Matemàtiques, PAU 2022 de Catalunya: l’examen extraordinari resolt

Plantejament És un quocient: el domini exclou els zeros del denominador, que són també les candidates a asímptota vertical. Per a la monotonia, estudiem el signe de $f'$ a cada interval del domini.

1. Zeros del denominador:

   $x^2+x-2$${}= (x+2)(x-1)=0$${}\Longrightarrow x=-2,\ x$${}= 1$

2. Domini:

   $\operatorname{Dom}f$${}= \mathbb{R}\setminus\{-2,1\}$${}= (-\infty,-2)\cup(-2,1)\cup(1,+\infty)$

3. Asímptotes verticals: el numerador val $9\ne 0$, així que als dos punts el límit és infinit (els signes surten del signe de $(x+2)(x-1)$):

   $\lim_{x\to -2^-}f(x)$${}= +\infty,\ \lim_{x\to -2^+}f(x)$${}= -\infty$$\lim_{x\to 1^-}f(x)$${}= -\infty,\ \lim_{x\to 1^+}f(x)$${}= +\infty$

4. Asímptota horitzontal (el denominador creix sense límit); per tant, no n’hi ha d’obliqües:

   $\lim_{x\to\pm\infty}\frac{9}{x^2+x-2}=0\ \Longrightarrow\ y=0$

5. Derivada:

   $f'(x)$${}= \frac{-9(2x+1)}{(x^2+x-2)^2}=0$${}\Longrightarrow x=-\frac{1}{2}$

6. El denominador de $f'$ és positiu, així que el signe de $f'$ és el de $-(2x+1)$:

   $x<-\tfrac{1}{2}:\ f'>0$$x>-\tfrac{1}{2}:\ f'<0$

7. Valor al màxim relatiu:

   $f\left(-\tfrac{1}{2}\right)$${}= \frac{9}{\frac{1}{4}-\frac{1}{2}-2}$${}= \frac{9}{-\frac{9}{4}}$${}= -4$

Plantejament La tangent en $x=4$ és $y=f'(4)(x-4)+f(4)$; després la passem a la forma general $Ax+By+C=0$. Per al gràfic fem servir els resultats de l’apartat a).

1. Valor i pendent:

   $f(4)=\frac{9}{16+4-2}=\frac{9}{18}=\frac{1}{2}$$f'(4)=\frac{-9\cdot 9}{18^2}=-\frac{81}{324}=-\frac{1}{4}$

2. Recta tangent:

   $y-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}(x-4)\ \Longrightarrow\ y=-\frac{1}{4}x+\frac{3}{2}$

3. Multiplicant per $4$ i passant-ho tot a un membre:

   $x+4y-6=0$

4. Gràfic (figura): tres branques separades per les asímptotes $x=-2$ i $x=1$; la central, per sota de l’eix, amb el màxim $\left(-\frac{1}{2},-4\right)$; la de la dreta baixa cap a $y=0$ i la tangent la toca a $\left(4,\frac{1}{2}\right)$.

ResultatRecta tangent: $x+4y-6=0$ (és a dir, $y=-\frac{1}{4}x+\frac{3}{2}$).

La pauta oficial dona: $y=-\frac{1}{4}x+\frac{3}{2}$

Plantejament Calculem $\det A$: on no s’anul·la el rang és $3$; on s’anul·la, busquem un menor d’ordre 2 no nul.

1. Determinant (regla de Sarrus):

   $\det A$${}= 45+21a^2+24a^2$${}-105-18a^2$${}-12a^2$${}= 15a^2-60$${}= 15(a-2)(a+2)$

2. Si $a\ne 2$ i $a\ne -2$:

   $\det A\ne 0\ \Longrightarrow\ \operatorname{rang}A=3$

3. Si $a=2$, el menor de les dues primeres files i columnes és:

   $\begin{vmatrix}1&2\\ 4&5\end{vmatrix}$${}= 5-8$${}= -3$${}\ne 0$${}\Longrightarrow \operatorname{rang}A$${}= 2$

4. Si $a=-2$, el mateix menor és:

   $\begin{vmatrix}1&-2\\ -4&5\end{vmatrix}$${}= 5-8$${}= -3$${}\ne 0$${}\Longrightarrow \operatorname{rang}A$${}= 2$

Plantejament La matriu del sistema és $A$ per a $a=2$, que té rang $2$. És un sistema homogeni (sempre compatible) amb rang $2<3$ incògnites: compatible indeterminat amb un grau de llibertat.

