Mesura, toleràncies i ajustos: exercicis de la PAU de Tecnologia resolts

Plantejament Es demana què li passa a un cable d’acer estirat amb $1\,500\,\mathrm{N}$: cal calcular la tensió (la força dividida per la secció) i comparar-la amb el límit elàstic.

1. Secció del cable, amb $d=3\,\mathrm{mm}$:

   $S$${}= \dfrac{\pi\,d^2}{4}$${}= \dfrac{\pi\cdot(3\,\mathrm{mm})^2}{4}$${}= 7{,}069\,\mathrm{mm^2}$

2. Tensió ($1\,\mathrm{N/mm^2}=1\,\mathrm{MPa}$):

   $\sigma$${}= \dfrac{F}{S}$${}= \dfrac{1\,500\,\mathrm{N}}{7{,}069\,\mathrm{mm^2}}$${}= 212{,}2\,\mathrm{MPa}$

3. Com que $212{,}2\,\mathrm{MPa}$ és menys que el límit elàstic, $275\,\mathrm{MPa}$, el cable treballa en zona elàstica: ni es deforma plàsticament ni es trenca, i la a) i la b) són falses. La c), $70{,}69\,\mathrm{MPa}$, no correspon a la força i la secció del cable. El mòdul elàstic i la longitud no calen per a respondre.

Plantejament Es pregunta com canvia el parell del motor mentre la barrera puja de l’horitzontal a la vertical a velocitat angular constant.

1. A velocitat angular constant no hi ha acceleració angular: en cada posició, el parell del motor equilibra el moment del pes de la barrera respecte de l’eix de gir.

2. La barrera és homogènia: el pes $m\,g$ actua al seu punt mitjà, a $l/2$ de l’eix ($l$ és la longitud de la barrera). Si $\theta$ és l’angle de la barrera amb l’horitzontal, el braç del pes és la distància horitzontal $(l/2)\cos\theta$:

   $\Gamma_\text{mot}=m\,g\,\dfrac{l}{2}\cos\theta$

3. Amb la barrera tancada ($\theta=0^\circ$), $\cos\theta=1$ i el parell és màxim; amb la barrera oberta ($\theta=90^\circ$), $\cos\theta=0$: el pes passa per l’eix de gir i el parell és nul.

4. Per què no les altres: la a) diu el contrari (el màxim és amb la barrera tancada); la c) és falsa perquè el parell canvia amb $\cos\theta$, i la d) també, perquè el centre de gravetat puja $l/2$ i cal aportar-hi l’energia potencial $m\,g\,l/2$.

Plantejament Es demana la petjada de $\mathrm{CO_2}$ de l’opció que menys emet per portar 20 persones a $250\,\mathrm{km}$: cal comptar quants vehicles calen de cada tipus.

1. Vehicles necessaris per a 20 persones: un miniautocar (21 places), 4 vehicles lleugers (5 places cadascun) o 10 motocicletes (2 places cadascuna).

2. Emissions de cada opció (vehicles per factor d’emissió per quilòmetres). Miniautocar: $1\cdot 402{,}13\,\mathrm{g/km}\cdot 250\,\mathrm{km}$${}= 100{,}5\,\mathrm{kg}$. Cotxes de benzina: $4\cdot 149{,}28\,\mathrm{g/km}\cdot 250\,\mathrm{km}$${}= 149{,}3\,\mathrm{kg}$. Cotxes de gasoil: $4\cdot 233{,}12\,\mathrm{g/km}\cdot 250\,\mathrm{km}$${}= 233{,}1\,\mathrm{kg}$. Motocicletes: $10\cdot 92{,}29\,\mathrm{g/km}\cdot 250\,\mathrm{km}$${}= 230{,}7\,\mathrm{kg}$.

3. La que menys emet és el miniautocar. Les altres opcions de resposta són les petjades dels altres mitjans: la b), dels cotxes de benzina; la c), dels cotxes de gasoil, i la d), de les motocicletes.

