Quants exercicis de mecanismes i transmissions han sortit a la PAU de Tecnologia i Enginyeria de Catalunya?

Entre 2022 i 2026, 24 exercicis en 14 dels 15 exàmens que tenim resolts (cada any, l’ordinària i l’extraordinària, i també la sèrie d’incidències). Han sortit els anys 2026, 2025, 2024, 2023 i 2022.

Les solucions són les oficials?

No: les escriu EducaIA, pas a pas, i cada resultat està contrastat amb la pauta oficial de correcció. Quan la pauta dona una altra xifra (gairebé sempre per arrodoniment), ho posem al costat amb l’explicació.

Què faig si el meu resultat no coincideix amb la pauta?

Mira primer si la diferència és a l’última xifra: és arrodoniment, i el corrector l’accepta. Les pautes resten per donar resultats sense unitats o amb massa xifres significatives: passa les dades al sistema internacional abans de substituir i arrodoneix el resultat final a tres o quatre xifres. Al test, una resposta errònia resta punts: si no ho tens clar, deixa-la en blanc.

Puc imprimir els exercicis?

Sí. El botó d’imprimir prepara un full amb els enunciats oficials, amb espai per respondre, i les solucions a part. Cada exercici enllaça també el PDF oficial de l’examen i de la pauta.

Mecanismes i transmissions: exercicis PAU Tecnologia

2026Convocatòria ordinària · Sèrie 1 · Exercici 3

2,5 puntsCoincideix amb la pauta

Enunciat oficial de l’exercici 3 de la PAU de Tecnologia i Enginyeria de Catalunya de 2026 (convocatòria ordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Enunciat oficial de l’exercici 3 de la PAU de Tecnologia i Enginyeria de Catalunya de 2026 (convocatòria ordinària), en català. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

En una impremta industrial hi ha una rotativa d’impressió contínua alimentada amb paper en bobina. La rotació d’un eix tractor marca el ritme de treball de tota la línia, ja que governa l’avanç del paper, assegura una tensió adequada i sincronitza la secció d’impressió, el plegat i el tall. Si la velocitat de gir d’aquest eix no és l’adequada, poden aparèixer defectes en l’aplicació dels colors, variacions de tensió, arrugues, trencament del paper o errors al plegador. Per aquest motiu, el fabricant recomana que l’eix tractor treballi a una velocitat nominal $n_\text{eix}=600\,\mathrm{min}^{-1}$ . Aquest eix fa girar un corró tractor de diàmetre $d=330\,\mathrm{mm}$ , que és l’element que arrossega el paper cap endavant. La velocitat lineal d’avanç recomanada del paper és $v_\text{recom}=10\,\mathrm{m/s}$ i el procés admet una tolerància de qualitat de $\pm5$ % respecte a aquest valor.

Per a fer funcionar el sistema es fa servir un motor asíncron estàndard de dos parells de pols, amb velocitat nominal $n_\text{mot}=1\,420\,\mathrm{min}^{-1}$ . Aquesta velocitat és més gran que la necessària a l’eix principal i, per tant, cal utilitzar un reductor. L’empresa està buscant el reductor comercial que s’ajusti millor als requisits del sistema, i també vol comprovar si amb aquest reductor es podrà complir la tolerància de qualitat establerta. El proveïdor ofereix tres reductors amb les relacions de reducció estàndard següents:

Reductor	A	B	C
$i=n_\text{entrada}/n_\text{sortida}$	$1{,}5$	$2{,}5$	$3$

Determineu:

3.1 La relació de reducció real necessària $i_\text{nec}$ ${}= n_\text{entrada}/n_\text{sortida}$ i el reductor que cal escollir.

[1 punt]

3.2 La velocitat final de l’eix que s’obtindrà amb el reductor escollit, $n_\text{real}$ , i la velocitat d’avanç del paper, $v_\text{real}$ .

[1 punt]

3.3 L’error percentual respecte al valor desitjat, $\Delta$ . Justifiqueu si l’elecció compleix les recomanacions del fabricant.

[0,5 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

3.11 punt

Plantejament Es demana la relació de reducció que portaria el motor ( $1\,420\,\mathrm{min}^{-1}$ ) exactament a la velocitat recomanada de l’eix ( $600\,\mathrm{min}^{-1}$ ), i quin dels tres reductors comercials s’hi acosta més.

La relació necessària és la velocitat d’entrada (la del motor) dividida per la de sortida (la de l’eix):
$i_\text{nec}$ ${}= \frac{n_\text{mot}}{n_\text{eix}}$ ${}= \frac{1\,420\,\mathrm{min}^{-1}}{600\,\mathrm{min}^{-1}}$ ${}= 2{,}367$
Diferència entre la relació necessària i la de cada reductor:
$\text{A}:\ |1{,}5-2{,}367|=0{,}867$ $\text{B}:\ |2{,}5-2{,}367|=0{,}133$ $\text{C}:\ |3-2{,}367|=0{,}633$
El reductor B és el més proper. Amb els altres dos el paper aniria massa lluny dels $10\,\mathrm{m/s}$ recomanats (es calcula com a l’apartat 3.2): amb l’A, $n=1\,420/1{,}5=946{,}7\,\mathrm{min}^{-1}$ i $v=16{,}36\,\mathrm{m/s}$ ; amb el C, $n=1\,420/3=473{,}3\,\mathrm{min}^{-1}$ i $v=8{,}179\,\mathrm{m/s}$ .

Resultat $i_\text{nec}=2{,}367$ ; cal escollir el reductor B ( $i=2{,}5$ ).

La pauta oficial dona: $i_\text{nec}=1\,420/600=2{,}367$ ; el més proper és $i=2{,}5$ .

3.21 punt

Plantejament Amb el reductor B, la velocitat de l’eix és la del motor dividida per la relació de reducció; la del paper és la velocitat lineal de la superfície del corró.

Velocitat de l’eix:
$n_\text{real}$ ${}= \frac{n_\text{mot}}{i}$ ${}= \frac{1\,420\,\mathrm{min}^{-1}}{2{,}5}$ ${}= 568\,\mathrm{min}^{-1}$
El paper avança a la velocitat perifèrica del corró, $v=\omega\,d/2$ , amb $\omega=2\pi n/60$ en rad/s i $d=330\,\mathrm{mm}=0{,}330\,\mathrm{m}$ :
$v_\text{real}$ ${}= \frac{2\pi\,n_\text{real}}{60}\cdot\frac{d}{2}$ ${}= \frac{2\pi\cdot568}{60}\,\mathrm{rad/s}\cdot\frac{0{,}330\,\mathrm{m}}{2}$ ${}= 9{,}814\,\mathrm{m/s}$

Resultat $n_\text{real}=568\,\mathrm{min}^{-1}$ ; $v_\text{real}=9{,}814\,\mathrm{m/s}$

La pauta oficial dona: $n_\text{real}=568\,\mathrm{min}^{-1}$ ; $v_\text{real}=9{,}814\,\mathrm{m/s}$

3.30,5 punts

Plantejament Es compara la velocitat real del paper amb la recomanada, $10\,\mathrm{m/s}$ : és sobre aquest valor que el procés admet una tolerància de $\pm5$ %.

Error percentual (amb $v_\text{real}=9{,}8143\,\mathrm{m/s}$ , una xifra més, per no arrossegar l’arrodoniment), en %:
$\Delta$ ${}= \frac{v_\text{recom}-v_\text{real}}{v_\text{recom}}\cdot100$ ${}= \frac{10-9{,}8143}{10}\cdot100$ ${}= 1{,}857$
El paper va un $1{,}857$ % més lent del recomanat. Com que $1{,}857$ % és menys que el $5$ % admès, l’elecció compleix les recomanacions del fabricant.
Les dues recomanacions de l’enunciat no quadren del tot: a $n_\text{eix}=600\,\mathrm{min}^{-1}$ , el corró de $330\,\mathrm{mm}$ faria avançar el paper a $\frac{2\pi\cdot 600}{60}\cdot\frac{0{,}330}{2}=10{,}37\,\mathrm{m/s}$ , no a $10\,\mathrm{m/s}$ . Per això es compara la velocitat del paper, que és sobre la qual l’enunciat fixa la tolerància del $\pm5$ %. Si es comparés la velocitat de l’eix amb els $600\,\mathrm{min}^{-1}$ , l’error seria $(600-568)/600=5{,}33$ %.

Resultat $\Delta=1{,}857$ %, per sota del $5$ % admès: el reductor B compleix les recomanacions del fabricant.

La pauta oficial dona: $\Delta=1{,}857$ %, inferior al $5$ %: l’elecció compleix les recomanacions.

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Tecnologia i Enginyeria 2026, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 26 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2026Convocatòria ordinària · Sèrie 1 · Exercici 4

2,5 puntsLa pauta arrodoneix diferentTambé a Màquines tèrmiques, Motors i màquines elèctriques, Energia, consum i emissions

Enunciat oficial de l’exercici 4 de la PAU de Tecnologia i Enginyeria de Catalunya de 2026 (convocatòria ordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Enunciat oficial de l’exercici 4 de la PAU de Tecnologia i Enginyeria de Catalunya de 2026 (convocatòria ordinària), en català. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Un grup electrogen està format per un motor dièsel acoblat directament a un alternador monofàsic. El grup subministra una tensió $U=230\,\mathrm{V}$ i la capacitat del dipòsit de combustible és $V=15\,\mathrm{L}$ . En el punt de funcionament analitzat, el grup subministra una potència $P_\text{elèctr}=4{,}96\,\mathrm{kW}$ , el motor gira a $n_\text{mot}=3\,000\,\mathrm{min}^{-1}$ i l’alternador té un rendiment $\eta_\text{alt}=0{,}9$ . El consum específic del motor és $c_\text{e}=290\,\mathrm{g/(kW\,h)}$ , el poder calorífic del gasoil utilitzat és $p_\text{c}=43\,\mathrm{MJ/kg}$ i la seva densitat, $\rho=0{,}84\,\mathrm{kg/L}$ .

Determineu:

Esquema de blocs del grup electrogen, connectats en cadena: Dipòsit, Motor dièsel, Eix mecànic, Alternador i Sortida elèctrica.

4.1 La potència mecànica a l’eix, $P_\text{mec}$ .

[0,5 punts]

4.2 El parell a l’eix, $\Gamma$ .

[0,5 punts]

4.3 El consum de combustible, $q$ , en kg/h i l’autonomia del motor amb el dipòsit ple, $t$ .

[1 punt]

4.4 L’energia elèctrica total que pot subministrar el grup electrogen amb el dipòsit ple, $E_\text{elèc}$ , en kJ.

[0,5 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

4.10,5 punts

Plantejament L’alternador transforma la potència mecànica de l’eix en la potència elèctrica de sortida amb un rendiment de $0{,}9$ ; es demana la potència que entra a l’alternador per l’eix.

El rendiment de l’alternador és la potència elèctrica que dona dividida per la mecànica que rep:
$\eta_\text{alt}$ ${}= \frac{P_\text{elèctr}}{P_\text{mec}}$ ${}\Rightarrow P_\text{mec}$ ${}= \frac{P_\text{elèctr}}{\eta_\text{alt}}$ ${}= \frac{4{,}96\,\mathrm{kW}}{0{,}9}$ ${}= 5{,}511\,\mathrm{kW}$

Resultat $P_\text{mec}=5{,}511\,\mathrm{kW}$

La pauta oficial dona: $P_\text{mec}=4{,}96/0{,}9=5{,}511\,\mathrm{kW}$

4.20,5 punts

Plantejament El parell a l’eix és la potència mecànica dividida per la velocitat angular; l’eix gira com el motor, perquè l’acoblament és directe.

Velocitat angular de l’eix:
$\omega_\text{mot}$ ${}= \frac{2\pi\,n_\text{mot}}{60}$ ${}= \frac{2\pi\cdot3\,000}{60}$ ${}= 314{,}2\,\mathrm{rad/s}$
Parell, amb $P_\text{mec}=5\,511\,\mathrm{W}$ :
$\Gamma$ ${}= \frac{P_\text{mec}}{\omega_\text{mot}}$ ${}= \frac{5\,511\,\mathrm{W}}{314{,}2\,\mathrm{rad/s}}$ ${}= 17{,}54\,\mathrm{N\,m}$

Resultat $\Gamma=17{,}54\,\mathrm{N\,m}$

La pauta oficial dona: $\Gamma=17{,}54\,\mathrm{N\,m}$

4.31 punt

Plantejament El consum específic diu quina massa de gasoil gasta el motor per cada kW h d’energia mecànica que dona: multiplicat per la potència mecànica dona el consum horari. L’autonomia és la massa del dipòsit ple dividida per aquest consum.

Consum específic en kg: $c_\text{e}$ ${}= 290\,\mathrm{g/(kW\,h)}$ ${}= 0{,}29\,\mathrm{kg/(kW\,h)}$ .
$q$ ${}= c_\text{e}\,P_\text{mec}$ ${}= 0{,}29\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{kW\,h}}\cdot5{,}511\,\mathrm{kW}$ ${}= 1{,}5982\,\mathrm{kg/h}$ ${}\approx 1{,}598\,\mathrm{kg/h}$
Massa de gasoil del dipòsit ple:
$m=\rho\,V=0{,}84\,\mathrm{kg/L}\cdot15\,\mathrm{L}=12{,}6\,\mathrm{kg}$
Autonomia (amb el consum amb una xifra més, per no arrossegar l’arrodoniment):
$t$ ${}= \frac{m}{q}=\frac{12{,}6\,\mathrm{kg}}{1{,}5982\,\mathrm{kg/h}}$ ${}= 7{,}884\,\mathrm{h}$
És a dir, unes $7$ h i $53$ min ( $0{,}884\,\mathrm{h}\cdot60=53\,\mathrm{min}$ ).

Resultat $q=1{,}598\,\mathrm{kg/h}$ ; $t=7{,}884\,\mathrm{h}$

La pauta oficial dona: $q=0{,}29\cdot5{,}511=1{,}598\,\mathrm{kg/h}$ ; $t=0{,}84\cdot15/1{,}6=7{,}884\,\mathrm{h}$

4.40,5 punts

Plantejament L’energia elèctrica és la potència elèctrica del grup pel temps que funciona amb el dipòsit ple; després es passa a kJ.

Energia en kW h:
$E_\text{elèc}$ ${}= P_\text{elèctr}\,t$ ${}= 4{,}96\,\mathrm{kW}\cdot7{,}884\,\mathrm{h}$ ${}= 39{,}10\,\mathrm{kW\,h}$
Com que $1\,\mathrm{kW\,h}=3\,600\,\mathrm{kJ}$ :
$E_\text{elèc}$ ${}= 39{,}10\cdot3\,600\,\mathrm{kJ}$ ${}= 1{,}408\cdot10^5\,\mathrm{kJ}$
Comprovació per un altre camí: amb $12{,}6\,\mathrm{kg}$ de gasoil, el motor dona $12{,}6/0{,}29=43{,}448\,\mathrm{kW\,h}$ d’energia mecànica, i l’alternador en converteix el $90$ % en elèctrica: $0{,}9\cdot43{,}448=39{,}10\,\mathrm{kW\,h}$ .
El poder calorífic $p_\text{c}$ i la tensió $U$ no calen per a cap dels quatre apartats.

Resultat $E_\text{elèc}$ ${}= 39{,}10\,\mathrm{kW\,h}$ ${}= 1{,}408\cdot10^5\,\mathrm{kJ}$ ( $140{,}8\,\mathrm{MJ}$ )

La pauta oficial dona: $E_\text{elèc}$ ${}= 4{,}96\cdot7{,}884$ ${}= 39{,}10\,\mathrm{kW\,h}$ ${}= 140{,}8\cdot10^3\,\mathrm{kJ}$ ${}= 140{,}8\,\mathrm{MJ}$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Tecnologia i Enginyeria 2026, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 26 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2026Convocatòria ordinària · Sèrie 5 · Exercici 3

2,5 puntsCoincideix amb la pautaTambé a Màquines tèrmiques

Un vehicle està pujant un petit pendent a una velocitat $v$ . En aquesta situació, totes les resistències que dificulten l’avanç del vehicle (pes, aerodinàmica, rodolament…) es modelitzen com una força $F=1\,800\,\mathrm{N}$ en sentit oposat al seu avanç. El motor de l’automòbil és de benzina, té un rendiment tèrmic $\eta_\text{mot}=0{,}2$ i, en les condicions descrites, subministra una potència $P_\text{subm}=67\,\mathrm{kW}$ girant a $n_\text{mot}=5\,000\,\mathrm{min}^{-1}$ . La transmissió té un rendiment $\eta_\text{trans}=0{,}9$ , les rodes del vehicle tenen un radi $r=0{,}4\,\mathrm{m}$ i el poder calorífic de la benzina és $p_\text{c}=42\,\mathrm{MJ/kg}$ .

En aquestes condicions, determineu:

3.1 La velocitat a la qual el vehicle està pujant el pendent, $v$ .

[0,5 punts]

3.2 La velocitat angular de la roda, $\omega_\text{roda}$ , i la relació de transmissió del conjunt, $\tau=\omega_\text{roda}/\omega_\text{mot}$ .

[1 punt]

3.3 La potència calorífica que ha d’aportar el combustible, $P_\text{cal}$ , i el consum instantani del motor, $q$ , en g/s.

[1 punt]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

3.10,5 punts

Plantejament Es demana la velocitat del vehicle: la potència que arriba a les rodes (la del motor menys les pèrdues de la transmissió) és igual a la força de resistència per la velocitat.

Potència útil a les rodes:
$P_\text{útil}$ ${}= \eta_\text{trans}\,P_\text{subm}$ ${}= 0{,}9\cdot 67\,\mathrm{kW}$ ${}= 60{,}3\,\mathrm{kW}$
A velocitat constant, la força de tracció a les rodes equilibra la força de resistència $F$ , i la potència és $P_\text{útil}=F\,v$ :
$v$ ${}= \dfrac{P_\text{útil}}{F}$ ${}= \dfrac{60\,300\,\mathrm{W}}{1\,800\,\mathrm{N}}$ ${}= 33{,}5\,\mathrm{m/s}$
En km/h:
$v=33{,}5\cdot 3{,}6=120{,}6\,\mathrm{km/h}$

Resultat $v=33{,}5\,\mathrm{m/s}=120{,}6\,\mathrm{km/h}$ .

La pauta oficial dona: $v$ ${}= P_\text{útil}/F$ ${}= P_\text{subm}\,\eta_\text{trans}/F$ ${}= 33{,}5\,\mathrm{m/s}$ ${}= 120{,}6\,\mathrm{km/h}$

3.21 punt

Plantejament Es demana la velocitat angular de la roda (a partir de la velocitat del vehicle i el radi) i la relació de transmissió entre el motor i la roda.

Velocitat angular de la roda (sense lliscament):
$\omega_\text{roda}$ ${}= \dfrac{v}{r}$ ${}= \dfrac{33{,}5\,\mathrm{m/s}}{0{,}4\,\mathrm{m}}$ ${}= 83{,}75\,\mathrm{rad/s}$
Velocitat angular del motor:
$\omega_\text{mot}$ ${}= \dfrac{2\pi\,n_\text{mot}}{60}$ ${}= \dfrac{2\pi\cdot 5\,000}{60}$ ${}= 523{,}6\,\mathrm{rad/s}$
Relació de transmissió:
$\tau$ ${}= \dfrac{\omega_\text{roda}}{\omega_\text{mot}}$ ${}= \dfrac{83{,}75\,\mathrm{rad/s}}{523{,}6\,\mathrm{rad/s}}$ ${}= 0{,}1600$

Resultat $\omega_\text{roda}=83{,}75\,\mathrm{rad/s}$ i $\tau=0{,}1600$ .

La pauta oficial dona: $\omega_\text{roda}=83{,}75\,\mathrm{rad/s}$ ; $\tau=\omega_\text{roda}/\omega_\text{mot}=0{,}1600$

3.31 punt

Plantejament Es demana la potència que aporta la benzina (la que dona el motor dividida pel seu rendiment tèrmic) i el consum de combustible en g/s.

Potència calorífica del combustible:
$P_\text{cal}$ ${}= \dfrac{P_\text{subm}}{\eta_\text{mot}}$ ${}= \dfrac{67\,\mathrm{kW}}{0{,}2}$ ${}= 335\,\mathrm{kW}$
Consum: la potència calorífica dividida pel poder calorífic, amb $p_\text{c}=42\,\mathrm{MJ/kg}=42\,000\,\mathrm{kJ/kg}$ :
$q$ ${}= \dfrac{P_\text{cal}}{p_\text{c}}$ ${}= \dfrac{335\,\mathrm{kJ/s}}{42\,000\,\mathrm{kJ/kg}}$ ${}= 7{,}976\cdot 10^{-3}\,\mathrm{kg/s}$ ${}= 7{,}976\,\mathrm{g/s}$

Resultat $P_\text{cal}=335\,\mathrm{kW}$ i $q=7{,}976\,\mathrm{g/s}$ .

La pauta oficial dona: $P_\text{cal}$ ${}= P_\text{subm}/\eta_\text{mot}$ ${}= 335\,\mathrm{kW}$ ; $q=P_\text{cal}/p_\text{c}=7{,}976\,\mathrm{g/s}$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Tecnologia i Enginyeria 2026, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 30 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2026Convocatòria ordinària · Sèrie 5 · Exercici 4

2,5 puntsCoincideix amb la pauta

Un muntacàrregues és accionat per un motor reductor. La relació de transmissió del reductor és $\tau=\omega_\text{red}/\omega_\text{mot}=0{,}01$ . El motor gira a $n_\text{mot}=1\,800\,\mathrm{min}^{-1}$ i l’aparell eleva una càrrega de massa $m=2\,200\,\mathrm{kg}$ a una velocitat constant de $v=0{,}2\,\mathrm{m/s}$ . El motor es connecta a una tensió $U=230\,\mathrm{V}$ i consumeix una potència $P_\text{elèc}=6{,}2\,\mathrm{kW}$ .

4.1 Determineu el rendiment del motor reductor, $\eta$ .

[1 punt]

4.2 Calculeu la velocitat de rotació, $\omega_\text{red}$ , i el parell, $\Gamma_\text{red}$ , a l’eix de sortida del reductor.

[1 punt]

4.3 El motor augmenta la velocitat un $50$ % mantenint constant el rendiment. Determineu, en aquesta situació, la nova potència elèctrica consumida, $P'_\text{elèc}$ .

[0,5 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

4.11 punt

Plantejament Es demana el rendiment del conjunt motor-reductor: la potència útil que puja la càrrega dividida per la potència elèctrica consumida.

A velocitat constant, la força que cal fer és el pes de la càrrega. Potència útil, amb $g=9{,}807\,\mathrm{m/s^2}$ :
$P_\text{útil}$ ${}= m\,g\,v$ ${}= 2\,200\,\mathrm{kg}\cdot 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}\cdot 0{,}2\,\mathrm{m/s}$ ${}= 4\,315\,\mathrm{W}$
Rendiment:
$\eta$ ${}= \dfrac{P_\text{útil}}{P_\text{elèc}}$ ${}= \dfrac{4\,315\,\mathrm{W}}{6\,200\,\mathrm{W}}$ ${}= 0{,}6960$
La tensió d’alimentació, $U=230\,\mathrm{V}$ , no cal per a cap apartat.

Resultat $\eta=0{,}6960$ ( $69{,}60$ %).

La pauta oficial dona: $P_\text{útil}=m\,g\,v$ ; $\eta=P_\text{útil}/P_\text{elèc}=69{,}60$ %

4.21 punt

Plantejament Es demana la velocitat angular i el parell a l’eix de sortida del reductor, el que mou la càrrega.

Velocitat angular del motor i de la sortida del reductor:
$\omega_\text{mot}$ ${}= \dfrac{2\pi\cdot 1\,800}{60}$ ${}= 188{,}5\,\mathrm{rad/s}$ $\omega_\text{red}$ ${}= \tau\,\omega_\text{mot}$ ${}= 0{,}01\cdot 188{,}5\,\mathrm{rad/s}$ ${}= 1{,}885\,\mathrm{rad/s}$
Parell a l’eix de sortida: la potència que hi passa, que és la útil (el rendiment del motor reductor ja inclou totes les pèrdues), dividida per la velocitat angular:
$\Gamma_\text{red}$ ${}= \dfrac{P_\text{útil}}{\omega_\text{red}}$ ${}= \dfrac{4\,315\,\mathrm{W}}{1{,}885\,\mathrm{rad/s}}$ ${}= 2\,289\,\mathrm{N\,m}$

Resultat $\omega_\text{red}=1{,}885\,\mathrm{rad/s}$ i $\Gamma_\text{red}=2\,289\,\mathrm{N\,m}$ .

