Derivades: regles, cadena i exercicis resolts

L’essencial

La taxa de variació mitjana compara dos valors d'una funció. La derivada en un punt és el límit d'aquesta taxa quan l'increment tendeix a zero, si existeix i és finit. La seva interpretació geomètrica és el pendent de la tangent; no l'alçada del punt.

Comença per l'operació exterior. Una suma es deriva terme a terme; un producte necessita dos termes i un quocient conserva un ordre concret de resta. En una composició, deriva la capa exterior i multiplica per la derivada de la interior. Si hi ha diverses capes, repeteix la regla de la cadena.

Regles de derivació; u i v són funcions derivables i c és constant

Funció	Derivada	Condició o recordatori
$c$	Derivada $0$	Condició o recordatoriConstant
$x^n$	Derivada $nx^{n-1}$	Condició o recordatoriOn la potència sigui derivable
$u+v$	Derivada $u'+v'$	Condició o recordatoriSuma terme a terme
$uv$	Derivada $u' v+uv'$	Condició o recordatoriNo és el producte de les derivades
$u/v$	Derivada $\frac{u' v-uv'}{v^2}$	Condició o recordatori $v\ne0$
$F(u)$	Derivada $F'(u)u'$	Condició o recordatoriRegla de la cadena
$\sqrt{u}$	Derivada $\frac{u'}{2\sqrt{u}}$	Condició o recordatori $u>0$
$\sin u$	Derivada $\cos(u)u'$	Condició o recordatoriRadians
$\cos u$	Derivada $-\sin(u)u'$	Condició o recordatoriRadians
$\tan u$	Derivada $u'/\cos^2u$	Condició o recordatori $\cos u\ne0$
$e^u$	Derivada $e^u u'$	Condició o recordatoriCadena si escau
$\ln u$	Derivada $u'/u$	Condició o recordatori $u>0$
$\log_{10}u$	Derivada $\frac{u'}{u\ln10}$	Condició o recordatori $u>0$

Les funcions trigonomètriques es deriven amb els seus arguments en radians. El logaritme neperià i el decimal no tenen la mateixa derivada: el segon inclou el factor de canvi de base. En el comprovador d'aquesta pàgina, ln significa neperià, log significa base deu i exp representa l'exponencial natural.

Indica el domini abans de simplificar. No es divideix entre zero, l'argument d'un logaritme real ha de ser positiu i una arrel quadrada pot tenir punts del domini on no existeixi derivada finita. Una transformació algebraica no recupera punts exclosos de la funció original.

La tangent es construeix amb el valor de la funció i la seva derivada en el punt. Per localitzar extrems en un interval cal estudiar els candidats i, si escau, els extrems de l'interval; no n'hi ha prou d'anul·lar la derivada per demostrar un màxim o un mínim.

Exemples resolts

Deriva

f(x)=3x^3-2x^2+4

. Treballa en

x\in\mathbb{R}

. Justifica les regles que aplicues.

Aplica la regla de la potència als termes variables i deriva la constant com a zero.
$f'(x)=3\cdot3x^2-2\cdot2x=9x^2-4x$

Resultat $f'(x)=9x^2-4x$

Deriva

f(x)=\sqrt{2x+3}

. Treballa en

x>-3/2

. Justifica les regles que aplicues.

L'arrel és una potència d'una funció lineal; deriva la funció exterior i després la interior.
$f'(x)=\frac{2}{2\sqrt{2x+3}}$
Cancel·la el factor comú. La fórmula de la derivada s'utilitza on el radicand és positiu.
$f'(x)=\frac1{\sqrt{2x+3}}$

Resultat $f'(x)=\frac1{\sqrt{2x+3}}$

Deriva

f(x)=(x+1)\ln x

. Treballa en

x>0

. Justifica les regles que aplicues.

Tots dos factors depenen de la variable: s'aplica la regla del producte.
$f'(x)=1\cdot\ln x+(x+1)\frac1x$
Divideix cada sumand del numerador per la variable per simplificar.
$f'(x)=\ln x+1+\frac1x$

Resultat $f'(x)=\ln x+1+\frac1x$

Exercicis

De menys a més. «Prova-ho al comprovador» te’l deixa preparat a dalt perquè el resolguis tu i el codi el corregeixi; la solució és plegada a sota.