Plantejament Es demana la potència que cal aportar al compressor: la que rep el gas (el cabal per l’increment d’entalpia) més les pèrdues, que són el 20 % de la potència aportada.

1. Cabal màssic en kg/s: $\dot m=30\,\mathrm{g/s}=0{,}03\,\mathrm{kg/s}$. Potència que rep el gas:

   $P_\text{gas}$${}= \dot m\,(H_2-H_1)$${}= 0{,}03\,\mathrm{kg/s}\cdot(420-250)\,\mathrm{kJ/kg}$${}= 5{,}1\,\mathrm{kW}$

2. Si es perd el 20 % de la potència aportada, el gas en rep el 80 %, és a dir, el rendiment és $\eta=0{,}8$:

   $P$${}= \dfrac{P_\text{gas}}{\eta}$${}= \dfrac{5{,}1\,\mathrm{kW}}{0{,}8}$${}= 6{,}375\,\mathrm{kW}$

3. Per què no les altres: la c), $6{,}120\,\mathrm{kW}$, surt de sumar un 20 % a la potència del gas ($5{,}1\cdot 1{,}2$), és a dir, de calcular les pèrdues sobre la potència que rep el gas en lloc de sobre l’aportada. La a) i la d) no corresponen a aquest càlcul.

Plantejament Es demana la impedància d’una bobina i un condensador en sèrie a $50\,\mathrm{Hz}$: les dues reactàncies tenen efectes oposats i es resten.

1. Reactància inductiva:

   $X_L$${}= 2\pi f\,L$${}= 2\pi\cdot 50\,\mathrm{Hz}\cdot 0{,}025\,\mathrm{H}$${}= 7{,}854\,\Omega$

2. Reactància capacitiva:

   $X_C$${}= \dfrac{1}{2\pi f\,C}$${}= \dfrac{1}{2\pi\cdot 50\,\mathrm{Hz}\cdot 25\cdot 10^{-6}\,\mathrm{F}}$${}= 127{,}32\,\Omega$

3. Sense resistència, la impedància és la diferència de les dues reactàncies, en valor absolut:

   $Z$${}= |X_L-X_C|$${}= |7{,}854-127{,}32|\,\Omega$${}= 119{,}5\,\Omega$

4. La càrrega és capacitiva, perquè $X_C$ és més gran que $X_L$. Per què no les altres: la b) és només $X_L$; la d), només $X_C$, i la a), $0\,\Omega$, només passaria a la freqüència de ressonància, on $X_L=X_C$.

Plantejament Lectura de corbes tensió-deformació: es pregunta quin acer és més fràgil, és a dir, quin es trenca amb menys deformació plàstica.

1. Un material fràgil es trenca poc després de sortir de la zona elàstica, gairebé sense deformació plàstica; un de dúctil es deforma molt abans de trencar-se.

2. L’acer A (línia contínua) arriba a uns $410\,\mathrm{MPa}$ amb $\varepsilon\approx 0{,}002$ i es trenca cap a $\varepsilon\approx 0{,}004$. L’acer B (línia de punts) surt del tram recte a uns $260\,\mathrm{MPa}$ i continua deformant-se fins a $\varepsilon\approx 0{,}014$.

3. L’acer A es trenca amb molta menys deformació: és el més fràgil, encara que sigui el que aguanta més tensió. La figura permet comparar-ho, així que la c) i la d) són falses.

4. A la figura de la versió castellana de l’examen, la marca central de l’eix vertical diu «100»; per l’escala de les altres marques (0 i 400) hauria de dir 200. No afecta la resposta, perquè només es compara la deformació.

Plantejament Ajust ISO 50 H7/g6: es demana el joc màxim, que es dona amb el forat més gran i l’eix més petit.

1. Mides límit, sobre la cota nominal de $50\,\mathrm{mm}$: el forat va de $50{,}000$ a $50{,}025\,\mathrm{mm}$, i l’eix, de $49{,}975$ a $49{,}991\,\mathrm{mm}$.