La pauta oficial dona: $\omega_\text{red}$ ${}= \tau\,n_\text{mot}\,2\pi/60$ ${}= 1{,}885\,\mathrm{rad/s}$ ; $\Gamma_\text{red}$ ${}= P_\text{útil}/\omega_\text{red}$ ${}= 2\,289\,\mathrm{N\,m}$

4.30,5 punts

Plantejament Es demana la nova potència elèctrica si el motor gira un 50 % més de pressa amb el mateix rendiment i la mateixa càrrega.

Amb la mateixa relació de transmissió, la càrrega puja un 50 % més de pressa: $v'=1{,}5\,v=0{,}3\,\mathrm{m/s}$ . La força és la mateixa (el pes), així que la potència útil també creix un 50 %:
$P'_\text{útil}=m\,g\,v'=1{,}5\,P_\text{útil}$
Amb el mateix rendiment, la potència elèctrica creix en la mateixa proporció:
$P'_\text{elèc}$ ${}= \dfrac{P'_\text{útil}}{\eta}$ ${}= \dfrac{1{,}5\,P_\text{útil}}{\eta}$ ${}= 1{,}5\,P_\text{elèc}$ ${}= 1{,}5\cdot 6{,}2\,\mathrm{kW}$ ${}= 9{,}3\,\mathrm{kW}$

Resultat $P'_\text{elèc}=9{,}3\,\mathrm{kW}$ .

La pauta oficial dona: $v'=1{,}5\,v$ ; $P'_\text{útil}=1{,}5\,P_\text{útil}$ ; $P'_\text{elèc}$ ${}= 1{,}5\,P_\text{elèc}$ ${}= 1{,}5\cdot 6{,}2$ ${}= 9{,}3\,\mathrm{kW}$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Tecnologia i Enginyeria 2026, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 30 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2026Convocatòria extraordinària · Sèrie 2 · Exercici 1

2,5 puntsCoincideix amb la pautaTambé a Electrònica digital, Materials i assajos, Circuits elèctrics

Enunciat oficial de l’exercici 1 de la PAU de Tecnologia i Enginyeria de Catalunya de 2026 (convocatòria extraordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Enunciat oficial de l’exercici 1 de la PAU de Tecnologia i Enginyeria de Catalunya de 2026 (convocatòria extraordinària), en català. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Indiqueu la resposta correcta de CINC de les vuit qüestions, encerclant la lletra corresponent. Si responeu a més de cinc qüestions, només es valoraran les cinc primeres.

[2,5 punts: 0,5 punts per cada qüestió. En cada qüestió només es pot triar UNA resposta. Per cada resposta errònia es descomptaran 0,16 punts. Per les qüestions no contestades no hi haurà cap descompte.]

1.1 La tensió de ruptura d’un llautó és de $420\,\mathrm{MPa}$ . Quina és la força axial màxima que podem aplicar a una barra massissa d’aquest llautó de $8\,\mathrm{mm}$ de diàmetre sense que es trenqui?

a) $84{,}4\,\mathrm{kN}$

b) $21{,}11\,\mathrm{kN}$

c) $53{,}1\,\mathrm{kN}$

d) $211\,\mathrm{N}$

[0,5 punts]

1.2 Per a obrir una porta que dona accés a un recinte controlat cal inserir una targeta magnètica vàlida en un lector o bé teclejar una clau numèrica correcta. S’empren aquestes variables d’estat:

targeta: $t$ ${}= \begin{cases}1\text{: vàlida}\\0\text{: no vàlida}\end{cases}$ ; clau: $c$ ${}= \begin{cases}1\text{: correcta}\\0\text{: incorrecta}\end{cases}$ ; accés permès: $a$ ${}= \begin{cases}1\text{: permès}\\0\text{: no permès}\end{cases}$ .

Quina és la funció lògica entre aquestes variables?

a) $a=\overline{t+c}$

b) $a=\overline{t\cdot c}$

c) $a=t+c$

d) $a=t\cdot c$

[0,5 punts]

1.3 Quina és la funció equivalent a l’esquema de portes lògiques de la figura?

a) $s=\overline{d}+(c\cdot a)+(b\cdot d)$

b) $s=\overline{d}\,(c+a)\,(b+d)$

c) $s=d+(c\cdot a)+(b\cdot d)$

d) $s=d\,(c+a)\,(b+d)$

[0,5 punts]

Qüestió 3: esquema de portes lògiques amb les entrades a, b, c i d. Un inversor (porta 1 amb un cercle a la sortida) rep d; una porta AND (&) rep c i a; una altra porta AND rep b i d. Les tres sortides van a una porta OR (≥1), de sortida s.

1.4 Quina de les taules de veritat següents correspon a l’esquema de contactes de la figura?

a)

$a$	$b$	$c$	$d$
0	0	0	0
0	0	1	0
0	1	0	0
0	1	1	0
1	0	0	1
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	0

b)

$a$	$b$	$c$	$d$
0	0	0	1
0	0	1	1
0	1	0	1
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	1	0
1	1	0	0
1	1	1	1

c)

$a$	$b$	$c$	$d$
0	0	0	1
0	0	1	1
0	1	0	1
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	0
1	1	1	1

d)

$a$	$b$	$c$	$d$
0	0	0	0
0	0	1	0
0	1	0	0
0	1	1	1
1	0	0	1
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	0

[0,5 punts]

Qüestió 4: esquema de contactes. El contacte a, normalment obert, està en sèrie amb dues branques en paral·lel: a la de dalt hi ha el contacte b i a la de baix el contacte c, tots dos normalment tancats. La sortida és la làmpada d.

1.5 Una barra d’acer té una longitud inicial de $2{,}5\,\mathrm{m}$ a una temperatura de $20\,^\circ\mathrm{C}$ . Sabent que el coeficient lineal de dilatació de l’acer és $\alpha=12\times10^{-6}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}$ , si escalfem la barra fins a $120\,^\circ\mathrm{C}$ , quin serà el seu increment de longitud?

a) $0{,}36\,\mathrm{mm}$

b) $3\,\mathrm{mm}$

c) $3{,}6\,\mathrm{mm}$

d) $30\,\mathrm{mm}$

[0,5 punts]

1.6 En un tren de tracció per cremallera, la roda de tracció té 18 dents i el pas de la cremallera on engrana és de $20\pi\,\mathrm{mm}$ . Durant el règim de servei, la roda dentada gira a una velocitat constant de $520\,\mathrm{min}^{-1}$ . Quina és la velocitat lineal del tren?

a) $9{,}802\,\mathrm{km/h}$

b) $19{,}60\,\mathrm{km/h}$

c) $35{,}29\,\mathrm{km/h}$

d) $61{,}59\,\mathrm{km/h}$

[0,5 punts]

1.7 Una càrrega està formada per tres elements en sèrie: una resistència $R=10\,\Omega$ , una reactància inductiva $X_\text{L}=20\,\Omega$ a $50\,\mathrm{Hz}$ i una reactància capacitiva $X_\text{C}=30\,\Omega$ a $50\,\mathrm{Hz}$ . Si aquesta càrrega es connecta a una font de tensió $U$ a una freqüència tal que la càrrega està en ressonància (diferent de $50\,\mathrm{Hz}$ ), quin serà el valor de la impedància equivalent dels tres elements connectats en sèrie?

a) $Z=10\,\Omega$

b) $Z=20\,\Omega$

c) $Z=30\,\Omega$

d) $Z=60\,\Omega$

[0,5 punts]

1.8 Els paràmetres coneguts del circuit de corrent altern de la figura són $U_1=230\,\mathrm{V}$ , $A_2=10\,\mathrm{A}$ i $W_3=1\,135\,\mathrm{W}$ . Quina és la lectura del voltímetre $U_4$ ?

a) $325{,}3\,\mathrm{V}$

b) $230{,}0\,\mathrm{V}$

c) $200{,}0\,\mathrm{V}$

d) $113{,}6\,\mathrm{V}$

[0,5 punts]

Qüestió 8: font de corrent altern amb el voltímetre U₁ en paral·lel. En sèrie hi ha l’amperímetre A₂ i el wattímetre W₃, que alimenten una resistència i una bobina en sèrie; el voltímetre U₄ està connectat als extrems de la bobina. — Els rètols A₂, W₃, U₁ i U₄ els ha afegit EducaIA: al PDF oficial queden tapats pels cercles dels aparells.

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

1.10,5 punts

Plantejament Es demana la força axial que trenca una barra de llautó: la que fa que la tensió normal de la barra arribi a la tensió de ruptura.

Secció de la barra, amb $d=8\,\mathrm{mm}$ :
$S$ ${}= \frac{\pi d^2}{4}$ ${}= \frac{\pi\cdot(8\,\mathrm{mm})^2}{4}$ ${}= 50{,}27\,\mathrm{mm^2}$
Força màxima ( $1\,\mathrm{MPa}=1\,\mathrm{N/mm^2}$ ):
$F_\text{màx}$ ${}= \sigma_\text{R}\,S$ ${}= 420\,\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{mm^2}}\cdot50{,}27\,\mathrm{mm^2}$ ${}= 2{,}111\cdot10^4\,\mathrm{N}$ ${}= 21{,}11\,\mathrm{kN}$
Per què no les altres: la a) ( $84{,}4\,\mathrm{kN}$ , quatre vegades més) surt de prendre el diàmetre com si fos el radi; la d) ( $211\,\mathrm{N}$ ) surt de multiplicar $420$ per la secció en $\mathrm{cm^2}$ ( $0{,}5027$ ) sense passar unitats; la c) no surt de $\sigma_\text{R}\,S$ .

ResultatLa resposta correcta és la b): $F_\text{màx}=21{,}11\,\mathrm{kN}$ .

La pauta oficial dona: Resposta b).

1.20,5 punts

Plantejament Cal traduir a àlgebra de Boole la condició d’obertura: la porta s’obre amb una targeta vàlida «o bé» amb la clau correcta.

L’accés és permès ( $a=1$ ) quan $t=1$ , quan $c=1$ o quan es compleixen totes dues coses; només queda prohibit si $t=0$ i $c=0$ . Taula de veritat:
$t$ $c$ $a$
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
És la funció OR de les dues variables:
$a=t+c$
Per què no les altres: la d) ( $a=t\cdot c$ ) exigiria la targeta i la clau alhora; la a) i la b) són les negacions (NOR i NAND) i obririen la porta sense targeta ni clau, perquè amb $t=c=0$ donen $a=1$ .

$t$	$c$	$a$
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

ResultatLa resposta correcta és la c): $a=t+c$ .

La pauta oficial dona: Resposta c).

1.30,5 punts

Plantejament Es demana la funció d’un circuit amb un inversor i dues portes AND que van a una porta OR; cal llegir quines variables arriben a cada porta.

Seguint les línies de la figura (un punt negre és una connexió; un pont en forma d’arc, un encreuament sense connexió): la porta «1» amb un cercle a la sortida és un inversor (NOT) que rep $d$ ; la primera AND rep $c$ i $a$ ; la segona AND rep $b$ i $d$ . Les sortides són:
$\overline{d}$ $c\cdot a$ $b\cdot d$
La porta OR ( $\geq1$ ) suma les tres sortides:
$s=\overline{d}+(c\cdot a)+(b\cdot d)$
Per què no les altres: la c) oblida l’inversor de $d$ ; la b) i la d) són productes, que voldrien una porta AND a la sortida, i el circuit hi té una porta OR.

ResultatLa resposta correcta és la a): $s=\overline{d}+(c\cdot a)+(b\cdot d)$ .

La pauta oficial dona: Resposta a).

1.40,5 punts

Plantejament Cal escriure la funció de l’esquema de contactes (sèrie, producte; paral·lel, suma; un contacte normalment tancat aporta la variable negada) i comparar-la amb les quatre taules.

Lectura de l’esquema: el contacte $a$ , normalment obert (dibuixat obert), està en sèrie amb dues branques en paral·lel; a la de dalt hi ha el contacte $b$ i a la de baix el contacte $c$ , tots dos normalment tancats (la làmina reposa sobre un petit tram vertical). La làmpada $d$ s’encén si hi ha camí:
$d=a\,(\overline{b}+\overline{c})$
Per la llei de De Morgan, $\overline{b}+\overline{c}=\overline{b\,c}$ : la làmpada s’encén quan $a=1$ i $b$ i $c$ no valen 1 totes dues alhora.
$d=a\,\overline{b\,c}$
Taula de veritat de l’esquema, que és la taula a):
$a$ $b$ $c$ $d$
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
Per què no les altres: la d) dona $d=1$ amb $abc=011$ , sense el contacte $a$ tancat; la b) i la c) donen $d=1$ amb $a=0$ , i sense $a$ no hi ha camí.

ResultatLa resposta correcta és la a).

La pauta oficial dona: Resposta a).

1.50,5 punts

Plantejament Es demana la dilatació lineal d’una barra d’acer que s’escalfa de $20\,^\circ\mathrm{C}$ a $120\,^\circ\mathrm{C}$ .

Increment de temperatura:
$\Delta T=120-20=100\,^\circ\mathrm{C}$
Dilatació lineal, amb $L_0=2{,}5\,\mathrm{m}$ :
$\Delta L$ ${}= \alpha\,L_0\,\Delta T$ ${}= 12\cdot10^{-6}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}\cdot2{,}5\,\mathrm{m}\cdot100\,^\circ\mathrm{C}$ ${}= 3\cdot10^{-3}\,\mathrm{m}$ ${}= 3\,\mathrm{mm}$
Per què no les altres: la c) ( $3{,}6\,\mathrm{mm}$ ) surt de multiplicar per la temperatura final, $120\,^\circ\mathrm{C}$ , en lloc de per l’increment; la d) ( $30\,\mathrm{mm}$ ) és un error d’un factor $10$ , i la a) ( $0{,}36\,\mathrm{mm}$ ) és la c) dividida per $10$ .

ResultatLa resposta correcta és la b): $\Delta L=3\,\mathrm{mm}$ .

La pauta oficial dona: Resposta b).

1.60,5 punts

Plantejament En un tren de cremallera, la cremallera està fixada a la via i la roda dentada del tren hi engrana: a cada volta, el tren avança respecte a la cremallera tantes dents com té la roda, cadascuna d’un pas.

Avanç per volta, amb $z=18$ dents i pas $p=20\pi\,\mathrm{mm}$ :
$z\,p$ ${}= 18\cdot20\pi\,\mathrm{mm}$ ${}= 360\pi\,\mathrm{mm}$ ${}= 1{,}131\,\mathrm{m}$
Velocitat, amb $n=520\,\mathrm{min}^{-1}=520/60\,\mathrm{s}^{-1}$ :
$v$ ${}= z\,p\,n$ ${}= 1{,}131\,\mathrm{m}\cdot\frac{520}{60}\,\mathrm{s}^{-1}$ ${}= 9{,}802\,\mathrm{m/s}$
En km/h ( $1\,\mathrm{m/s}=3{,}6\,\mathrm{km/h}$ ):
$v=9{,}802\cdot3{,}6=35{,}29\,\mathrm{km/h}$
El mateix surt amb el radi primitiu de la roda: $2\pi r=z\,p$ dona $r=180\,\mathrm{mm}$ , i $v$ ${}= \omega\,r=54{,}45\,\mathrm{rad/s}\cdot0{,}18\,\mathrm{m}$ ${}= 9{,}802\,\mathrm{m/s}$ .
Per què no les altres: la a) és el valor en m/s amb les unitats de km/h; la b) i la d) no surten d’aquest càlcul.

ResultatLa resposta correcta és la c): $v=35{,}29\,\mathrm{km/h}$ .

La pauta oficial dona: Resposta c).

1.70,5 punts

Plantejament En ressonància, les reactàncies inductiva i capacitiva són iguals i s’anul·len: la impedància d’un circuit RLC sèrie queda reduïda a la resistència.

La reactància inductiva creix amb la freqüència i la capacitiva disminueix: $X_\text{L}=20\,\Omega\cdot f/50$ i $X_\text{C}=30\,\Omega\cdot50/f$ . Són iguals a la freqüència de ressonància:
$20\,\frac{f_0}{50}$ ${}= 30\,\frac{50}{f_0}$ ${}\Rightarrow f_0$ ${}= 50\,\sqrt{\frac{30}{20}}$ ${}= 61{,}24\,\mathrm{Hz}$
A aquesta freqüència, $X_\text{L}=X_\text{C}$ i:
$Z$ ${}= \sqrt{R^2+(X_\text{L}-X_\text{C})^2}$ ${}= R=10\,\Omega$
Per què no les altres: la b) i la c) són les reactàncies a $50\,\mathrm{Hz}$ , i la d) ( $60\,\Omega$ ) surt de sumar $R+X_\text{L}+X_\text{C}$ com si fossin resistències.

ResultatLa resposta correcta és la a): $Z=10\,\Omega$ .

La pauta oficial dona: Resposta a).

1.80,5 punts

Plantejament La font alimenta una resistència i una bobina en sèrie. L’amperímetre $A_2$ mesura el corrent; el wattímetre $W_3$ , la potència activa, que només consumeix la resistència; i el voltímetre $U_4$ , la tensió de la bobina.

Al full de l’examen, els rètols dels aparells queden tapats pels cercles dels instruments. Per la seva posició, $U_1$ és el voltímetre en paral·lel amb la font; $A_2$ , l’amperímetre en sèrie; $W_3$ , el wattímetre (el cercle amb la bobina de tensió connectada a sota); i $U_4$ , el voltímetre connectat als extrems de la bobina.
La potència activa la consumeix només la resistència:
$P$ ${}= R\,I^2$ ${}\Rightarrow R=\frac{W_3}{A_2^{\,2}}$ ${}= \frac{1\,135\,\mathrm{W}}{(10\,\mathrm{A})^2}$ ${}= 11{,}35\,\Omega$
La tensió de la font cau sobre tota la càrrega:
$Z=\frac{U_1}{A_2}=\frac{230\,\mathrm{V}}{10\,\mathrm{A}}=23\,\Omega$
Reactància de la bobina:
$X_\text{L}$ ${}= \sqrt{Z^2-R^2}$ ${}= \sqrt{23^2-11{,}35^2}$ ${}= 20{,}00\,\Omega$
Lectura del voltímetre, la tensió de la bobina:
$U_4$ ${}= X_\text{L}\,I$ ${}= 20{,}00\,\Omega\cdot10\,\mathrm{A}$ ${}= 200{,}0\,\mathrm{V}$
Comprovació: la tensió de la resistència és $U_R=R\,I=113{,}5\,\mathrm{V}$ , i $\sqrt{113{,}5^2+200{,}0^2}=230\,\mathrm{V}$ , la tensió de la font (les dues tensions estan desfasades $90^\circ$ ).
Per què no les altres: la a) ( $325{,}3\,\mathrm{V}$ ) és el valor de pic de la tensió de la font, $230\sqrt2$ ; la b) és la tensió de la font; la d) s’acosta a la tensió de la resistència, no a la de la bobina.

ResultatLa resposta correcta és la c): $U_4=200{,}0\,\mathrm{V}$ .

La pauta oficial dona: Resposta c).

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Tecnologia i Enginyeria 2026, convocatòria extraordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 26 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2026Convocatòria extraordinària · Sèrie 2 · Exercici 2

2,5 puntsLa pauta té un error

Enunciat oficial de l’exercici 2 de la PAU de Tecnologia i Enginyeria de Catalunya de 2026 (convocatòria extraordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Enunciat oficial de l’exercici 2 de la PAU de Tecnologia i Enginyeria de Catalunya de 2026 (convocatòria extraordinària), en català. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Volem muntar un sistema d’elevació industrial (polispast elèctric de cable) en un pont grua per tal d’elevar verticalment una càrrega. El sistema disposa d’un motor asíncron, d’un reductor i d’un tambor al qual s’enrotlla el cable.

En les condicions d’estudi, la càrrega s’eleva a velocitat constant i la massa elevada és $m=1\,000\,\mathrm{kg}$ . El motor gira a una velocitat constant $n_\text{mot}=1\,450\,\mathrm{min}^{-1}$ i el reductor, de rendiment $\eta=0{,}7$ , té una relació de transmissió $\tau=\frac{\omega_\text{sortida}}{\omega_\text{entrada}}=\frac{1}{150}$ .

El diàmetre del tambor és $d=423\,\mathrm{mm}$ .

Ens han fet arribar el catàleg de motors següent i ens cal triar el més adequat per al nostre sistema d’elevació.

Motor	Potència nominal (kW)	Velocitat nominal de gir ( $\mathrm{min}^{-1}$ )	Parell nominal (N m)
A	$1{,}5$	$1\,450$	$9{,}879$
B	$2$	$1\,450$	$13{,}17$
C	$2{,}5$	$1\,450$	$16{,}46$
D	$3$	$1\,450$	$19{,}75$

2.1 Determineu la velocitat lineal d’elevació de la càrrega, $v$ , i la força $F$ necessària per a elevar-la.

[1 punt]

2.2 Calculeu la potència mecànica que ha de subministrar el motor, $P_\text{mot}$ , i indiqueu quin motor cal escollir. Justifiqueu breument la resposta.

[1 punt]

2.3 A la sortida del reductor hi ha un sensor que mesura el parell que està transmetent l’eix i que envia un senyal que permet bloquejar el sistema quan se supera en un $15$ % el parell del punt de funcionament nominal del motor.

Determineu el valor del parell al qual ha d’estar tarat el sensor, $\Gamma_\text{sens}$ .

[0,5 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

2.11 punt

Plantejament El tambor gira com la sortida del reductor, i el cable s’hi enrotlla a la velocitat perifèrica del tambor, que és la velocitat d’elevació. Com que la càrrega puja a velocitat constant, la força del cable equilibra el pes.

Velocitat de gir del tambor, a la sortida del reductor:
$n_\text{tambor}$ ${}= \tau\,n_\text{mot}$ ${}= \frac{1}{150}\cdot1\,450\,\mathrm{min}^{-1}$ ${}= 9{,}667\,\mathrm{min}^{-1}$
Velocitat angular del tambor i velocitat lineal del cable, amb $d=423\,\mathrm{mm}=0{,}423\,\mathrm{m}$ :
$\omega_\text{tambor}$ ${}= \frac{2\pi\cdot9{,}667}{60}$ ${}= 1{,}0123\,\mathrm{rad/s}$ $v$ ${}= \omega_\text{tambor}\,\frac{d}{2}$ ${}= 1{,}0123\cdot\frac{0{,}423}{2}$ ${}= 0{,}2141\,\mathrm{m/s}$
En m/min: $v=0{,}2141\cdot60=12{,}85\,\mathrm{m/min}$ .
A velocitat constant l’acceleració és nul·la, i el cable fa una força igual al pes (amb $g=9{,}807\,\mathrm{m/s^2}$ ; l’enunciat no en dona el valor):
$F$ ${}= m\,g=1\,000\,\mathrm{kg}\cdot9{,}807\,\mathrm{m/s^2}$ ${}= 9\,807\,\mathrm{N}$

Resultat $v=0{,}2141\,\mathrm{m/s}$ ( $12{,}85\,\mathrm{m/min}$ ); $F=9\,807\,\mathrm{N}$

La pauta oficial dona: $v=0{,}2141\,\mathrm{m/s}=12{,}85\,\mathrm{m/min}$ ; $F=m\,g=9\,807\,\mathrm{N}$

2.21 punt

Plantejament La potència útil és la que rep la càrrega, $F\,v$ . El motor n’ha de donar més, perquè el reductor en perd una part ( $\eta=0{,}7$ ). Es tria el motor del catàleg que pot donar aquesta potència.

Potència a la sortida del reductor, la que eleva la càrrega:
$P_\text{mec}$ ${}= F\,v=9\,807\,\mathrm{N}\cdot0{,}2141\,\mathrm{m/s}$ ${}= 2\,100\,\mathrm{W}$
El reductor té un rendiment de 0,7, així que el motor ha de donar:
$P_\text{mot}$ ${}= \frac{P_\text{mec}}{\eta}$ ${}= \frac{2\,100\,\mathrm{W}}{0{,}7}$ ${}= 3\,000\,\mathrm{W}$ ${}= 3\,\mathrm{kW}$
Al catàleg, el motor C ( $2{,}5\,\mathrm{kW}$ ) i els més petits no arriben als $3\,\mathrm{kW}$ necessaris. El D dona $3\,\mathrm{kW}$ a $1\,450\,\mathrm{min}^{-1}$ , la mateixa velocitat a què ha de girar el motor: cal escollir el D.
Comprovació amb el parell: el tambor necessita $F\,d/2=9\,807\cdot0{,}2115=2\,074\,\mathrm{N\,m}$ , i el reductor multiplica el parell per $1/\tau=150$ amb un rendiment de $0{,}7$ ; el motor ha de fer:
$\Gamma_\text{mot}$ ${}= \frac{F\,d/2}{\eta/\tau}$ ${}= \frac{2\,074\,\mathrm{N\,m}}{0{,}7\cdot150}$ ${}= 19{,}75\,\mathrm{N\,m}$
És just el parell nominal del motor D: treballarà al seu punt nominal.

