Materials i assajos: exercicis de la PAU de Tecnologia resolts

Plantejament Es demana la resistència d’un fil conductor a partir de la resistivitat del material, la longitud del fil i el seu diàmetre.

1. La secció del fil és un cercle de diàmetre $d=0{,}2\,\mathrm{mm}=2\cdot10^{-4}\,\mathrm{m}$:

   $S$${}= \frac{\pi d^2}{4}$${}= \frac{\pi\,(2\cdot10^{-4}\,\mathrm{m})^2}{4}$${}= 3{,}142\cdot10^{-8}\,\mathrm{m^2}$

2. Amb $\rho=0{,}49\,\mu\Omega\,\mathrm{m}=0{,}49\cdot10^{-6}\,\Omega\,\mathrm{m}$ i $L=7\,\mathrm{m}$:

   $R$${}= \rho\,\frac{L}{S}=\frac{0{,}49\cdot10^{-6}\,\Omega\,\mathrm{m}\cdot7\,\mathrm{m}}{3{,}142\cdot10^{-8}\,\mathrm{m^2}}$${}= 109{,}2\,\Omega$

3. Per què no les altres: la c) ($27{,}30\,\Omega$) surt si es pren el diàmetre com si fos el radi ($S=\pi d^2$), i la b) ($17{,}15\,\Omega$), si es pren com a secció el valor del diàmetre, $0{,}2\,\mathrm{mm^2}$. La a) no surt de $R=\rho L/S$.

Plantejament Es demana el coeficient d’eficiència (COP) d’una màquina frigorífica ideal: el de Carnot, que només depèn de les temperatures absolutes dels dos focus.

1. Les temperatures han d’anar en kelvin:

   $T_\text{f}=7+273{,}15=280{,}15\,\mathrm{K}$$T_\text{c}=35+273{,}15=308{,}15\,\mathrm{K}$

2. En una màquina frigorífica, l’efecte útil és la calor que s’extreu del focus fred. Per a la màquina ideal:

   $\text{COP}$${}= \frac{T_\text{f}}{T_\text{c}-T_\text{f}}$${}= \frac{280{,}15}{308{,}15-280{,}15}$${}= \frac{280{,}15}{28}$${}= 10{,}01$

3. Si se suma $273$ en lloc de $273{,}15$ surt $280/28=10{,}00$, i l’opció més propera continua sent la c).

4. Per què no les altres: la d) ($11{,}01$) és el COP de la mateixa màquina fent de bomba de calor, $T_\text{c}/(T_\text{c}-T_\text{f})$; la a) ($0{,}25$) surt de fer el càlcul amb graus Celsius, $7/28$. La b) no surt de cap d’aquestes expressions.

Plantejament Es demana la força del cable AB que sosté una placa articulada a O. S’obté amb l’equilibri de moments respecte a l’articulació, on la reacció desconeguda no fa moment.

1. Forces sobre la placa: el pes $m\,g$, vertical cap avall, aplicat al centre de la placa, a una distància horitzontal $L$ d’O (la meitat de $2L$); la tensió $T$ del cable, aplicada a B i dirigida cap a A, formant $30^\circ$ amb el costat superior OB; i la reacció de l’articulació a O.

2. El braç de $T$ respecte a O és la distància d’O a la recta AB: $\overline{OB}\,\sin30^\circ=2L\cdot0{,}5=L$. El pes fa girar la placa en sentit horari i la tensió, en sentit antihorari:

   $\sum M_O$${}= 0:\quad T\cdot2L\sin30^\circ$${}-m\,g\,L=0$${}\Rightarrow T=\frac{m\,g}{2\sin30^\circ}$${}= m\,g$

3. Amb $g=9{,}807\,\mathrm{m/s^2}$ (l’enunciat no en dona el valor):

   $T=5\,\mathrm{kg}\cdot9{,}807\,\mathrm{m/s^2}=49{,}04\,\mathrm{N}$

4. Per què no les altres: la a) ($24{,}52\,\mathrm{N}=m\,g/2$) surt si es pren com a braç de $T$ tot el costat $2L$, sense el $\sin30^\circ$; la c) i la d) ($1{,}5\,m\,g$ i $2\,m\,g$) no compleixen l’equilibri de moments.

Plantejament Es demana la longitud entre marques d’una proveta d’alumini sotmesa a tracció. Primer cal comprovar si treballa en zona elàstica; si és així, val la llei de Hooke.