2. Joc màxim: forat màxim menys eix mínim. Amb les desviacions, és la superior del forat menys la inferior de l’eix:

   $J_\text{màx}=25\,\mu\mathrm{m}-(-25\,\mu\mathrm{m})=50\,\mu\mathrm{m}$

3. Per què no les altres: la a), $9\,\mu\mathrm{m}$, és el joc mínim, $0-(-9)$; la c), $34\,\mu\mathrm{m}$, és el forat màxim menys l’eix màxim, $25-(-9)$, i la b), $25\,\mu\mathrm{m}$, és el forat mínim menys l’eix mínim, $0-(-25)$.

Plantejament Motor de corrent continu: es demana el rendiment nominal, la potència útil de la placa dividida per la potència elèctrica que absorbeix.

1. A la placa, $P_\text{N}=60\,\mathrm{W}$ és la potència útil a l’eix. Potència elèctrica absorbida:

   $P_\text{abs}$${}= U_\text{N}\,I_\text{N}$${}= 24\,\mathrm{V}\cdot 3{,}47\,\mathrm{A}$${}= 83{,}28\,\mathrm{W}$

2. Rendiment:

   $\eta$${}= \dfrac{P_\text{N}}{P_\text{abs}}$${}= \dfrac{60\,\mathrm{W}}{83{,}28\,\mathrm{W}}$${}= 0{,}7205$

3. És a dir, un 72 %. La velocitat de gir no cal per a calcular el rendiment.

Plantejament Toleràncies dimensionals: cal trobar la cota mínima que admet un diàmetre nominal de $10\,\mathrm{mm}$ amb una tolerància simètrica de $\pm 0{,}05\,\mathrm{mm}$.

1. La tolerància $\pm 0{,}05\,\mathrm{mm}$ vol dir que el diàmetre real pot quedar fins a $0{,}05\,\mathrm{mm}$ per sota o per sobre del nominal. El mínim és el nominal menys aquesta desviació:

   $d_\text{mín}$${}= d_\text{nom} - 0{,}05$${}= 10 - 0{,}05$${}= 9{,}95\,\mathrm{mm}$

2. Per què no les altres: $9{,}90\,\mathrm{mm}$ resta dues vegades la desviació ($10 - 2 \cdot 0{,}05$); $10{,}05\,\mathrm{mm}$ és el diàmetre màxim, i $10{,}10\,\mathrm{mm}$ queda fora de la tolerància.

Plantejament Motor de combustió de quatre temps: es demana la massa de propà que consumeixen 100 cicles, a partir del consum horari i de la velocitat de gir.

1. En un motor de quatre temps, cada cicle termodinàmic dura dues voltes del cigonyal. Els cicles per minut són la meitat de les voltes per minut:

   $n_\text{cicles}$${}= \frac{n}{2}=\frac{2\,500}{2}$${}= 1\,250\,\text{cicles/min}$

2. Consum de propà en grams per minut:

   $\dot m$${}= \frac{7{,}5\,\mathrm{kg/h}}{60\,\mathrm{min/h}}$${}= 0{,}125\,\mathrm{kg/min}$${}= 125\,\mathrm{g/min}$

3. Massa per cicle i per a 100 cicles:

   $m_1$${}= \frac{125\,\mathrm{g/min}}{1\,250\,\text{cicles/min}}$${}= 0{,}1\,\text{g/cicle}$${}\Rightarrow m_{100}$${}= 100 \cdot 0{,}1$${}= 10\,\mathrm{g}$

4. Les altres opcions són 2, 10 i 20 vegades aquest resultat. Si es comptés un cicle per volta (com en un motor de dos temps) sortirien $5\,\mathrm{g}$, que tampoc no és cap opció.

Plantejament Energia mecànica: es comparen dos recorreguts amb pendents diferents entre els mateixos dos punts, sense pèrdues.

