Matemàtiques, PAU 2025 de Catalunya: l’examen extraordinari resolt

Plantejament Teorema de Rouché-Frobenius: calculem $|A|$, trobem els valors de $m$ que l’anuŀlen i estudiem els rangs en cada cas.

1. Matrius:

   $A$${}= \begin{pmatrix}1&3&1\\m&0&2\\0&m&-1\end{pmatrix}$$A^*$${}= \left(\begin{array}{ccc|c}1&3&1&5\\m&0&2&0\\0&m&-1&m\end{array}\right)$

2. Determinant:

   $|A|$${}= 0+0+m^2-0-2m+3m$${}= m^2+m$${}= m(m+1)$

3. Si $m\ne 0$ i $m\ne -1$: els dos rangs valen 3, igual que el nombre d’incògnites: compatible determinat.

   $\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=3$

4. Si $m=0$: les equacions queden $x+3y+z=5$, $2z=0$ i $-z=0$; la tercera és proporcional a la segona. Hi ha un menor d’ordre 2 no nul:

   $\begin{vmatrix}3&1\\0&2\end{vmatrix}$${}= 6$${}\ne 0$${}\Rightarrow \operatorname{rg}(A)$${}= \operatorname{rg}(A^*)$${}= 2$${}< 3$

5. Per a $m=0$: compatible indeterminat amb un grau de llibertat.

6. Si $m=-1$: $\operatorname{rg}(A)=2$ (hi ha un menor d’ordre 2 no nul), però la matriu ampliada té un menor d’ordre 3 no nul (columnes $y$, $z$ i termes independents):

   $\begin{vmatrix}3&1&5\\0&2&0\\-1&-1&-1\end{vmatrix}$${}= 4$${}\ne 0$${}\Rightarrow \operatorname{rg}(A^*)$${}= 3$

7. Per a $m=-1$: sistema incompatible.

Plantejament Per a $m=1$ el sistema és compatible determinat. Aïllem $x$ i $y$ en funció de $z$ a les dues últimes equacions i substituïm a la primera.

1. Sistema:

   $\begin{cases}x+3y+z=5\\ x+2z=0\\ y-z=1\end{cases}$${}\Longrightarrow x=-2z$$y=1+z$

2. Substituïm:

   $-2z+3(1+z)+z$${}= 5$${}\Longrightarrow 2z=2$${}\Longrightarrow z=1$
3. $x=-2$$y=2$

Plantejament Té infinites solucions quan és compatible indeterminat, és a dir, per a $m=0$.

1. De $2z=0$ surt $z=0$, i la primera equació queda:

   $x+3y=5$

2. Amb $y=\lambda$:

   $(x,y,z)=(5-3\lambda,\ \lambda,\ 0)$$\lambda\in\mathbb{R}$

Plantejament La població es divideix en dos grups amb probabilitats de lesió diferents: fem servir la fórmula de la probabilitat total.

1. Dades: $I$ = «practica esports d’impacte», $S$ = «pateix sesamoïditis».

   $P(I)=0{,}45$$P(\overline{I})=0{,}55$$P(S\mid I)=0{,}1$$P(S\mid\overline{I})=0{,}03$

2. Probabilitat total:

   $P(S)$${}= 0{,}45\cdot 0{,}1+0{,}55\cdot 0{,}03$${}= 0{,}045+0{,}0165$${}= 0{,}0615$

Plantejament Sabem que té la lesió i volem la probabilitat que practiqui esports d’impacte: probabilitat condicionada, que calculem amb la fórmula de Bayes.

1. $P(I\mid S)$${}= \frac{P(S\mid I)\,P(I)}{P(S)}$${}= \frac{0{,}045}{0{,}0615}$${}= \frac{30}{41}$${}\approx 0{,}7317$

Plantejament Tradueix cada dada a una equació: màxim a $x=1$ vol dir $f'(1)=0$; benefici de 8 000 € vol dir $f(1)=8$ (en milers d’euros); punt d’inflexió a $x=2$ vol dir $f''(2)=0$. Resolem el sistema.