Exercici 1Nivell 1Comprovat per codi
Deriva $f(x)=5x^4-3x+2$ . Treballa en $x\in\mathbb{R}$ . Justifica les regles que aplicues.
Mostra la solució
1. Deriva cada sumand per separat perquè la derivació respecta sumes i constants multiplicatives.
  $(5x^4)'=5\cdot4x^3$
2. La derivada del terme lineal és el seu coeficient; la de la constant és nul·la.
  $f'(x)=20x^3-3$
Exercici 2Nivell 1Comprovat per codi
Deriva $f(x)=\sqrt{x}+\frac{2}{x}$ . Treballa en $x>0$ . Justifica les regles que aplicues.
Mostra la solució
1. Escriu l'arrel i el recíproc com a potències per aplicar la mateixa regla.
  $f(x)=x^{1/2}+2x^{-1}$
2. Multiplica per l'exponent i resta-li una unitat; conserva el signe de l'exponent negatiu.
  $f'(x)=\frac12x^{-1/2}-2x^{-2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{2}{x^2}$
Exercici 3Nivell 1Comprovat per codi
Deriva $f(x)=\sin x+2\cos x$ . Treballa en $x\in\mathbb{R}$ ; els angles de les funcions trigonomètriques es mesuren en radians. Justifica les regles que aplicues.
Mostra la solució
1. Deriva la suma terme a terme amb els angles mesurats en radians.
  $(\sin x)'=\cos x,\quad (\cos x)'=-\sin x$
2. Mantén el factor constant i el signe negatiu que apareix en derivar el cosinus.
  $f'(x)=\cos x-2\sin x$
Exercici 4Nivell 1Comprovat per codi
Deriva $f(x)=\ln x+\log_{10}x$ . Treballa en $x>0$ . Justifica les regles que aplicues.
Mostra la solució
1. Distingeix les bases: ln és el logaritme neperià i $\log_{10}$ , el decimal, que es passa a neperià canviant de base.
  $\log_{10}x=\frac{\ln x}{\ln10}$
2. Deriva cada terme; el factor de canvi de base és constant.
  $f'(x)=\frac1x+\frac{1}{x\ln10}$
Exercici 5Nivell 2Comprovat per codi
Deriva $f(x)=(2x-1)^5$ . Treballa en $x\in\mathbb{R}$ . Justifica les regles que aplicues.
Mostra la solució
1. Reconeix una composició: primer una funció lineal i després una potència.
  $u=2x-1,\quad u'=2$
2. Deriva la potència exterior i multiplica per la derivada interior per aplicar la cadena.
  $f'(x)=5(2x-1)^4\cdot2=10(2x-1)^4$
Exercici 6Nivell 2Comprovat per codi
Deriva $f(x)=x^2e^x$ . Treballa en $x\in\mathbb{R}$ . Justifica les regles que aplicues.
Mostra la solució
1. Hi ha un producte de dues funcions variables; deriva cada factor mantenint l'altre.
  $f'(x)=2xe^x+x^2e^x$
2. Extreu el factor comú per presentar la mateixa derivada de manera més compacta.
  $f'(x)=e^x(x^2+2x)$
Exercici 7Nivell 2Comprovat per codi
Deriva $f(x)=\frac{x^2+3}{x-2}$ . Treballa en $x\ne2$ . Justifica les regles que aplicues.
Mostra la solució
1. Identifica numerador i denominador. En un quocient es conserva l'ordre de la resta.
  $u=x^2+3,\ u'=2x,\quad v=x-2,\ v'=1$
2. Aplica la regla del quocient; el denominador queda al quadrat.
  $f'(x)=\frac{2x(x-2)-(x^2+3)}{(x-2)^2}$
3. Simplifica únicament el numerador sense canviar el domini.
  $f'(x)=\frac{x^2-4x-3}{(x-2)^2}$
Exercici 8Nivell 2Comprovat per codi
Deriva $f(x)=\tan(3x)$ . Treballa en $\cos(3x)\ne0$ ; els angles de les funcions trigonomètriques es mesuren en radians. Justifica les regles que aplicues.
Mostra la solució
1. La tangent actua sobre una funció lineal, per la qual cosa cal la cadena.
  $u=3x,\quad u'=3$
2. Multiplica la derivada de la tangent per la derivada interior i exclou-ne els pols.
  $f'(x)=\frac3{\cos^2(3x)}$
Exercici 9Nivell 3Comprovat per codi
Deriva $f(x)=\ln\!\left(\frac{x^2+1}{x+2}\right)$ . Treballa en $x>-2$ . Justifica les regles que aplicues.
Mostra la solució
1. El numerador és positiu i l'argument del logaritme ha de ser positiu: es treballa amb el denominador positiu.
  $x^2+1>0,\quad x+2>0$
2. En aquest domini, separa el logaritme del quocient per simplificar la derivació.
  $f(x)=\ln(x^2+1)-\ln(x+2)$
3. Aplica la cadena a cada logaritme; el numerador de cada fracció és la derivada del seu argument.
  $f'(x)=\frac{2x}{x^2+1}-\frac1{x+2}$
Exercici 10Nivell 3Comprovat per codi
Deriva $f(x)=\frac{e^{\sin(x^2)}}{1+x^2}$ . Treballa en $x\in\mathbb{R}$ ; els angles de les funcions trigonomètriques es mesuren en radians. Justifica les regles que aplicues.
Mostra la solució
1. Separa el quocient i observa que el seu numerador conté dues composicions successives.
  $u=e^{\sin(x^2)},\quad v=1+x^2$
2. Deriva de fora cap a dins: exponencial, sinus i quadrat; cada capa aporta un factor.
  $u'=e^{\sin(x^2)}\cos(x^2)\,2x,\quad v'=2x$
3. Introdueix aquestes derivades al quocient i extreu el factor comú, sense oblidar el quadrat del denominador.
  $f'(x)=\frac{e^{\sin(x^2)}[2x(1+x^2)\cos(x^2)-2x]}{(1+x^2)^2}$

