Tecnologia, PAU 2024 de Catalunya: l’examen extraordinari resolt

Plantejament Es demana la taula de veritat del segment del mig de la segona xifra, $s$, per a les setze combinacions de $abcd$. Cal saber quin número es mostra en cada cas i si la seva segona xifra (les unitats) té el segment del mig encès.

1. L’entrada $abcd$ és el número en binari, de $0000=0$ a $1111=15$. La segona xifra del marcador són les unitats: del $0$ al $9$ és el mateix número, i del $10$ al $15$ és $0$, $1$, $2$, $3$, $4$ i $5$.

2. Segons la nota de l’enunciat, el segment del mig està encès en les xifres $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $8$ i $9$, i apagat en el $0$, l’$1$ i el $7$.

3. Per tant, $s=0$ per als números $00$, $01$, $07$, $10$ i $11$, i $s=1$ per a tots els altres. Taula de veritat, amb el número que mostra el marcador:

   Número	$a$	$b$	$c$	$d$	$s$
   00	0	0	0	0	0
   01	0	0	0	1	0
   02	0	0	1	0	1
   03	0	0	1	1	1
   04	0	1	0	0	1
   05	0	1	0	1	1
   06	0	1	1	0	1
   07	0	1	1	1	0
   08	1	0	0	0	1
   09	1	0	0	1	1
   10	1	0	1	0	0
   11	1	0	1	1	0
   12	1	1	0	0	1
   13	1	1	0	1	1
   14	1	1	1	0	1
   15	1	1	1	1	1

Plantejament Es demana la funció lògica de $s$ i, si es pot, simplificar-la. Primer la forma canònica a partir de la taula i després el mapa de Karnaugh.

1. Files amb $s=1$: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 12, 13, 14 i 15. La primera forma canònica (suma de productes) té un terme per cada una, amb la variable negada on val $0$, $s=\sum m(2,3,4,5,6,8,9,12,13,14,15)$:

   $s$${}= \overline{a}\,\overline{b}\,c\,\overline{d}+\overline{a}\,\overline{b}\,c\,d$${}+\overline{a}\,b\,\overline{c}\,\overline{d}+\overline{a}\,b\,\overline{c}\,d$${}+\overline{a}\,b\,c\,\overline{d}+a\,\overline{b}\,\overline{c}\,\overline{d}$${}+a\,\overline{b}\,\overline{c}\,d+a\,b\,\overline{c}\,\overline{d}$${}+a\,b\,\overline{c}\,d+a\,b\,c\,\overline{d}$${}+a\,b\,c\,d$

2. Com que només hi ha cinc zeros (files 0, 1, 7, 10 i 11), és més curta la segona forma canònica (producte de sumes), amb un factor per cada zero i la variable negada on val $1$:

   $s$${}= (a+b+c+d)(a+b+c+\overline{d})(a+\overline{b}+\overline{c}+\overline{d})(\overline{a}+b+\overline{c}+d)(\overline{a}+b+\overline{c}+\overline{d})$

3. Mapa de Karnaugh ($ab$ a les files i $cd$ a les columnes, totes dues en codi Gray):

   $ab \backslash cd$	00	01	11	10
   00	0	0	1	1
   01	1	1	0	1
   11	1	1	1	1
   10	1	1	0	0

4. Grups de quatre: les files $ab=01$ i $11$ amb les columnes $cd=00$ i $01$ (4, 5, 12 i 13) donen $b\,\overline{c}$; les files $ab=11$ i $10$ amb les columnes $cd=00$ i $01$ (12, 13, 8 i 9) donen $a\,\overline{c}$; la fila $ab=11$ sencera (12, 13, 15 i 14) dona $a\,b$.

5. Les files $ab=01$ i $11$ amb les columnes $cd=00$ i $10$, que són veïnes perquè el mapa es tanca pels costats (4, 6, 12 i 14), donen $b\,\overline{d}$. Els uns 2 i 3 (fila $ab=00$, columnes $cd=11$ i $10$) només fan un grup de dos, $\overline{a}\,\overline{b}\,c$, perquè les caselles 7, 10 i 11 del voltant valen $0$.