Resultat $P_\text{mot}=3\,000\,\mathrm{W}$ : cal escollir el motor D ( $3\,\mathrm{kW}$ ), el més petit del catàleg que la pot donar.

La pauta oficial dona: $P_\text{mec}=F\,v=2\,100\,\mathrm{W}$ ; $P_\text{mot}=2\,100/0{,}7=3\,000\,\mathrm{W}$ : cal triar el motor D.

2.30,5 punts

Plantejament El sensor és a la sortida del reductor, així que mesura el parell de l’eix lent. Cal calcular el parell que hi arriba quan el motor treballa al seu punt nominal i augmentar-lo un $15$ %.

Al punt nominal, el motor D fa el parell nominal del catàleg, $\Gamma_\text{nom}=19{,}75\,\mathrm{N\,m}$ . El reductor el multiplica per $1/\tau=150$ i en perd el $30$ % (rendiment $0{,}7$ ):
$\Gamma_\text{red}$ ${}= \eta\,\frac{\Gamma_\text{nom}}{\tau}$ ${}= 0{,}7\cdot150\cdot19{,}75\,\mathrm{N\,m}$ ${}= 2\,074\,\mathrm{N\,m}$
El mateix surt amb la potència nominal: la velocitat angular de sortida és $\omega_\text{red}=1{,}0123\,\mathrm{rad/s}$ (la del tambor) i $\Gamma_\text{red}$ ${}= \eta\,P_\text{nom}/\omega_\text{red}$ ${}= 0{,}7\cdot3\,000/1{,}0123$ ${}= 2\,074\,\mathrm{N\,m}$ .
El sensor ha de bloquejar el sistema un $15$ % per sobre:
$\Gamma_\text{sens}$ ${}= 1{,}15\,\Gamma_\text{red}$ ${}= 1{,}15\cdot2\,074\,\mathrm{N\,m}$ ${}= 2\,385\,\mathrm{N\,m}$

Resultat $\Gamma_\text{sens}=2\,385\,\mathrm{N\,m}$

La pauta oficial dona: $\Gamma_\text{red}$ ${}= \eta\,P_\text{mot}/(\tau\,\omega_\text{mot})$ ${}= 2\,074\,\mathrm{N\,m}$ ; $\Gamma_\text{sens}=1{,}15\cdot2\,074=2\,385\,\mathrm{N\,m}$

Per què no coincideix amb la pauta

Apartat 2.2: la segona manera de calcular $P_\text{mot}$ que dona la pauta té dues errades d’escriptura: a la substitució de $F\,\frac{d}{2}\,\tau\,\omega_\text{mot}$ hi falta el factor $\tau=1/150$ , i després escriu $2\,015/0{,}8$ en lloc de $2\,100/0{,}7$ . El resultat, $3\,000\,\mathrm{W}$ , i l’elecció del motor D són correctes. Apartat 2.3: la pauta escriu $\Gamma_\text{sens}=1{,}15\,\Gamma_\text{sens}$ on vol dir $1{,}15\,\Gamma_\text{red}$ ; el valor que dona, $2\,385\,\mathrm{N\,m}$ , coincideix amb el d’aquesta solució. Si es calcula $\Gamma_\text{red}$ amb la potència nominal sense arrodonir res, surt $2\,074{,}5\,\mathrm{N\,m}$ i $\Gamma_\text{sens}=2\,386\,\mathrm{N\,m}$ , que també és vàlid: la diferència és d’arrodoniment.

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Tecnologia i Enginyeria 2026, convocatòria extraordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 26 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2025Convocatòria ordinària · Sèrie 1 · Exercici 3

2,5 puntsCoincideix amb la pauta

Enunciat oficial de l’exercici 3 de la PAU de Tecnologia i Enginyeria de Catalunya de 2025 (convocatòria ordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Enunciat oficial de l’exercici 3 de la PAU de Tecnologia i Enginyeria de Catalunya de 2025 (convocatòria ordinària), en català. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

La figura mostra un esquema d’un elevador de taller de dues columnes. Les dues columnes són iguals, i dins de cadascuna d’elles hi ha una transmissió cargol-femella. La femella és solidària als braços que sostenen el vehicle. A la part superior de la columna se situa un motor que per mitjà d’un reductor d’engranatges fa girar el cargol situat a l’interior de la columna, que fa pujar o baixar la femella. El moviment dels dos motors està sincronitzat perquè els braços tinguin el mateix moviment.

L’alçada màxima d’elevació des de la posició més baixa dels braços és $h = 1{,}8\,\mathrm{m}$ ; la massa que suporta cada columna és $m = 1\,900\,\mathrm{kg}$ ; el cargol té un pas de rosca de $7\,\mathrm{mm}$ per volta (el cotxe s’eleva $7\,\mathrm{mm}$ per cada volta del cargol), i el conjunt del sistema té un rendiment $\eta = 0{,}4$ .

Volem determinar la potència elèctrica d’un motor i dissenyar el reductor perquè quan el motor giri a $n = 1\,420\,\mathrm{min}^{-1}$ el temps d’elevació per a arribar a l’alçada màxima sigui $t = 45\,\mathrm{s}$ . Per a això, determineu:

Esquema de l’elevador de dues columnes, vist de cara: un cotxe entre dues columnes iguals. Dins de cada columna hi ha un cargol vertical (ratllat) amb una femella que porta un braç sota el cotxe. A dalt de cada columna, un motor fa girar el cargol a través d’un reductor. Els cargols estan subjectats per suports a dalt i a baix.

a) La potència mecànica necessària per a elevar el cotxe, $P_\text{mec}$ .

[0,5 punts]

b) La potència elèctrica que consumirà cada motor, $P_\text{elèc}$ .

[0,5 punts]

c) Les voltes que ha de fer el cargol perquè el cotxe arribi a l’alçada màxima, $n_\text{voltes}$ .

[0,5 punts]

d) La relació de transmissió que cal que tingui el reductor, $i = \dfrac{n_\text{mot}}{n_\text{carg}}$ .

[1 punt]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)0,5 punts

Plantejament Potència mecànica per pujar el cotxe sencer: el treball és l’augment d’energia potencial de la massa que aguanten les dues columnes, fet en el temps d’elevació.

Cada columna aguanta $m = 1\,900\,\mathrm{kg}$ ; el cotxe sencer, que reposa sobre totes dues, té una massa $2\,m$ :
$m_\text{cotxe}$ ${}= 2\,m=2 \cdot 1\,900$ ${}= 3\,800\,\mathrm{kg}$
Treball per pujar-lo l’alçada $h$ (amb $g = 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}$ ):
$W$ ${}= m_\text{cotxe}\,g\,h$ ${}= 3\,800 \cdot 9{,}807 \cdot 1{,}8$ ${}= 67\,080\,\mathrm{J}$
Potència mecànica, repartint aquest treball en $t = 45\,\mathrm{s}$ :
$P_\text{mec} = \frac{W}{t} = \frac{67\,080}{45} = 1\,491\,\mathrm{W}$

Resultat $P_\text{mec} = 1\,491\,\mathrm{W}$ (uns $1{,}49\,\mathrm{kW}$ per a tot el cotxe).

La pauta oficial dona: $P_\text{mec} = \frac{2\,m\,g\,h}{t} = 1\,491\,\mathrm{W}$

b)0,5 punts

Plantejament Potència elèctrica de cada motor: els dos motors es reparteixen la potència mecànica, i el rendiment del conjunt, $\eta = 0{,}4$ , fa que en consumeixin més.

Cada motor puja una columna, és a dir, dona la meitat de la potència mecànica, i ha de consumir més del que dona, segons el rendiment del conjunt:
$P_\text{elèc} = \frac{P_\text{mec}/2}{\eta} = \frac{P_\text{mec}}{2\,\eta}$
Amb $P_\text{mec}$ sense arrodonir ( $1\,490{,}7\,\mathrm{W}$ ):
$P_\text{elèc}$ ${}= \frac{1\,490{,}7}{2 \cdot 0{,}4}$ ${}= 1\,863\,\mathrm{W}$

Resultat $P_\text{elèc} = 1{,}863\,\mathrm{kW}$ per motor.

La pauta oficial dona: $P_\text{elèc} = \frac{P_\text{mec}}{2\,\eta} = 1{,}863\,\mathrm{kW}$

c)0,5 punts

Plantejament Transmissió cargol-femella: cada volta del cargol fa pujar la femella (i el cotxe) un pas de rosca, $p = 7\,\mathrm{mm}$ .

Passem l’alçada a mil·límetres: $h = 1{,}8\,\mathrm{m} = 1\,800\,\mathrm{mm}$ . Les voltes són l’alçada dividida pel pas:
$n_\text{voltes}$ ${}= \frac{h}{p}=\frac{1\,800}{7}$ ${}= 257{,}1\,\text{voltes}$

Resultat $n_\text{voltes} = 257{,}1$ voltes.

La pauta oficial dona: $n_\text{voltes} = \frac{h}{p} = 257{,}1$ voltes

d)1 punt

Plantejament Disseny del reductor: la relació de transmissió és el quocient entre la velocitat del motor i la que ha de tenir el cargol per fer les $257{,}1$ voltes en $45\,\mathrm{s}$ .

Velocitat del cargol, amb $n_\text{voltes} = 1\,800/7 = 257{,}14$ :
$n_\text{carg}$ ${}= \frac{n_\text{voltes}}{t}$ ${}= \frac{257{,}14}{45}$ ${}= 5{,}714\,\text{voltes/s}$
En voltes per minut, com el motor:
$n_\text{carg}$ ${}= 5{,}714 \cdot 60$ ${}= 342{,}8\,\mathrm{min}^{-1}$
Relació de transmissió del reductor:
$i$ ${}= \frac{n_\text{mot}}{n_\text{carg}}$ ${}= \frac{1\,420}{342{,}8}$ ${}= 4{,}142$
Com que $i > 1$ , el reductor redueix la velocitat: el cargol gira unes $4{,}14$ vegades més a poc a poc que el motor.

Resultat $i = 4{,}142$ .

La pauta oficial dona: $n_\text{carg} = 5{,}714$ voltes/s; $i = 4{,}142$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Tecnologia i Enginyeria 2025, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 26 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2025Convocatòria ordinària · Sèrie 4 · Exercici 3

2,5 puntsCoincideix amb la pauta

Un mesclador de productes pulverulents és una màquina molt emprada a les indústries química, agroalimentària i farmacèutica. El mesclador consisteix en un motor que acciona un reductor. La sortida del reductor es connecta a una aspa en forma d’hèlix que gira verticalment i barreja els productes d’un dipòsit.

En les condicions d’estudi, el motor gira a $n_\text{mot}=1\,430\,\mathrm{min}^{-1}$ ; l’hèlix, a $n_\text{hèl}=40\,\mathrm{min}^{-1}$ , i el reductor té un rendiment $\eta=0{,}7$ .

Durant la fase de servei, l’hèlix gira a velocitat constant $\omega_\text{hèl}$ i el parell que cal aplicar a l’hèlix per a fer la barreja depèn de la velocitat de gir:

$\Gamma_\text{hèl}=k\,\omega_\text{hèl}$

$\omega_\text{hèl}$ s’expressa en rad/s i $k$ és un paràmetre que per a la mescla estudiada s’estima en $k=105\,\mathrm{N\,m\,s}$ .

Cal seleccionar un motor d’entre aquests tres:

	Motor A	Motor B	Motor C
Parell nominal [N m]	$14{,}7$	$18$	$20$
Potència nominal [kW]	$2{,}2$	$2{,}4$	$2{,}8$

Per a la tria del motor:

Esquema del mesclador: un bloc «Motor» connectat a un bloc «Reductor»; de la sortida del reductor baixa un eix que entra en un «Dipòsit» i fa girar una aspa en forma d’hèlix vertical.

a) Determineu la relació del reductor, $i=\dfrac{n_\text{mot}}{n_\text{hèl}}$ , i el parell a l’eix de l’hèlix, $\Gamma_\text{hèl}$ .

[1 punt]

b) Calculeu la potència del motor, $P_\text{mot}$ , i el parell que ha de subministrar, $\Gamma_\text{mot}$ .

[1 punt]

c) Justifiqueu la selecció del motor.

[0,5 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)1 punt

Plantejament Es demana la relació del reductor, $i=n_\text{mot}/n_\text{hèl}$ , i el parell que cal a l’eix de l’hèlix, que depèn de la seva velocitat angular.

Relació del reductor:
$i$ ${}= \dfrac{n_\text{mot}}{n_\text{hèl}}$ ${}= \dfrac{1\,430\,\mathrm{min}^{-1}}{40\,\mathrm{min}^{-1}}$ ${}= 35{,}75$
Velocitat angular de l’hèlix, en rad/s, com demana la fórmula del parell:
$\omega_\text{hèl}$ ${}= \dfrac{2\pi\,n_\text{hèl}}{60}$ ${}= \dfrac{2\pi\cdot 40}{60}$ ${}= 4{,}189\,\mathrm{rad/s}$
Parell a l’eix de l’hèlix:
$\Gamma_\text{hèl}$ ${}= k\,\omega_\text{hèl}$ ${}= 105\,\mathrm{N\,m\,s}\cdot 4{,}189\,\mathrm{rad/s}$ ${}= 439{,}8\,\mathrm{N\,m}$

Resultat $i=35{,}75$ i $\Gamma_\text{hèl}=439{,}8\,\mathrm{N\,m}$ .

La pauta oficial dona: $i=n_\text{mot}/n_\text{hèl}=35{,}75$ ; $\Gamma_\text{hèl}=k\,\omega_\text{hèl}=439{,}8\,\mathrm{N\,m}$

b)1 punt

Plantejament Es demana la potència que ha de donar el motor (la que necessita l’hèlix més les pèrdues del reductor) i el parell a l’eix del motor.

Potència a l’eix de l’hèlix (amb més decimals, $1\,842{,}3\,\mathrm{W}$ ):
$P_\text{hèl}$ ${}= \Gamma_\text{hèl}\,\omega_\text{hèl}$ ${}= 439{,}8\,\mathrm{N\,m}\cdot 4{,}189\,\mathrm{rad/s}$ ${}= 1\,842\,\mathrm{W}$
Potència del motor: la de l’hèlix dividida pel rendiment del reductor:
$P_\text{mot}$ ${}= \dfrac{P_\text{hèl}}{\eta}$ ${}= \dfrac{1\,842{,}3\,\mathrm{W}}{0{,}7}$ ${}= 2\,632\,\mathrm{W}$
Velocitat angular del motor:
$\omega_\text{mot}$ ${}= \dfrac{2\pi\,n_\text{mot}}{60}$ ${}= \dfrac{2\pi\cdot 1\,430}{60}$ ${}= 149{,}7\,\mathrm{rad/s}$
Parell del motor:
$\Gamma_\text{mot}$ ${}= \dfrac{P_\text{mot}}{\omega_\text{mot}}$ ${}= \dfrac{2\,632\,\mathrm{W}}{149{,}7\,\mathrm{rad/s}}$ ${}= 17{,}58\,\mathrm{N\,m}$
Comprovació per un altre camí: el reductor multiplica el parell per $i$ i en perd el que marca el rendiment, $\Gamma_\text{mot}$ ${}= \Gamma_\text{hèl}/(i\,\eta)$ ${}= 439{,}82/(35{,}75\cdot 0{,}7)$ ${}= 17{,}58\,\mathrm{N\,m}$ .

Resultat $P_\text{mot}=2\,632\,\mathrm{W}$ i $\Gamma_\text{mot}=17{,}58\,\mathrm{N\,m}$ .

La pauta oficial dona: $P_\text{mot}$ ${}= \Gamma_\text{hèl}\,\omega_\text{hèl}/\eta$ ${}= 2\,632\,\mathrm{W}$ ; $\Gamma_\text{mot}$ ${}= P_\text{mot}/\omega_\text{mot}$ ${}= 17{,}58\,\mathrm{N\,m}$

c)0,5 punts

Plantejament Es demana justificar quin dels tres motors es tria: ha de poder donar el parell i la potència calculats a l’apartat b).

El motor ha de tenir un parell nominal d’almenys $17{,}58\,\mathrm{N\,m}$ i una potència nominal d’almenys $2{,}632\,\mathrm{kW}$ .
Motor A: $14{,}7\,\mathrm{N\,m}$ i $2{,}2\,\mathrm{kW}$ , no arriba ni al parell ni a la potència. Motor B: $18\,\mathrm{N\,m}$ , prou parell, però $2{,}4\,\mathrm{kW}$ , menys dels $2{,}632\,\mathrm{kW}$ que calen. Motor C: $20\,\mathrm{N\,m}$ i $2{,}8\,\mathrm{kW}$ , tots dos per sobre del que cal.

ResultatCal triar el motor C: és l’únic amb el parell nominal ( $20\,\mathrm{N\,m}$ ) i la potència nominal ( $2{,}8\,\mathrm{kW}$ ) per sobre dels necessaris ( $17{,}58\,\mathrm{N\,m}$ i $2{,}632\,\mathrm{kW}$ ).

La pauta oficial dona: Cal escollir un motor amb parell nominal i potència per sobre de les necessitats calculades: el motor C.

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Tecnologia i Enginyeria 2025, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 30 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2024Convocatòria ordinària · Sèrie 1 · Exercici 3

2,5 puntsCoincideix amb la pautaTambé a Motors i màquines elèctriques

Enunciat oficial de l’exercici 3 de la PAU de Tecnologia i Enginyeria de Catalunya de 2024 (convocatòria ordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Enunciat oficial de l’exercici 3 de la PAU de Tecnologia i Enginyeria de Catalunya de 2024 (convocatòria ordinària), en català. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Una persona té un patinet elèctric que utilitza una bateria ideal de tensió $U=24\,\mathrm{V}$ i energia $E_\text{bat}=250\,\mathrm{W\,h}$ per a alimentar un motor de rendiment $\eta_\text{mot}=0{,}85$ . La roda motriu del patinet, de diàmetre $d_\text{roda}=140\,\mathrm{mm}$ , està connectada directament a l’eix de sortida del motor.

En les condicions d’estudi, la persona i el patinet tenen una massa conjunta $m=70\,\mathrm{kg}$ i recorren $s=2\,\mathrm{km}$ a velocitat constant $v=8\,\mathrm{km/h}$ per una pujada en què l’angle que forma el perfil del carrer amb l’horitzontal és $\alpha=7^\circ$ . A l’inici del trajecte, la bateria està totalment carregada. Si totes les pèrdues diferents a les associades al rendiment del motor es poden negligir, determineu:

a) La potència elèctrica consumida, $P_\text{elèc}$ .

[1 punt]

b) La velocitat de rotació de l’eix del motor, $\omega_\text{mot}$ , i el parell que subministra el motor, $\Gamma$ .

[1 punt]

c) El percentatge d’energia consumida de la bateria, $\Delta$ .

[0,5 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)1 punt

Plantejament Es demana la potència elèctrica que el motor treu de la bateria durant la pujada. A velocitat constant i sense altres pèrdues, la potència mecànica és la que cal per vèncer la component del pes paral·lela a la pujada; la potència elèctrica és aquesta potència dividida pel rendiment del motor.

Velocitat en unitats del SI:
$v=\dfrac{8\,\mathrm{km/h}}{3{,}6}=2{,}222\,\mathrm{m/s}$
Component del pes paral·lela al pendent, que és la força que ha de fer el motor a velocitat constant (prenem $g=9{,}807\,\mathrm{m/s^2}$ ):
$F$ ${}= m\,g\,\sin\alpha$ ${}= 70\,\mathrm{kg}\cdot 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}\cdot\sin 7^\circ$ ${}= 83{,}66\,\mathrm{N}$
Potència mecànica a la roda:
$P_\text{mec}$ ${}= F\,v=m\,g\,v\,\sin\alpha$ ${}= 83{,}66\,\mathrm{N}\cdot 2{,}222\,\mathrm{m/s}$ ${}= 185{,}9\,\mathrm{W}$
Potència elèctrica consumida:
$P_\text{elèc}$ ${}= \dfrac{P_\text{mec}}{\eta_\text{mot}}$ ${}= \dfrac{185{,}9\,\mathrm{W}}{0{,}85}$ ${}= 218{,}7\,\mathrm{W}$
Amb $g=9{,}81\,\mathrm{m/s^2}$ surt $218{,}8\,\mathrm{W}$ : la diferència només és a la quarta xifra.

Resultat $P_\text{elèc}=218{,}7\,\mathrm{W}$ (amb una potència mecànica $P_\text{mec}=185{,}9\,\mathrm{W}$ ).

La pauta oficial dona: $P_\text{mec}=m\,g\,v\sin\alpha$ ; $P_\text{elèctr}=P_\text{mec}/\eta=218{,}7\,\mathrm{W}$ .

b)1 punt

Plantejament Es demana la velocitat angular de l’eix del motor i el parell que fa. Com que la roda està connectada directament a l’eix, giren junts: la velocitat del patinet és la velocitat de la perifèria de la roda, i el parell és la potència mecànica dividida per la velocitat angular.

Radi de la roda: $r=d_\text{roda}/2=70\,\mathrm{mm}=0{,}070\,\mathrm{m}$ . Velocitat angular de l’eix, que és la de la roda:
$\omega_\text{mot}$ ${}= \dfrac{v}{d_\text{roda}/2}$ ${}= \dfrac{2{,}222\,\mathrm{m/s}}{0{,}070\,\mathrm{m}}$ ${}= 31{,}75\,\mathrm{rad/s}$
En voltes per minut:
$n$ ${}= 31{,}75\,\mathrm{rad/s}\cdot\dfrac{60\,\mathrm{s/min}}{2\pi\,\mathrm{rad}}$ ${}= 303{,}2\,\mathrm{min}^{-1}$
Parell del motor: com que $P_\text{mec}=\Gamma\,\omega_\text{mot}$ i $v=\omega_\text{mot}\,r$ , el parell és la força de l’apartat a) pel radi de la roda:
$\Gamma$ ${}= \dfrac{P_\text{mec}}{\omega_\text{mot}}$ ${}= F\,\dfrac{d_\text{roda}}{2}$ ${}= 83{,}66\,\mathrm{N}\cdot 0{,}070\,\mathrm{m}$ ${}= 5{,}856\,\mathrm{N\,m}$

Resultat $\omega_\text{mot}=31{,}75\,\mathrm{rad/s}$ (unes $303\,\mathrm{min}^{-1}$ ) i $\Gamma=5{,}856\,\mathrm{N\,m}$ .

La pauta oficial dona: $\omega_\text{mot}$ ${}= v/(d/2)$ ${}= 31{,}75\,\mathrm{rad/s}$ ; $\Gamma=P_\text{mec}/\omega_\text{mot}=5{,}856\,\mathrm{N\,m}$ .

c)0,5 punts

Plantejament Es demana quin percentatge de l’energia de la bateria es gasta en el trajecte. L’energia consumida és la potència elèctrica per la durada del trajecte.

Durada del trajecte:
$t$ ${}= \dfrac{s}{v}$ ${}= \dfrac{2\,\mathrm{km}}{8\,\mathrm{km/h}}$ ${}= 0{,}25\,\mathrm{h}$ ${}= 900\,\mathrm{s}$
Energia elèctrica consumida:
$E_\text{cons}$ ${}= P_\text{elèc}\,t$ ${}= 218{,}7\,\mathrm{W}\cdot 0{,}25\,\mathrm{h}$ ${}= 54{,}68\,\mathrm{W\,h}$
Fracció de l’energia de la bateria, és a dir, el $21{,}87$ %:
$\Delta$ ${}= \dfrac{E_\text{cons}}{E_\text{bat}}$ ${}= \dfrac{54{,}68\,\mathrm{W\,h}}{250\,\mathrm{W\,h}}$ ${}= 0{,}2187$

Resultat $\Delta=21{,}87$ % de l’energia de la bateria ( $E_\text{cons}=54{,}68\,\mathrm{W\,h}$ ).

La pauta oficial dona: $t=s/v$ ; $E_\text{cons}=P_\text{elèctr}\,t$ ; $\Delta=E_\text{cons}/E_\text{bat}=21{,}87$ %.

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Tecnologia i Enginyeria 2024, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 26 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2024Convocatòria ordinària · Sèrie 5 · Exercici 1

2,5 puntsCoincideix amb la pautaTambé a Energia, consum i emissions, Circuits elèctrics, Materials i assajos

Enunciat oficial de l’exercici 1 de la PAU de Tecnologia i Enginyeria de Catalunya de 2024 (convocatòria ordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Enunciat oficial de l’exercici 1 de la PAU de Tecnologia i Enginyeria de Catalunya de 2024 (convocatòria ordinària), en català. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Indiqueu la resposta correcta de cada qüestió. Responeu en la taula de la pàgina 3. En el cas que no indiqueu les respostes a la taula, les qüestions es consideraran no contestades.