1. Secció de la proveta, amb $d=10\,\mathrm{mm}$:

   $S$${}= \frac{\pi d^2}{4}$${}= \frac{\pi\cdot(10\,\mathrm{mm})^2}{4}$${}= 78{,}54\,\mathrm{mm^2}$

2. Tensió amb $F=20\,\mathrm{kN}=20\,000\,\mathrm{N}$ ($1\,\mathrm{N/mm^2}=1\,\mathrm{MPa}$):

   $\sigma$${}= \frac{F}{S}=\frac{20\,000\,\mathrm{N}}{78{,}54\,\mathrm{mm^2}}$${}= 254{,}6\,\mathrm{MPa}$

3. Com que $254{,}6\,\mathrm{MPa}$ és menor que el límit elàstic, $275\,\mathrm{MPa}$, la proveta treballa en zona elàstica. Deformació unitària i allargament, amb $E=69\,\mathrm{GPa}=69\,000\,\mathrm{MPa}$ i $L_0=200\,\mathrm{mm}$:

   $\varepsilon$${}= \frac{\sigma}{E}=\frac{254{,}6}{69\,000}$${}= 3{,}690\cdot10^{-3}$$\Delta L$${}= \varepsilon\,L_0$${}= 3{,}690\cdot10^{-3}\cdot200\,\mathrm{mm}$${}= 0{,}738\,\mathrm{mm}$

4. Longitud entre marques sota la càrrega:

   $L$${}= L_0+\Delta L$${}= 200+0{,}738$${}= 200{,}74\,\mathrm{mm}$

5. Per què no les altres: amb la llei de Hooke, l’allargament de la a) ($0{,}10\,\mathrm{mm}$) correspondria a una tensió de $34{,}5\,\mathrm{MPa}$, i els de la c) i la d) ($1{,}01\,\mathrm{mm}$ i $7{,}38\,\mathrm{mm}$), a $348\,\mathrm{MPa}$ i $2\,546\,\mathrm{MPa}$, per sobre fins i tot de la tensió de ruptura; cap no és la tensió real, $254{,}6\,\mathrm{MPa}$.

Plantejament Es demana la funció lògica d’un circuit de tres portes AND de dues entrades que van a una porta OR; cal llegir a quines variables va connectada cada porta.

1. Seguint les línies de la figura (un punt negre és una connexió; un pont en forma d’arc, un encreuament sense connexió): la primera porta AND rep $p$ i $q$; la segona, $q$ i $r$; la tercera, $r$ i $p$. Les seves sortides són:

   $p\,q$$q\,r$$p\,r$

2. La porta OR ($\geq1$) suma les tres sortides:

   $s=pq+qr+pr$

3. És la funció majoria: $s=1$ quan almenys dues de les tres entrades valen 1.

4. Per què no les altres: la d) és la negació d’aquesta funció (caldria un inversor a la sortida); la b) i la c) són productes, que voldrien una porta AND a la sortida, i el circuit hi té una porta OR.

Plantejament Cal trobar la funció de la taula de veritat i comparar-la amb la de cada esquema de contactes: contactes en sèrie fan un producte (AND) i branques en paral·lel, una suma (OR).

1. Files de la taula amb $d=1$: $abc=011$, $101$ i $111$. En suma de productes:

   $d=\overline{a}\,b\,c+a\,\overline{b}\,c+a\,b\,c$

2. Simplificació: $\overline{a}bc+abc=bc$ i $a\overline{b}c+abc=ac$ (el terme $abc$ es pot fer servir dues vegades, perquè $x+x=x$):

   $d=b\,c+a\,c=c\,(a+b)$

3. Lectura dels esquemes: un contacte dibuixat obert, amb la làmina separada del tram següent, és normalment obert i deixa passar quan la seva variable val 1; un contacte amb la làmina recolzada en un petit tram vertical és normalment tancat i deixa passar quan la variable val 0. La línia vertical que uneix dues làmines indica que són del mateix interruptor.