6. Calen els cinc grups: el 15 només el cobreix $a\,b$; el 9, $a\,\overline{c}$; el 5, $b\,\overline{c}$; el 6, $b\,\overline{d}$, i el 2 i el 3, $\overline{a}\,\overline{b}\,c$. La funció simplificada és:

   $s=\overline{a}\,\overline{b}\,c+b\,\overline{c}+a\,\overline{c}+a\,b+b\,\overline{d}$

Plantejament Es demana el circuit de portes lògiques de la funció simplificada: cinc productes (AND) sumats amb una porta OR, amb inversors (NOT) per a les variables negades.

1. Quatre inversors donen $\overline{a}$, $\overline{b}$, $\overline{c}$ i $\overline{d}$.

2. Una porta AND de tres entrades fa el primer producte i quatre AND de dues entrades fan els altres:

   $\overline{a}\,\overline{b}\,c$$b\,\overline{c}$$a\,\overline{c}$$a\,b$$b\,\overline{d}$

3. Una porta OR de cinc entrades suma els cinc productes i dona $s$. A la figura, l’inversor és un rectangle amb «1» i un cercle a la sortida; la porta AND, un rectangle amb «&», i la porta OR, un rectangle amb «≥1» (símbols IEC). Els punts negres marquen les connexions.

ResultatQuatre inversors ($\overline{a}$, $\overline{b}$, $\overline{c}$ i $\overline{d}$), una AND de tres entrades ($\overline{a}\,\overline{b}\,c$), quatre AND de dues entrades ($b\,\overline{c}$, $a\,\overline{c}$, $a\,b$ i $b\,\overline{d}$) i una OR de cinc entrades que dona $s$ (esquema a la figura).

La pauta oficial dona: Quatre portes NOT, una AND de tres entrades, quatre AND de dues entrades i una OR de cinc entrades que dona $s$.

Plantejament Es demana l’energia mecànica per plegar la cistella de $45^\circ$ a $15^\circ$. Com que la velocitat angular és constant, l’energia cinètica no canvia, i tota l’energia mecànica que aporta el cable es converteix en energia potencial: el centre d’inèrcia G puja.

1. Segons la figura, G és a $3l=3\,\mathrm{m}$ d’O al llarg de la barra. Amb la barra a un angle $\varphi$ per sota del sostre, G queda a una distància vertical $3l\sin\varphi$ per sota d’O.

2. Altura que puja G entre les dues posicions:

   $\Delta h$${}= 3l\,(\sin\varphi_1-\sin\varphi_2)$${}= 3\,\mathrm{m}\cdot(\sin 45^\circ-\sin 15^\circ)$${}= 3\,\mathrm{m}\cdot(0{,}7071-0{,}2588)$${}= 1{,}345\,\mathrm{m}$

3. Energia mecànica (prenem $g=9{,}807\,\mathrm{m/s^2}$):

   $E_\text{mec}$${}= m\,g\,\Delta h$${}= 100\,\mathrm{kg}\cdot 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}\cdot 1{,}345\,\mathrm{m}$${}= 1\,319\,\mathrm{J}$

Plantejament Es demana l’energia que consumeix el motor, tenint en compte el seu rendiment.

1. El motor ha de consumir més energia que la mecànica que entrega:

   $E_\text{mot}$${}= \dfrac{E_\text{mec}}{\eta}$${}= \dfrac{1\,319\,\mathrm{J}}{0{,}8}$${}= 1\,649\,\mathrm{J}$

Plantejament Es demana la component vertical de la velocitat de G quan la barra forma $30^\circ$ amb el sostre. G descriu un arc de radi $3l$ al voltant d’O: la seva velocitat és perpendicular a la barra i val $\omega\cdot 3l$.