1. Sistema:

   $\begin{cases} x+2y+3z=0\\ 4x+5y+6z=0\\ 7x+8y+9z=0\end{cases}$

2. Ens quedem amb les dues primeres equacions (el menor $\begin{vmatrix}1&2\\ 4&5\end{vmatrix}$${}\ne 0$). Segona menys $4$ vegades la primera:

   $-3y-6z=0\ \Longrightarrow\ y=-2z$

3. De la primera equació:

   $x=-2y-3z=4z-3z=z$

4. Comprovació a la tercera, amb $z=t$:

   $7t+8(-2t)+9t=0$

Plantejament Cada tros és continu i derivable al seu interval ($\ln x$ ho és a $(0,+\infty)$ i $ax+b$, a tot $\mathbb{R}$). Només cal imposar la continuïtat i la derivabilitat al punt d’unió, $x=\mathrm{e}$.

1. Continuïtat a $x=\mathrm{e}$ (límit per l’esquerra igual al valor $f(\mathrm{e})$):

   $\lim_{x\to \mathrm{e}^-}\ln x=\ln \mathrm{e}=1$$f(\mathrm{e})=a\mathrm{e}+b\ \Longrightarrow\ a\mathrm{e}+b=1$

2. Derivades laterals a $x=\mathrm{e}$:

   $f'(\mathrm{e}^-)=\frac{1}{\mathrm{e}}$$f'(\mathrm{e}^+)=a\ \Longrightarrow\ a=\frac{1}{\mathrm{e}}$

3. Substituïm a la condició de continuïtat:

   $\frac{1}{\mathrm{e}}\cdot \mathrm{e}+b=1\ \Longrightarrow\ b=0$

Plantejament $g$ és una primitiva de $g'$. La derivada del denominador, $9x^4+1$, és $36x^3$, que és el numerador $x^3$ llevat d’una constant: la integral és un logaritme. La constant surt de $g(0)=-1$.

1. Multipliquem i dividim per $36$:

   $\int\frac{x^3}{9x^4+1}\,dx$${}= \frac{1}{36}\int\frac{36x^3}{9x^4+1}\,dx$${}= \frac{1}{36}\ln(9x^4+1)+k$

2. No cal valor absolut, perquè $9x^4+1>0$. Imposem $g(0)=-1$:

   $g(0)=\frac{1}{36}\ln 1+k=k=-1$

3. Comprovació derivant:

   $g'(x)=\frac{1}{36}\cdot\frac{36x^3}{9x^4+1}=\frac{x^3}{9x^4+1}$

Plantejament Una matriu quadrada és invertible si i només si el seu determinant no és zero.

1. Regla de Sarrus (els productes amb un $0$ desapareixen):

   $|A|$${}= a(a+1)(-a-3)$${}+a(a-1)(2a+1)$${}-a\cdot 2\cdot(-a-3)$

2. Traiem factor comú $a$ i operem:

   $|A|$${}= a\left[(-a^2-4a-3)+(2a^2-a-1)+(2a+6)\right]$${}= a(a^2-3a+2)$

3. Zeros del determinant:

   $a(a^2-3a+2)$${}= a(a-1)(a-2)=0$${}\Longrightarrow a=0,\ a$${}= 1,\ a=2$

Plantejament Per a $a=3$, $A$ és invertible (apartat a), així que $X=A^{-1}(B-3I)$. Com que $B-3I=I$, la solució és la inversa de $A$.