4. Esquema a): dalt, $a$ obert i $b$ tancat en sèrie; baix, $b$ obert i $c$ tancat. Funció: $d=a\overline{b}+b\overline{c}$. Esquema b): dalt, $b$ tancat i $c$ obert; baix, $a$ i $c$ oberts: $d=\overline{b}c+ac$. Esquema c): dalt, $b$ i $c$ oberts; baix, $a$ i $c$ oberts: $d=bc+ac$. Esquema d): dalt, $b$ i $c$ oberts; baix, $a$ tancat i $c$ obert: $d=bc+\overline{a}c$.

5. Només l’esquema c) dona $d=bc+ac$. Les altres fallen en alguna fila: la a) dona $d=1$ amb $abc=100$, i la b) i la d), amb $abc=001$, files on la taula diu $d=0$.

Plantejament Es demana el rendiment d’un motor de corrent continu d’imants permanents en condicions nominals. Sense pèrdues per fregament, les úniques pèrdues són les de la resistència de l’induït, $R_\text{i}\,I^2$.

1. Potència elèctrica absorbida:

   $P_\text{abs}$${}= V_\text{N}\,I_\text{N}$${}= 300\,\mathrm{V}\cdot16\,\mathrm{A}$${}= 4\,800\,\mathrm{W}$

2. Pèrdues a la resistència de l’induït:

   $P_\text{Cu}$${}= R_\text{i}\,I_\text{N}^2$${}= 3\,\Omega\cdot(16\,\mathrm{A})^2$${}= 768\,\mathrm{W}$

3. Potència útil i rendiment ($0{,}84$, és a dir, un $84$ %):

   $P_\text{u}=4\,800-768=4\,032\,\mathrm{W}$$\eta=\frac{P_\text{u}}{P_\text{abs}}=\frac{4\,032}{4\,800}=0{,}84$

4. El mateix surt amb la força contraelectromotriu: $E$${}= V_\text{N}-R_\text{i}I_\text{N}$${}= 300-48$${}= 252\,\mathrm{V}$ i $\eta=E/V_\text{N}=252/300=0{,}84$. La velocitat $n_\text{N}$ no cal.

5. Per què no les altres: la a) ($16$ %) és la fracció de pèrdues, $768/4\,800$, no el rendiment; la b) i la d) no surten d’aquest balanç.

Plantejament El circuit és una font de corrent altern que alimenta un condensador i una bobina en sèrie. L’amperímetre $A_2$ mesura el corrent de la sèrie i el voltímetre $U_3$, la tensió del condensador.

1. Reactàncies a $f=60\,\mathrm{Hz}$, amb $L=50\,\mathrm{mH}=0{,}05\,\mathrm{H}$ i $C=66\,\mu\mathrm{F}=66\cdot10^{-6}\,\mathrm{F}$:

   $X_L$${}= 2\pi fL$${}= 2\pi\cdot60\cdot0{,}05$${}= 18{,}85\,\Omega$$X_C$${}= \frac{1}{2\pi fC}$${}= \frac{1}{2\pi\cdot60\cdot66\cdot10^{-6}}$${}= 40{,}19\,\Omega$

2. En sèrie i sense resistència, les dues reactàncies es resten (les tensions de la bobina i del condensador estan en oposició):

   $Z$${}= |X_L-X_C|$${}= |18{,}85-40{,}19|$${}= 21{,}34\,\Omega$

3. La tensió de la font, $U_1=230\,\mathrm{V}$, és la de la sèrie. Corrent que marca l’amperímetre:

   $A_2$${}= I=\frac{U_1}{Z}$${}= \frac{230\,\mathrm{V}}{21{,}34\,\Omega}$${}= 10{,}78\,\mathrm{A}$

4. Tensió del condensador, que marca el voltímetre (amb $I=10{,}777\,\mathrm{A}$, una xifra més per no arrossegar l’arrodoniment):

   $U_3$${}= I\,X_C$${}= 10{,}777\,\mathrm{A}\cdot40{,}19\,\Omega$${}= 433{,}1\,\mathrm{V}$

5. La tensió del condensador supera la de la font perquè la de la bobina, $I\,X_L=203{,}1\,\mathrm{V}$, va en oposició: $433{,}1-203{,}1=230\,\mathrm{V}$.

6. Per què no les altres: la b) dona com a $U_3$ la tensió de la bobina, $203{,}1\,\mathrm{V}$; la c) i la d) corresponen, aproximadament, al mateix circuit calculat a $50\,\mathrm{Hz}$ en lloc de $60\,\mathrm{Hz}$ (a $50\,\mathrm{Hz}$ surt $I=7{,}072\,\mathrm{A}$, i les tensions del condensador i de la bobina són $341{,}1\,\mathrm{V}$ i $111{,}1\,\mathrm{V}$).