1. Sense pèrdues, l’energia que cal aportar és la variació d’energia mecànica del funicular. Tots dos van a la mateixa velocitat i porten la mateixa massa $m$, així que l’energia cinètica és la mateixa en totes dues opcions i només compta l’energia potencial:

   $E = \Delta E_\text{p} = m\,g\,h$

2. Els dos recorreguts uneixen els mateixos dos punts, de manera que el desnivell $h$ és el mateix. En un pendent d’angle $\alpha$ i longitud $L$, la força que cal fer (sense pèrdues) és $m\,g\sin\alpha$, i el treball torna a ser $m\,g\,h$:

   $W = m\,g\sin\alpha \cdot L = m\,g\,h$$(h = L\sin\alpha)$

3. L’opció A té més pendent (més força) però menys recorregut; la B, al revés, i el producte és el mateix. Tampoc no depèn de l’acceleració: sense pèrdues, l’energia només depèn de l’estat inicial i del final.

Plantejament Corrent altern en una resistència: es demana el valor màxim (de pic) del corrent, no l’eficaç.

1. En una resistència pura el corrent està en fase amb la tensió i la freqüència no hi influeix. Valor eficaç del corrent:

   $I = \frac{U}{R} = \frac{230}{17} = 13{,}53\,\mathrm{A}$

2. En un senyal sinusoidal, el valor màxim és $\sqrt{2}$ vegades l’eficaç:

   $I_\text{màx}$${}= \sqrt{2}\,I$${}= \sqrt{2} \cdot 13{,}53$${}= 19{,}13\,\mathrm{A}$

3. La a) ($13{,}52\,\mathrm{A}$) és el valor eficaç, $230\,\mathrm{V}/17\,\Omega=13{,}53\,\mathrm{A}$, escrit amb l’última xifra tallada, i no el màxim; la c) ($23{,}42\,\mathrm{A}$) multiplica aquest $13{,}52$ per $\sqrt{3}$ en lloc de per $\sqrt{2}$.

Plantejament Assaig de tracció: cal llegir a la gràfica tensió-deformació on s’acaba el tram elàstic (recte) de cada acer.

1. El límit elàstic és la tensió a partir de la qual el material deixa el tram recte (proporcional) i comença a deformar-se plàsticament.

2. A la gràfica, l’acer A segueix recte fins a uns $400\,\mathrm{MPa}$ i aleshores es corba; l’acer B (traç discontinu) deixa la recta molt abans, per sota de $300\,\mathrm{MPa}$.

3. Per tant, l’acer A té el límit elàstic més alt. Amb la gràfica n’hi ha prou per decidir-ho, perquè els dos valors són clarament diferents: no són iguals (c) ni falta informació (d).

Plantejament Calor sensible: energia que cal treure a un bloc de coure perquè es refredi de $250\,^\circ\mathrm{C}$ a $25\,^\circ\mathrm{C}$, i la mateixa energia expressada en les unitats de les opcions.

1. Sense canvi d’estat, la calor que cal extreure és:

   $Q$${}= m\,c_\text{e}\,\Delta T$${}= 40 \cdot 0{,}385 \cdot (250 - 25)$${}= 3\,465\,\mathrm{kJ}$

2. La mateixa energia en watts hora ($1\,\mathrm{W\,h} = 3\,600\,\mathrm{J}$):

   $Q = \frac{3\,465\,000\,\mathrm{J}}{3\,600\,\mathrm{J/(W\,h)}} = 962{,}5\,\mathrm{W\,h}$

3. La b) dona la xifra $962{,}5$, però en joules en lloc de watts hora; la a) i la c) fan servir $346{,}5$, la desena part de $3\,465$, amb unitats que no hi corresponen. L’hora que dura el refredament no canvia l’energia: només serviria per calcular la potència mitjana.

Plantejament Ajust ISO amb forat H8 i eix f6: es demana el joc mínim, que es dona amb el forat més petit i l’eix més gran.

1. Les desviacions estan en micròmetres respecte del diàmetre nominal ($200\,\mathrm{mm}$). Forat: superior $+72\,\mu\mathrm{m}$ i inferior $0$. Eix: superior $-50\,\mu\mathrm{m}$ i inferior $-79\,\mu\mathrm{m}$.