1. Mòdul de la velocitat de G:

   $v_\text{G}$${}= \omega\cdot 3l$${}= 0{,}1745\,\mathrm{rad/s}\cdot 3\,\mathrm{m}$${}= 0{,}5235\,\mathrm{m/s}$

2. La velocitat és perpendicular a la barra; com que la barra forma $30^\circ$ amb l’horitzontal, la velocitat forma $30^\circ$ amb la vertical, i la seva component vertical és:

   $v_\text{vert}$${}= \omega\cdot 3l\cdot\cos\varphi$${}= 0{,}5235\,\mathrm{m/s}\cdot\cos 30^\circ$${}= 0{,}4534\,\mathrm{m/s}$

3. Equivalentment: G és a una distància $3l\sin\varphi$ per sota del sostre, que varia a un ritme $3l\cos\varphi\cdot\omega$. En plegar, $\varphi$ disminueix i G puja.

Plantejament Es demana la potència que consumeix el motor en aquesta posició. Com que la velocitat angular és constant, la potència mecànica és la que fa pujar el pes a la velocitat vertical de G, i el motor n’ha de consumir més pel seu rendiment.

1. Potència mecànica:

   $P_\text{mec}$${}= m\,g\,v_\text{vert}$${}= 100\,\mathrm{kg}\cdot 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}\cdot 0{,}4534\,\mathrm{m/s}$${}= 444{,}6\,\mathrm{W}$

2. Potència que consumeix el motor:

   $P_\text{mot}$${}= \dfrac{P_\text{mec}}{\eta}$${}= \dfrac{444{,}6\,\mathrm{W}}{0{,}8}$${}= 555{,}8\,\mathrm{W}$

3. Amb $g=9{,}81\,\mathrm{m/s^2}$ surt $555{,}9\,\mathrm{W}$; l’energia dels apartats a) i b) no canvia.

Plantejament Es demana la resistència que dissipa $2{,}2\,\mathrm{kW}$ connectada a $230\,\mathrm{V}$.

1. Potència d’una resistència a la tensió $U$, amb $P=2{,}2\,\mathrm{kW}=2\,200\,\mathrm{W}$:

   $P$${}= \dfrac{U^2}{R}$${}\Rightarrow R=\dfrac{U^2}{P}$${}= \dfrac{(230\,\mathrm{V})^2}{2\,200\,\mathrm{W}}$${}= 24{,}05\,\Omega$

Plantejament Es demana la gràfica de la resistència d’un metre de fil de cada bobina en funció del diàmetre. La resistència d’un fil és $R=\rho\,l/S$, amb la secció circular $S=\pi d^2/4$: per a una longitud fixa, és inversament proporcional al quadrat del diàmetre.

1. Resistència d’un fil de longitud $l$ i diàmetre $d$:

   $R_\text{b}=\rho\,\dfrac{l}{S}=\dfrac{4\,\rho\,l}{\pi\,d^2}$

2. Per exemple, per a la bobina B1, $d=0{,}04\,\mathrm{mm}=4\times 10^{-5}\,\mathrm{m}$ i $l=1\,\mathrm{m}$:

   $R_\text{b1}$${}= \dfrac{4\cdot 4{,}9\times 10^{-7}\,\Omega\,\mathrm{m}\cdot 1\,\mathrm{m}}{\pi\cdot(4\times 10^{-5}\,\mathrm{m})^2}$${}= 389{,}9\,\Omega$

3. Fent el mateix amb les cinc bobines (cada vegada que el diàmetre es duplica, la resistència es divideix per quatre). La darrera columna és per a l’apartat c):

   Bobina	$d$ (mm)	$R_\text{b}$ ($\Omega$)	$l$ necessària (m)
   B1	$0{,}04$	$389{,}9$	$0{,}06167$
   B2	$0{,}08$	$97{,}48$	$0{,}2467$
   B3	$0{,}12$	$43{,}33$	$0{,}5550$
   B4	$0{,}16$	$24{,}37$	$0{,}9867$
   B5	$0{,}2$	$15{,}60$	$1{,}542$

4. La gràfica és una corba decreixent del tipus $R_\text{b}=k/d^2$, amb $k=4\rho l/\pi=6{,}239\times 10^{-7}\,\Omega\,\mathrm{m^2}$ ($d$ en metres): molt alta per als diàmetres petits i que s’acosta a zero quan el diàmetre creix. Escales aproximades: eix horitzontal de $0$ a $0{,}2\,\mathrm{mm}$ i eix vertical de $0$ a $450\,\Omega$ (figura).

