Tecnologia, PAU 2023 de Catalunya: l’examen de juny (sèrie 1) resolt

Plantejament Taula de veritat d’una votació de quatre membres per majoria, amb vot de qualitat del president en cas d’empat: cal decidir $d$ per a les 16 combinacions de vots.

1. Regla: amb 3 o 4 vots favorables el treball és apte; amb 0 o 1, no ho és; amb 2 vots a favor i 2 en contra hi ha empat i decideix el vot del president, és a dir, $d=p$.

2. Taula de veritat (la columna del mig compta els vots favorables):

   $v_1$	$v_2$	$s$	$p$	vots a favor	$d$
   0	0	0	0	0	0
   0	0	0	1	1	0
   0	0	1	0	1	0
   0	0	1	1	2	1
   0	1	0	0	1	0
   0	1	0	1	2	1
   0	1	1	0	2	0
   0	1	1	1	3	1
   1	0	0	0	1	0
   1	0	0	1	2	1
   1	0	1	0	2	0
   1	0	1	1	3	1
   1	1	0	0	2	0
   1	1	0	1	3	1
   1	1	1	0	3	1
   1	1	1	1	4	1

3. Hi ha 8 files amb $d=1$: les tres d’empat en què el president vota a favor (0011, 0101 i 1001, en l’ordre $v_1v_2sp$), les quatre amb tres vots favorables (0111, 1011, 1101 i 1110) i la de quatre (1111).

Plantejament Funció lògica de la decisió: s’escriu en suma de productes a partir de les files amb $d=1$ i se simplifica amb un mapa de Karnaugh de quatre variables.

1. Funció canònica: un producte per cada fila amb $d=1$, amb la variable negada on val 0.

   $d$${}= \overline{v_1}\,\overline{v_2}\,s\,p$${}+\overline{v_1}\,v_2\,\overline{s}\,p$${}+\overline{v_1}\,v_2\,s\,p$${}+v_1\,\overline{v_2}\,\overline{s}\,p$${}+v_1\,\overline{v_2}\,s\,p$${}+v_1\,v_2\,\overline{s}\,p$${}+v_1\,v_2\,s\,\overline{p}$${}+v_1\,v_2\,s\,p$

2. Mapa de Karnaugh ($v_1v_2$ a les files i $sp$ a les columnes, totes dues en codi Gray):

   $v_1v_2 \backslash sp$	00	01	11	10
   00	0	0	1	0
   01	0	1	1	0
   11	0	1	1	1
   10	0	1	1	0

3. Grup 1: la columna $sp=11$ sencera (quatre caselles), en què només $s$ i $p$ es mantenen a 1.

   $s\,p$

4. Grup 2: les files $v_1v_2=01$ i $11$ amb les columnes $sp=01$ i $11$; s’hi mantenen $v_2=1$ i $p=1$.

   $v_2\,p$

5. Grup 3: les files $v_1v_2=11$ i $10$ amb les columnes $sp=01$ i $11$; s’hi mantenen $v_1=1$ i $p=1$.

   $v_1\,p$

6. Grup 4: la casella $v_1v_2=11$, $sp=10$ (els dos vocals i el secretari a favor i el president en contra) amb la del costat, $sp=11$; s’hi mantenen $v_1$, $v_2$ i $s$ a 1.

   $v_1\,v_2\,s$

7. Funció simplificada, suma dels quatre grups:

   $d=v_1\,v_2\,s+s\,p+v_1\,p+v_2\,p$

8. Traient $p$ factor comú en tres termes queda una forma que es llegeix fàcilment: el treball és apte si el president hi vota a favor i també algú altre, o si hi voten a favor els altres tres.

   $d=p\,(v_1+v_2+s)+v_1\,v_2\,s$

Plantejament Esquema amb portes lògiques de la funció simplificada, que és una suma de quatre productes sense cap variable negada.

