantejament Es demana la probabilitat d’almenys 4 problemes correctes de 5. Suposem que cada problema es fa de manera independent (un dau per a cada problema): cada un és correcte amb probabilitat $p=P(C)=\frac{19}{30}$ i el nombre $X$ de problemes correctes segueix una binomial $B(5,p)$. Volem $P(X\ge 4)=P(X=4)+P(X=5)$.

1. Probabilitat d’èxit i de fracàs:

   $p=\frac{19}{30}\approx 0{,}6333$$q=1-p=\frac{11}{30}\approx 0{,}3667$

2. Fórmula de la binomial, $P(X=k)=\binom{5}{k}p^k q^{5-k}$, per a 4 correctes:

   $P(X=4)$${}= \binom{5}{4}p^4q$${}= 5\cdot 0{,}1609\cdot 0{,}3667$${}\approx 0{,}2950$

3. Per a 5 correctes:

   $P(X=5)=\binom{5}{5}p^5\approx 0{,}1019$

4. Sumem les dues probabilitats:

   $P(X\ge 4)$${}= 0{,}2950+0{,}1019$${}= 0{,}3969$

Plantejament Es demanen el perímetre i l’àrea del decorat en funció de $x$ i $y$. A la figura, $x$ és el radi del semicercle de dalt i $y$ el del semicercle de la dreta; per tant, el rectangle fa $2x$ d’amplada i $2y$ d’alçària.

1. El contorn el formen el costat de baix ($2x$), el de l’esquerra ($2y$), la semicircumferència de dalt (la meitat de $2\pi x$) i la de la dreta (la meitat de $2\pi y$):

   $P(x,y)$${}= 2x+2y+\pi x+\pi y$${}= (2+\pi)(x+y)$

2. L’àrea és la del rectangle més la dels dos semicercles:

   $A(x,y)$${}= 2x\cdot 2y+\frac{\pi x^2}{2}+\frac{\pi y^2}{2}$${}= 4xy+\frac{\pi}{2}\left(x^2+y^2\right)$

Plantejament Es demanen les mides i l’àrea del decorat d’àrea màxima amb un perímetre de $10$ m. Amb la condició del perímetre escrivim $y$ en funció de $x$, de manera que l’àrea depèn d’una sola variable; la derivem i busquem el màxim.

1. Condició del perímetre (en metres):

   $(2+\pi)(x+y)=10\ \Longrightarrow\ y=\frac{10}{2+\pi}-x$

2. Anomenem $s=\frac{10}{2+\pi}\approx 1{,}945$ m, de manera que $y=s-x$, amb $0\le x\le s$. L’àrea en funció només de $x$:

   $A(x)$${}= 4x(s-x)$${}+\frac{\pi}{2}\left(x^2+(s-x)^2\right)$

3. Derivem:

   $A'(x)$${}= 4s-8x$${}+\frac{\pi}{2}\left(2x-2(s-x)\right)$${}= (2\pi-8)x+(4-\pi)s$

4. Punt crític:

   $A'(x)=0$${}\Longleftrightarrow (8-2\pi)x$${}= (4-\pi)s$${}\Longleftrightarrow x=\frac{(4-\pi)s}{2(4-\pi)}$${}= \frac{s}{2}$

5. Derivada segona, negativa per a qualsevol $x$ perquè $2\pi\approx 6{,}28<8$: el punt crític és un màxim, i és el màxim absolut a $[0,s]$ perquè $A'$ hi és decreixent.

   $A''(x)=2\pi-8<0$

6. Mides: $x$ i $y$ són iguals.

   $x=y=\frac{s}{2}=\frac{5}{2+\pi}\approx 0{,}9725\ \text{m}$

7. El rectangle és, doncs, un quadrat de costat $2x=\frac{10}{2+\pi}\approx 1{,}945$ m, i els dos semicercles tenen el mateix radi, $\approx 0{,}9725$ m.