[En cada qüestió només es pot triar UNA resposta. Qüestió ben contestada: 0,5 punts; qüestió mal contestada: –0,16 punts; qüestió no contestada: 0 punts.]

1.1 La intensitat del circuit elèctric d’una estufa de quars és de $8\,\mathrm{A}$ . L’estufa està connectada a la xarxa elèctrica a $U=230\,\mathrm{V}$ durant $4\,\mathrm{h}$ i té un rendiment del $98$ %. L’energia elèctrica consumida és

a) $25{,}97\,\mathrm{MJ}$ .

b) $26{,}50\,\mathrm{MJ}$ .

c) $27{,}04\,\mathrm{MJ}$ .

d) $43{,}28\,\mathrm{MJ}$ .

[0,5 punts]

1.2 El cabal d’aigua calenta d’una dutxa és de $12\,\mathrm{L/min}$ i la temperatura de sortida de l’aigua és de $38\,^\circ\mathrm{C}$ . Inicialment l’aigua es troba a $15\,^\circ\mathrm{C}$ ( $c_\text{e}=4{,}18\,\mathrm{J/(g\,^\circ C)}$ ). En una dutxa de 5 minuts de durada, l’energia utilitzada per a escalfar l’aigua és

a) $1{,}602\,\mathrm{kW\,h}$ .

b) $5{,}768\,\mathrm{kW\,h}$ .

c) $1{,}602\,\mathrm{kJ}$ .

d) $5\,768\,\mathrm{J}$ .

[0,5 punts]

1.3 Es disposa de dues resistències de valor $R$ . En un primer experiment, es connecten en sèrie i s’alimenten a una tensió $U$ , i, com a conseqüència, la potència total dissipada per les resistències és $P$ . En un segon experiment, les dues resistències es connecten en paral·lel i s’alimenten a la mateixa tensió $U$ . Quina serà, en aquest cas, la potència total dissipada per les resistències?

a) $P$

b) $2P$

c) $3P$

d) $4P$

[0,5 punts]

1.4 Un bloc de massa $m=2\,\mathrm{kg}$ està unit mitjançant un cable al centre d’una politja de radi $R_1=300\,\mathrm{mm}$ . Una corda ideal s’uneix al centre de la politja de la qual penja el bloc, passa per una altra politja de radi $R_2=150\,\mathrm{mm}$ articulada al sostre i, finalment, passa per la politja de radi $R_1$ . Quina força $F$ cal fer per a mantenir el bloc en repòs?

a) $6{,}538\,\mathrm{N}$

b) $58{,}84\,\mathrm{N}$

c) $19{,}61\,\mathrm{N}$

d) $9{,}807\,\mathrm{N}$

[0,5 punts]

Figura de la qüestió 4: una politja fixa de radi R2, articulada al sostre, i a sota una politja mòbil de radi R1 de la qual penja, amb un cable vertical, el bloc de massa m. Una corda surt del centre de la politja mòbil, puja fins a la politja fixa, la volta per dalt, baixa per l’esquerra fins a la politja mòbil, la rodeja per sota i puja per la dreta fins a l’extrem, on s’aplica la força F cap amunt. La gravetat g és vertical cap avall.

1.5 El rail d’una via de tren està fet d’acer d’un coeficient de dilatació $\alpha_\text{ac}=10{,}8\times10^{-6}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}$ i té una longitud de $25\,\mathrm{m}$ a $T=20\,^\circ\mathrm{C}$ . En les condicions de treball, la temperatura ambient oscil·la entre $-10\,^\circ\mathrm{C}$ i $45\,^\circ\mathrm{C}$ . La variació de longitud que experimenta el rail és de

a) $6{,}750\,\mathrm{mm}$ .

b) $8{,}100\,\mathrm{mm}$ .

c) $9{,}450\,\mathrm{mm}$ .

d) $14{,}85\,\mathrm{mm}$ .

[0,5 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

1.10,5 punts

Plantejament Es demana l’energia elèctrica que consumeix l’estufa en $4\,\mathrm{h}$ : la potència elèctrica que absorbeix de la xarxa pel temps. El rendiment no hi intervé, perquè només diu quina part d’aquesta energia es converteix en calor útil.

Potència elèctrica absorbida:
$P=U\,I=230\,\mathrm{V}\cdot 8\,\mathrm{A}=1\,840\,\mathrm{W}$
Temps en segons: $t=4\,\mathrm{h}=4\cdot 3\,600\,\mathrm{s}=14\,400\,\mathrm{s}$ . Energia consumida:
$E$ ${}= P\,t=1\,840\,\mathrm{W}\cdot 14\,400\,\mathrm{s}$ ${}= 2{,}650\cdot 10^{7}\,\mathrm{J}$ ${}= 26{,}50\,\mathrm{MJ}$
Per què no les altres: la a), $25{,}97\,\mathrm{MJ}$ , és $0{,}98\cdot 26{,}50\,\mathrm{MJ}$ , l’energia útil (la calor que dona l’estufa), no la consumida; la c), $27{,}04\,\mathrm{MJ}$ , surt de dividir per $0{,}98$ , i la d) no correspon a aquest càlcul.

ResultatLa resposta correcta és la b): $E=U\,I\,t=26{,}50\,\mathrm{MJ}$ .

La pauta oficial dona: Resposta b).

1.20,5 punts

Plantejament Es demana l’energia per escalfar l’aigua d’una dutxa de 5 minuts: la calor que fa pujar la temperatura de l’aigua de $15\,^\circ\mathrm{C}$ a $38\,^\circ\mathrm{C}$ , $Q=m\,c_\text{e}\,\Delta T$ .

Volum i massa d’aigua (densitat de l’aigua, $1\,\mathrm{kg/L}$ ):
$V$ ${}= 12\,\mathrm{L/min}\cdot 5\,\mathrm{min}$ ${}= 60\,\mathrm{L}$ ${}\Rightarrow m=60\,\mathrm{kg}$ ${}= 60\,000\,\mathrm{g}$
Increment de temperatura: $\Delta T=38-15=23\,^\circ\mathrm{C}$ . Calor, amb $c_\text{e}$ en $\mathrm{J/(g\,^\circ C)}$ i la massa en grams:
$Q$ ${}= m\,c_\text{e}\,\Delta T$ ${}= 60\,000\,\mathrm{g}\cdot 4{,}18\,\mathrm{J/(g\,^\circ C)}\cdot 23\,^\circ\mathrm{C}$ ${}= 5{,}768\cdot 10^{6}\,\mathrm{J}$ ${}= 5{,}768\,\mathrm{MJ}$
En kW h ( $1\,\mathrm{kW\,h}=3{,}6\,\mathrm{MJ}$ ):
$Q$ ${}= \dfrac{5{,}768\,\mathrm{MJ}}{3{,}6\,\mathrm{MJ/(kW\,h)}}$ ${}= 1{,}602\,\mathrm{kW\,h}$
Per què no les altres: la b) té les xifres del resultat en MJ, però amb la unitat kW h; la c) té les xifres del resultat en kW h, però amb la unitat kJ, i la d) té les xifres del resultat en kJ ( $5\,768\,\mathrm{kJ}$ ), però amb la unitat J.

ResultatLa resposta correcta és la a): $Q=1{,}602\,\mathrm{kW\,h}$ .

La pauta oficial dona: Resposta a).

1.30,5 punts

Plantejament Es compara la potència total que dissipen dues resistències iguals connectades primer en sèrie i després en paral·lel a la mateixa tensió $U$ .

En sèrie, la resistència equivalent és $2R$ :
$P=\dfrac{U^2}{2R}$
En paral·lel, la resistència equivalent és $R/2$ (cada resistència rep tota la tensió $U$ ):
$P'=\dfrac{U^2}{R/2}=\dfrac{2\,U^2}{R}$
Quocient entre les dues potències:
$\dfrac{P'}{P}$ ${}= \dfrac{2\,U^2/R}{U^2/(2R)}$ ${}= 4$ ${}\Rightarrow P'=4P$
Per què no les altres: en paral·lel, cada resistència té el doble de tensió que en sèrie ( $U$ en lloc de $U/2$ ) i, com que la potència va amb el quadrat de la tensió, cadascuna dissipa quatre vegades més. Per això la potència total no es manté ( $P$ ), ni es duplica ( $2P$ ), ni es triplica ( $3P$ ).

ResultatLa resposta correcta és la d): $P'=4P$ .

La pauta oficial dona: Resposta d).

1.40,5 punts

Plantejament Es demana la força $F$ que manté en repòs el bloc penjat de la politja mòbil de radi $R_1$ . Cal comptar quants trams de corda aguanten aquesta politja.

La corda és ideal i les politges giren lliurement: tota la corda té la mateixa tensió, igual a la força $F$ que s’aplica a l’extrem.
Seguint la corda de la figura: surt del centre de la politja mòbil, puja fins a la politja fixa $R_2$ , hi fa la volta, baixa fins a la politja mòbil, la rodeja per sota i torna a pujar fins a l’extrem on s’aplica $F$ . La politja mòbil queda aguantada per tres trams de corda, i cadascun l’estira cap amunt amb una força $F$ .
Equilibri vertical de la politja mòbil amb el bloc (l’enunciat no dona la massa de les politges, així que es consideren lleugeres; es pren $g=9{,}807\,\mathrm{m/s^2}$ ):
$3\,F-m\,g=0$ ${}\Rightarrow F=\dfrac{m\,g}{3}$ ${}= \dfrac{2\,\mathrm{kg}\cdot 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}}{3}$ ${}= 6{,}538\,\mathrm{N}$
Els radis $R_1$ i $R_2$ no intervenen: la tensió és la mateixa a banda i banda de cada politja. Per què no les altres: la c), $19{,}61\,\mathrm{N}$ , és el pes sencer $m\,g$ ; la d), $9{,}807\,\mathrm{N}$ , és la meitat del pes, com si la politja mòbil pengés de dos trams, i la b), $58{,}84\,\mathrm{N}$ , és el triple del pes ( $3\,m\,g$ ), com si es multipliqués per 3 en lloc de dividir.

ResultatLa resposta correcta és la a): $F=m\,g/3=6{,}538\,\mathrm{N}$ .

La pauta oficial dona: Resposta a).

1.50,5 punts

Plantejament Dilatació tèrmica lineal: es demana quant canvia la longitud del rail entre la temperatura mínima i la màxima de treball.

L’interval de temperatures de treball va de $-10\,^\circ\mathrm{C}$ a $45\,^\circ\mathrm{C}$ :
$\Delta T=45-(-10)=55\,^\circ\mathrm{C}$
Variació de longitud, amb la longitud del rail $L_0=25\,\mathrm{m}$ :
$\Delta L$ ${}= \alpha_\text{ac}\,L_0\,\Delta T$ ${}= 10{,}8\cdot 10^{-6}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}\cdot 25\,\mathrm{m}\cdot 55\,^\circ\mathrm{C}$ ${}= 1{,}485\cdot 10^{-2}\,\mathrm{m}$ ${}= 14{,}85\,\mathrm{mm}$
La temperatura de referència, $20\,^\circ\mathrm{C}$ , no canvia el resultat: fins a $-10\,^\circ\mathrm{C}$ el rail s’escurça $\alpha_\text{ac}\,L_0\cdot 30\,^\circ\mathrm{C}$ , fins a $45\,^\circ\mathrm{C}$ s’allarga $\alpha_\text{ac}\,L_0\cdot 25\,^\circ\mathrm{C}$ , i la variació entre els dos extrems és la suma.
Per què no les altres: la a), $6{,}750\,\mathrm{mm}$ , només compta l’escalfament de $20$ a $45\,^\circ\mathrm{C}$ ( $25\,^\circ\mathrm{C}$ ); la b), $8{,}100\,\mathrm{mm}$ , només el refredament de $20$ a $-10\,^\circ\mathrm{C}$ ( $30\,^\circ\mathrm{C}$ ), i la c), $9{,}450\,\mathrm{mm}$ , pren $\Delta T=45-10=35\,^\circ\mathrm{C}$ , oblidant el signe de $-10\,^\circ\mathrm{C}$ .

ResultatLa resposta correcta és la d): $\Delta L=14{,}85\,\mathrm{mm}$ .

La pauta oficial dona: Resposta d).

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Tecnologia i Enginyeria 2024, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 30 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2024Convocatòria ordinària · Sèrie 5 · Exercici 4

2,5 puntsCoincideix amb la pauta

Enunciat oficial de l’exercici 4 de la PAU de Tecnologia i Enginyeria de Catalunya de 2024 (convocatòria ordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Enunciat oficial de l’exercici 4 de la PAU de Tecnologia i Enginyeria de Catalunya de 2024 (convocatòria ordinària), en català. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

La figura mostra l’esquema d’un prototip de cadena de transmissió d’una motocicleta de competició amb una marxa engranada. Disposa de 6 rodes dentades de $z_1=23$ , $z_2=57$ , $z_3=16$ , $z_4=33$ , $z_5=18$ i $z_6=38$ dents.

El motor té una cilindrada $C=250\,\mathrm{cm^3}$ , el rendiment de la transmissió és $\eta=0{,}9$ i el diàmetre de la roda motriu de la moto és $d=0{,}6\,\mathrm{m}$ . S’estudia el comportament de la motocicleta quan el motor gira a $n_\text{mot}=4\,000\,\mathrm{min}^{-1}$ i proporciona una potència $P_\text{mot}=15\,\mathrm{kW}$ . Determineu:

Esquema de la transmissió, amb les rodes dentades vistes de perfil. El motor, a dalt a l’esquerra, mou la roda z1, que engrana amb la roda gran z2. Al mateix eix que z2 hi ha la roda petita z3, que engrana amb z4. Al mateix eix que z4 hi ha z5, que engrana amb z6, i z6 va al mateix eix que la roda de la moto, dibuixada a la dreta com un rectangle gris.

a) La relació de transmissió entre motor i roda, $\tau=\omega_\text{roda}/\omega_\text{mot}$ .

[1 punt]

b) La velocitat d’avanç, $v$ .

[0,5 punts]

c) El parell a l’eix de la roda, $\Gamma$ .

[1 punt]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)1 punt

Plantejament Es demana la relació de transmissió total entre el motor i la roda, $\tau=\omega_\text{roda}/\omega_\text{mot}$ , d’un tren de tres parells de rodes dentades.

Lectura de la figura: el motor fa girar $z_1$ , que engrana amb $z_2$ ; $z_3$ va al mateix eix que $z_2$ i engrana amb $z_4$ ; $z_5$ va al mateix eix que $z_4$ i engrana amb $z_6$ , que va a l’eix de la roda.
En cada parell, les velocitats angulars van al revés que el nombre de dents: la roda conduïda gira $z_\text{conductora}/z_\text{conduïda}$ vegades la velocitat de la conductora. La relació total és el producte de les tres:
$\tau$ ${}= \dfrac{\omega_\text{roda}}{\omega_\text{mot}}$ ${}= \dfrac{z_1}{z_2}\cdot\dfrac{z_3}{z_4}\cdot\dfrac{z_5}{z_6}$ ${}= \dfrac{23\cdot 16\cdot 18}{57\cdot 33\cdot 38}$ ${}= \dfrac{6\,624}{71\,478}$ ${}= 0{,}09267$
És un reductor: la roda gira unes $10{,}8$ vegades més a poc a poc que el motor ( $1/\tau=10{,}79$ ).

Resultat $\tau=0{,}09267=92{,}67\cdot 10^{-3}$ .

La pauta oficial dona: $\tau$ ${}= \dfrac{\omega_\text{roda}}{\omega_\text{motor}}$ ${}= \dfrac{z_1\,z_3\,z_5}{z_2\,z_4\,z_6}$ ${}= 92{,}67\cdot 10^{-3}$

b)0,5 punts

Plantejament Es demana la velocitat d’avanç de la moto: la velocitat angular de la roda (la del motor per $\tau$ ) pel radi de la roda.

Velocitat angular del motor:
$\omega_\text{mot}$ ${}= \dfrac{2\pi\,n_\text{mot}}{60}$ ${}= \dfrac{2\pi\cdot 4\,000}{60}$ ${}= 418{,}9\,\mathrm{rad/s}$
Velocitat angular de la roda:
$\omega_\text{roda}$ ${}= \tau\,\omega_\text{mot}$ ${}= 0{,}09267\cdot 418{,}9\,\mathrm{rad/s}$ ${}= 38{,}82\,\mathrm{rad/s}$
Velocitat d’avanç, amb el radi de la roda $d/2=0{,}3\,\mathrm{m}$ (la roda no llisca):
$v$ ${}= \omega_\text{roda}\,\dfrac{d}{2}$ ${}= 38{,}82\,\mathrm{rad/s}\cdot 0{,}3\,\mathrm{m}$ ${}= 11{,}65\,\mathrm{m/s}$
En km/h (amb més decimals, $v=11{,}645\,\mathrm{m/s}$ ):
$v=11{,}645\cdot 3{,}6=41{,}92\,\mathrm{km/h}$

Resultat $v=11{,}65\,\mathrm{m/s}=41{,}92\,\mathrm{km/h}$ .

La pauta oficial dona: $\omega_\text{roda}=\tau\,\omega_\text{mot}$ ; $v$ ${}= \omega_\text{roda}\,d/2$ ${}= 11{,}65\,\mathrm{m/s}$ ${}= 41{,}92\,\mathrm{km/h}$

c)1 punt

Plantejament Es demana el parell a l’eix de la roda: la potència que hi arriba (la del motor menys les pèrdues de la transmissió) dividida per la velocitat angular de la roda.

Potència a l’eix de la roda:
$P_\text{útil}$ ${}= \eta\,P_\text{mot}$ ${}= 0{,}9\cdot 15\,\mathrm{kW}$ ${}= 13{,}5\,\mathrm{kW}$
Parell a l’eix de la roda:
$\Gamma$ ${}= \dfrac{P_\text{útil}}{\omega_\text{roda}}$ ${}= \dfrac{13\,500\,\mathrm{W}}{38{,}82\,\mathrm{rad/s}}$ ${}= 347{,}8\,\mathrm{N\,m}$
La cilindrada del motor, $C=250\,\mathrm{cm^3}$ , no cal per a cap apartat.

Resultat $\Gamma=347{,}8\,\mathrm{N\,m}$ .

La pauta oficial dona: $P_\text{útil}=P_\text{mot}\,\eta$ ; $\Gamma=P_\text{útil}/\omega_\text{roda}=347{,}8\,\mathrm{N\,m}$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Tecnologia i Enginyeria 2024, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 30 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2024Convocatòria extraordinària · Sèrie 3 · Exercici 1

2,5 puntsCoincideix amb la pautaTambé a Màquines tèrmiques, Materials i assajos, Energia, consum i emissions, Circuits elèctrics

Enunciat oficial de l’exercici 1 de la PAU de Tecnologia i Enginyeria de Catalunya de 2024 (convocatòria extraordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Enunciat oficial de l’exercici 1 de la PAU de Tecnologia i Enginyeria de Catalunya de 2024 (convocatòria extraordinària), en català. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Indiqueu la resposta correcta de cada qüestió. Responeu en la taula de la pàgina 3. En el cas que no indiqueu les respostes a la taula, les qüestions es consideraran no contestades.

[En cada qüestió només es pot triar UNA resposta. Qüestió ben contestada: 0,5 punts; qüestió mal contestada: –0,16 punts; qüestió no contestada: 0 punts.]

1.1 Una pantalla de projecció té una massa $m=3\,\mathrm{kg}$ a la part inferior per a mantenir-la sempre tibada. Un motor reductor és l’encarregat d’enrotllar la pantalla, de longitud $h=1{,}5\,\mathrm{m}$ , en el corró de diàmetre $d=250\,\mathrm{mm}$ , que es troba articulat amb el sostre, en un temps $t=3\,\mathrm{s}$ . Quina és l’energia mecànica necessària per a enrotllar tota la pantalla?

a) $44{,}13\,\mathrm{J}$

b) $73{,}55\,\mathrm{J}$

c) $22{,}07\,\mathrm{J}$

d) $14{,}71\,\mathrm{J}$

[0,5 punts]

Figura de la qüestió 1: un corró de diàmetre d, articulat al sostre, amb la pantalla enrotllada; la pantalla penja verticalment una longitud h i porta la massa m a l’extrem inferior. La gravetat g apunta cap avall.

1.2 Un inventor ha construït una màquina tèrmica que funciona entre dues fonts tèrmiques, una de $270\,^\circ\mathrm{C}$ i una altra de $610\,^\circ\mathrm{C}$ . Quina de les afirmacions següents és certa?

a) El rendiment de la màquina proposada sempre estarà per sobre del $40$ %.

b) El rendiment de la màquina proposada no podrà superar mai el $38{,}5$ %.

c) Perquè una màquina tèrmica funcioni, el focus fred sempre s’ha de trobar per sota de $0\,^\circ\mathrm{C}$ .

d) Perquè una màquina tèrmica funcioni, el focus calent sempre s’ha de trobar per sobre de $700\,^\circ\mathrm{C}$ .

[0,5 punts]

1.3 La figura mostra les corbes tensió-deformació obtingudes en assajos de tracció utilitzant una proveta d’acer d’alta resistència i una proveta d’un aliatge de bronze. A partir de l’observació d’aquesta figura, es pot afirmar que

a) l’acer és més fràgil que el bronze.

b) el bronze té un límit elàstic més gran que l’acer.

c) l’acer és més dúctil que el bronze.

d) els dos materials s’han deformat el mateix abans de trencar la proveta.

[0,5 punts]

Figura de la qüestió 3: corbes tensió-deformació de l’acer i del bronze. Eix vertical σ en MPa, amb les marques 0, 200 i 400; eix horitzontal ε, amb la marca 0,01. L’acer puja recte, amb molt pendent, fins a uns 400 MPa i s’acaba a una deformació d’uns 0,004. El bronze té un tram recte menys inclinat fins a poc més de 200 MPa; després es corba i continua, sense arribar a 300 MPa, fins a una deformació més gran que 0,01.

1.4 El conductor d’un cotxe híbrid pot decidir si utilitza com a combustible gasolina o gas liquat del petroli (GLP). Quan utilitza gasolina, el consum és de $6{,}1$ litres per cada $100\,\mathrm{km}$ i emet $2{,}23\,\mathrm{kg}$ de $\mathrm{CO_2}$ per cada litre consumit. En canvi, quan utilitza GLP, el consum és de $7$ litres per cada $100\,\mathrm{km}$ i emet $1{,}647\,\mathrm{kg}$ de $\mathrm{CO_2}$ per cada litre consumit. Segons el tipus de combustible utilitzat, quina és la diferència en la petjada de carboni quan el cotxe recorre $50\,\mathrm{km}$ ?

a) $6{,}802\,\mathrm{kg}$ de $\mathrm{CO_2}$

b) $5{,}765\,\mathrm{kg}$ de $\mathrm{CO_2}$

c) $1{,}037\,\mathrm{kg}$ de $\mathrm{CO_2}$

d) $2{,}074\,\mathrm{kg}$ de $\mathrm{CO_2}$

[0,5 punts]

1.5 Una estufa elèctrica es comporta com una resistència $R=25\,\Omega$ . Se sap que quan està connectada a una font de tensió alterna sinusoidal dissipa una potència activa $P=100\,\mathrm{W}$ . Quin és, aproximadament, el valor màxim de la tensió d’alimentació?

a) $4\,\mathrm{V}$

b) $50\,\mathrm{V}$

c) $71\,\mathrm{V}$

d) $100\,\mathrm{V}$

[0,5 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

1.10,5 punts

Plantejament Es demana l’energia mecànica per enrotllar la pantalla. En enrotllar-la, la massa de la part inferior puja tota la longitud $h$ de la pantalla, i l’energia necessària és l’augment de la seva energia potencial (l’enunciat només dona la massa de la part inferior; la de la tela no es té en compte).

Energia potencial que guanya la massa (prenem $g=9{,}807\,\mathrm{m/s^2}$ ):
$E_\text{mec}$ ${}= m\,g\,h$ ${}= 3\,\mathrm{kg}\cdot 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}\cdot 1{,}5\,\mathrm{m}$ ${}= 44{,}13\,\mathrm{J}$
Ni el diàmetre del corró ni el temps no intervenen en l’energia. El temps serviria per calcular la potència mitjana, $E_\text{mec}/t=44{,}13\,\mathrm{J}/3\,\mathrm{s}=14{,}71\,\mathrm{W}$ : és el valor de la d), però és una potència, no una energia.
La c), $22{,}07\,\mathrm{J}$ , és la meitat del resultat: correspondria a una massa repartida al llarg de la pantalla, amb el centre a $h/2$ . La b) no correspon a l’energia potencial que guanya la massa.
Amb $g=9{,}81\,\mathrm{m/s^2}$ surt $44{,}15\,\mathrm{J}$ , i l’opció més pròxima continua sent la a).