Resultat$R_\text{b}=4\rho l/(\pi d^2)$, una corba decreixent proporcional a $1/d^2$: $389{,}9\,\Omega$ (B1), $97{,}48\,\Omega$ (B2), $43{,}33\,\Omega$ (B3), $24{,}37\,\Omega$ (B4) i $15{,}60\,\Omega$ (B5). Gràfica a la figura.

La pauta oficial dona: Gràfica de $R_\text{b}$ (en $\Omega$, de $0$ a $450$) en funció de $d$ (en mm, de $0$ a $0{,}2$): corba decreixent que passa pels cinc punts de les bobines, de prop de $390\,\Omega$ (B1) a menys de $20\,\Omega$ (B5).

Plantejament Es demana quina bobina permet fer la resistència de $24{,}05\,\Omega$ aprofitant tant fil com es pugui, i quina longitud cal. Amb una bobina d’$1\,\mathrm{m}$ i resistència $R_\text{b}$, la longitud necessària és $l=R/R_\text{b}$ metres, que només es pot fer si no passa d’$1\,\mathrm{m}$.

1. Longituds necessàries (última columna de la taula de l’apartat b): $0{,}06167\,\mathrm{m}$ amb B1, $0{,}2467\,\mathrm{m}$ amb B2, $0{,}5550\,\mathrm{m}$ amb B3, $0{,}9867\,\mathrm{m}$ amb B4 i $1{,}542\,\mathrm{m}$ amb B5.

2. La B5 no serveix: caldria $1{,}542\,\mathrm{m}$ de fil i la bobina només en té $1\,\mathrm{m}$. De les altres, la que n’aprofita més és la B4, la que té una resistència per metre ($24{,}37\,\Omega$) just per sobre de la necessària ($24{,}05\,\Omega$).

3. Longitud de fil de la bobina B4, amb $d=0{,}16\,\mathrm{mm}=1{,}6\times 10^{-4}\,\mathrm{m}$:

   $l$${}= \dfrac{R\,S}{\rho}$${}= \dfrac{R\,\pi d^2}{4\,\rho}$${}= \dfrac{24{,}05\,\Omega\cdot\pi\cdot(1{,}6\times 10^{-4}\,\mathrm{m})^2}{4\cdot 4{,}9\times 10^{-7}\,\Omega\,\mathrm{m}}$${}= 0{,}987\,\mathrm{m}$

Plantejament Es demana el diagrama de cos lliure del braç: el braç aïllat, horitzontal, amb totes les forces exteriors que hi actuen.

1. El pes del braç, $m_\text{b}\,g$, vertical i cap avall, a G ($b=240\,\mathrm{mm}$ d’O).

2. El pes que sosté la mà, $m_\text{p}\,g$, vertical i cap avall, a P ($c=600\,\mathrm{mm}$ d’O).

3. La força del deltoide, $F_\text{m}$, a Q ($a=100\,\mathrm{mm}$ d’O), dirigida cap a l’espatlla i cap amunt, formant un angle $\theta=20^\circ$ amb l’horitzontal.

4. La reacció de l’articulació a O, amb les components $O_\text{H}$ i $O_\text{V}$ dibuixades en un sentit qualsevol (a la figura, $O_\text{H}$ cap a la dreta i $O_\text{V}$ cap amunt); el signe del resultat dirà el sentit real.

ResultatQuatre forces: $m_\text{b}\,g$ a G i $m_\text{p}\,g$ a P (verticals, cap avall), $F_\text{m}$ a Q (cap a l’espatlla i cap amunt, a $20^\circ$ de l’horitzontal) i la reacció a O ($O_\text{H}$ i $O_\text{V}$). Diagrama a la figura.