2. El joc mínim és la diferència entre el forat mínim i l’eix màxim:

   $J_\text{mín}$${}= D_\text{mín} - d_\text{màx}$${}= 0 - (-50)$${}= 50\,\mu\mathrm{m}$

3. Com que l’eix sempre és més petit que el forat, és un ajust amb joc. La d) ($151\,\mu\mathrm{m}$) és el joc màxim, $72 - (-79)$, i la c) ($122\,\mu\mathrm{m}$) és $72 - (-50)$, que no és cap dels dos jocs límit.

Plantejament Circuit RL en sèrie en corrent altern: amb la tensió i el corrent es calcula la impedància, i amb la reactància de la bobina, la resistència.

1. Mòdul de la impedància:

   $Z = \frac{U}{I} = \frac{230}{2} = 115\,\Omega$

2. Reactància inductiva:

   $X_L$${}= 2\pi f L$${}= 2\pi \cdot 50 \cdot 0{,}1$${}= 31{,}42\,\Omega$

3. En sèrie, $R$ i $X_L$ són els catets del triangle d’impedàncies i $Z$ n’és la hipotenusa:

   $R$${}= \sqrt{Z^2 - X_L^2}$${}= \sqrt{115^2 - 31{,}42^2}$${}= 110{,}6\,\Omega$${}\approx 111\,\Omega$

4. La a) ($84\,\Omega$) surt de restar els mòduls, $115 - 31{,}42$, cosa que no es pot fer perquè $R$ i $X_L$ estan desfasades $90^\circ$.

Plantejament Lectura de corbes tensió-deformació: es pregunta quin dels dos materials s’ha deformat plàsticament més en el moment de trencar-se.

1. Cada corba acaba al punt de trencament. La deformació plàstica és la que no es recupera: la que s’acumula després del tram recte (elàstic) inicial.

2. L’acer surt del tram recte cap a $410\,\mathrm{MPa}$, amb $\varepsilon\approx 0{,}002$, i es trenca poc després, cap a $\varepsilon\approx 0{,}004$: gairebé no es deforma plàsticament.

3. El bronze surt del tram recte a poc més de $200\,\mathrm{MPa}$, amb $\varepsilon\approx 0{,}003$, i continua deformant-se fins a trencar-se cap a $\varepsilon\approx 0{,}013$: la seva deformació plàstica és molt més gran.

4. Per què no les altres: la figura sí que permet comparar-ho (la c) és falsa), i les dues corbes acaben a deformacions molt diferents (la d) és falsa). L’acer és més resistent (arriba a més tensió), però no és el que es pregunta.

Plantejament Es demana la funció lògica d’un llum que s’encén només quan els dos interruptors són oberts, és a dir, quan $p=0$ i $q=0$.

1. El llum s’encén ($l=1$) en una sola combinació, $p=0$ i $q=0$. Taula de veritat:

   $p$	$q$	$l$
   0	0	1
   0	1	0
   1	0	0
   1	1	0

2. La fila amb $l=1$ dona un sol producte, amb les dues variables negades (valen 0):

   $l=\overline{p}\,\overline{q}$

3. Per què no les altres: $l=p+q$ encén el llum quan algun interruptor és tancat; $l=p\,q$, quan tots dos són tancats, i $l=\overline{p}+\overline{q}$, quan n’hi ha almenys un d’obert, encara que l’altre sigui tancat.

Plantejament Es demana la petjada de gasos d’efecte hivernacle (GEH) per contenidor: les emissions de tot el viatge repartides entre els $5\,000$ contenidors.