1. Tres portes AND de dues entrades donen $s\,p$, $v_1\,p$ i $v_2\,p$, i una porta AND de tres entrades dona $v_1\,v_2\,s$.

2. Una porta OR de quatre entrades suma les quatre sortides i dona $d$. A la figura, & és una porta AND i $\geq1$ una porta OR (símbols de la norma IEC); cada punt negre és una connexió a la línia de l’entrada.

3. Amb la forma factoritzada també es pot fer: una OR de tres entrades ($v_1$, $v_2$, $s$) seguida d’una AND de dues amb $p$, una AND de tres entrades ($v_1$, $v_2$, $s$) i una OR de dues entrades a la sortida.

   $d=p\,(v_1+v_2+s)+v_1\,v_2\,s$

ResultatQuatre portes AND (tres de dues entrades i una de tres) i una porta OR de quatre entrades que dona $d$ (figura).

La pauta oficial dona: Quatre portes AND ($v_1v_2s$, $sp$, $v_1p$, $v_2p$) i una OR de quatre entrades.

Plantejament Potència elèctrica per pujar una massa a velocitat constant amb un motor reductor: la potència mecànica és el pes per la velocitat, i l’elèctrica s’obté dividint pel rendiment del motor reductor.

1. Velocitat de pujada de la massa (constant):

   $v$${}= \dfrac{h_2-h_1}{t}$${}= \dfrac{2\ \mathrm{m}-0{,}3\ \mathrm{m}}{8\ \mathrm{s}}$${}= 0{,}2125\ \mathrm{m/s}$

2. Com que puja a velocitat constant, la pantalla estira la massa amb una força igual al seu pes, $m\,g$. Potència mecànica a la sortida del motor reductor, amb $g=9{,}807\ \mathrm{m/s^2}$, ja que l’enunciat no en dona el valor:

   $P_\text{mec}$${}= m\,g\,v$${}= 2\ \mathrm{kg}\cdot9{,}807\ \mathrm{m/s^2}\cdot0{,}2125\ \mathrm{m/s}$${}= 4{,}168\ \mathrm{W}$

3. Potència elèctrica mitjana:

   $P_\text{elèctr}$${}= \dfrac{P_\text{mec}}{\eta_\text{mot}}$${}= \dfrac{4{,}168\ \mathrm{W}}{0{,}9}$${}= 4{,}631\ \mathrm{W}$

Plantejament Velocitat angular i parell a l’eix de sortida del motor reductor, que és l’eix del corró on s’enrotlla la pantalla.

1. La velocitat de la pantalla és la de la perifèria del corró. Es considera negligible el gruix de la tela enrotllada, de manera que el radi es manté $d/2=0{,}125\ \mathrm{m}$:

   $\omega_\text{mot}$${}= \dfrac{v}{d/2}$${}= \dfrac{0{,}2125\ \mathrm{m/s}}{0{,}125\ \mathrm{m}}$${}= 1{,}7\ \mathrm{rad/s}$

2. Parell que el motor reductor aplica al tambor, a partir de la potència mecànica de l’apartat a:

   $\Gamma_\text{mot}$${}= \dfrac{P_\text{mec}}{\omega_\text{mot}}$${}= \dfrac{4{,}168\ \mathrm{W}}{1{,}7\ \mathrm{rad/s}}$${}= 2{,}452\ \mathrm{N\,m}$

3. Comprovació: és el pes multiplicat pel radi del corró.

   $\Gamma_\text{mot}$${}= m\,g\,\dfrac{d}{2}$${}= 2\cdot9{,}807\cdot0{,}125$${}= 2{,}452\ \mathrm{N\,m}$

Plantejament Increment percentual de la potència elèctrica si la pantalla puja en la meitat del temps: l’energia que cal és la mateixa, però es dona en menys temps.