1. Matrius per a $a=3$:

   $A$${}= \begin{pmatrix}3&3&0\\ 2&4&2\\ 7&0&-6\end{pmatrix}$$B-3I$${}= \begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\end{pmatrix}$${}= I$

2. Determinant, amb la fórmula de l’apartat a):

   $|A|=3\cdot(3-1)\cdot(3-2)=6$

3. Adjunts de $A$ (fila per fila):

   $\begin{array}{lll} A_{11}=-24, & A_{12}=26, & A_{13}=-28\\ A_{21}=18, & A_{22}=-18, & A_{23}=21\\ A_{31}=6, & A_{32}=-6, & A_{33}=6\end{array}$

4. La inversa és la transposada de la matriu d’adjunts dividida per $|A|$:

   $A^{-1}$${}= \frac{1}{6}\begin{pmatrix}-24&18&6\\ 26&-18&-6\\ -28&21&6\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}-4&3&1\\ \frac{13}{3}&-3&-1\\ -\frac{14}{3}&\frac{7}{2}&1\end{pmatrix}$

5. Comprovació de la primera fila de $A\cdot A^{-1}$:

   $3\cdot(-4)+3\cdot\frac{13}{3}=1$$3\cdot 3+3\cdot(-3)=0$$3\cdot 1+3\cdot(-1)=0$

Plantejament El cable va en línia recta de $A$ a $C$ i de $C$ a $B$; la longitud total és la suma de les dues distàncies.

1. Distància de $A=(2,0,2)$ a $C=(0,0,h)$:

   $d(A,C)$${}= \sqrt{2^2+0^2+(2-h)^2}$${}= \sqrt{4+4-4h+h^2}$${}= \sqrt{h^2-4h+8}$

2. Distància de $B=(0,2,1)$ a $C$:

   $d(B,C)$${}= \sqrt{0^2+2^2+(1-h)^2}$${}= \sqrt{4+1-2h+h^2}$${}= \sqrt{h^2-2h+5}$

3. Suma:

   $L(h)$${}= d(A,C)+d(C,B)$${}= \sqrt{h^2-4h+8}$${}+\sqrt{h^2-2h+5}$

Plantejament Derivem $L$, igualem a zero i resolem elevant al quadrat. Com que elevar al quadrat pot afegir solucions falses, comprovem la solució a l’equació original i amb el signe de $L'$.

1. Derivada:

   $L'(h)$${}= \frac{2h-4}{2\sqrt{h^2-4h+8}}$${}+\frac{2h-2}{2\sqrt{h^2-2h+5}}$${}= \frac{h-2}{\sqrt{h^2-4h+8}}$${}+\frac{h-1}{\sqrt{h^2-2h+5}}$

2. $L'(h)=0$:

   $(h-2)\sqrt{h^2-2h+5}$${}= -(h-1)\sqrt{h^2-4h+8}$

3. Elevem al quadrat i desenvolupem els dos membres:

   $(h^2-4h+4)(h^2-2h+5)$${}= (h^2-2h+1)(h^2-4h+8)$

4. Els dos costats tenen $h^4-6h^3+17h^2$; queda:

   $-28h+20$${}= -20h+8$${}\Longrightarrow 8h=12$${}\Longrightarrow h=\frac{3}{2}$

5. Comprovació a l’equació sense elevar (els dos membres valen el mateix):

   $\left(-\frac{1}{2}\right)\sqrt{\frac{17}{4}}=-\left(\frac{1}{2}\right)\sqrt{\frac{17}{4}}$

6. Signe de $L'$ abans i després de $h=\frac{3}{2}$: decreix i després creix, així que és un mínim:

   $L'(1)=\frac{-1}{\sqrt5}<0$$L'(2)=\frac{1}{\sqrt5}>0$

7. Longitud mínima (els dos trams mesuren el mateix):

   $L\left(\frac{3}{2}\right)$${}= \sqrt{\frac{9}{4}-6+8}+\sqrt{\frac{9}{4}-3+5}$${}= \sqrt{\frac{17}{4}}+\sqrt{\frac{17}{4}}$${}= 2\cdot\frac{\sqrt{17}}{2}$${}= \sqrt{17}$