ResultatLa resposta correcta és la a): $E_\text{mec}=m\,g\,h=44{,}13\,\mathrm{J}$ .

La pauta oficial dona: Resposta a).

1.20,5 punts

Plantejament Es pregunta quin és el límit del rendiment d’una màquina tèrmica que treballa entre dos focus. El màxim teòric és el rendiment de Carnot, que només depèn de les temperatures absolutes dels focus.

Temperatures absolutes: focus fred, $T_\text{f}=270+273{,}15=543{,}15\,\mathrm{K}$ ; focus calent, $T_\text{c}=610+273{,}15=883{,}15\,\mathrm{K}$ .
Rendiment de Carnot, és a dir, el $38{,}5$ %:
$\eta_\text{Carnot}$ ${}= 1-\dfrac{T_\text{f}}{T_\text{c}}$ ${}= 1-\dfrac{543{,}15\,\mathrm{K}}{883{,}15\,\mathrm{K}}$ ${}= 0{,}385$
Cap màquina que treballi entre aquests dos focus no pot superar el rendiment de Carnot: la b) és certa i la a) és falsa.
La c) i la d) també són falses: una màquina tèrmica pot funcionar entre dos focus qualssevol a temperatures diferents; les temperatures dels focus fixen el rendiment màxim, no si la màquina pot funcionar.

ResultatLa resposta correcta és la b): el rendiment màxim (de Carnot) és $1-543{,}15/883{,}15=0{,}385$ , el $38{,}5$ %.

La pauta oficial dona: Resposta b).

1.30,5 punts

Plantejament Es pregunta què es pot deduir de les dues corbes de tracció. La ductilitat es veu en la deformació a la qual es trenca la proveta (on s’acaba la corba), i el límit elàstic, en la tensió on s’acaba el tram recte.

La corba de l’acer s’acaba a una deformació d’uns $0{,}004$ , mentre que la del bronze arriba més enllà de $0{,}01$ : l’acer es trenca amb molta menys deformació plàstica.
Un material que es trenca amb poca deformació plàstica és més fràgil (menys dúctil). Per tant, l’acer és més fràgil que el bronze: la a) és certa i la c) és falsa.
El tram recte de l’acer arriba fins a prop de $400\,\mathrm{MPa}$ , i el del bronze, a poc més de $200\,\mathrm{MPa}$ : el límit elàstic de l’acer és més alt i la b) és falsa. La d) també ho és, perquè les dues corbes s’acaben a deformacions molt diferents.

ResultatLa resposta correcta és la a): l’acer es trenca amb una deformació molt més petita que el bronze, és a dir, és més fràgil.

La pauta oficial dona: Resposta a).

1.40,5 punts

Plantejament Es demana la diferència de $\mathrm{CO_2}$ emès en $50\,\mathrm{km}$ segons el combustible: per a cadascun, els litres consumits pel factor d’emissió, i després la resta.

Gasolina: en $50\,\mathrm{km}$ gasta la meitat de $6{,}1\,\mathrm{L}$ :
$m_\text{gasolina}$ ${}= \dfrac{6{,}1\,\mathrm{L}}{100\,\mathrm{km}}\cdot 50\,\mathrm{km}\cdot 2{,}23\,\mathrm{kg/L}$ ${}= 3{,}05\,\mathrm{L}\cdot 2{,}23\,\mathrm{kg/L}$ ${}= 6{,}802\,\mathrm{kg}$
GLP: en $50\,\mathrm{km}$ gasta $3{,}5\,\mathrm{L}$ :
$m_\text{GLP}$ ${}= 3{,}5\,\mathrm{L}\cdot 1{,}647\,\mathrm{kg/L}$ ${}= 5{,}765\,\mathrm{kg}$
Diferència entre els dos combustibles:
$\Delta m$ ${}= 6{,}802\,\mathrm{kg}-5{,}765\,\mathrm{kg}$ ${}= 1{,}037\,\mathrm{kg}$
La a) i la b) són les emissions de cada combustible per separat, no la diferència, i la d), $2{,}074\,\mathrm{kg}$ , és la diferència per a $100\,\mathrm{km}$ , el doble del recorregut.

ResultatLa resposta correcta és la c): amb gasolina s’emeten $1{,}037\,\mathrm{kg}$ més de $\mathrm{CO_2}$ que amb GLP en $50\,\mathrm{km}$ .

La pauta oficial dona: Resposta c).

1.50,5 punts

Plantejament Es demana el valor màxim (de pic) de la tensió sinusoidal. La potència activa en una resistència es calcula amb el valor eficaç, i el valor màxim d’una sinusoide és $\sqrt{2}$ vegades l’eficaç.

Valor eficaç de la tensió:
$P$ ${}= \dfrac{U_\text{ef}^2}{R}$ ${}\Rightarrow U_\text{ef}$ ${}= \sqrt{P\,R}$ ${}= \sqrt{100\,\mathrm{W}\cdot 25\,\Omega}$ ${}= 50\,\mathrm{V}$
Valor màxim:
$U_\text{màx}$ ${}= \sqrt{2}\,U_\text{ef}$ ${}= \sqrt{2}\cdot 50\,\mathrm{V}$ ${}= 70{,}71\,\mathrm{V}$ ${}\approx 71\,\mathrm{V}$
La b), $50\,\mathrm{V}$ , és el valor eficaç, no el màxim. La a), $4$ , és el quocient $P/R$ , que no és una tensió (és el quadrat del corrent eficaç, $I^2=4\,\mathrm{A^2}$ ). La d), $100\,\mathrm{V}$ , no és ni el valor màxim ni el valor de pic a pic, que seria $2\cdot 70{,}71\,\mathrm{V}=141{,}4\,\mathrm{V}$ .

ResultatLa resposta correcta és la c): $U_\text{màx}=\sqrt{2}\cdot 50\,\mathrm{V}=70{,}71\,\mathrm{V}\approx 71\,\mathrm{V}$ .

La pauta oficial dona: Resposta c).

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Tecnologia i Enginyeria 2024, convocatòria extraordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 26 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2024Convocatòria extraordinària · Sèrie 3 · Exercici 3

2,5 puntsCoincideix amb la pauta

Enunciat oficial de l’exercici 3 de la PAU de Tecnologia i Enginyeria de Catalunya de 2024 (convocatòria extraordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Enunciat oficial de l’exercici 3 de la PAU de Tecnologia i Enginyeria de Catalunya de 2024 (convocatòria extraordinària), en català. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Una cistella de bàsquet és solidària a una barra homogènia OC de longitud $4l$ . La massa total del conjunt és $m=100\,\mathrm{kg}$ i el seu centre d’inèrcia es troba al punt G. La barra està articulada al sostre en el punt O. Per a plegar i desplegar la cistella s’utilitza un mecanisme de tambor. Un cable amb un extrem fix a la barra s’enrotlla al tambor seguint el recorregut que es mostra a la figura. El rendiment del motor és $\eta=0{,}8$ .

S’estudia la maniobra de plegat de la cistella en el tram en què l’angle entre el sostre i la barra passa de $\varphi_1=45^\circ$ a $\varphi_2=15^\circ$ . En aquest tram, la velocitat angular de la barra és constant i té un valor $\omega=0{,}1745\,\mathrm{rad/s}$ en sentit antihorari. Determineu:

Barra OC articulada al sostre en O i inclinada un angle φ per sota del sostre. Al llarg de la barra hi ha marcats quatre trams iguals de longitud l; el centre d’inèrcia G és al final del tercer tram, a 3l d’O, i la cistella penja de l’extrem C. Un cable lligat a la barra puja fins al punt P del sostre i continua horitzontalment fins al tambor. Dades: m = 100 kg, l = 1 m; la gravetat g apunta cap avall.

a) L’energia mecànica necessària per a fer la maniobra, $E_\text{mec}$ .

[1 punt]

b) L’energia consumida pel motor per a fer la maniobra, $E_\text{mot}$ .

[0,5 punts]

c) La velocitat vertical del centre d’inèrcia quan $\varphi=30^\circ$ , $v_\text{vert}$ .

[0,5 punts]

d) La potència que consumeix el motor en la posició anterior, $P_\text{mot}$ .

[0,5 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)1 punt

Plantejament Es demana l’energia mecànica per plegar la cistella de $45^\circ$ a $15^\circ$ . Com que la velocitat angular és constant, l’energia cinètica no canvia, i tota l’energia mecànica que aporta el cable es converteix en energia potencial: el centre d’inèrcia G puja.

Segons la figura, G és a $3l=3\,\mathrm{m}$ d’O al llarg de la barra. Amb la barra a un angle $\varphi$ per sota del sostre, G queda a una distància vertical $3l\sin\varphi$ per sota d’O.
Altura que puja G entre les dues posicions:
$\Delta h$ ${}= 3l\,(\sin\varphi_1-\sin\varphi_2)$ ${}= 3\,\mathrm{m}\cdot(\sin 45^\circ-\sin 15^\circ)$ ${}= 3\,\mathrm{m}\cdot(0{,}7071-0{,}2588)$ ${}= 1{,}345\,\mathrm{m}$
Energia mecànica (prenem $g=9{,}807\,\mathrm{m/s^2}$ ):
$E_\text{mec}$ ${}= m\,g\,\Delta h$ ${}= 100\,\mathrm{kg}\cdot 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}\cdot 1{,}345\,\mathrm{m}$ ${}= 1\,319\,\mathrm{J}$

Resultat $E_\text{mec}=1\,319\,\mathrm{J}$ (G puja $\Delta h=1{,}345\,\mathrm{m}$ ).

La pauta oficial dona: $E_\text{mec}=m\,g\,\Delta h$ ; $\Delta h$ ${}= d\sin\varphi_1-d\sin\varphi_2$ ${}= d\sin 45^\circ-d\sin 15^\circ$ ${}= 1{,}345\,\mathrm{m}$ ; $E_\text{mec}=1\,319\,\mathrm{J}$ .

b)0,5 punts

Plantejament Es demana l’energia que consumeix el motor, tenint en compte el seu rendiment.

El motor ha de consumir més energia que la mecànica que entrega:
$E_\text{mot}$ ${}= \dfrac{E_\text{mec}}{\eta}$ ${}= \dfrac{1\,319\,\mathrm{J}}{0{,}8}$ ${}= 1\,649\,\mathrm{J}$

Resultat $E_\text{mot}=1\,649\,\mathrm{J}$ .

La pauta oficial dona: $E_\text{mot}=E_\text{mec}/\eta=1\,649\,\mathrm{J}$ .

c)0,5 punts

Plantejament Es demana la component vertical de la velocitat de G quan la barra forma $30^\circ$ amb el sostre. G descriu un arc de radi $3l$ al voltant d’O: la seva velocitat és perpendicular a la barra i val $\omega\cdot 3l$ .

Mòdul de la velocitat de G:
$v_\text{G}$ ${}= \omega\cdot 3l$ ${}= 0{,}1745\,\mathrm{rad/s}\cdot 3\,\mathrm{m}$ ${}= 0{,}5235\,\mathrm{m/s}$
La velocitat és perpendicular a la barra; com que la barra forma $30^\circ$ amb l’horitzontal, la velocitat forma $30^\circ$ amb la vertical, i la seva component vertical és:
$v_\text{vert}$ ${}= \omega\cdot 3l\cdot\cos\varphi$ ${}= 0{,}5235\,\mathrm{m/s}\cdot\cos 30^\circ$ ${}= 0{,}4534\,\mathrm{m/s}$
Equivalentment: G és a una distància $3l\sin\varphi$ per sota del sostre, que varia a un ritme $3l\cos\varphi\cdot\omega$ . En plegar, $\varphi$ disminueix i G puja.

Resultat $v_\text{vert}=0{,}4534\,\mathrm{m/s}$ , cap amunt.

La pauta oficial dona: $v_\text{vert}$ ${}= |\omega|\,3l\cos\varphi$ ${}= 0{,}4534\,\mathrm{m/s}$ .

d)0,5 punts

Plantejament Es demana la potència que consumeix el motor en aquesta posició. Com que la velocitat angular és constant, la potència mecànica és la que fa pujar el pes a la velocitat vertical de G, i el motor n’ha de consumir més pel seu rendiment.

Potència mecànica:
$P_\text{mec}$ ${}= m\,g\,v_\text{vert}$ ${}= 100\,\mathrm{kg}\cdot 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}\cdot 0{,}4534\,\mathrm{m/s}$ ${}= 444{,}6\,\mathrm{W}$
Potència que consumeix el motor:
$P_\text{mot}$ ${}= \dfrac{P_\text{mec}}{\eta}$ ${}= \dfrac{444{,}6\,\mathrm{W}}{0{,}8}$ ${}= 555{,}8\,\mathrm{W}$
Amb $g=9{,}81\,\mathrm{m/s^2}$ surt $555{,}9\,\mathrm{W}$ ; l’energia dels apartats a) i b) no canvia.

Resultat $P_\text{mot}=555{,}8\,\mathrm{W}$ ( $P_\text{mec}=444{,}6\,\mathrm{W}$ ).

La pauta oficial dona: $P_\text{mot}$ ${}= P_\text{mec}/\eta$ ${}= m\,g\,v_\text{vert}/\eta$ ${}= 555{,}8\,\mathrm{W}$ .

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Tecnologia i Enginyeria 2024, convocatòria extraordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 26 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2023Convocatòria ordinària · Sèrie 1 · Exercici 3

2,5 puntsCoincideix amb la pauta

Enunciat oficial de l’exercici 3 de la PAU de Tecnologia industrial de Catalunya de 2023 (convocatòria ordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Enunciat oficial de l’exercici 3 de la PAU de Tecnologia industrial de Catalunya de 2023 (convocatòria ordinària), en català. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Una pantalla de projecció té una massa $m=2$ kg a la part inferior per a mantenir-la sempre tibada. Un motor reductor de rendiment $\eta_\text{mot}=0{,}9$ és l’encarregat de recollir la pantalla en el corró de diàmetre $d=250$ mm, que es troba articulat amb el sostre al punt P.

El punt inferior de la pantalla es desplaça verticalment des d’una altura $h_1=0{,}3$ m fins a $h_2=2$ m en $t=8$ s, a velocitat constant. Si la massa de la resta d’elements és negligible, determineu:

Esquema de la pantalla: a dalt, el corró de diàmetre d articulat al sostre al punt P; d’ell baixa la pantalla vertical fins a la massa m del punt inferior, que és a una altura h sobre el terra. La gravetat g apunta cap avall. Requadre: m=2 kg, d=250 mm.

a) La potència elèctrica mitjana $P_\text{elèctr}$ consumida pel motor reductor.

[1 punt]

b) La velocitat angular de l’eix de sortida del motor reductor $\omega_\text{mot}$ i el parell aplicat per aquest al tambor $\Gamma_\text{mot}$ .

[1 punt]

c) L’increment percentual, $\mathit{Inc}$ , de la potència elèctrica si es volgués fer pujar la pantalla amb la meitat del temps.

[0,5 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)1 punt

Plantejament Potència elèctrica per pujar una massa a velocitat constant amb un motor reductor: la potència mecànica és el pes per la velocitat, i l’elèctrica s’obté dividint pel rendiment del motor reductor.

Velocitat de pujada de la massa (constant):
$v$ ${}= \dfrac{h_2-h_1}{t}$ ${}= \dfrac{2\ \mathrm{m}-0{,}3\ \mathrm{m}}{8\ \mathrm{s}}$ ${}= 0{,}2125\ \mathrm{m/s}$
Com que puja a velocitat constant, la pantalla estira la massa amb una força igual al seu pes, $m\,g$ . Potència mecànica a la sortida del motor reductor, amb $g=9{,}807\ \mathrm{m/s^2}$ , ja que l’enunciat no en dona el valor:
$P_\text{mec}$ ${}= m\,g\,v$ ${}= 2\ \mathrm{kg}\cdot9{,}807\ \mathrm{m/s^2}\cdot0{,}2125\ \mathrm{m/s}$ ${}= 4{,}168\ \mathrm{W}$
Potència elèctrica mitjana:
$P_\text{elèctr}$ ${}= \dfrac{P_\text{mec}}{\eta_\text{mot}}$ ${}= \dfrac{4{,}168\ \mathrm{W}}{0{,}9}$ ${}= 4{,}631\ \mathrm{W}$

Resultat $P_\text{elèctr}=4{,}631\ \mathrm{W}$ .

La pauta oficial dona: $P_\text{mec}$ ${}= m\,g\,v$ ${}= \dfrac{m\,g\,(h_2-h_1)}{t}$ ; $P_\text{elèctr}$ ${}= \dfrac{P_\text{mec}}{\eta_\text{mot}}$ ${}= 4{,}631\ \mathrm{W}$

b)1 punt

Plantejament Velocitat angular i parell a l’eix de sortida del motor reductor, que és l’eix del corró on s’enrotlla la pantalla.

La velocitat de la pantalla és la de la perifèria del corró. Es considera negligible el gruix de la tela enrotllada, de manera que el radi es manté $d/2=0{,}125\ \mathrm{m}$ :
$\omega_\text{mot}$ ${}= \dfrac{v}{d/2}$ ${}= \dfrac{0{,}2125\ \mathrm{m/s}}{0{,}125\ \mathrm{m}}$ ${}= 1{,}7\ \mathrm{rad/s}$
Parell que el motor reductor aplica al tambor, a partir de la potència mecànica de l’apartat a:
$\Gamma_\text{mot}$ ${}= \dfrac{P_\text{mec}}{\omega_\text{mot}}$ ${}= \dfrac{4{,}168\ \mathrm{W}}{1{,}7\ \mathrm{rad/s}}$ ${}= 2{,}452\ \mathrm{N\,m}$
Comprovació: és el pes multiplicat pel radi del corró.
$\Gamma_\text{mot}$ ${}= m\,g\,\dfrac{d}{2}$ ${}= 2\cdot9{,}807\cdot0{,}125$ ${}= 2{,}452\ \mathrm{N\,m}$

Resultat $\omega_\text{mot}=1{,}7\ \mathrm{rad/s}$ i $\Gamma_\text{mot}=2{,}452\ \mathrm{N\,m}$ .

La pauta oficial dona: $\omega_\text{mot}=\dfrac{v}{d/2}=1{,}7\ \mathrm{rad/s}$ ; $\Gamma_\text{mot}$ ${}= \dfrac{P_\text{mec}}{\omega_\text{mot}}$ ${}= 2{,}452\ \mathrm{N\,m}$

c)0,5 punts

Plantejament Increment percentual de la potència elèctrica si la pantalla puja en la meitat del temps: l’energia que cal és la mateixa, però es dona en menys temps.

L’energia que rep la massa, $m\,g\,(h_2-h_1)$ , no canvia, però el temps passa a ser $t/2=4$ s. Amb el mateix rendiment, la potència es duplica:
$P'_\text{elèctr}$ ${}= \dfrac{m\,g\,(h_2-h_1)}{\eta_\text{mot}\,t/2}$ ${}= 2\,P_\text{elèctr}$ ${}= 9{,}262\ \mathrm{W}$
Increment relatiu; multiplicat per 100, és un increment del $100$ %:
$\mathit{Inc}$ ${}= \dfrac{P'_\text{elèctr}-P_\text{elèctr}}{P_\text{elèctr}}$ ${}= \dfrac{2\,P_\text{elèctr}-P_\text{elèctr}}{P_\text{elèctr}}$ ${}= 1$

Resultat $\mathit{Inc}=100$ %: la potència elèctrica es duplica.

La pauta oficial dona: $\tilde P_\text{elèctr}=2\,P_\text{elèctr}$ ; $\mathit{Inc}=100$ %

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Tecnologia industrial 2023, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 26 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2023Convocatòria ordinària · Sèrie 1 · Exercici 6

2,5 puntsLa pauta té un errorTambé a Motors i màquines elèctriques

Enunciat oficial de l’exercici 6 de la PAU de Tecnologia industrial de Catalunya de 2023 (convocatòria ordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Enunciat oficial de l’exercici 6 de la PAU de Tecnologia industrial de Catalunya de 2023 (convocatòria ordinària), en català. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Una espremedora domèstica per a fer suc de taronja està formada per un motor elèctric de corrent continu d’imants permanents i un reductor d’engranatges, la sortida del qual fa girar la peça en forma de con que permet extreure suc de les taronges. El parell del motor és donat per l’expressió

$\Gamma_\text{mot}=(0{,}08U-0{,}01\omega)\ \mathrm{N\,m}$ ,

en què $U=24$ V és la tensió d’alimentació del motor i $\omega$ és la seva velocitat angular (en rad/s). La sortida del motor està connectada a l’entrada del reductor. Aquest està format per un pinyó de $z_\text{p}=9$ dents que engrana amb una roda dentada de $z_\text{r}=62$ dents.

a) Determineu la relació de transmissió $\tau=\omega_\text{sortida}/\omega_\text{entrada}$ del reductor.

[0,5 punts]

b) Dibuixeu, indicant les escales, la corba característica parell-velocitat del motor i determineu-ne la velocitat de gir màxima, $n_\text{màx}$ .

[0,5 punts]

c) En règim nominal, el motor gira a $n_\text{mot}=1\,000\ \mathrm{min^{-1}}$ i té un rendiment $\eta=0{,}55$ . Per a aquesta situació, determineu:

La intensitat $I$ que circula pel motor.

[1 punt]

d) La velocitat angular $\omega_\text{con}$ de la peça en forma de con que extreu el suc de les taronges.

[0,5 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)0,5 punts

Plantejament Relació de transmissió d’un reductor d’una sola etapa: el pinyó del motor mou la roda de sortida, i les velocitats angulars van en proporció inversa al nombre de dents.

Les dues rodes engranades tenen la mateixa velocitat lineal al punt de contacte, és a dir, $\omega_\text{entrada}\,z_\text{p}$ ${}= \omega_\text{sortida}\,z_\text{r}$ :
$\tau$ ${}= \dfrac{\omega_\text{sortida}}{\omega_\text{entrada}}$ ${}= \dfrac{z_\text{p}}{z_\text{r}}$ ${}= \dfrac{9}{62}$ ${}= 0{,}1452$

Resultat $\tau=0{,}1452$ : la sortida gira unes $6{,}9$ vegades més lentament que el motor ( $62/9=6{,}889$ ).

La pauta oficial dona: $\tau=\dfrac{z_\text{p}}{z_\text{r}}=0{,}1452$

b)0,5 punts

Plantejament Corba parell-velocitat d’un motor de corrent continu d’imants permanents alimentat a tensió constant: el parell disminueix linealment amb la velocitat.

Amb $U=24$ V, l’expressió del parell queda (amb $\omega$ en rad/s i el parell en N m):
$\Gamma_\text{mot}$ ${}= 0{,}08\cdot24-0{,}01\,\omega$ ${}= 1{,}92-0{,}01\,\omega$
És una recta. Parell d’arrencada ( $\omega=0$ ): $\Gamma_\text{mot}=1{,}92\ \mathrm{N\,m}$ .
La velocitat és màxima quan el parell és nul (motor en buit):
$1{,}92-0{,}01\,\omega_\text{màx}=0$ ${}\Rightarrow \omega_\text{màx}$ ${}= 192{,}0\ \mathrm{rad/s}$
Passada a $\mathrm{min^{-1}}$ :
$n_\text{màx}$ ${}= \omega_\text{màx}\,\dfrac{60}{2\pi}$ ${}= 192{,}0\cdot\dfrac{60}{2\pi}$ ${}= 1\,833\ \mathrm{min^{-1}}$
Escales de la gràfica (figura): parell de $0$ a $2{,}5\ \mathrm{N\,m}$ a l’eix vertical, amb divisions de $0{,}5\ \mathrm{N\,m}$ , i velocitat de $0$ a $2\,000\ \mathrm{min^{-1}}$ a l’horitzontal, amb divisions de $500\ \mathrm{min^{-1}}$ . La recta va del punt $(0;\ 1{,}92\ \mathrm{N\,m})$ al punt $(1\,833\ \mathrm{min^{-1}};\ 0)$ .

ResultatRecta $\Gamma_\text{mot}=1{,}92-0{,}01\,\omega$ (figura); $n_\text{màx}=1\,833\ \mathrm{min^{-1}}$ , és a dir, $\omega_\text{màx}=192{,}0\ \mathrm{rad/s}$ .

La pauta oficial dona: La velocitat és màxima quan el parell és nul: $n_\text{màx}$ ${}= 192{,}0\ \mathrm{rad/s}$ ${}= 1\,833\ \mathrm{min^{-1}}$

Gràfica parell-velocitat del motor: eix vertical Gammamot en N m, de 0 a 2,5 amb divisions de 0,5; eix horitzontal n en min⁻¹, de 0 a 2 000 amb divisions de 500. Una recta decreixent va de 1,92 N m a n=0 fins a parell nul a n=1 833 min⁻¹.

c)1 punt

Plantejament Intensitat que consumeix el motor en règim nominal: es calcula el parell a aquesta velocitat, la potència mecànica i, amb el rendiment, la potència elèctrica, que és $U\,I$ .