Plantejament Es demana què li passa a un cable d’acer estirat amb $1\,500\,\mathrm{N}$: cal calcular la tensió (la força dividida per la secció) i comparar-la amb el límit elàstic.

1. Secció del cable, amb $d=3\,\mathrm{mm}$:

   $S$${}= \dfrac{\pi\,d^2}{4}$${}= \dfrac{\pi\cdot(3\,\mathrm{mm})^2}{4}$${}= 7{,}069\,\mathrm{mm^2}$

2. Tensió ($1\,\mathrm{N/mm^2}=1\,\mathrm{MPa}$):

   $\sigma$${}= \dfrac{F}{S}$${}= \dfrac{1\,500\,\mathrm{N}}{7{,}069\,\mathrm{mm^2}}$${}= 212{,}2\,\mathrm{MPa}$

3. Com que $212{,}2\,\mathrm{MPa}$ és menys que el límit elàstic, $275\,\mathrm{MPa}$, el cable treballa en zona elàstica: ni es deforma plàsticament ni es trenca, i la a) i la b) són falses. La c), $70{,}69\,\mathrm{MPa}$, no correspon a la força i la secció del cable. El mòdul elàstic i la longitud no calen per a respondre.

Plantejament Es pregunta com canvia el parell del motor mentre la barrera puja de l’horitzontal a la vertical a velocitat angular constant.

1. A velocitat angular constant no hi ha acceleració angular: en cada posició, el parell del motor equilibra el moment del pes de la barrera respecte de l’eix de gir.

2. La barrera és homogènia: el pes $m\,g$ actua al seu punt mitjà, a $l/2$ de l’eix ($l$ és la longitud de la barrera). Si $\theta$ és l’angle de la barrera amb l’horitzontal, el braç del pes és la distància horitzontal $(l/2)\cos\theta$:

   $\Gamma_\text{mot}=m\,g\,\dfrac{l}{2}\cos\theta$

3. Amb la barrera tancada ($\theta=0^\circ$), $\cos\theta=1$ i el parell és màxim; amb la barrera oberta ($\theta=90^\circ$), $\cos\theta=0$: el pes passa per l’eix de gir i el parell és nul.

4. Per què no les altres: la a) diu el contrari (el màxim és amb la barrera tancada); la c) és falsa perquè el parell canvia amb $\cos\theta$, i la d) també, perquè el centre de gravetat puja $l/2$ i cal aportar-hi l’energia potencial $m\,g\,l/2$.

Plantejament Es demana la petjada de $\mathrm{CO_2}$ de l’opció que menys emet per portar 20 persones a $250\,\mathrm{km}$: cal comptar quants vehicles calen de cada tipus.

1. Vehicles necessaris per a 20 persones: un miniautocar (21 places), 4 vehicles lleugers (5 places cadascun) o 10 motocicletes (2 places cadascuna).

2. Emissions de cada opció (vehicles per factor d’emissió per quilòmetres). Miniautocar: $1\cdot 402{,}13\,\mathrm{g/km}\cdot 250\,\mathrm{km}$${}= 100{,}5\,\mathrm{kg}$. Cotxes de benzina: $4\cdot 149{,}28\,\mathrm{g/km}\cdot 250\,\mathrm{km}$${}= 149{,}3\,\mathrm{kg}$. Cotxes de gasoil: $4\cdot 233{,}12\,\mathrm{g/km}\cdot 250\,\mathrm{km}$${}= 233{,}1\,\mathrm{kg}$. Motocicletes: $10\cdot 92{,}29\,\mathrm{g/km}\cdot 250\,\mathrm{km}$${}= 230{,}7\,\mathrm{kg}$.

3. La que menys emet és el miniautocar. Les altres opcions de resposta són les petjades dels altres mitjans: la b), dels cotxes de benzina; la c), dels cotxes de gasoil, i la d), de les motocicletes.

Plantejament Es demana la potència que cal aportar al compressor: la que rep el gas (el cabal per l’increment d’entalpia) més les pèrdues, que són el 20 % de la potència aportada.