1. L’energia que rep la massa, $m\,g\,(h_2-h_1)$, no canvia, però el temps passa a ser $t/2=4$ s. Amb el mateix rendiment, la potència es duplica:

   $P'_\text{elèctr}$${}= \dfrac{m\,g\,(h_2-h_1)}{\eta_\text{mot}\,t/2}$${}= 2\,P_\text{elèctr}$${}= 9{,}262\ \mathrm{W}$

2. Increment relatiu; multiplicat per 100, és un increment del $100$ %:

   $\mathit{Inc}$${}= \dfrac{P'_\text{elèctr}-P_\text{elèctr}}{P_\text{elèctr}}$${}= \dfrac{2\,P_\text{elèctr}-P_\text{elèctr}}{P_\text{elèctr}}$${}= 1$

Plantejament Cost de l’energia de cada combustible: el preu dividit per l’energia que conté cada unitat (un kilogram de pèl·let o un litre de gasoil), en euros per kW h d’energia del combustible.

1. Pèl·lets: el preu és en €/kg i el poder calorífic en kW h/kg, així que el quocient surt directament en €/(kW h):

   $ce_\text{pèl}$${}= \dfrac{c_\text{pèl}}{p_{c\text{\_pèl}}}$${}= \dfrac{0{,}4}{4{,}8}$${}= 0{,}08333$

2. Gasoil: el poder calorífic es passa a kW h per kilogram ($1\ \mathrm{kW\,h}=3{,}6\ \mathrm{MJ}$) i, amb la densitat, a kW h per litre:

   $p_{c\text{\_gas}}$${}= \dfrac{44{,}8}{3{,}6}$${}= 12{,}444\ \mathrm{kW\,h/kg}$$\rho\,p_{c\text{\_gas}}$${}= 0{,}85\ \mathrm{kg/L}\cdot\dfrac{44{,}8}{3{,}6}\ \mathrm{kW\,h/kg}$${}= 10{,}578\ \mathrm{kW\,h/L}$

3. El preu del gasoil és per litre; dividit per l’energia d’un litre dona el cost en €/(kW h):

   $ce_\text{gas}$${}= \dfrac{c_\text{gas}}{\rho\,p_{c\text{\_gas}}}$${}= \dfrac{1{,}3}{10{,}578}$${}= 0{,}1229$

Plantejament Massa anual de pèl·lets: l’estufa ha de rebre del combustible la demanda dividida pel seu rendiment, i cada kilogram en dona $4{,}8\ \mathrm{kW\,h}$.

1. Energia que ha d’aportar el combustible:

   $E_\text{pèl}$${}= \dfrac{E_\text{cons}}{\eta_\text{pèl}}$${}= \dfrac{15\,000\ \mathrm{kW\,h}}{0{,}94}$${}= 15\,957\ \mathrm{kW\,h}$

2. Massa de pèl·lets:

   $m_\text{pèl}$${}= \dfrac{E_\text{pèl}}{p_{c\text{\_pèl}}}$${}= \dfrac{15\,957\ \mathrm{kW\,h}}{4{,}8\ \mathrm{kW\,h/kg}}$${}= 3\,324\ \mathrm{kg}$

Plantejament Volum anual de gasoil: l’energia que ha d’aportar el combustible dividida per l’energia que conté cada litre.

1. Energia que ha d’aportar el gasoil:

   $E_\text{gas}$${}= \dfrac{E_\text{cons}}{\eta_\text{gas}}$${}= \dfrac{15\,000\ \mathrm{kW\,h}}{0{,}82}$${}= 18\,293\ \mathrm{kW\,h}$

2. Amb l’energia d’un litre de l’apartat a, $\rho\,p_{c\text{\_gas}}=10{,}578\ \mathrm{kW\,h/L}$:

   $V_\text{gas}$${}= \dfrac{E_\text{gas}}{\rho\,p_{c\text{\_gas}}}$${}= \dfrac{18\,293\ \mathrm{kW\,h}}{10{,}578\ \mathrm{kW\,h/L}}$${}= 1\,729\ \mathrm{L}$

Plantejament Temps perquè s’igualin els costos de les dues estufes: la de pèl·lets costa més d’instal·lar, però el seu combustible surt més barat cada any; cal trobar quan l’estalvi acumulat cobreix la diferència d’inversió.