Així surt a la PAU

Els exercicis oficials de la PAU sobre aquest tema, resolts pas a pas a EducaIA:

Els exercicis oficials de Matemàtiques de la PAU de Catalunya d’aquest tema, resolts pas a pas Els de Matemàtiques CCSS, també resolts pas a pas

Més preguntes reals d’exàmens oficials sobre aquest tema. Et diem de què van; l’enunciat és a l’examen.

Madrid 2024 convocatòria ordinària · pregunta A.2.a
Calcular la tangent a una funció polinòmica; la resta de la pregunta afegeix teoremes i àrees.
Obre l’examen (p. 1)
Madrid 2025 convocatòria ordinària · pregunta 2.a
Obtenir el màxim i el mínim d'una funció trigonomètrica en un interval tancat.
Obre l’examen (p. 1)
Madrid 2025 convocatòria extraordinària · pregunta 2
Modelitzar l'àrea d'una parcel·la i optimitzar-la amb derivades.
Obre l’examen (p. 1)

Errors típics

Lliurar només una fórmula sense justificar el procediment: els criteris valoren el raonament i penalitzen que falti.
Criteri de correcció
Confondre la derivada amb la recta tangent. La pregunta de tangència requereix construir l'equació de la recta.
Criteri de correcció
Buscar el màxim o el mínim en un interval sense comprovar tots els candidats i els seus extrems quan escaigui.
Oblidar multiplicar per la derivada interior en una composició.
Derivar un producte multiplicant les derivades dels seus factors.
Utilitzar la fórmula de ln per al logaritme decimal, o avaluar logaritmes fora del seu domini real.

Preguntes freqüents

Com sé quina regla de derivació he d'utilitzar?

Mira l'operació exterior de l'expressió: suma, producte, quocient o composició. Després deriva les parts i aplica la regla de la cadena si dins d'una funció n'apareix una altra.

Quan s'utilitza la regla de la cadena?

S'utilitza en derivar una funció composta. La derivada de la capa exterior s'avalua en la interior i es multiplica per la derivada d'aquesta.

La derivada d'un producte és el producte de les derivades?

No: cal sumar dos termes, derivant cada factor mentre es manté l'altre. Ometre un d'aquests termes canvia la funció obtinguda.

Quina diferència hi ha entre ln i log en derivar?

En aquesta pàgina, ln és neperià i log és decimal. La derivada del logaritme decimal inclou el factor $1/\ln10$ a més del que correspon a l'argument.

Una funció contínua és sempre derivable?

No: la continuïtat no garanteix la derivabilitat. Poden existir cantonades, tangents verticals o extrems del domini on no hi hagi derivada finita bilateral.

Fonts

El comprovador d'aquesta pàgina compara la teva derivada amb la de f en molts punts vàlids. És una comprovació pràctica, no una demostració simbòlica que dues expressions siguin iguals ni una anàlisi completa de derivabilitat.

RD 243/2022, annex II: Matemàtiques I i II, sentit de la mesura, canvi; definició, interpretació i aplicacions de la derivada. Obre
EvAU Madrid, Matemàtiques II, ordinària 2024: A.2.a, enunciat p. 1, criteris p. 3 i solució p. 4. Obre
PAU Madrid, Matemàtiques II, ordinària 2025: 2.a, enunciat p. 1, criteris p. 3 i solució p. 4. Obre
PAU Madrid, Matemàtiques II, extraordinària 2025: 2, enunciat p. 1, criteris p. 4 i solució p. 5. Obre

Escrit per EducaIA. Les solucions les comprova un programa, sense IA.

Com fem els apunts i els exercicis

L’essencial

Exemples resolts

Exercicis

Així surt a la PAU

Errors típics

Preguntes freqüents

Fonts

Tens examen de Matemàtiques?