1. Cabal màssic en kg/s: $\dot m=30\,\mathrm{g/s}=0{,}03\,\mathrm{kg/s}$. Potència que rep el gas:

   $P_\text{gas}$${}= \dot m\,(H_2-H_1)$${}= 0{,}03\,\mathrm{kg/s}\cdot(420-250)\,\mathrm{kJ/kg}$${}= 5{,}1\,\mathrm{kW}$

2. Si es perd el 20 % de la potència aportada, el gas en rep el 80 %, és a dir, el rendiment és $\eta=0{,}8$:

   $P$${}= \dfrac{P_\text{gas}}{\eta}$${}= \dfrac{5{,}1\,\mathrm{kW}}{0{,}8}$${}= 6{,}375\,\mathrm{kW}$

3. Per què no les altres: la c), $6{,}120\,\mathrm{kW}$, surt de sumar un 20 % a la potència del gas ($5{,}1\cdot 1{,}2$), és a dir, de calcular les pèrdues sobre la potència que rep el gas en lloc de sobre l’aportada. La a) i la d) no corresponen a aquest càlcul.

Plantejament Es demana la impedància d’una bobina i un condensador en sèrie a $50\,\mathrm{Hz}$: les dues reactàncies tenen efectes oposats i es resten.

1. Reactància inductiva:

   $X_L$${}= 2\pi f\,L$${}= 2\pi\cdot 50\,\mathrm{Hz}\cdot 0{,}025\,\mathrm{H}$${}= 7{,}854\,\Omega$

2. Reactància capacitiva:

   $X_C$${}= \dfrac{1}{2\pi f\,C}$${}= \dfrac{1}{2\pi\cdot 50\,\mathrm{Hz}\cdot 25\cdot 10^{-6}\,\mathrm{F}}$${}= 127{,}32\,\Omega$

3. Sense resistència, la impedància és la diferència de les dues reactàncies, en valor absolut:

   $Z$${}= |X_L-X_C|$${}= |7{,}854-127{,}32|\,\Omega$${}= 119{,}5\,\Omega$

4. La càrrega és capacitiva, perquè $X_C$ és més gran que $X_L$. Per què no les altres: la b) és només $X_L$; la d), només $X_C$, i la a), $0\,\Omega$, només passaria a la freqüència de ressonància, on $X_L=X_C$.

Plantejament Lectura de corbes tensió-deformació: es pregunta quin acer és més fràgil, és a dir, quin es trenca amb menys deformació plàstica.

1. Un material fràgil es trenca poc després de sortir de la zona elàstica, gairebé sense deformació plàstica; un de dúctil es deforma molt abans de trencar-se.

2. L’acer A (línia contínua) arriba a uns $410\,\mathrm{MPa}$ amb $\varepsilon\approx 0{,}002$ i es trenca cap a $\varepsilon\approx 0{,}004$. L’acer B (línia de punts) surt del tram recte a uns $260\,\mathrm{MPa}$ i continua deformant-se fins a $\varepsilon\approx 0{,}014$.

3. L’acer A es trenca amb molta menys deformació: és el més fràgil, encara que sigui el que aguanta més tensió. La figura permet comparar-ho, així que la c) i la d) són falses.

4. A la figura de la versió castellana de l’examen, la marca central de l’eix vertical diu «100»; per l’escala de les altres marques (0 i 400) hauria de dir 200. No afecta la resposta, perquè només es compara la deformació.

Plantejament Ajust ISO 50 H7/g6: es demana el joc màxim, que es dona amb el forat més gran i l’eix més petit.

1. Mides límit, sobre la cota nominal de $50\,\mathrm{mm}$: el forat va de $50{,}000$ a $50{,}025\,\mathrm{mm}$, i l’eix, de $49{,}975$ a $49{,}991\,\mathrm{mm}$.

2. Joc màxim: forat màxim menys eix mínim. Amb les desviacions, és la superior del forat menys la inferior de l’eix:

   $J_\text{màx}=25\,\mu\mathrm{m}-(-25\,\mu\mathrm{m})=50\,\mu\mathrm{m}$

3. Per què no les altres: la a), $9\,\mu\mathrm{m}$, és el joc mínim, $0-(-9)$; la c), $34\,\mu\mathrm{m}$, és el forat màxim menys l’eix màxim, $25-(-9)$, i la b), $25\,\mu\mathrm{m}$, és el forat mínim menys l’eix mínim, $0-(-25)$.