1. Fuel consumit en el viatge:

   $m_\text{fuel}$${}= 200\,\mathrm{kg/km}\cdot 3\,200\,\mathrm{km}$${}= 640\,000\,\mathrm{kg}$

2. Emissions totals ($3{,}1\,\mathrm{kg}$ de GEH per kilogram de fuel):

   $m_\text{GEH}$${}= 3{,}1\cdot 640\,000\,\mathrm{kg}$${}= 1{,}984\cdot 10^{6}\,\mathrm{kg}$

3. Emissions per contenidor:

   $\dfrac{m_\text{GEH}}{5\,000}$${}= \dfrac{1{,}984\cdot 10^{6}\,\mathrm{kg}}{5\,000}$${}= 396{,}8\,\mathrm{kg}$

4. La densitat del fuel no cal, perquè el consum ja és en massa. Per què no les altres: la b), $128\,\mathrm{kg}$, és el fuel per contenidor ($640\,000/5\,000$), no les emissions; la a), $121{,}6\,\mathrm{kg}$, és aquest fuel multiplicat per la densitat ($128\cdot 0{,}95$), i la c), $198{,}4\,\mathrm{kg}$, és la meitat del resultat.

Plantejament Dues resistències en paral·lel: amb el corrent d’una se’n treu la tensió de la font i, amb aquesta tensió, la potència total.

1. En paral·lel, les dues resistències tenen la tensió de la font. De la resistència $R_1$:

   $U=I_1\,R_1=2\,\mathrm{A}\cdot 15\,\Omega=30\,\mathrm{V}$

2. Corrent per $R_2$ i corrent total:

   $I_2=\dfrac{U}{R_2}=\dfrac{30\,\mathrm{V}}{25\,\Omega}=1{,}2\,\mathrm{A}$$I=I_1+I_2=3{,}2\,\mathrm{A}$

3. Potència subministrada per la font:

   $P=U\,I=30\,\mathrm{V}\cdot 3{,}2\,\mathrm{A}=96\,\mathrm{W}$

4. Comprovació: $P_1=U\,I_1=60\,\mathrm{W}$ i $P_2=U\,I_2=36\,\mathrm{W}$, que sumen $96\,\mathrm{W}$. Per què no les altres: la b), $60\,\mathrm{W}$, és només la potència de $R_1$; la d), $120\,\mathrm{W}$, surt de suposar que per $R_2$ també circulen $2\,\mathrm{A}$ ($30\,\mathrm{V}\cdot 4\,\mathrm{A}$), i la a) no correspon a aquest càlcul.

Plantejament Es demana l’interval on pot estar el diàmetre real, a partir de la lectura del micròmetre i de la seva incertesa.

1. Amb una incertesa de $\pm 0{,}02\,\mathrm{mm}$, el valor real pot estar fins a $0{,}02\,\mathrm{mm}$ per sota o per sobre de la lectura:

   $15{,}23-0{,}02=15{,}21\,\mathrm{mm}$$15{,}23+0{,}02=15{,}25\,\mathrm{mm}$

2. La resolució, $0{,}01\,\mathrm{mm}$, només diu el pas més petit que mostra l’instrument; no amplia l’interval. Per què no les altres: la b) correspon a $\pm 0{,}01\,\mathrm{mm}$ (el valor de la resolució); la c), a $\pm 0{,}03\,\mathrm{mm}$ (la incertesa més la resolució), i la d), a $\pm 0{,}04\,\mathrm{mm}$ (el doble de la incertesa).

Plantejament Es demana la funció lògica d’un circuit amb un inversor i dues portes AND que van a una porta OR; cal llegir a quines entrades va connectada cada porta.

1. Seguint les línies de la figura (un punt negre és una connexió; un pont en forma d’arc, un encreuament sense connexió): la porta NOT («1» amb un cercle a la sortida) rep $a$ i dona $\overline{a}$; la primera porta AND («&») rep $c$ i $d$, i la segona AND rep $b$ i $d$. Les seves sortides són:

   $\overline{a}$$c\,d$$b\,d$

2. La porta OR («$\geq 1$») suma les tres sortides:

   $s=\overline{a}+c\,d+b\,d$

3. Per què no les altres: la a), $s$${}= \overline{a}\,(c+d)+\overline{a}\,(b+d)$${}= \overline{a}\,(b+c+d)$, posa sumes on hi ha portes AND i multiplica per $\overline{a}$ en lloc de sumar-lo (amb $a=b=c=d=1$ dona 0, i el circuit dona 1); la b) suma les variables soles, com si no hi hagués les portes AND, i la c) posa sumes, $(c+d)$ i $(b+d)$, on hi ha portes AND i les multiplica entre elles.