1. Cost anual del combustible de cada estufa, en € l’any (amb una xifra més de $m_\text{pèl}$ i $V_\text{gas}$):

   $C_\text{pèl}$${}= m_\text{pèl}\,c_\text{pèl}$${}= 3\,324{,}5\cdot0{,}4$${}= 1\,329{,}8$$C_\text{gas}$${}= V_\text{gas}\,c_\text{gas}$${}= 1\,729{,}4\cdot1{,}3$${}= 2\,248{,}2$

2. El manteniment (400 € l’any) és igual per a les dues estufes i no canvia la diferència. Estalvi anual de l’estufa de pèl·lets, en € l’any:

   $\Delta c_\text{comb}$${}= C_\text{gas}-C_\text{pèl}$${}= 2\,248{,}2-1\,329{,}8$${}= 918{,}4$

3. Els costos totals s’igualen quan l’estalvi acumulat iguala la diferència d’inversió inicial, $7\,000-2\,000=5\,000$ €:

   $c_\text{inv\_pèl}$${}+(C_\text{pèl}+400)\,t$${}= c_\text{inv\_gas}$${}+(C_\text{gas}+400)\,t$${}\Rightarrow t=\dfrac{c_\text{inv\_pèl}-c_\text{inv\_gas}}{\Delta c_\text{comb}}$${}= \dfrac{5\,000}{918{,}4}$${}= 5{,}444\ \text{anys}$

4. A partir d’aquest moment, l’estufa de pèl·lets surt més a compte. $0{,}444$ anys són uns $5$ mesos ($0{,}444\cdot12=5{,}3$).

Plantejament Diagrama de cos lliure de la barra OBC: s’aïlla la barra i s’hi dibuixen totes les forces exteriors, cadascuna al seu punt d’aplicació.

1. Al punt C, el pes de les caixes, vertical i cap avall (amb $g=9{,}807\ \mathrm{m/s^2}$, ja que l’enunciat no en dona el valor):

   $m\,g$${}= 75\ \mathrm{kg}\cdot9{,}807\ \mathrm{m/s^2}$${}= 735{,}5\ \mathrm{N}$

2. Al punt B, la força del cilindre, $F_\text{c}$, en la direcció del cilindre (la recta PB) i amb sentit de P cap a B: el cilindre empeny la barra cap amunt. Forma l’angle $\alpha$ amb la barra.

3. Al punt O, la reacció de l’articulació, amb dues components: $F_\text{H}$ (horitzontal) i $F_\text{V}$ (vertical). A la figura $F_\text{H}$ va cap a la dreta i $F_\text{V}$ cap avall, que és el sentit que surt de les equacions de l’apartat c.

4. La massa de la barra és negligible: no hi ha pes propi. La figura recull les tres forces.

ResultatSobre la barra actuen $m\,g$ cap avall a C, $F_\text{c}$ a B en la direcció PB (de P cap a B) i la reacció a O, amb components $F_\text{H}$ i $F_\text{V}$ (figura).

La pauta oficial dona: Diagrama: $m\,g$ cap avall a C, $F_\text{c}$ a B formant l’angle $\alpha$ amb la barra, i a O les components $F_\text{H}$ (cap a la dreta) i $F_\text{V}$ (cap avall).

Plantejament Relació geomètrica entre l’angle $\varphi$ de la barra amb l’horitzontal i l’angle $\alpha$ entre la barra i el cilindre, a partir del triangle OPB.

1. El triangle OPB és isòsceles: $OP=l$ (enunciat) i $OB=l$ (B és el punt mitjà d’una barra de longitud $2l$). Per tant, els angles en B i en P són iguals, i a B aquest angle és $\alpha$.