Velocitat angular del motor:
$\omega_\text{mot}$ ${}= n_\text{mot}\,\dfrac{2\pi}{60}$ ${}= 1\,000\cdot\dfrac{2\pi}{60}$ ${}= 104{,}72\ \mathrm{rad/s}$
Parell a aquesta velocitat:
$\Gamma_\text{mot}$ ${}= 1{,}92-0{,}01\cdot104{,}72$ ${}= 0{,}8728\ \mathrm{N\,m}$
Potència mecànica:
$P_\text{mec}$ ${}= \Gamma_\text{mot}\,\omega_\text{mot}$ ${}= 0{,}8728\ \mathrm{N\,m}\cdot104{,}72\ \mathrm{rad/s}$ ${}= 91{,}40\ \mathrm{W}$
Potència elèctrica, amb el rendiment:
$P_\text{elèctr}$ ${}= \dfrac{P_\text{mec}}{\eta}$ ${}= \dfrac{91{,}40\ \mathrm{W}}{0{,}55}$ ${}= 166{,}18\ \mathrm{W}$
Intensitat, de $P_\text{elèctr}=U\,I$ :
$I$ ${}= \dfrac{P_\text{elèctr}}{U}$ ${}= \dfrac{166{,}18\ \mathrm{W}}{24\ \mathrm{V}}$ ${}= 6{,}924\ \mathrm{A}$

Resultat $I=6{,}924\ \mathrm{A}$ .

La pauta oficial dona: $I$ ${}= \dfrac{P_\text{elèctr}}{U}$ ${}= \dfrac{(0{,}08U-0{,}01\omega_\text{mot})\,\omega_\text{mot}}{\eta\,U}$ ${}= 6{,}924\ \mathrm{A}$

d)0,5 punts

Plantejament Velocitat angular de la peça en forma de con, que és la sortida del reductor: la del motor multiplicada per la relació de transmissió.

Amb la relació de l’apartat a i la velocitat del motor de l’apartat c:
$\omega_\text{con}$ ${}= \tau\,\omega_\text{mot}$ ${}= \dfrac{9}{62}\cdot104{,}72\ \mathrm{rad/s}$ ${}= 15{,}20\ \mathrm{rad/s}$
En $\mathrm{min^{-1}}$ :
$n_\text{con}$ ${}= \tau\,n_\text{mot}$ ${}= \dfrac{9}{62}\cdot1\,000$ ${}= 145{,}2\ \mathrm{min^{-1}}$

Resultat $\omega_\text{con}=15{,}20\ \mathrm{rad/s}$ ( $145{,}2\ \mathrm{min^{-1}}$ ).

La pauta oficial dona: $\omega_\text{con}=\tau\,\omega_\text{mot}=15{,}20\ \mathrm{rad/s}$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Tecnologia industrial 2023, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 26 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2023Convocatòria ordinària · Sèrie 5 · Exercici 3

2,5 puntsCoincideix amb la pautaTambé a Energia, consum i emissions

Es volen instal·lar petits aerogeneradors en una zona rural per a donar subministrament a una casa aïllada amb una demanda anual de $E_\text{casa}=500\ \mathrm{kW\,h}$ . En aquests aerogeneradors, el rotor es connecta directament al generador elèctric sense necessitat d’un multiplicador. El rendiment del generador és $\eta_\text{gen}=1/3$ . S’obté energia 14 hores al dia durant 250 dies l’any. Les gràfiques següents mostren la potència elèctrica generada $P_\text{útil}$ d’un aerogenerador en funció de la velocitat del vent $v$ i la potència a l’eix del rotor $P_\text{rotor}$ en funció de la velocitat de gir $n$ de les pales.

Per al cas estudiat, s’estima que la velocitat del vent al punt d’instal·lació és de $v=4$ m/s. Per a aquestes condicions, determineu:

Dues gràfiques. Esquerra: potència elèctrica generada Pútil (W, de 20 a 80) en funció de la velocitat del vent v (m/s, de 3 a 4,5); és una corba creixent que passa per uns 21 W a 3 m/s, per 50 W a 4 m/s i per uns 71 W a 4,5 m/s. Dreta: potència a l’eix del rotor Protor (W, de 0 a 300) en funció de la velocitat de gir n (min⁻¹, de 280 a 340); és una recta creixent que va d’uns 20 W a 280 min⁻¹ fins a uns 280 W a 340 min⁻¹ i passa per 150 W a 310 min⁻¹.

a) La potència a l’eix del rotor $P_\text{rotor}$ .

[0,5 punts]

b) La velocitat angular de les pales $\omega$ i el parell a l’eix del rotor $\Gamma$ .

[1 punt]

c) L’energia anual que subministra un aerogenerador $E_\text{subm}$ .

[0,5 punts]

d) La quantitat $q$ d’aerogeneradors que caldria instal·lar per a donar servei a l’habitatge.

[0,5 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)0,5 punts

Plantejament Potència a l’eix del rotor d’un aerogenerador: es llegeix a la primera gràfica la potència elèctrica per a $v=4$ m/s i es divideix pel rendiment del generador.

A la gràfica $P_\text{útil}$ – $v$ , a $v=4\ \mathrm{m/s}$ la corba passa per la línia de $50\ \mathrm{W}$ :
$P_\text{útil}=50\ \mathrm{W}$
El rotor mou directament el generador (no hi ha multiplicador), així que la potència a l’eix del rotor és la que entra al generador:
$P_\text{rotor}$ ${}= \dfrac{P_\text{útil}}{\eta_\text{gen}}$ ${}= \dfrac{50\ \mathrm{W}}{1/3}$ ${}= 150\ \mathrm{W}$

Resultat $P_\text{rotor}=150\ \mathrm{W}$ .

La pauta oficial dona: Del gràfic, $P_\text{útil}=50\ \mathrm{W}$ ; $P_\text{rot}=\dfrac{P_\text{útil}}{\eta}=150\ \mathrm{W}$

b)1 punt

Plantejament Velocitat angular de les pales i parell a l’eix del rotor: amb $P_\text{rotor}$ es llegeix la velocitat de gir a la segona gràfica, i el parell és la potència dividida per la velocitat angular.

A la gràfica $P_\text{rotor}$ – $n$ , la recta passa per $150\ \mathrm{W}$ a la línia vertical de $310\ \mathrm{min^{-1}}$ :
$n=310\ \mathrm{min^{-1}}$
Velocitat angular de les pales:
$\omega$ ${}= n\,\dfrac{2\pi}{60}$ ${}= 310\cdot\dfrac{2\pi}{60}$ ${}= 32{,}46\ \mathrm{rad/s}$
Parell a l’eix del rotor:
$\Gamma$ ${}= \dfrac{P_\text{rotor}}{\omega}$ ${}= \dfrac{150\ \mathrm{W}}{32{,}46\ \mathrm{rad/s}}$ ${}= 4{,}621\ \mathrm{N\,m}$

Resultat $\omega=32{,}46\ \mathrm{rad/s}$ ( $n=310\ \mathrm{min^{-1}}$ ) i $\Gamma=4{,}621\ \mathrm{N\,m}$ .

La pauta oficial dona: Del gràfic, $n=310\ \mathrm{min^{-1}}$ ; $\omega=32{,}46\ \mathrm{rad/s}$ ; $\Gamma=\dfrac{P_\text{rot}}{\omega}=4{,}621\ \mathrm{N\,m}$

c)0,5 punts

Plantejament Energia elèctrica anual d’un aerogenerador: la potència útil multiplicada per les hores de funcionament de l’any.

Hores de funcionament l’any (14 hores al dia durant 250 dies):
$t=14\cdot250=3\,500\ \mathrm{h}$
Energia subministrada:
$E_\text{subm}$ ${}= P_\text{útil}\,t$ ${}= 50\ \mathrm{W}\cdot3\,500\ \mathrm{h}$ ${}= 175\,000\ \mathrm{W\,h}$ ${}= 175\ \mathrm{kW\,h}$
En megajoules ( $1\ \mathrm{kW\,h}=3{,}6\ \mathrm{MJ}$ ):
$E_\text{subm}=175\cdot3{,}6\ \mathrm{MJ}=630{,}0\ \mathrm{MJ}$

Resultat $E_\text{subm}=175\ \mathrm{kW\,h}=630{,}0\ \mathrm{MJ}$ l’any.

La pauta oficial dona: $E_\text{subm}$ ${}= P_\text{útil}\,t$ ${}= 175\ \mathrm{kW\,h}$ ${}= 630{,}0\ \mathrm{MJ}$

d)0,5 punts

Plantejament Nombre d’aerogeneradors: la demanda anual de la casa dividida per l’energia que dona cada aerogenerador, arrodonida cap amunt.

Quocient entre la demanda i l’energia d’un aerogenerador:
$q$ ${}= \dfrac{E_\text{casa}}{E_\text{subm}}$ ${}= \dfrac{500\ \mathrm{kW\,h}}{175\ \mathrm{kW\,h}}$ ${}= 2{,}857$
No es pot instal·lar una fracció d’aerogenerador, i amb dos no n’hi hauria prou ( $2\cdot175=350\ \mathrm{kW\,h}$ ): cal arrodonir cap amunt.

Resultat $q=3$ aerogeneradors (el quocient dona $2{,}857$ ).

La pauta oficial dona: $q=\dfrac{E_\text{casa}}{E_\text{subm}}=2{,}857\ \rightarrow\ 3$ aerogeneradors

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Tecnologia industrial 2023, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 26 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2023Convocatòria ordinària · Sèrie 5 · Exercici 6

2,5 puntsCoincideix amb la pauta

Una persona asseguda en una cadira de rodes elèctrica avança a una velocitat constant $v=4$ km/h per un pendent ascendent del 10 %. La massa del conjunt format per la persona i la cadira és $m=240$ kg. La cadira té dues rodes motrius de diàmetre $d=300$ mm amb un motor reductor independent cadascuna. En la situació d’estudi, la cadira avança en línia recta, els dos motors consumeixen la mateixa potència i les rodes no llisquen. El rendiment dels motors reductors és $\eta=0{,}79$ i la fricció amb l’aire es considera negligible. Determineu:

a) La potència mecànica a l’eix de cada roda $P_\text{mec}$ .

[1 punt]

b) El parell a l’eix de cada roda $\Gamma$ .

[1 punt]

c) La potència elèctrica total consumida $P_\text{cons}$ .

[0,5 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)1 punt

Plantejament Potència mecànica que ha de donar cada roda motriu per pujar un pendent a velocitat constant: la component del pes paral·lela al pendent per la velocitat, repartida entre les dues rodes.

Un pendent del 10 % puja 10 m per cada 100 m en horitzontal:
$\alpha=\arctan\dfrac{10}{100}=5{,}711^\circ$
Velocitat en m/s:
$v=\dfrac{4\ \mathrm{km/h}}{3{,}6}=1{,}111\ \mathrm{m/s}$
A velocitat constant i sense fricció amb l’aire, les rodes han d’empènyer amb una força igual a la component del pes paral·lela al pendent (amb $g=9{,}807\ \mathrm{m/s^2}$ , ja que l’enunciat no en dona el valor):
$F$ ${}= m\,g\sin\alpha$ ${}= 240\ \mathrm{kg}\cdot9{,}807\ \mathrm{m/s^2}\cdot\sin5{,}711^\circ$ ${}= 234{,}2\ \mathrm{N}$
Potència total, $F\,v$ , i potència a l’eix de cada roda (les dues motrius en fan la meitat cadascuna):
$P_\text{mec}$ ${}= \dfrac{F\,v}{2}$ ${}= \dfrac{234{,}2\ \mathrm{N}\cdot1{,}111\ \mathrm{m/s}}{2}$ ${}= 130{,}1\ \mathrm{W}$

Resultat $P_\text{mec}=130{,}1\ \mathrm{W}$ a l’eix de cada roda.

La pauta oficial dona: $\alpha=\arctan(10/100)=5{,}711^\circ$ ; $P_\text{mec}=\dfrac{m\,g\,v\sin\alpha}{2}=130{,}1\ \mathrm{W}$

b)1 punt

Plantejament Parell a l’eix de cada roda: la potència mecànica dividida per la velocitat angular de la roda, que surt de la velocitat de la cadira perquè les rodes no llisquen.

Sense lliscament, la velocitat de la cadira és la de la perifèria de la roda, de radi $d/2=0{,}15\ \mathrm{m}$ :
$\omega$ ${}= \dfrac{v}{d/2}$ ${}= \dfrac{1{,}111\ \mathrm{m/s}}{0{,}15\ \mathrm{m}}$ ${}= 7{,}407\ \mathrm{rad/s}$
Parell a l’eix de cada roda:
$\Gamma$ ${}= \dfrac{P_\text{mec}}{\omega}$ ${}= \dfrac{130{,}1\ \mathrm{W}}{7{,}407\ \mathrm{rad/s}}$ ${}= 17{,}56\ \mathrm{N\,m}$

Resultat $\Gamma=17{,}56\ \mathrm{N\,m}$ a l’eix de cada roda.

La pauta oficial dona: $\omega=\dfrac{v}{d/2}$ ; $\Gamma=\dfrac{P_\text{mec}}{\omega}=17{,}56\ \mathrm{N\,m}$

c)0,5 punts

Plantejament Potència elèctrica total: la potència mecànica de les dues rodes dividida pel rendiment dels motors reductors.

Les dues rodes donen $2\,P_\text{mec}$ i cada motor reductor té rendiment $\eta$ :
$P_\text{cons}$ ${}= \dfrac{2\,P_\text{mec}}{\eta}$ ${}= \dfrac{2\cdot130{,}1\ \mathrm{W}}{0{,}79}$ ${}= 329{,}4\ \mathrm{W}$

Resultat $P_\text{cons}=329{,}4\ \mathrm{W}$ .

La pauta oficial dona: $P_\text{cons}=\dfrac{2\,P_\text{mec}}{\eta}=329{,}4\ \mathrm{W}$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Tecnologia industrial 2023, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 26 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2023Convocatòria extraordinària · Sèrie 2 · Exercici 5

2,5 puntsCoincideix amb la pautaTambé a Estàtica i equilibri

Enunciat oficial de l’exercici 5 de la PAU de Tecnologia industrial de Catalunya de 2023 (convocatòria extraordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Enunciat oficial de l’exercici 5 de la PAU de Tecnologia industrial de Catalunya de 2023 (convocatòria extraordinària), en català. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Una cistella de bàsquet de massa $m_\mathrm{c} = 45\,\mathrm{kg}$ és solidària a una barra homogènia OBC de longitud $2l = 4\,\mathrm{m}$ i massa $m_\mathrm{b} = 60\,\mathrm{kg}$ . El punt O està articulat al sostre. L’angle entre el sostre i la barra està comprès entre $15^\circ \le \varphi \le 45^\circ$ . Per a plegar i desplegar la cistella s’utilitza un mecanisme de tambor, de diàmetre $d = 250\,\mathrm{mm}$ , en què un motor enrotlla al tambor un cable que hi té l’extrem fixat. El cable passa per una politja situada al sostre al punt P, de diàmetre negligible, i l’altre extrem està fixat al punt mitjà de la barra OBC (punt B). El centre d’inèrcia de la cistella es troba al punt C. En la posició desplegada, $\varphi = 45^\circ$ , el taulell es troba al pla vertical i el cable BP és perpendicular a la barra OBC.

Barra OBC articulada al sostre al punt O, que baixa cap a la dreta formant un angle φ amb el sostre. B és el punt mitjà (OB = l i BC = l) i hi ha el centre de gravetat de la barra, de massa m_b; a l’extrem C hi ha el centre d’inèrcia de la cistella, de massa m_c, dibuixada amb línia discontínua. Un cable va de B a la politja P del sostre i continua horitzontal fins al tambor. Requadre de dades: m_b = 60 kg, m_c = 45 kg, l = 2 m, d = 250 mm. La gravetat g apunta cap avall.

a) Dibuixeu el diagrama de cos lliure de la barra OBC.

[0,5 punts]

b) Determineu:

La força $T$ a la qual està sotmès el cable.

[0,5 punts]

c) Les forces vertical $F_\mathrm{V}$ i horitzontal $F_\mathrm{H}$ a l’articulació O.

[1 punt]

d) El parell $\Gamma$ que hauria de fer el motor per a mantenir la cistella en aquesta configuració.

[0,5 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)0,5 punts

Plantejament Es demana el diagrama de cos lliure de la barra OBC en la posició desplegada ( $\varphi = 45^\circ$ ): la barra aïllada amb totes les forces que hi actuen, cadascuna al seu punt d’aplicació.

Pes de la barra, $m_\mathrm{b}\,g$ , vertical cap avall, aplicat al punt mitjà B, que és el seu centre de gravetat perquè la barra és homogènia.
Pes de la cistella, $m_\mathrm{c}\,g$ , vertical cap avall, aplicat al punt C, on és el centre d’inèrcia de la cistella (la cistella és solidària a la barra).
Tensió del cable, $T$ , aplicada a B en la direcció del cable BP: perpendicular a la barra i cap a la politja P, és a dir, cap amunt i cap a la dreta (un cable només pot estirar).
Reacció de l’articulació O, que pot tenir qualsevol direcció: se’n dibuixen les dues components, $F_\mathrm{H}$ horitzontal i $F_\mathrm{V}$ vertical. Els càlculs de l’apartat c) donen $F_\mathrm{H}$ cap a l’esquerra i $F_\mathrm{V}$ cap amunt.
Distàncies: $\mathrm{OB} = \mathrm{BC} = l = 2\,\mathrm{m}$ , i la barra forma un angle $\varphi = 45^\circ$ amb el sostre, que és horitzontal.

ResultatForces sobre la barra OBC: $F_\mathrm{H}$ (cap a l’esquerra) i $F_\mathrm{V}$ (cap amunt) a O; $T$ perpendicular a la barra a B; els pesos $m_\mathrm{b}\,g$ a B i $m_\mathrm{c}\,g$ a C, verticals cap avall. Diagrama a la figura.

La pauta oficial dona: Diagrama de cos lliure de la barra: $F_\mathrm{H}$ (cap a l’esquerra) i $F_\mathrm{V}$ (cap amunt) a O, $T$ perpendicular a la barra a B, $m_\mathrm{b}\,g$ a B i $m_\mathrm{c}\,g$ a C.

Diagrama de cos lliure de la barra OBC, que baixa a φ = 45° per sota de l’horitzontal que passa per O. A O, la reacció de l’articulació en components: F_H cap a l’esquerra i F_V cap amunt. A B, punt mitjà, la tensió T perpendicular a la barra, cap amunt i cap a la dreta, i el pes de la barra m_b·g cap avall. A C, extrem de la barra, el pes de la cistella m_c·g cap avall. OB = BC = l.

b)0,5 punts

Plantejament Es demana la tensió del cable. Les dues components de la reacció d’O no se saben, així que es prenen moments respecte d’O: així no hi surten i queda una sola incògnita, $T$ .

Equació de moments respecte d’O (sentit antihorari positiu). $T$ és perpendicular a la barra i s’aplica a la distància $l$ d’O, de manera que el seu braç és $l$ . Els pesos són verticals i els seus braços són les distàncies horitzontals d’O a B i a C, $l\cos\varphi$ i $2l\cos\varphi$ :
$\sum M_\mathrm{O}$ ${}= 0:\quad T\,l - m_\mathrm{b}\,g\,l\cos\varphi$ ${}- m_\mathrm{c}\,g\,2l\cos\varphi=0$
Aïllant $T$ (la $l$ se simplifica):
$T = g\cos\varphi\,(m_\mathrm{b} + 2\,m_\mathrm{c})$
Substituint amb $\varphi = 45^\circ$ (l’enunciat no dona $g$ ; prenem $g = 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}$ ; amb $9{,}81\,\mathrm{m/s^2}$ tots els resultats d’aquest exercici canvien a la quarta xifra):
$T$ ${}= 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}\cdot\cos 45^\circ\cdot(60 + 2\cdot 45)\,\mathrm{kg}$ ${}= 1\,040\,\mathrm{N}$

Resultat $T = 1\,040\,\mathrm{N}$ .

La pauta oficial dona: $\sum M(\mathrm{O}) = 0$ : $T\,l - m_\mathrm{b}\,g\,l\cos\varphi - m_\mathrm{c}\,g\,2l\cos\varphi = 0$ ; amb $\varphi = 45^\circ$ , $T = 1\,040\,\mathrm{N}$ .

c)1 punt

Plantejament Es demanen les dues components de la reacció a l’articulació O. S’apliquen les equacions d’equilibri de forces horitzontals i verticals, amb la tensió $T$ de l’apartat anterior.

Direcció de $T$ : és perpendicular a la barra, que baixa a $45^\circ$ , i per tant forma $45^\circ$ amb l’horitzontal, cap amunt i cap a la dreta. Les seves dues components són iguals:
$T\sin 45^\circ$ ${}= T\cos 45^\circ$ ${}= g\cos^2 45^\circ\,(m_\mathrm{b} + 2\,m_\mathrm{c})$ ${}= 9{,}807\cdot 0{,}5\cdot 150\,\mathrm{N}$ ${}= 735{,}5\,\mathrm{N}$
Equilibri horitzontal, amb $F_\mathrm{H}$ suposada cap a l’esquerra:
$\sum F_x$ ${}= 0:\quad T\sin 45^\circ - F_\mathrm{H}=0$ ${}\Rightarrow F_\mathrm{H}$ ${}= 735{,}5\,\mathrm{N}$
Equilibri vertical, amb $F_\mathrm{V}$ suposada cap amunt:
$\sum F_y$ ${}= 0:\quad F_\mathrm{V} + T\cos 45^\circ$ ${}- m_\mathrm{b}\,g - m_\mathrm{c}\,g=0$
Aïllant $F_\mathrm{V}$ :
$F_\mathrm{V}$ ${}= (60 + 45)\,\mathrm{kg}\cdot 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}$ ${}- 735{,}5\,\mathrm{N}$ ${}= 1\,029{,}7\,\mathrm{N} - 735{,}5\,\mathrm{N}$ ${}= 294{,}2\,\mathrm{N}$
Tots dos valors surten positius: els sentits suposats són els correctes. L’articulació empeny la barra cap a l’esquerra amb $735{,}5\,\mathrm{N}$ i la sosté cap amunt amb $294{,}2\,\mathrm{N}$ .

Resultat $F_\mathrm{H} = 735{,}5\,\mathrm{N}$ , cap a l’esquerra, i $F_\mathrm{V} = 294{,}2\,\mathrm{N}$ , cap amunt.

La pauta oficial dona: $F_\mathrm{H} = T\sqrt{2}/2 = 735{,}5\,\mathrm{N}$ ; $F_\mathrm{V}$ ${}= g\,(m_\mathrm{b} + m_\mathrm{c}) - T\sqrt{2}/2$ ${}= 294{,}2\,\mathrm{N}$ .

d)0,5 punts

Plantejament Es demana el parell que ha de fer el motor del tambor per a mantenir la cistella quieta. La politja P es considera ideal, de manera que la tensió del cable és la mateixa $T$ fins al tambor, i el cable s’enrotlla a una distància de l’eix igual al radi del tambor.

Radi del tambor: $r = d/2 = 125\,\mathrm{mm} = 0{,}125\,\mathrm{m}$ . El parell és la tensió pel radi:
$\Gamma$ ${}= T\,\frac{d}{2}=1\,040\,\mathrm{N}\cdot 0{,}125\,\mathrm{m}$ ${}= 130{,}0\,\mathrm{N\,m}$

Resultat $\Gamma = 130{,}0\,\mathrm{N\,m}$ .

La pauta oficial dona: $\Gamma = T\,d/2 = 130{,}0\,\mathrm{N\,m}$ .

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Tecnologia industrial 2023, convocatòria extraordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 26 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2022Convocatòria ordinària · Sèrie 2 · Exercici 1

2,5 puntsCoincideix amb la pautaTambé a Energia, consum i emissions, Materials i assajos, Circuits elèctrics

Enunciat oficial de l’exercici 1 de la PAU de Tecnologia industrial de Catalunya de 2022 (convocatòria ordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Enunciat oficial de l’exercici 1 de la PAU de Tecnologia industrial de Catalunya de 2022 (convocatòria ordinària), en català. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Indiqueu la resposta correcta de cada qüestió. Responeu en la taula de la pàgina 3. En el cas que no indiqueu les respostes a la taula, les qüestions es consideraran no contestades.

[En cada qüestió només es pot triar UNA resposta. Qüestió ben contestada: 0,5 punts; qüestió mal contestada: –0,16 punts; qüestió no contestada: 0 punts.]