Plantejament Es demana el temps que tarda l’escalfador a escalfar $2\,\mathrm{L}$ d’aigua de $15$ a $60\,^\circ\mathrm{C}$: la calor necessària dividida per la potència que arriba a l’aigua.

1. Massa d’aigua: $2\,\mathrm{L}$ són $2\,\mathrm{kg}$. Calor necessària, amb $\Delta T=60-15=45\,^\circ\mathrm{C}$:

   $Q$${}= m\,c_\text{e}\,\Delta T$${}= 2\,\mathrm{kg}\cdot 4\,186\,\mathrm{J/(kg\,^\circ C)}\cdot 45\,^\circ\mathrm{C}$${}= 376\,740\,\mathrm{J}$

2. Potència útil (la que arriba a l’aigua):

   $P_\text{útil}$${}= \eta\,P=0{,}95\cdot 2\,000\,\mathrm{W}$${}= 1\,900\,\mathrm{W}$

3. Temps d’escalfament:

   $t$${}= \dfrac{Q}{P_\text{útil}}$${}= \dfrac{376\,740\,\mathrm{J}}{1\,900\,\mathrm{W}}$${}= 198{,}3\,\mathrm{s}$${}= 3{,}305\,\mathrm{min}$

4. Per què no les altres: la b), $3{,}140\,\mathrm{min}$, no té en compte el rendiment (divideix per $2\,000\,\mathrm{W}$); la a), $2{,}983\,\mathrm{min}$, multiplica per $0{,}95$ en lloc de dividir-hi, i la d) no correspon a aquest càlcul.

Plantejament Motor de corrent continu: es demana la potència que es dissipa a la resistència de l’induït quan hi circula el corrent nominal (les pèrdues per efecte Joule).

1. Amb el corrent nominal, $I_\text{N}=3{,}47\,\mathrm{A}$, i $R_\text{a}=80\,\mathrm{m}\Omega=0{,}08\,\Omega$:

   $P_\text{d}$${}= R_\text{a}\,I_\text{N}^2$${}= 0{,}08\,\Omega\cdot(3{,}47\,\mathrm{A})^2$${}= 0{,}9633\,\mathrm{W}$

2. Per què no les altres: la a), $0{,}2776\,\mathrm{W}$, és $R_\text{a}\,I_\text{N}$, sense elevar el corrent al quadrat; la c), $1{,}92\,\mathrm{W}$, és $R_\text{a}\,U_\text{N}$, i la d), $23{,}28\,\mathrm{W}$, és la diferència entre la potència elèctrica absorbida ($U_\text{N}\,I_\text{N}=83{,}28\,\mathrm{W}$) i la potència útil ($60\,\mathrm{W}$): són totes les pèrdues del motor, no només les de la resistència de l’induït, que és la dada que dona l’enunciat.

Plantejament Cost de l’energia d’un vehicle elèctric: cal passar l’energia de megajoules a $\mathrm{kW\,h}$, multiplicar-la pel preu i dividir-la pels kilòmetres.

1. Com que $1\,\mathrm{kW\,h} = 3{,}6\,\mathrm{MJ}$:

   $E = \frac{129{,}6}{3{,}6} = 36\,\mathrm{kW\,h}$

2. Cost del trajecte: $36 \cdot 0{,}23 = 8{,}28$ €. Cost per kilòmetre: $8{,}28/200 = 0{,}0414$ €/km.

3. La b) surt de tractar els $129{,}6\,\mathrm{MJ}$ com si fossin $\mathrm{kW\,h}$ ($129{,}6 \cdot 0{,}23/200 = 0{,}149$), i la c) és el preu d’un $\mathrm{kW\,h}$, no el cost per kilòmetre.