2. L’angle en O és el que formen la vertical cap avall (OP) i la barra (OB): $90^\circ$ fins a l’horitzontal més $\varphi$ fins a la barra, és a dir, $90^\circ+\varphi$.

3. Els angles d’un triangle sumen $180^\circ$:

   $(90^\circ+\varphi)+2\alpha$${}= 180^\circ$${}\Rightarrow \alpha=\dfrac{90^\circ-\varphi}{2}$${}= 45^\circ-\dfrac{\varphi}{2}$

Plantejament Força del cilindre perquè la barra estigui en equilibri amb $\varphi=30^\circ$: es prenen moments respecte d’O, on la reacció de l’articulació no fa moment.

1. Amb $\varphi=30^\circ$, la relació de l’apartat b dona $\alpha=(90^\circ-30^\circ)/2=30^\circ$.

2. Braços respecte d’O: el pes actua a C, a una distància horitzontal $2l\cos\varphi$ d’O; la força del cilindre actua a B, a una distància $l$ d’O i formant l’angle $\alpha$ amb la barra, així que el seu braç és $l\sin\alpha$. El cilindre fa girar la barra cap amunt i el pes, cap avall.

3. Equilibri de moments respecte d’O:

   $\sum M_\text{O}=0:$$F_\text{c}\,l\sin\alpha-m\,g\,2l\cos\varphi=0$

4. Aïllant $F_\text{c}$ i substituint:

   $F_\text{c}$${}= \dfrac{2\,m\,g\cos\varphi}{\sin\alpha}$${}= \dfrac{2\cdot735{,}5\ \mathrm{N}\cdot\cos30^\circ}{\sin30^\circ}$${}= 2\,548\ \mathrm{N}$

5. Les reaccions a O no es demanen, però completen el diagrama. A P, el cilindre forma l’angle $\alpha=30^\circ$ amb la vertical OP, de manera que la recta PB forma $60^\circ$ amb l’horitzontal i $F_\text{c}$ apunta cap amunt i cap a l’esquerra. Equacions de forces, amb $F_\text{H}$ cap a la dreta i $F_\text{V}$ cap avall:

   $\sum F_x=0:\ F_\text{H}-F_\text{c}\cos60^\circ=0$$\sum F_y$${}= 0:\ F_\text{c}\sin60^\circ-m\,g$${}-F_\text{V}=0$

6. Substituint, surten positives, és a dir, amb el sentit suposat:

   $F_\text{H}=2\,548\cdot0{,}5=1\,274\ \mathrm{N}$$F_\text{V}$${}= 2\,548\cdot0{,}8660-735{,}5$${}= 1\,471\ \mathrm{N}$

Plantejament Pressió relativa de l’oli dins del cilindre: la força que fa el cilindre dividida per la superfície de l’èmbol.

1. Superfície de l’èmbol, amb $d_\text{int}=40\ \mathrm{mm}=0{,}04\ \mathrm{m}$:

   $A$${}= \dfrac{\pi\,d_\text{int}^2}{4}$${}= \dfrac{\pi\cdot0{,}04^2}{4}$${}= 1{,}2566\cdot10^{-3}\ \mathrm{m^2}$

2. El cilindre empeny (la tija surt), així que l’oli actua sobre tota la cara de l’èmbol:

   $p_\text{int}$${}= \dfrac{F_\text{c}}{A}$${}= \dfrac{2\,548\ \mathrm{N}}{1{,}2566\cdot10^{-3}\ \mathrm{m^2}}$${}= 2{,}028\cdot10^{6}\ \mathrm{Pa}$${}= 2{,}028\ \mathrm{MPa}$

Plantejament Relació de transmissió d’un reductor d’una sola etapa: el pinyó del motor mou la roda de sortida, i les velocitats angulars van en proporció inversa al nombre de dents.