8. Àrea màxima, amb $x=y=\frac{5}{2+\pi}$:

   $A$${}= 4x^2+\pi x^2$${}= (4+\pi)\cdot\frac{25}{(2+\pi)^2}$${}= \frac{25(4+\pi)}{(2+\pi)^2}$${}\approx 6{,}754\ \text{m}^2$

Plantejament Es demana la posició relativa de $r$ i $s$ i un pla per l’origen paral·lel a totes dues. Comparem els vectors directors; com que no són proporcionals, mirem amb un determinant si les rectes són en un mateix pla. El pla té com a vector normal el producte vectorial dels dos vectors directors.

1. Un punt i un vector director de cada recta:

   $P_r=(5,4,3),\ \vec u=(4,3,-1)$$P_s=(4,3,-1),\ \vec v=(2,1,0)$

2. $\vec u$ i $\vec v$ no són proporcionals ($\frac{4}{2}\neq\frac{3}{1}$): les rectes no són paral·leles, de manera que es tallen o es creuen.

3. Determinant format per $\overrightarrow{P_rP_s}=(-1,-1,-4)$, $\vec u$ i $\vec v$ (regla de Sarrus):

   $\begin{vmatrix}-1&-1&-4\\4&3&-1\\2&1&0\end{vmatrix}$${}= (0+2-16)$${}-(-24+1+0)$${}= 9$${}\neq 0$

4. Els tres vectors no són coplanaris: les rectes no són en un mateix pla, és a dir, es creuen.

5. Un pla paral·lel a les dues rectes conté les direccions $\vec u$ i $\vec v$; el seu vector normal és el producte vectorial:

   $\vec n$${}= \vec u\times\vec v$${}= \begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\4&3&-1\\2&1&0\end{vmatrix}$${}= (1,-2,-2)$

6. El pla passa per l’origen $(0,0,0)$, de manera que el terme independent és $0$:

   $\pi\colon\ x-2y-2z=0$

7. Observació: el punt $P_s=(4,3,-1)$ compleix l’equació ($4-6+2=0$), així que la recta $s$ és continguda en aquest pla; la recta $r$ hi és paral·lela sense tocar-lo ($P_r$ dona $5-8-6=-9\neq 0$). És l’únic pla per l’origen que conté les dues direccions. Si «paral·lel» s’entengués en sentit estricte (sense cap punt en comú), no hi hauria cap pla que complís l’enunciat.

Plantejament Es demana la recta $t$ que talla $r$ i $s$ formant angle recte amb totes dues (la perpendicular comuna). Prenem un punt genèric de cada recta i imposem que el vector que els uneix sigui perpendicular a $\vec u$ i a $\vec v$ (dos productes escalars nuls).

1. Punts genèrics de $r$ (paràmetre $\lambda$) i de $s$ (paràmetre $\mu$):

   $R=(5+4\lambda,\ 4+3\lambda,\ 3-\lambda)$$S=(4+2\mu,\ 3+\mu,\ -1)$

2. Vector que els uneix:

   $\overrightarrow{RS}$${}= (-1-4\lambda+2\mu,\ -1-3\lambda+\mu,\ -4+\lambda)$

3. Perpendicular a $\vec u=(4,3,-1)$:

   $4(-1-4\lambda+2\mu)$${}+3(-1-3\lambda+\mu)$${}-(-4+\lambda)$${}= -26\lambda+11\mu-3=0$

4. Perpendicular a $\vec v=(2,1,0)$:

   $2(-1-4\lambda+2\mu)$${}+(-1-3\lambda+\mu)$${}= -11\lambda+5\mu-3=0$

5. De la segona equació, $\mu=\frac{3+11\lambda}{5}$; substituint a la primera i multiplicant per $5$, $-130\lambda+33+121\lambda-15=0$, és a dir, $18-9\lambda=0$:

   $\lambda=2$$\mu=\frac{3+22}{5}=5$

6. Els punts on $t$ talla cada recta:

   $R=(13,10,1)\in r$$S=(14,8,-1)\in s$$\overrightarrow{RS}=(1,-2,-2)$

7. $\overrightarrow{RS}$ és el vector $\vec u\times\vec v$ de l’apartat a), perpendicular a les dues rectes, com havia de ser. La recta $t$ passa per $R$ amb aquesta direcció:

   $t\colon\ \frac{x-13}{1}=\frac{y-10}{-2}=\frac{z-1}{-2}$