La pauta oficial dona: Diagrama de cos lliure: $O_\text{H}$ i $O_\text{V}$ a O, $F_\text{m}$ a Q, $m_\text{b}\,g$ a G i $m_\text{p}\,g$ a P.

Plantejament Es demana la força del deltoide. Prenent moments respecte a O, la reacció de l’articulació no hi intervé.

1. Només la component vertical de $F_\text{m}$, $F_\text{m}\sin\theta$, fa moment respecte a O: la component horitzontal passa per O, perquè Q és sobre la línia del braç. Moments respecte a O, positius en sentit antihorari:

   $\sum M_\text{O}$${}= 0:\quad F_\text{m}\sin\theta\cdot a$${}-m_\text{b}\,g\,b-m_\text{p}\,g\,c=0$

2. Aïllem la força, amb les distàncies en metres (prenem $g=9{,}807\,\mathrm{m/s^2}$):

   $F_\text{m}$${}= \dfrac{g\,(m_\text{b}\,b+m_\text{p}\,c)}{a\,\sin\theta}$${}= \dfrac{9{,}807\,\mathrm{m/s^2}\cdot(5\,\mathrm{kg}\cdot 0{,}24\,\mathrm{m}+2\,\mathrm{kg}\cdot 0{,}6\,\mathrm{m})}{0{,}1\,\mathrm{m}\cdot\sin 20^\circ}$${}= 688{,}2\,\mathrm{N}$

3. La força del múscul és unes deu vegades el pes total que sosté el braç, $(m_\text{b}+m_\text{p})\,g=68{,}65\,\mathrm{N}$, perquè el seu braç de palanca és molt curt. Amb $g=9{,}81\,\mathrm{m/s^2}$ surt $688{,}4\,\mathrm{N}$.

Plantejament Es demanen les components de la reacció a O, amb l’equilibri de forces horitzontals i verticals.

1. Equilibri horitzontal, amb $O_\text{H}$ cap a la dreta i la component horitzontal de $F_\text{m}$ cap a l’esquerra (cap a l’espatlla):

   $\sum F_x$${}= 0:\quad O_\text{H}-F_\text{m}\cos\theta=0$${}\Rightarrow O_\text{H}$${}= 688{,}2\,\mathrm{N}\cdot\cos 20^\circ$${}= 646{,}7\,\mathrm{N}$

2. Equilibri vertical, amb $O_\text{V}$ cap amunt:

   $\sum F_y$${}= 0:\quad O_\text{V}+F_\text{m}\sin\theta$${}-m_\text{b}\,g-m_\text{p}\,g=0$

3. Amb $(m_\text{b}+m_\text{p})\,g$${}= 7\,\mathrm{kg}\cdot 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}$${}= 68{,}649\,\mathrm{N}$ i $F_\text{m}\sin\theta$${}= 688{,}2\,\mathrm{N}\cdot\sin 20^\circ$${}= 235{,}37\,\mathrm{N}$ (amb una xifra més per no arrossegar arrodoniments):

   $O_\text{V}$${}= (m_\text{b}+m_\text{p})\,g-F_\text{m}\sin\theta$${}= 68{,}649\,\mathrm{N}-235{,}37\,\mathrm{N}$${}= -166{,}7\,\mathrm{N}$

4. El signe negatiu indica que $O_\text{V}$ va cap avall, al contrari del que s’havia dibuixat: l’articulació empeny el braç cap avall. $O_\text{H}$ és positiva: va cap a la dreta (cap a la mà) i compensa la component horitzontal de la força del múscul.

5. Mòdul de la reacció total a O:

   $O$${}= \sqrt{O_\text{H}^2+O_\text{V}^2}$${}= \sqrt{(646{,}7\,\mathrm{N})^2+(166{,}7\,\mathrm{N})^2}$${}= 667{,}8\,\mathrm{N}$

Plantejament Es demana l’energia útil per convertir cada dia $1\,500\,\mathrm{kg}$ d’aigua a $80\,^\circ\mathrm{C}$ en vapor sec a $125\,^\circ\mathrm{C}$. Hi ha tres etapes: escalfar l’aigua líquida fins a $100\,^\circ\mathrm{C}$, vaporitzar-la a $100\,^\circ\mathrm{C}$ i escalfar el vapor fins a $125\,^\circ\mathrm{C}$.