Plantejament Assaig de tracció: la ductilitat es llegeix a la gràfica com la deformació que suporta cada acer abans de trencar-se.

1. La ductilitat és la capacitat d’un material de deformar-se plàsticament abans de trencar-se; a la corba tensió-deformació, és la deformació $\varepsilon$ on s’acaba la corba.

2. L’acer A s’acaba poc després de deixar el tram recte, cap a $\varepsilon \approx 0{,}004$; l’acer B continua fins a $\varepsilon \approx 0{,}014$, més de tres vegades més.

3. Per tant, l’acer B és el més dúctil. L’acer A arriba a més tensió (és més resistent), però es trenca amb molt poca deformació plàstica. Les dues corbes són ben diferents, així que no tenen la mateixa ductilitat (c) i la gràfica sí que permet decidir-ho (d).

Plantejament Instruments de mesura: es distingeix la resolució (el pas més petit que mostra la pantalla) de la precisió (l’error màxim de la lectura).

1. La precisió de $\pm 0{,}3\,^\circ\mathrm{C}$ vol dir que el valor real pot diferir de la lectura fins a $0{,}3\,^\circ\mathrm{C}$ en tots dos sentits:

   $25{,}4 - 0{,}3 = 25{,}1\,^\circ\mathrm{C}$$25{,}4 + 0{,}3 = 25{,}7\,^\circ\mathrm{C}$

2. La resolució, $0{,}1\,^\circ\mathrm{C}$, només indica que la pantalla mostra dècimes: no amplia l’interval. La d) fa servir la resolució com si fos l’error ($25{,}4 \pm 0{,}1$), i la c) suma la resolució a la precisió ($25{,}4 \pm 0{,}4$).

Plantejament Resistències en paral·lel amb tolerància: el valor mínim de l’equivalent es dona quan totes dues resistències són al seu valor mínim.

1. Valors mínims (un $2$ % per sota del nominal):

   $R_{1,\text{mín}} = 0{,}98 \cdot 120 = 117{,}6\,\Omega$$R_{2,\text{mín}} = 0{,}98 \cdot 240 = 235{,}2\,\Omega$

2. En paral·lel, l’equivalent augmenta quan augmenta qualsevol de les dues, així que el seu mínim es dona amb totes dues al mínim:

   $R_\text{eq,mín}$${}= \frac{R_{1,\text{mín}}\,R_{2,\text{mín}}}{R_{1,\text{mín}} + R_{2,\text{mín}}}$${}= \frac{117{,}6 \cdot 235{,}2}{117{,}6 + 235{,}2}$${}= 78{,}40\,\Omega$

3. S’arriba al mateix amb el valor nominal, $R_\text{eq} = \frac{120 \cdot 240}{120 + 240} = 80\,\Omega$, i restant-hi el $2$ %: $0{,}98 \cdot 80 = 78{,}40\,\Omega$.

4. L’opció c) diu $78{,}38\,\Omega$, $0{,}02\,\Omega$ menys que el valor exacte, però és l’única que correspon a aquest càlcul. La d) ($80{,}89\,\Omega$) és més gran que el valor nominal i no pot ser el mínim, i la a) i la b) són molt més petites.

Plantejament Ajust ISO amb forat G7 i eix h6: es demana el joc màxim, que es dona amb el forat més gran i l’eix més petit.

1. Forat: desviació superior $+28\,\mu\mathrm{m}$ i inferior $+7\,\mu\mathrm{m}$. Eix: superior $0$ i inferior $-13\,\mu\mathrm{m}$ (respecte de $30\,\mathrm{mm}$).

2. Joc màxim:

   $J_\text{màx}$${}= D_\text{màx} - d_\text{mín}$${}= 28 - (-13)$${}= 41\,\mu\mathrm{m}$

3. La a) ($7\,\mu\mathrm{m}$) és el joc mínim, $7 - 0$; la b) i la d) combinen malament els límits: $7 - (-13) = 20\,\mu\mathrm{m}$ i $28 - 0 = 28\,\mu\mathrm{m}$.