1.1 Per a realitzar un assaig de Charpy s’utilitza un pèndol d’ $1\,\mathrm{m}$ de longitud que a l’extrem té una massa de $22\,\mathrm{kg}$ . S’usa una proveta amb una entalla en forma de U i una secció de $80\,\mathrm{mm^2}$ . A l’instant inicial, el pèndol està en posició horitzontal (la barra del pèndol és paral·lela al terra), i després de xocar contra la proveta al punt més baix de la seva trajectòria, el seu extrem s’eleva $250\,\mathrm{mm}$ . Quanta energia s’ha absorbit en el xoc?

a) $202{,}3\,\mathrm{J}$

b) $215{,}7\,\mathrm{J}$

c) $53{,}94\,\mathrm{J}$

d) $161{,}8\,\mathrm{J}$

[0,5 punts]

1.2 Una resistència elèctrica normalitzada de $390\,\Omega$ el valor de la qual pot estar comprès entre $382{,}2\,\Omega$ i $397{,}8\,\Omega$ té una tolerància del

a) $\pm 1$ %.

b) $\pm 2$ %.

c) $\pm 5$ %.

d) $\pm 10$ %.

[0,5 punts]

1.3 Un automòbil emet $157{,}8\,\mathrm{g}$ de $\mathrm{CO_2}$ per cada kilòmetre recorregut en vies interurbanes. Setmanalment gasta un dipòsit de $60\,\mathrm{L}$ de gasoil en aquests recorreguts i té un consum mitjà de $5{,}6\,\mathrm{L/(100\,km)}$ . Quina és la petjada de carboni que deixarà a l’atmosfera en una setmana?

a) $169{,}1\,\mathrm{kg}$ de $\mathrm{CO_2}$

b) $169{,}1$ tones de $\mathrm{CO_2}$

c) $1{,}691\,\mathrm{kg}$ de $\mathrm{CO_2}$

d) $16{,}91\,\mathrm{kg}$ de $\mathrm{CO_2}$

[0,5 punts]

1.4 Amb quines unitats es pot expressar la potència elèctrica consumida en un instant determinat en una llar?

a) $\mathrm{kW/h}$

b) $\mathrm{kW\cdot h}$

c) $\mathrm{kW}$

d) $\mathrm{kJ\cdot s}$

[0,5 punts]

1.5 Un tren d’engranatges es connecta entre els eixos d’un motor elèctric i d’una roda. Disposa de 4 rodes dentades de $z_1 = 14$ , $z_2 = 48$ , $z_3 = 16$ i $z_4 = 25$ dents com es veu en la figura. Determineu la relació de transmissió $\omega_{\text{roda}}/\omega_{\text{motor}}$ .

a) $0{,}186\,7$

b) $5{,}357$

c) $0{,}291\,7$

d) $0{,}411\,0$

[0,5 punts]

Qüestió 5. Esquema del tren d’engranatges: a la dreta, el motor amb la roda dentada z1 al seu eix; z1 engrana amb la roda gran z2; z2 i z3 estan unides pel mateix eix; z3 engrana amb z4, i z4 està unida per un eix a la roda (a l’esquerra). Dents: z1 = 14, z2 = 48, z3 = 16, z4 = 25.

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

1.10,5 punts

Plantejament Assaig de Charpy: l’energia que absorbeix la proveta en trencar-se és l’energia potencial que perd el pèndol entre la posició inicial i l’alçada a què arriba després del xoc.

Prenem com a referència d’alçades el punt més baix de la trajectòria. Al principi el pèndol és horitzontal, de manera que l’extrem és una longitud de pèndol per sobre d’aquest punt: $h_0 = 1\,\mathrm{m}$ . Després del xoc puja fins a $h_1 = 250\,\mathrm{mm} = 0{,}25\,\mathrm{m}$ . L’enunciat no dona el valor de $g$ : fem servir $g = 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}$ .
L’energia absorbida és la diferència d’energia potencial entre les dues posicions:
$E$ ${}= m\,g\,(h_0 - h_1)$ ${}= 22\cdot 9{,}807\cdot (1 - 0{,}25)$ ${}= 161{,}8\,\mathrm{J}$
La secció de la proveta ( $80\,\mathrm{mm^2}$ ) no cal per a l’energia; serviria per calcular la resiliència, que és l’energia absorbida per unitat de secció.
Per què no les altres: b) és, llevat de l’arrodoniment, tota l’energia potencial inicial, $m\,g\,h_0 \approx 215{,}8\,\mathrm{J}$ ; c) és l’energia que encara té el pèndol després del xoc, $m\,g\,h_1 = 53{,}94\,\mathrm{J}$ ; a) no correspon a cap d’aquestes energies. Amb $g = 9{,}81\,\mathrm{m/s^2}$ surt $161{,}9\,\mathrm{J}$ i l’opció més propera continua sent la d).

ResultatResposta d): $E = 161{,}8\,\mathrm{J}$ .

La pauta oficial dona: Resposta d).

1.20,5 punts

Plantejament Tolerància d’una resistència: és la desviació màxima admesa respecte del valor nominal, expressada en percentatge d’aquest valor.

Desviació per dalt i per baix respecte dels $390\,\Omega$ nominals:
$397{,}8 - 390 = 7{,}8\,\Omega$ $390 - 382{,}2 = 7{,}8\,\Omega$
En percentatge del valor nominal:
$\frac{7{,}8\,\Omega}{390\,\Omega}\cdot 100 = 2\,\%$
La resistència és, doncs, de $390\,\Omega \pm 2$ %. Les altres toleràncies donarien marges de $\pm 3{,}9\,\Omega$ (1 %), $\pm 19{,}5\,\Omega$ (5 %) o $\pm 39\,\Omega$ (10 %), que no coincideixen amb l’interval de l’enunciat.

ResultatResposta b): tolerància del $\pm 2$ %.

La pauta oficial dona: Resposta b).

1.30,5 punts

Plantejament Petjada de carboni setmanal d’un cotxe: cal saber quants quilòmetres fa en una setmana amb el gasoil que gasta i multiplicar-los per les emissions per quilòmetre.

Quilòmetres de la setmana, a partir del dipòsit de $60\,\mathrm{L}$ i del consum de $5{,}6\,\mathrm{L}$ cada $100\,\mathrm{km}$ :
$d$ ${}= \frac{60\,\mathrm{L}}{5{,}6\,\mathrm{L}/(100\,\mathrm{km})}$ ${}= 1\,071{,}4\,\mathrm{km}$
Emissions de la setmana, a $157{,}8\,\mathrm{g}$ de $\mathrm{CO_2}$ per quilòmetre:
$m_{\mathrm{CO_2}}$ ${}= 1\,071{,}4\,\mathrm{km}\cdot 157{,}8\,\mathrm{g/km}$ ${}= 1{,}691\cdot 10^{5}\,\mathrm{g}$ ${}= 169{,}1\,\mathrm{kg}$
Per què no les altres: b) dona el mateix número en tones, mil vegades més; c) i d) són cent i deu vegades més petites que el resultat.

ResultatResposta a): $169{,}1\,\mathrm{kg}$ de $\mathrm{CO_2}$ .

La pauta oficial dona: Resposta a).

1.40,5 punts

Plantejament Unitats de potència i d’energia elèctrica: la potència consumida en un instant és energia per unitat de temps.

La potència es mesura en watts ( $1\,\mathrm{W} = 1\,\mathrm{J/s}$ ) o en els seus múltiples, com el quilowatt: la resposta és el $\mathrm{kW}$ .
El $\mathrm{kW\cdot h}$ és una unitat d’energia (la que es consumeix durant una hora a $1\,\mathrm{kW}$ ), la que factura la companyia elèctrica, no una potència. El $\mathrm{kW/h}$ seria una potència dividida per un temps, i el $\mathrm{kJ\cdot s}$ una energia multiplicada per un temps: cap de les dues és una potència.

ResultatResposta c): $\mathrm{kW}$ .

La pauta oficial dona: Resposta c).

1.50,5 punts

Plantejament Tren d’engranatges compost de dues etapes: la relació de transmissió total és el producte de les relacions de cada etapa, i en cada parella d’engranatges les velocitats angulars són inversament proporcionals als nombres de dents.

A la figura, $z_1$ és a l’eix del motor i engrana amb $z_2$ ; $z_2$ i $z_3$ comparteixen eix; $z_3$ engrana amb $z_4$ , que és a l’eix de la roda.
Primera etapa (eix del motor → eix intermedi):
$\frac{\omega_2}{\omega_{\text{motor}}}$ ${}= \frac{z_1}{z_2}$ ${}= \frac{14}{48}=0{,}2917$
Segona etapa (eix intermedi → eix de la roda):
$\frac{\omega_{\text{roda}}}{\omega_2} = \frac{z_3}{z_4} = \frac{16}{25} = 0{,}64$
Relació total, producte de les dues:
$\frac{\omega_{\text{roda}}}{\omega_{\text{motor}}}$ ${}= \frac{z_1\,z_3}{z_2\,z_4}$ ${}= \frac{14\cdot 16}{48\cdot 25}$ ${}= 0{,}1867$
Per què no les altres: b) $5{,}357$ és la relació inversa, $\omega_{\text{motor}}/\omega_{\text{roda}}$ ; c) $0{,}2917$ és només la primera etapa; d) $0{,}4110$ surt de dividir sumes de dents, $(14 + 16)/(48 + 25)$ , que no és cap relació de transmissió.

ResultatResposta a): $\omega_{\text{roda}}/\omega_{\text{motor}} = 0{,}1867$ .

La pauta oficial dona: Resposta a).

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Tecnologia industrial 2022, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 26 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2022Convocatòria ordinària · Sèrie 2 · Exercici 4

2,5 puntsCoincideix amb la pauta

Enunciat oficial de l’exercici 4 de la PAU de Tecnologia industrial de Catalunya de 2022 (convocatòria ordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Enunciat oficial de l’exercici 4 de la PAU de Tecnologia industrial de Catalunya de 2022 (convocatòria ordinària), en català. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Un volant amb un moment d’inèrcia al voltant del seu eix $I = 0{,}9\,\mathrm{kg\cdot m^2}$ gira a $n_0 = 5\,000\,\mathrm{min^{-1}}$ gràcies a l’acció d’un motor. Es desconnecta el motor i s’observa que el volant triga $t = 1\,\mathrm{min}$ a quedar-se en repòs a causa d’un parell de fricció que se suposa constant. Determineu:

a) L’acceleració angular del volant $\alpha$ .

[0,5 punts]

b) El nombre de voltes $n$ que farà el volant abans d’aturar-se.

[1 punt]

c) L’energia mecànica dissipada en aquest procés $E_{\text{diss}}$ .

[1 punt]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)0,5 punts

Plantejament Moviment circular uniformement decelerat: el parell de fricció és constant, així que la velocitat angular del volant baixa de manera uniforme des de $\omega_0$ fins a zero en $t = 1\,\mathrm{min} = 60\,\mathrm{s}$ .

Velocitat angular inicial en unitats del SI (una volta són $2\pi\,\mathrm{rad}$ i un minut, $60\,\mathrm{s}$ ):
$\omega_0$ ${}= n_0\,\frac{2\pi}{60}$ ${}= 5\,000\cdot\frac{2\pi}{60}$ ${}= 523{,}6\,\mathrm{rad/s}$
Acceleració angular, amb velocitat final $\omega_{\text{f}} = 0$ :
$\alpha$ ${}= \frac{\omega_{\text{f}} - \omega_0}{t}$ ${}= \frac{0 - 523{,}6\,\mathrm{rad/s}}{60\,\mathrm{s}}$ ${}= -8{,}727\,\mathrm{rad/s^2}$
El signe negatiu indica que el volant frena.

Resultat $\alpha = -8{,}727\,\mathrm{rad/s^2}$ (el volant frena amb una desacceleració de $8{,}727\,\mathrm{rad/s^2}$ ).

La pauta oficial dona: $\alpha = -8{,}727\,\mathrm{rad/s^2}$

b)1 punt

Plantejament Angle que gira el volant fins a aturar-se, en un moviment uniformement decelerat, i nombre de voltes que hi correspon.

Angle girat en els $60\,\mathrm{s}$ de frenada:
$\theta$ ${}= \omega_0\,t + \tfrac{1}{2}\,\alpha\,t^2$ ${}= 523{,}6\cdot 60$ ${}- \tfrac{1}{2}\cdot 8{,}727\cdot 60^2$ ${}= 1{,}571\cdot 10^{4}\,\mathrm{rad}$
Cada volta són $2\pi$ radiants:
$n$ ${}= \frac{\theta}{2\pi}=\frac{1{,}571\cdot 10^{4}\,\mathrm{rad}}{2\pi\,\mathrm{rad}}$ ${}= 2\,500\ \text{voltes}$
Comprovació: com que la velocitat baixa uniformement, la velocitat mitjana és la meitat de la inicial, $2\,500\,\mathrm{min^{-1}}$ , i en $1\,\mathrm{min}$ el volant fa $2\,500$ voltes.

Resultat $n = 2\,500$ voltes (un angle de $1{,}571\cdot 10^{4}\,\mathrm{rad}$ ).

La pauta oficial dona: Angle girat $15{,}71\cdot 10^{3}\,\mathrm{rad}$ ; $n = 2\,500$ voltes

c)1 punt

Plantejament Energia mecànica dissipada per la fricció: tota l’energia cinètica de rotació que tenia el volant es perd fins que s’atura.

Energia cinètica de rotació inicial (la final és zero, perquè el volant s’atura):
$E_{\text{diss}}$ ${}= \tfrac{1}{2}\,I\,\omega_0^2$ ${}= \tfrac{1}{2}\cdot 0{,}9\,\mathrm{kg\cdot m^2}\cdot (523{,}6\,\mathrm{rad/s})^2$ ${}= 1{,}234\cdot 10^{5}\,\mathrm{J}$
Comprovació pel treball del parell de fricció: $\Gamma_{\text{f}}$ ${}= I\,|\alpha|$ ${}= 0{,}9\cdot 8{,}727$ ${}= 7{,}854\,\mathrm{N\,m}$ , i el seu treball al llarg de l’angle girat és $\Gamma_{\text{f}}\,\theta$ ${}= 7{,}854\cdot 1{,}571\cdot 10^{4}$ ${}= 1{,}234\cdot 10^{5}\,\mathrm{J}$ , el mateix valor.

Resultat $E_{\text{diss}} = 123{,}4\,\mathrm{kJ}$

La pauta oficial dona: $E_{\text{diss}}$ ${}= \tfrac{1}{2}\,I\,(\omega_0^2 - \omega_{\text{f}}^2)$ ${}= 123{,}4\,\mathrm{kJ}$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Tecnologia industrial 2022, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 26 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2022Convocatòria ordinària · Sèrie 2 · Exercici 5

2,5 puntsCoincideix amb la pautaTambé a Estàtica i equilibri

Enunciat oficial de l’exercici 5 de la PAU de Tecnologia industrial de Catalunya de 2022 (convocatòria ordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Enunciat oficial de l’exercici 5 de la PAU de Tecnologia industrial de Catalunya de 2022 (convocatòria ordinària), en català. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

El sistema de la figura permet manipular una barra de longitud $2L$ mitjançant un motor que s’uneix a un tambor de diàmetre $d = 450\,\mathrm{mm}$ on s’enrotlla el cable. La barra, que és homogènia i té una massa $m = 50\,\mathrm{kg}$ , es troba articulada al punt O, el qual està fixat a terra. La resta d’elements són de massa negligible. En la posició mostrada en la figura, el sistema està en equilibri estàtic i $\alpha = \varphi = 30^\circ$ .

Barra OA de longitud 2L (dos trams L), articulada a terra a O, a la dreta, i inclinada cap amunt i cap a l’esquerra formant un angle φ amb l’horitzontal; el centre de masses és al punt mitjà. De l’extrem A surt un cable cap amunt i cap a la dreta, a un angle α amb l’horitzontal, que passa per una politja fixa i baixa fins a un tambor de diàmetre d. Requadre de dades: m = 50 kg, L = 1 m, d = 450 mm; g cap avall.

a) Dibuixeu el diagrama de cos lliure de la barra OA.

[0,5 punts]

b) Determineu:

La força $T$ a la qual està sotmès el cable.

[0,5 punts]

c) Les forces vertical $F_{\text{V}}$ i horitzontal $F_{\text{H}}$ a l’articulació O.

[1 punt]

d) El parell $\Gamma$ que subministra el motor.

[0,5 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)0,5 punts

Plantejament Diagrama de cos lliure de la barra OA: s’hi dibuixen totes les forces exteriors que actuen sobre la barra, cadascuna al seu punt d’aplicació i amb la seva direcció.

Pes $m\,g$ , vertical i cap avall, aplicat al centre de la barra G (la barra és homogènia), a una distància $L$ d’O i d’A.
Força del cable $T$ , aplicada a A en la direcció del cable: cap amunt i cap a la dreta, formant $\alpha = 30^\circ$ amb l’horitzontal. Un cable només pot estirar.
Reacció de l’articulació O, desconeguda, descomposta en una component horitzontal $F_{\text{H}}$ i una de vertical $F_{\text{V}}$ . Es dibuixen en el sentit que se suposa; els càlculs de l’apartat c confirmen que $F_{\text{H}}$ va cap a l’esquerra i $F_{\text{V}}$ cap amunt.
La barra forma $\varphi = 30^\circ$ amb l’horitzontal. Com que el cable forma $30^\circ$ amb l’horitzontal pel costat contrari de la barra, l’angle entre el cable i la barra a A és de $60^\circ$ . La figura mostra el diagrama.

ResultatTres forces sobre la barra: el pes $m\,g$ al centre G (cap avall), la tensió $T$ a A (en la direcció del cable, a $30^\circ$ per sobre de l’horitzontal) i la reacció a O, amb components $F_{\text{H}}$ i $F_{\text{V}}$ (figura).

La pauta oficial dona: Diagrama amb $T$ a A, $m\,g$ al centre de la barra i les reaccions $F_{\text{H}}$ (cap a l’esquerra) i $F_{\text{V}}$ (cap amunt) a O.

Diagrama de cos lliure de la barra OA, inclinada 30° sobre l’horitzontal: a A, la tensió T cap amunt i cap a la dreta a 30° de l’horitzontal; al centre G, el pes m g cap avall; a O, la reacció horitzontal F_H cap a l’esquerra i la vertical F_V cap amunt. Els dos trams de la barra mesuren L.

b)0,5 punts

Plantejament Força del cable a partir de l’equilibri de moments de la barra respecte de l’articulació O: així les reaccions $F_{\text{H}}$ i $F_{\text{V}}$ no hi intervenen i l’única incògnita és $T$ .

Braç del pes respecte d’O: la distància horitzontal entre O i el centre G, $L\cos\varphi$ .
Braç de la tensió respecte d’O: la distància d’O a la recta del cable. El cable forma $60^\circ$ amb la barra i A és a $2L$ d’O, així que el braç és $2L\sin 60^\circ$ .
Equació de moments respecte d’O (el pes tendeix a fer girar la barra cap a un costat i el cable cap a l’altre):
$\sum M_{\text{O}}$ ${}= 0:\quad T\cdot 2L\sin 60^\circ$ ${}- m\,g\,L\cos 30^\circ=0$
Com que $\sin 60^\circ = \cos 30^\circ$ , queda $T = m\,g/2$ . L’enunciat no dona $g$ ; amb $g = 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}$ :
$T$ ${}= \frac{m\,g}{2}=\frac{50\,\mathrm{kg}\cdot 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}}{2}$ ${}= 245{,}2\,\mathrm{N}$

Resultat $T = 245{,}2\,\mathrm{N}$

La pauta oficial dona: $\sum M_{\text{O}} = 0$ : $T\cos 30^\circ\cdot 2L - m\,g\cos 30^\circ\,L = 0$ , $T = m\,g/2 = 245{,}2\,\mathrm{N}$

c)1 punt

Plantejament Reaccions a l’articulació O a partir de l’equilibri de forces de la barra en horitzontal i en vertical, amb la $T$ de l’apartat anterior. Prenem positiu cap a la dreta i cap amunt.

Components de la tensió:
$T\cos 30^\circ$ ${}= 245{,}2\cdot 0{,}8660$ ${}= 212{,}3\,\mathrm{N}$ $T\sin 30^\circ = 245{,}2\cdot 0{,}5 = 122{,}6\,\mathrm{N}$
Forces horitzontals: només hi ha la component horitzontal del cable, cap a la dreta, i $F_{\text{H}}$ , que per tant ha d’anar cap a l’esquerra:
$\sum F_x$ ${}= 0:\quad T\cos 30^\circ - F_{\text{H}}=0$ ${}\Rightarrow F_{\text{H}}$ ${}= 212{,}3\,\mathrm{N}$
Forces verticals, amb el pes $m\,g = 50\cdot 9{,}807 = 490{,}4\,\mathrm{N}$ :
$\sum F_y$ ${}= 0:\quad T\sin 30^\circ + F_{\text{V}}$ ${}- m\,g=0$ ${}\Rightarrow F_{\text{V}}$ ${}= 490{,}4 - 122{,}6$ ${}= 367{,}8\,\mathrm{N}$
Com que $T = m\,g/2$ , també es pot escriure $F_{\text{H}} = \tfrac{\sqrt{3}}{4}\,m\,g$ i $F_{\text{V}} = \tfrac{3}{4}\,m\,g$ .

Resultat $F_{\text{H}} = 212{,}3\,\mathrm{N}$ cap a l’esquerra i $F_{\text{V}} = 367{,}8\,\mathrm{N}$ cap amunt.

La pauta oficial dona: $F_{\text{H}} = T\sqrt{3}/2 = 212{,}3\,\mathrm{N}$ ; $F_{\text{V}} = 3\,m\,g/4 = 367{,}8\,\mathrm{N}$

d)0,5 punts

Plantejament Parell del motor: el cable passa per la politja fixa, que suposem sense fricció, i s’enrotlla al tambor, de manera que l’estira amb la mateixa força $T$ a una distància igual al radi del tambor.

Radi del tambor: $d/2$ ${}= 450\,\mathrm{mm}/2$ ${}= 225\,\mathrm{mm}$ ${}= 0{,}225\,\mathrm{m}$ .
Parell, amb $T = m\,g/2$ sense arrodonir:
$\Gamma$ ${}= T\,\frac{d}{2}=\frac{m\,g\,d}{4}$ ${}= \frac{50\cdot 9{,}807\cdot 0{,}45}{4}$ ${}= 55{,}16\,\mathrm{N\,m}$

Resultat $\Gamma = 55{,}16\,\mathrm{N\,m}$

La pauta oficial dona: $\Gamma = T\,d/2 = 55{,}16\,\mathrm{N\,m}$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Tecnologia industrial 2022, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 26 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2022Convocatòria ordinària · Sèrie 5 · Exercici 1

2,5 puntsCoincideix amb la pautaTambé a Energia, consum i emissions, Materials i assajos, Mesura, toleràncies i ajustos

Indiqueu la resposta correcta de cada qüestió. Responeu en la taula de la pàgina 3. En el cas que no indiqueu les respostes a la taula, les qüestions es consideraran no contestades.

[En cada qüestió només es pot triar UNA resposta. Qüestió ben contestada: 0,5 punts; qüestió mal contestada: –0,16 punts; qüestió no contestada: 0 punts.]

1.1 La resistència a la tracció d’un aliatge de titani és de $325\,\mathrm{MPa}$ . Si es vol utilitzar una barra cilíndrica d’aquest material per a aguantar una força de tracció de $20\,\mathrm{kN}$ , quin diàmetre mínim ha de tenir la barra perquè no es trenqui?

a) $6{,}154\,\mathrm{mm}$

b) $14{,}38\,\mathrm{mm}$

c) $8{,}852\,\mathrm{mm}$

d) $6{,}259\,\mathrm{mm}$

[0,5 punts]

1.2 Si es té un ajust 90 H7/k6, la tolerància H7 del forat és de $\left(\begin{smallmatrix}35\\0\end{smallmatrix}\right)\,\mu\mathrm{m}$ i la tolerància k6 de l’eix és de $\left(\begin{smallmatrix}25\\3\end{smallmatrix}\right)\,\mu\mathrm{m}$ , es pot afirmar que

a) el joc màxim és de $35\,\mu\mathrm{m}$ .

b) el joc màxim és de $32\,\mu\mathrm{m}$ .

c) el serratge màxim és de $3\,\mu\mathrm{m}$ .

d) el serratge màxim és de $32\,\mu\mathrm{m}$ .