Plantejament Motor de corrent continu: es demana el rendiment nominal, la potència útil de la placa dividida per la potència elèctrica que absorbeix.

1. A la placa, $P_\text{N}=60\,\mathrm{W}$ és la potència útil a l’eix. Potència elèctrica absorbida:

   $P_\text{abs}$${}= U_\text{N}\,I_\text{N}$${}= 24\,\mathrm{V}\cdot 3{,}47\,\mathrm{A}$${}= 83{,}28\,\mathrm{W}$

2. Rendiment:

   $\eta$${}= \dfrac{P_\text{N}}{P_\text{abs}}$${}= \dfrac{60\,\mathrm{W}}{83{,}28\,\mathrm{W}}$${}= 0{,}7205$

3. És a dir, un 72 %. La velocitat de gir no cal per a calcular el rendiment.

Plantejament Es demana la força axial que trenca una barra de llautó: la que fa que la tensió normal de la barra arribi a la tensió de ruptura.

1. Secció de la barra, amb $d=8\,\mathrm{mm}$:

   $S$${}= \frac{\pi d^2}{4}$${}= \frac{\pi\cdot(8\,\mathrm{mm})^2}{4}$${}= 50{,}27\,\mathrm{mm^2}$

2. Força màxima ($1\,\mathrm{MPa}=1\,\mathrm{N/mm^2}$):

   $F_\text{màx}$${}= \sigma_\text{R}\,S$${}= 420\,\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{mm^2}}\cdot50{,}27\,\mathrm{mm^2}$${}= 2{,}111\cdot10^4\,\mathrm{N}$${}= 21{,}11\,\mathrm{kN}$

3. Per què no les altres: la a) ($84{,}4\,\mathrm{kN}$, quatre vegades més) surt de prendre el diàmetre com si fos el radi; la d) ($211\,\mathrm{N}$) surt de multiplicar $420$ per la secció en $\mathrm{cm^2}$ ($0{,}5027$) sense passar unitats; la c) no surt de $\sigma_\text{R}\,S$.

Plantejament Cal traduir a àlgebra de Boole la condició d’obertura: la porta s’obre amb una targeta vàlida «o bé» amb la clau correcta.

1. L’accés és permès ($a=1$) quan $t=1$, quan $c=1$ o quan es compleixen totes dues coses; només queda prohibit si $t=0$ i $c=0$. Taula de veritat:

   $t$	$c$	$a$
   0	0	0
   0	1	1
   1	0	1
   1	1	1

2. És la funció OR de les dues variables:

   $a=t+c$

3. Per què no les altres: la d) ($a=t\cdot c$) exigiria la targeta i la clau alhora; la a) i la b) són les negacions (NOR i NAND) i obririen la porta sense targeta ni clau, perquè amb $t=c=0$ donen $a=1$.

Plantejament Es demana la funció d’un circuit amb un inversor i dues portes AND que van a una porta OR; cal llegir quines variables arriben a cada porta.

1. Seguint les línies de la figura (un punt negre és una connexió; un pont en forma d’arc, un encreuament sense connexió): la porta «1» amb un cercle a la sortida és un inversor (NOT) que rep $d$; la primera AND rep $c$ i $a$; la segona AND rep $b$ i $d$. Les sortides són:

   $\overline{d}$$c\cdot a$$b\cdot d$

2. La porta OR ($\geq1$) suma les tres sortides:

   $s=\overline{d}+(c\cdot a)+(b\cdot d)$

3. Per què no les altres: la c) oblida l’inversor de $d$; la b) i la d) són productes, que voldrien una porta AND a la sortida, i el circuit hi té una porta OR.

Plantejament Cal escriure la funció de l’esquema de contactes (sèrie, producte; paral·lel, suma; un contacte normalment tancat aporta la variable negada) i comparar-la amb les quatre taules.

1. Lectura de l’esquema: el contacte $a$, normalment obert (dibuixat obert), està en sèrie amb dues branques en paral·lel; a la de dalt hi ha el contacte $b$ i a la de baix el contacte $c$, tots dos normalment tancats (la làmina reposa sobre un petit tram vertical). La làmpada $d$ s’encén si hi ha camí:

   $d=a\,(\overline{b}+\overline{c})$

2. Per la llei de De Morgan, $\overline{b}+\overline{c}=\overline{b\,c}$: la làmpada s’encén quan $a=1$ i $b$ i $c$ no valen 1 totes dues alhora.