1. Derivades:

   $f'(x)=3ax^2+2bx+c$$f''(x)=6ax+2b$

2. Condicions:

   $\begin{cases}f'(1)=0:& 3a+2b+c=0\\ f(1)=8:& a+b+c=8\\ f''(2)=0:& 12a+2b=0\end{cases}$

3. Restant les dues primeres:

   $2a+b=-8$

4. De la tercera, $b=-6a$; substituint:

   $2a-6a=-8\ \Longrightarrow\ a=2$$b=-12$$c=8-2+12=18$

5. Comprovem que és un màxim i que hi ha inflexió: $f''(1)=12-24=-12<0$ i $f'''(x)=12\ne 0$.

   $f(x)=2x^3-12x^2+18x$

Plantejament Mirem el valor de cada funció a $x=0$: la que hi val $0$ passa per l’origen $A$; la que hi val $3$ comença a $B$. El punt $C$ és el primer tall de les dues corbes per a $x>0$.

1. $3\sin(0)=0$$3\cos(0)=3$

2. La corba que passa per $A$ (creixent) és $y=3\sin(x/4)$; la que passa per $B$ (decreixent) és $y=3\cos(x/4)$, i $B=(0,3)$.

3. Punt $C$:

   $3\sin\frac{x}{4}=3\cos\frac{x}{4}\ \Longrightarrow\ \tan\frac{x}{4}=1\ \Longrightarrow\ \frac{x}{4}=\frac{\pi}{4}\ \Longrightarrow\ x=\pi$
4. $y=3\sin\frac{\pi}{4}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$

Plantejament L’àrea del vitrall és la integral de la diferència entre la corba de dalt (cosinus) i la de baix (sinus) entre $x=0$ i $x=\pi$. El preu és l’àrea per 750 €/$\text{m}^2$. Multipliquem el preu pel valor exacte de l’àrea per no arrossegar l’error d’arrodoniment.

1. Primitives (compte amb el factor $\frac14$ de dins):

   $\int 3\cos\frac{x}{4}\,dx=12\sin\frac{x}{4}$$\int 3\sin\frac{x}{4}\,dx=-12\cos\frac{x}{4}$

2. Àrea:

   $A$${}= \int_0^{\pi}\left(3\cos\frac{x}{4}-3\sin\frac{x}{4}\right)dx$${}= \left[12\sin\frac{x}{4}+12\cos\frac{x}{4}\right]_0^{\pi}$
3. $A$${}= 12\left(\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\right)$${}-12(0+1)$${}= 12\left(\sqrt{2}-1\right)$${}\approx 4{,}97$

4. Preu:

   $750\cdot 12\left(\sqrt2-1\right)$${}= 9000\left(\sqrt2-1\right)$${}\approx 3728$

ResultatÀrea $12(\sqrt2-1)\approx 4{,}97\ \text{m}^2$; preu $9\,000(\sqrt2-1)\approx 3\,728$ €.

La pauta oficial dona: $12(\sqrt2-1)\simeq 4{,}97\ \mathrm{m}^2$; $4{,}97\cdot 750=3.725{,}5\ €$

Plantejament Fórmula de la distància d’un punt a un pla.

1. $d(P,\pi)$${}= \frac{|2\cdot 0-1+3-5|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+1^2}}$${}= \frac{3}{\sqrt6}=\frac{3\sqrt6}{6}$${}= \frac{\sqrt6}{2}$

Plantejament Un pla paraŀlel a $\pi$ té el mateix vector normal: $2x-y+z=D$. Imposem que passi per $P$. La distància entre dos plans paraŀlels és la distància de qualsevol punt d’un a l’altre.

1. $2\cdot 0-1+3$${}= D$${}\Longrightarrow D=2$${}\Longrightarrow \pi_1:\ 2x-y+z$${}= 2$

2. Com que $P\in\pi_1$:

   $d(\pi_1,\pi)=d(P,\pi)=\frac{\sqrt6}{2}$

Plantejament Busquem tots els plans $2x-y+z=D$ a distància $\frac{\sqrt6}{2}$ de $\pi$. Per a dos plans paraŀlels amb el mateix vector normal, la distància és $\frac{|D-5|}{\sqrt6}$. Surten dos plans, un a cada costat de $\pi$: un és $\pi_1$.

1. $\frac{|D-5|}{\sqrt6}=\frac{\sqrt6}{2}\ \Longrightarrow\ |D-5|=3\ \Longrightarrow\ D=2$$\text{o}\ \ D=8$

2. $D=2$ és $\pi_1$; l’altre és $D=8$. (També: és el pla paraŀlel que passa pel simètric de $P$ respecte de $\pi$, $P'=(2,0,4)$.)

   $\pi_2:\ 2x-y+z=8$