[0,5 punts]

1.3 Un complex poliesportiu té un consum tèrmic de $382{,}8\,\mathrm{MW\,h}$ anuals, que es cobreixen inicialment amb una caldera que utilitza gas natural (de poder calorífic $11{,}79\,\mathrm{kW\,h/m^3}$ ). El factor d’emissió del gas natural és de $2{,}15\,\mathrm{kg\,CO_2/m^3}$ . Es decideix fer una instal·lació d’energia solar tèrmica per a l’obtenció d’aigua calenta sanitària i per a la climatització de la piscina coberta que representa una producció de $79\,\mathrm{MW\,h}/\text{any}$ . Quin és l’estalvi d’emissions anuals que generarà el complex poliesportiu?

a) $14{,}41$ tones de $\mathrm{CO_2}$

b) $69{,}81$ tones de $\mathrm{CO_2}$

c) $55{,}40$ tones de $\mathrm{CO_2}$

d) $20{,}03$ tones de $\mathrm{CO_2}$

[0,5 punts]

1.4 Un sòlid de massa $m = 5\,\mathrm{kg}$ està unit mitjançant un cable al centre d’una politja mòbil de radi $R_2 = 50\,\mathrm{mm}$ . Una corda ideal passa per una politja de radi $R_1 = 100\,\mathrm{mm}$ articulada al sostre i després per la politja mòbil fins que s’uneix al centre de la politja fixa. A l’extrem d’aquesta corda s’aplica una força $F$ . Quina ha de ser aquesta força $F$ per a mantenir el conjunt en repòs?

a) $49{,}04\,\mathrm{N}$

b) $12{,}25\,\mathrm{N}$

c) $6{,}129\,\mathrm{N}$

d) $24{,}52\,\mathrm{N}$

[0,5 punts]

Qüestió 4. Politja fixa de radi R1 penjada del sostre i politja mòbil de radi R2 a sota, amb el sòlid penjat del seu centre. La corda baixa per l’esquerra de la politja fixa, on s’aplica la força F cap avall; per la dreta baixa fins a la politja mòbil, la rodeja per sota i puja fins al centre de la politja fixa. g cap avall.

1.5 S’utilitzen $500\,\mathrm{g}$ de carbó de poder calorífic $23{,}6\,\mathrm{MJ/kg}$ per a escalfar $100\,\mathrm{L}$ d’aigua. Quin increment de temperatura es produirà? La calor específica de l’aigua és $c_{\text{e}} = 4{,}18\,\mathrm{J/(g\,^\circ C)}$ .

a) $28{,}23\,^\circ\mathrm{C}$

b) $2{,}823\,^\circ\mathrm{C}$

c) $282{,}3\,^\circ\mathrm{C}$

d) $49{,}32\,^\circ\mathrm{C}$

[0,5 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

1.10,5 punts

Plantejament Resistència a la tracció: la barra no es trenca mentre la tensió $\sigma = F/A$ no superi la resistència a la tracció del material; d’aquí surt la secció mínima i, d’ella, el diàmetre mínim.

Dades en unitats del SI: $F = 20\,\mathrm{kN} = 2\cdot 10^{4}\,\mathrm{N}$ i $\sigma_{\text{R}} = 325\,\mathrm{MPa} = 3{,}25\cdot 10^{8}\,\mathrm{Pa}$ .
Secció mínima:
$A_{\text{mín}}$ ${}= \frac{F}{\sigma_{\text{R}}}$ ${}= \frac{2\cdot 10^{4}\,\mathrm{N}}{3{,}25\cdot 10^{8}\,\mathrm{Pa}}$ ${}= 6{,}154\cdot 10^{-5}\,\mathrm{m^2}$ ${}= 61{,}54\,\mathrm{mm^2}$
La secció d’una barra cilíndrica és $A = \pi\,d^2/4$ ; aïllant el diàmetre:
$d_{\text{mín}}$ ${}= \sqrt{\frac{4\,A_{\text{mín}}}{\pi}}$ ${}= \sqrt{\frac{4\cdot 61{,}54\,\mathrm{mm^2}}{\pi}}$ ${}= 8{,}852\,\mathrm{mm}$
Per què no les altres: a) $6{,}154$ són les xifres de la secció mínima expressada en $10^{-5}\,\mathrm{m^2}$ , no un diàmetre; amb d) $6{,}259\,\mathrm{mm}$ la secció seria la meitat de la mínima i la tensió, de $650\,\mathrm{MPa}$ , trencaria la barra; amb b) $14{,}38\,\mathrm{mm}$ la barra aguantaria, però no és el diàmetre mínim.

ResultatResposta c): $d_{\text{mín}} = 8{,}852\,\mathrm{mm}$ .

La pauta oficial dona: Resposta c).

1.20,5 punts

Plantejament Ajust ISO entre forat i eix: amb les desviacions de cada peça es calculen el joc màxim (forat al més gran i eix al més petit) i el serratge màxim (eix al més gran i forat al més petit).

La notació $\left(\begin{smallmatrix}35\\0\end{smallmatrix}\right)\,\mu\mathrm{m}$ dona la desviació superior (a dalt) i la inferior (a baix) respecte de la mida nominal de $90\,\mathrm{mm}$ . Forat H7: de $0$ a $+35\,\mu\mathrm{m}$ . Eix k6: de $+3$ a $+25\,\mu\mathrm{m}$ .
Joc màxim: forat a la mida màxima i eix a la mínima:
$J_{\text{màx}} = 35\,\mu\mathrm{m} - 3\,\mu\mathrm{m} = 32\,\mu\mathrm{m}$
Serratge màxim: eix a la mida màxima i forat a la mínima:
$S_{\text{màx}} = 25\,\mu\mathrm{m} - 0\,\mu\mathrm{m} = 25\,\mu\mathrm{m}$
És un ajust indeterminat: segons les peces que es combinin queda joc (fins a $32\,\mu\mathrm{m}$ ) o serratge (fins a $25\,\mu\mathrm{m}$ ). Només l’afirmació b) és certa: a) dona com a joc màxim l’amplada de la tolerància del forat, $35\,\mu\mathrm{m}$ , i c) i d) no coincideixen amb el serratge màxim, que és de $25\,\mu\mathrm{m}$ .

ResultatResposta b): el joc màxim és de $32\,\mu\mathrm{m}$ (el serratge màxim és de $25\,\mu\mathrm{m}$ ).

La pauta oficial dona: Resposta b).

1.30,5 punts

Plantejament Emissions de $\mathrm{CO_2}$ que s’estalvien amb una instal·lació solar tèrmica: l’energia que aporta el sol ja no s’ha d’obtenir cremant gas natural, i el gas que no es crema no emet $\mathrm{CO_2}$ .

Volum de gas que es deixa de cremar cada any, amb $79\,\mathrm{MW\,h} = 79\,000\,\mathrm{kW\,h}$ (l’enunciat no dona el rendiment de la caldera, així que es pren tota l’energia del gas com a calor útil):
$V$ ${}= \frac{79\,000\,\mathrm{kW\,h}}{11{,}79\,\mathrm{kW\,h/m^3}}$ ${}= 6\,701\,\mathrm{m^3}$
Emissions estalviades, amb el factor d’emissió del gas:
$m_{\mathrm{CO_2}}$ ${}= 6\,701\,\mathrm{m^3}\cdot 2{,}15\,\mathrm{kg/m^3}$ ${}= 1{,}441\cdot 10^{4}\,\mathrm{kg}$ ${}= 14{,}41\,\mathrm{t}$
Per què no les altres: b) $69{,}81\,\mathrm{t}$ són les emissions de tot el consum tèrmic cobert amb gas, abans de la instal·lació solar; c) $55{,}40\,\mathrm{t}$ són les que queden després, quan el gas només cobreix $382{,}8 - 79 = 303{,}8\,\mathrm{MW\,h}$ . L’estalvi és la diferència entre totes dues: $69{,}81 - 55{,}40 = 14{,}41\,\mathrm{t}$ . La d), $20{,}03\,\mathrm{t}$ , no és cap d’aquestes tres quantitats.

ResultatResposta a): $14{,}41$ tones de $\mathrm{CO_2}$ l’any.

La pauta oficial dona: Resposta a).

1.40,5 punts

Plantejament Politja fixa i politja mòbil (un polispast senzill): cal veure quants trams de corda aguanten la politja mòbil i aplicar l’equilibri de forces.

La corda és ideal i les politges giren lliurement, de manera que tota la corda té la mateixa tensió, igual a la força $F$ que s’aplica a l’extrem.
Seguint la corda de la figura: puja des de $F$ , passa per la politja fixa, baixa fins a la politja mòbil, la rodeja per sota i torna a pujar fins al centre de la politja fixa. Per tant, la politja mòbil penja de dos trams de corda, i cadascun l’estira cap amunt amb una força $F$ .
Equilibri vertical de la politja mòbil amb el sòlid (l’enunciat no dona la massa de les politges, així que es consideren lleugeres; prenem $g = 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}$ ):
$2\,F - m\,g=0$ ${}\Rightarrow F=\frac{m\,g}{2}$ ${}= \frac{5\,\mathrm{kg}\cdot 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}}{2}$ ${}= 24{,}52\,\mathrm{N}$
Els radis $R_1$ i $R_2$ no intervenen: la tensió és la mateixa a banda i banda de cada politja i els seus moments s’anul·len. Per què no les altres: a) $49{,}04\,\mathrm{N}$ és el pes sencer $m\,g$ , la força que caldria sense la politja mòbil; b) i c) són aproximadament la quarta i la vuitena part del pes, que correspondrien a més trams de corda dels que hi ha a la figura.

ResultatResposta d): $F = 24{,}52\,\mathrm{N}$ .

La pauta oficial dona: Resposta d).

1.50,5 punts

Plantejament Calor que desprèn la combustió del carbó i escalfament de l’aigua: tota la calor del carbó es fa servir per escalfar l’aigua, perquè l’enunciat no dona cap rendiment.

Calor que desprèn el carbó, massa per poder calorífic $PC$ :
$Q$ ${}= m_{\text{carbó}}\cdot PC$ ${}= 0{,}5\,\mathrm{kg}\cdot 23{,}6\,\mathrm{MJ/kg}$ ${}= 11{,}8\,\mathrm{MJ}$ ${}= 1{,}18\cdot 10^{7}\,\mathrm{J}$
Massa d’aigua: $100\,\mathrm{L}$ d’aigua són $100\,\mathrm{kg} = 1\cdot 10^{5}\,\mathrm{g}$ (densitat $1\,\mathrm{kg/L}$ ).
Increment de temperatura, de $Q = m\,c_{\text{e}}\,\Delta T$ :
$\Delta T$ ${}= \frac{Q}{m_{\text{aigua}}\,c_{\text{e}}}$ ${}= \frac{1{,}18\cdot 10^{7}\,\mathrm{J}}{1\cdot 10^{5}\,\mathrm{g}\cdot 4{,}18\,\mathrm{J/(g\,^\circ C)}}$ ${}= 28{,}23\,^\circ\mathrm{C}$
Per què no les altres: b) i c) són el mateix resultat dividit i multiplicat per 10, i la d) tampoc no surt del balanç $Q = m\,c_{\text{e}}\,\Delta T$ amb aquestes dades.

ResultatResposta a): $\Delta T = 28{,}23\,^\circ\mathrm{C}$ .

La pauta oficial dona: Resposta a).

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Tecnologia industrial 2022, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 26 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2022Convocatòria ordinària · Sèrie 5 · Exercici 6

2,5 puntsCoincideix amb la pautaTambé a Motors i màquines elèctriques

Enunciat oficial de l’exercici 6 de la PAU de Tecnologia industrial de Catalunya de 2022 (convocatòria ordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Enunciat oficial de l’exercici 6 de la PAU de Tecnologia industrial de Catalunya de 2022 (convocatòria ordinària), en català. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Un prototip de motocicleta elèctrica integra el motor directament a la roda del darrere. En les condicions d’estudi, circulant per un terreny horitzontal i a una velocitat constant, el fabricant assegura que el motor subministra $P_{\text{mot}} = 15\,\mathrm{kW}$ i un parell $\Gamma = 150\,\mathrm{N\,m}$ , i té una autonomia màxima $s_{\text{màx}} = 200\,\mathrm{km}$ . El diàmetre dels pneumàtics és $d = 630\,\mathrm{mm}$ , i s’estima que el motor té un rendiment $\eta_{\text{mot}} = 0{,}9$ . La motocicleta utilitza bateries ideals.

En aquestes condicions, determineu:

a) La velocitat angular de la roda motriu $\omega_{\text{roda}}$ i la velocitat d’avanç $v$ de la motocicleta.

[1 punt]

b) El temps màxim de funcionament $t_{\text{màx}}$ i l’energia subministrada pel motor $E_{\text{subm}}$ .

[1 punt]

c) L’energia que caldria tenir emmagatzemada a les bateries $E_{\text{bat}}$ .

[0,5 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)1 punt

Plantejament Potència i parell a l’eix de la roda: el motor és a la mateixa roda, així que gira amb la seva velocitat angular i $P = \Gamma\,\omega$ . La velocitat d’avanç és la velocitat lineal de la vora del pneumàtic, que roda sense lliscar.

Velocitat angular de la roda:
$\omega_{\text{roda}}$ ${}= \frac{P_{\text{mot}}}{\Gamma}$ ${}= \frac{15\,000\,\mathrm{W}}{150\,\mathrm{N\,m}}$ ${}= 100\,\mathrm{rad/s}$
Radi del pneumàtic: $d/2$ ${}= 630\,\mathrm{mm}/2$ ${}= 315\,\mathrm{mm}$ ${}= 0{,}315\,\mathrm{m}$ .
Velocitat d’avanç (per passar a km/h es multiplica per $3{,}6$ ):
$v$ ${}= \omega_{\text{roda}}\,\frac{d}{2}$ ${}= 100\,\mathrm{rad/s}\cdot 0{,}315\,\mathrm{m}$ ${}= 31{,}5\,\mathrm{m/s}$ ${}= 113{,}4\,\mathrm{km/h}$

Resultat $\omega_{\text{roda}} = 100\,\mathrm{rad/s}$ i $v = 31{,}5\,\mathrm{m/s} = 113{,}4\,\mathrm{km/h}$

La pauta oficial dona: $\omega_{\text{roda}}$ ${}= P_{\text{mot}}/\Gamma$ ${}= 100\,\mathrm{rad/s}$ ; $v = \omega_{\text{roda}}\,d/2 = 113{,}4\,\mathrm{km/h}$

b)1 punt

Plantejament Temps de funcionament i energia mecànica que dona el motor: a velocitat constant, el temps màxim és l’autonomia dividida per la velocitat, i l’energia és la potència del motor per aquest temps.

Temps màxim:
$t_{\text{màx}}$ ${}= \frac{s_{\text{màx}}}{v}$ ${}= \frac{200\,\mathrm{km}}{113{,}4\,\mathrm{km/h}}$ ${}= 1{,}764\,\mathrm{h}$ ${}= 6\,349\,\mathrm{s}$
Energia subministrada pel motor:
$E_{\text{subm}}$ ${}= P_{\text{mot}}\,t_{\text{màx}}$ ${}= P_{\text{mot}}\,\frac{s_{\text{màx}}}{v}$ ${}= 15\,\mathrm{kW}\cdot\frac{200\,\mathrm{km}}{113{,}4\,\mathrm{km/h}}$ ${}= 26{,}46\,\mathrm{kW\,h}$
En joules:
$E_{\text{subm}}$ ${}= 15\,000\,\mathrm{W}\cdot 6\,349\,\mathrm{s}$ ${}= 9{,}52\cdot 10^{7}\,\mathrm{J}$ ${}= 95{,}2\,\mathrm{MJ}$

Resultat $t_{\text{màx}} = 1{,}764\,\mathrm{h}$ i $E_{\text{subm}} = 26{,}46\,\mathrm{kW\,h} = 95{,}2\,\mathrm{MJ}$

La pauta oficial dona: $t_{\text{màx}} = 1{,}764\,\mathrm{h}$ ; $E_{\text{subm}} = 26{,}46\,\mathrm{kW\,h} = 95{,}2\,\mathrm{MJ}$

c)0,5 punts

Plantejament Energia que han d’emmagatzemar les bateries: el motor converteix en energia mecànica només el $90$ % de l’energia elèctrica que rep, i les bateries ideals lliuren tota la que emmagatzemen.

Energia de les bateries, amb $E_{\text{subm}} = 26{,}455\,\mathrm{kW\,h}$ sense arrodonir:
$E_{\text{bat}}$ ${}= \frac{E_{\text{subm}}}{\eta_{\text{mot}}}$ ${}= \frac{26{,}455\,\mathrm{kW\,h}}{0{,}9}$ ${}= 29{,}39\,\mathrm{kW\,h}$
En joules:
$E_{\text{bat}}$ ${}= 29{,}39\,\mathrm{kW\,h}\cdot 3{,}6\,\mathrm{MJ/(kW\,h)}$ ${}= 105{,}8\,\mathrm{MJ}$

Resultat $E_{\text{bat}} = 29{,}39\,\mathrm{kW\,h} = 105{,}8\,\mathrm{MJ}$

La pauta oficial dona: $E_{\text{bat}}$ ${}= E_{\text{subm}}/\eta_{\text{mot}}$ ${}= 29{,}39\,\mathrm{kW\,h}$ ${}= 105{,}8\,\mathrm{MJ}$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Tecnologia industrial 2022, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 26 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2022Convocatòria extraordinària · Sèrie 3 · Exercici 3

2,5 puntsCoincideix amb la pautaTambé a Motors i màquines elèctriques

Enunciat oficial de l’exercici 3 de la PAU de Tecnologia industrial de Catalunya de 2022 (convocatòria extraordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Enunciat oficial de l’exercici 3 de la PAU de Tecnologia industrial de Catalunya de 2022 (convocatòria extraordinària), en català. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Un muntacàrregues és accionat per un motor reductor de rendiment $\eta = 0{,}6$ . El motor d’inducció monofàsic es connecta a una tensió $U = 230\,\mathrm{V}$ i funciona amb un factor de potència $\cos\varphi = 0{,}85$ . La relació de transmissió del reductor és $\tau = \omega_\text{red}/\omega_\text{mot} = 0{,}009$ . El motor gira a $n_\text{mot} = 1470\,\mathrm{min^{-1}}$ i l’aparell eleva $h = 8\,\mathrm{m}$ una càrrega de massa $m = 2000\,\mathrm{kg}$ en $t = 1{,}5\,\mathrm{min}$ a una velocitat constant. Determineu:

a) La velocitat de rotació de l’eix de sortida del reductor $\omega_\text{red}$ en rad/s.

[0,5 punts]

b) El treball necessari que ha de realitzar el muntacàrregues $W$ .

[0,5 punts]

c) La potència elèctrica consumida pel conjunt $P_\text{elèc}$ .

[1 punt]

d) La intensitat de corrent $I$ .

[0,5 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)0,5 punts

Plantejament Es demana la velocitat angular de l’eix de sortida del reductor: la del motor, passada a rad/s, multiplicada per la relació de transmissió $\tau = \omega_\text{red}/\omega_\text{mot}$ .

Velocitat angular del motor ( $1\ \text{volta} = 2\pi\,\mathrm{rad}$ i $1\,\mathrm{min} = 60\,\mathrm{s}$ ):
$\omega_\text{mot}$ ${}= n_\text{mot}\,\frac{2\pi}{60}$ ${}= 1470\,\mathrm{min^{-1}}\cdot\frac{2\pi\,\mathrm{rad}}{60\,\mathrm{s}}$ ${}= 153{,}94\,\mathrm{rad/s}$
Velocitat de l’eix de sortida del reductor:
$\omega_\text{red}$ ${}= \tau\,\omega_\text{mot}$ ${}= 0{,}009\cdot 153{,}94\,\mathrm{rad/s}$ ${}= 1{,}385\,\mathrm{rad/s}$

Resultat $\omega_\text{red} = 1{,}385\,\mathrm{rad/s}$ .

La pauta oficial dona: $\omega_\text{red}$ ${}= \tau\,n_\text{mot}\,2\pi/60$ ${}= 1{,}385\,\mathrm{rad/s}$ .

b)0,5 punts

Plantejament Es demana el treball per pujar la càrrega $8\,\mathrm{m}$ . Com que puja a velocitat constant, l’energia cinètica no varia i el treball és l’augment d’energia potencial de la càrrega.

El treball és el pes per l’altura (l’enunciat no dona $g$ ; prenem $g = 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}$ ; amb $9{,}81\,\mathrm{m/s^2}$ sortiria $157{,}0\,\mathrm{kJ}$ , i els resultats dels apartats següents canviarien a la quarta xifra):
$W$ ${}= m\,g\,h$ ${}= 2000\,\mathrm{kg}\cdot 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}\cdot 8\,\mathrm{m}$ ${}= 156{,}9\cdot 10^{3}\,\mathrm{J}$ ${}= 156{,}9\,\mathrm{kJ}$

Resultat $W = 156{,}9\,\mathrm{kJ}$ .

La pauta oficial dona: $W = m\,g\,h = 156{,}9\,\mathrm{kJ}$ .

c)1 punt

Plantejament Es demana la potència elèctrica que consumeix el conjunt motor reductor: la potència útil, que és el treball dividit pel temps, dividida pel rendiment del conjunt.

Temps en segons: $t = 1{,}5\,\mathrm{min} = 90\,\mathrm{s}$ . Potència útil, amb el treball amb una xifra més ( $156{,}91\cdot 10^{3}\,\mathrm{J}$ ) perquè l’arrodoniment no afecti el resultat:
$P_\text{útil}$ ${}= \frac{W}{t}=\frac{156{,}91\cdot 10^{3}\,\mathrm{J}}{90\,\mathrm{s}}$ ${}= 1\,743{,}4\,\mathrm{W}$
Potència elèctrica consumida:
$P_\text{elèc}$ ${}= \frac{P_\text{útil}}{\eta}$ ${}= \frac{1\,743{,}4\,\mathrm{W}}{0{,}6}$ ${}= 2\,906\,\mathrm{W}$ ${}= 2{,}906\,\mathrm{kW}$
La velocitat de l’apartat a) i la relació de transmissió no calen per a aquest càlcul: el treball i el temps ja donen la potència útil.

Resultat $P_\text{elèc} = 2{,}906\,\mathrm{kW}$ .

La pauta oficial dona: $P_\text{elèc}$ ${}= P_\text{útil}/\eta$ ${}= W/(\eta\,t)$ ${}= 2{,}906\,\mathrm{kW}$ .

d)0,5 punts

Plantejament Es demana el corrent que absorbeix el motor d’inducció monofàsic. En corrent altern monofàsic, la potència activa és $P = U\,I\cos\varphi$ .

Aïllant el corrent:
$I$ ${}= \frac{P_\text{elèc}}{U\cos\varphi}$ ${}= \frac{2\,906\,\mathrm{W}}{230\,\mathrm{V}\cdot 0{,}85}$ ${}= 14{,}86\,\mathrm{A}$

Resultat $I = 14{,}86\,\mathrm{A}$ .

La pauta oficial dona: $I = P_\text{elèc}/(U\cos\varphi) = 14{,}86\,\mathrm{A}$ .

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Tecnologia industrial 2022, convocatòria extraordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 26 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

El que més s’ha repetit als exàmens

Calcular l’energia i la potència per pujar una càrrega i el que consumeix el motor

Calcular la relació de transmissió i la velocitat de sortida

Calcular la velocitat angular i el parell en un eix

Els exercicis, del més recent al més antic

3.11 punt

3.21 punt

3.30,5 punts

4.10,5 punts

4.20,5 punts

4.31 punt

4.40,5 punts

3.10,5 punts

3.21 punt

3.31 punt

4.11 punt

4.21 punt

4.30,5 punts

1.10,5 punts

1.20,5 punts

1.30,5 punts

1.40,5 punts

1.50,5 punts

1.60,5 punts

1.70,5 punts

1.80,5 punts

2.11 punt

2.21 punt

2.30,5 punts

a)0,5 punts

b)0,5 punts

c)0,5 punts

d)1 punt

a)1 punt

b)1 punt

c)0,5 punts

a)1 punt

b)1 punt

c)0,5 punts

1.10,5 punts

1.20,5 punts

1.30,5 punts

1.40,5 punts

1.50,5 punts

a)1 punt

b)0,5 punts

c)1 punt

1.10,5 punts

1.20,5 punts

1.30,5 punts

1.40,5 punts

1.50,5 punts

a)1 punt

b)0,5 punts

c)0,5 punts

d)0,5 punts

a)1 punt

b)1 punt

c)0,5 punts

a)0,5 punts

b)0,5 punts

c)1 punt

d)0,5 punts

a)0,5 punts

b)1 punt

c)0,5 punts

d)0,5 punts

a)1 punt

b)1 punt

c)0,5 punts

a)0,5 punts

b)0,5 punts

c)1 punt

d)0,5 punts

1.10,5 punts

1.20,5 punts

1.30,5 punts

1.40,5 punts

1.50,5 punts

a)0,5 punts