   $d=a\,\overline{b\,c}$

3. Taula de veritat de l’esquema, que és la taula a):

   $a$	$b$	$c$	$d$
   0	0	0	0
   0	0	1	0
   0	1	0	0
   0	1	1	0
   1	0	0	1
   1	0	1	1
   1	1	0	1
   1	1	1	0

4. Per què no les altres: la d) dona $d=1$ amb $abc=011$, sense el contacte $a$ tancat; la b) i la c) donen $d=1$ amb $a=0$, i sense $a$ no hi ha camí.

Plantejament Es demana la dilatació lineal d’una barra d’acer que s’escalfa de $20\,^\circ\mathrm{C}$ a $120\,^\circ\mathrm{C}$.

1. Increment de temperatura:

   $\Delta T=120-20=100\,^\circ\mathrm{C}$

2. Dilatació lineal, amb $L_0=2{,}5\,\mathrm{m}$:

   $\Delta L$${}= \alpha\,L_0\,\Delta T$${}= 12\cdot10^{-6}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}\cdot2{,}5\,\mathrm{m}\cdot100\,^\circ\mathrm{C}$${}= 3\cdot10^{-3}\,\mathrm{m}$${}= 3\,\mathrm{mm}$

3. Per què no les altres: la c) ($3{,}6\,\mathrm{mm}$) surt de multiplicar per la temperatura final, $120\,^\circ\mathrm{C}$, en lloc de per l’increment; la d) ($30\,\mathrm{mm}$) és un error d’un factor $10$, i la a) ($0{,}36\,\mathrm{mm}$) és la c) dividida per $10$.

Plantejament En un tren de cremallera, la cremallera està fixada a la via i la roda dentada del tren hi engrana: a cada volta, el tren avança respecte a la cremallera tantes dents com té la roda, cadascuna d’un pas.

1. Avanç per volta, amb $z=18$ dents i pas $p=20\pi\,\mathrm{mm}$:

   $z\,p$${}= 18\cdot20\pi\,\mathrm{mm}$${}= 360\pi\,\mathrm{mm}$${}= 1{,}131\,\mathrm{m}$

2. Velocitat, amb $n=520\,\mathrm{min}^{-1}=520/60\,\mathrm{s}^{-1}$:

   $v$${}= z\,p\,n$${}= 1{,}131\,\mathrm{m}\cdot\frac{520}{60}\,\mathrm{s}^{-1}$${}= 9{,}802\,\mathrm{m/s}$

3. En km/h ($1\,\mathrm{m/s}=3{,}6\,\mathrm{km/h}$):

   $v=9{,}802\cdot3{,}6=35{,}29\,\mathrm{km/h}$

4. El mateix surt amb el radi primitiu de la roda: $2\pi r=z\,p$ dona $r=180\,\mathrm{mm}$, i $v$${}= \omega\,r=54{,}45\,\mathrm{rad/s}\cdot0{,}18\,\mathrm{m}$${}= 9{,}802\,\mathrm{m/s}$.

5. Per què no les altres: la a) és el valor en m/s amb les unitats de km/h; la b) i la d) no surten d’aquest càlcul.

Plantejament En ressonància, les reactàncies inductiva i capacitiva són iguals i s’anul·len: la impedància d’un circuit RLC sèrie queda reduïda a la resistència.

1. La reactància inductiva creix amb la freqüència i la capacitiva disminueix: $X_\text{L}=20\,\Omega\cdot f/50$ i $X_\text{C}=30\,\Omega\cdot50/f$. Són iguals a la freqüència de ressonància:

   $20\,\frac{f_0}{50}$${}= 30\,\frac{50}{f_0}$${}\Rightarrow f_0$${}= 50\,\sqrt{\frac{30}{20}}$${}= 61{,}24\,\mathrm{Hz}$

2. A aquesta freqüència, $X_\text{L}=X_\text{C}$ i:

   $Z$${}= \sqrt{R^2+(X_\text{L}-X_\text{C})^2}$${}= R=10\,\Omega$

3. Per què no les altres: la b) i la c) són les reactàncies a $50\,\mathrm{Hz}$, i la d) ($60\,\Omega$) surt de sumar $R+X_\text{L}+X_\text{C}$ com si fossin resistències.