1. Escalfament de l’aigua líquida de $80$ a $100\,^\circ\mathrm{C}$:

   $Q_1$${}= m_\text{a}\,c_\text{e\_a}\,(T_\text{c}-T_1)$${}= 1\,500\,\mathrm{kg}\cdot 4{,}197\,\mathrm{kJ/(kg\,^\circ C)}\cdot 20\,^\circ\mathrm{C}$${}= 125\,910\,\mathrm{kJ}$${}= 125{,}9\,\mathrm{MJ}$

2. Vaporització a $100\,^\circ\mathrm{C}$:

   $Q_2$${}= m_\text{a}\,L_\text{v}$${}= 1\,500\,\mathrm{kg}\cdot 2\,257\,\mathrm{kJ/kg}$${}= 3\,385{,}5\,\mathrm{MJ}$${}\approx 3\,386\,\mathrm{MJ}$

3. Escalfament del vapor de $100$ a $125\,^\circ\mathrm{C}$:

   $Q_3$${}= m_\text{a}\,c_\text{e\_v}\,(T_2-T_\text{c})$${}= 1\,500\,\mathrm{kg}\cdot 2{,}155\,\mathrm{kJ/(kg\,^\circ C)}\cdot 25\,^\circ\mathrm{C}$${}= 80{,}81\,\mathrm{MJ}$

4. Energia útil diària, la suma de les tres:

   $E_\text{dia}$${}= Q_1+Q_2+Q_3$${}= 125{,}9\,\mathrm{MJ}+3\,385{,}5\,\mathrm{MJ}$${}+80{,}81\,\mathrm{MJ}$${}= 3\,592{,}2\,\mathrm{MJ}$${}\approx 3\,592\,\mathrm{MJ}$

5. La major part (més del $94$ %) és la calor latent: vaporitzar l’aigua costa molt més que escalfar-la.

Plantejament Es demana l’energia que la caldera treu cada dia del propà que crema i el rendiment, que és el quocient entre l’energia útil i la consumida.

1. Energia del combustible, passant els kilowatts hora a megajoules ($1\,\mathrm{kW\,h}=3{,}6\,\mathrm{MJ}$):

   $E_\text{cons}$${}= p_\text{c}\,m_\text{p}$${}= 12{,}83\,\mathrm{kW\,h/kg}\cdot 90\,\mathrm{kg}$${}= 1\,154{,}7\,\mathrm{kW\,h}$${}= 4\,156{,}9\,\mathrm{MJ}$${}\approx 4\,157\,\mathrm{MJ}$

2. Rendiment de la instal·lació (amb un decimal més per no arrossegar arrodoniments), és a dir, el $86{,}42$ %:

   $\eta$${}= \dfrac{E_\text{dia}}{E_\text{cons}}$${}= \dfrac{3\,592{,}2\,\mathrm{MJ}}{4\,156{,}9\,\mathrm{MJ}}$${}= 0{,}8642$

3. La resta de l’energia del propà, un $13{,}58$ %, no arriba a l’aigua.

Plantejament Es demana el $\mathrm{CO_2}$ emès en un any, suposant que la caldera funciona els $365$ dies: cada dia crema $90\,\mathrm{kg}$ de propà, i cada kilogram emet $2{,}94\,\mathrm{kg}$ de $\mathrm{CO_2}$.

1. Emissió diària:

   $m_{\mathrm{CO_2},\text{dia}}$${}= \mathit{FE}\,m_\text{p}$${}= 2{,}94\,\mathrm{kg/kg}\cdot 90\,\mathrm{kg}$${}= 264{,}6\,\mathrm{kg}$

2. Durant un any de $365$ dies:

   $m_{\mathrm{CO_2}}$${}= 365\cdot 264{,}6\,\mathrm{kg}$${}= 96\,579\,\mathrm{kg}$${}\approx 96{,}58\,\mathrm{t}$