1. Les dues rodes engranades tenen la mateixa velocitat lineal al punt de contacte, és a dir, $\omega_\text{entrada}\,z_\text{p}$${}= \omega_\text{sortida}\,z_\text{r}$:

   $\tau$${}= \dfrac{\omega_\text{sortida}}{\omega_\text{entrada}}$${}= \dfrac{z_\text{p}}{z_\text{r}}$${}= \dfrac{9}{62}$${}= 0{,}1452$

Plantejament Corba parell-velocitat d’un motor de corrent continu d’imants permanents alimentat a tensió constant: el parell disminueix linealment amb la velocitat.

1. Amb $U=24$ V, l’expressió del parell queda (amb $\omega$ en rad/s i el parell en N m):

   $\Gamma_\text{mot}$${}= 0{,}08\cdot24-0{,}01\,\omega$${}= 1{,}92-0{,}01\,\omega$

2. És una recta. Parell d’arrencada ($\omega=0$): $\Gamma_\text{mot}=1{,}92\ \mathrm{N\,m}$.

3. La velocitat és màxima quan el parell és nul (motor en buit):

   $1{,}92-0{,}01\,\omega_\text{màx}=0$${}\Rightarrow \omega_\text{màx}$${}= 192{,}0\ \mathrm{rad/s}$

4. Passada a $\mathrm{min^{-1}}$:

   $n_\text{màx}$${}= \omega_\text{màx}\,\dfrac{60}{2\pi}$${}= 192{,}0\cdot\dfrac{60}{2\pi}$${}= 1\,833\ \mathrm{min^{-1}}$

5. Escales de la gràfica (figura): parell de $0$ a $2{,}5\ \mathrm{N\,m}$ a l’eix vertical, amb divisions de $0{,}5\ \mathrm{N\,m}$, i velocitat de $0$ a $2\,000\ \mathrm{min^{-1}}$ a l’horitzontal, amb divisions de $500\ \mathrm{min^{-1}}$. La recta va del punt $(0;\ 1{,}92\ \mathrm{N\,m})$ al punt $(1\,833\ \mathrm{min^{-1}};\ 0)$.

ResultatRecta $\Gamma_\text{mot}=1{,}92-0{,}01\,\omega$ (figura); $n_\text{màx}=1\,833\ \mathrm{min^{-1}}$, és a dir, $\omega_\text{màx}=192{,}0\ \mathrm{rad/s}$.

La pauta oficial dona: La velocitat és màxima quan el parell és nul: $n_\text{màx}$${}= 192{,}0\ \mathrm{rad/s}$${}= 1\,833\ \mathrm{min^{-1}}$

Plantejament Intensitat que consumeix el motor en règim nominal: es calcula el parell a aquesta velocitat, la potència mecànica i, amb el rendiment, la potència elèctrica, que és $U\,I$.

1. Velocitat angular del motor:

   $\omega_\text{mot}$${}= n_\text{mot}\,\dfrac{2\pi}{60}$${}= 1\,000\cdot\dfrac{2\pi}{60}$${}= 104{,}72\ \mathrm{rad/s}$

2. Parell a aquesta velocitat:

   $\Gamma_\text{mot}$${}= 1{,}92-0{,}01\cdot104{,}72$${}= 0{,}8728\ \mathrm{N\,m}$

3. Potència mecànica:

   $P_\text{mec}$${}= \Gamma_\text{mot}\,\omega_\text{mot}$${}= 0{,}8728\ \mathrm{N\,m}\cdot104{,}72\ \mathrm{rad/s}$${}= 91{,}40\ \mathrm{W}$

4. Potència elèctrica, amb el rendiment:

   $P_\text{elèctr}$${}= \dfrac{P_\text{mec}}{\eta}$${}= \dfrac{91{,}40\ \mathrm{W}}{0{,}55}$${}= 166{,}18\ \mathrm{W}$

5. Intensitat, de $P_\text{elèctr}=U\,I$:

   $I$${}= \dfrac{P_\text{elèctr}}{U}$${}= \dfrac{166{,}18\ \mathrm{W}}{24\ \mathrm{V}}$${}= 6{,}924\ \mathrm{A}$