Tecnologia, PAU 2025 de Catalunya: l’examen extraordinari resolt

Plantejament Sistema combinacional de quatre entrades ($a$, $m$, $b$, $p$) i una sortida $r$: cal fer la taula de veritat amb els criteris de rebuig, simplificar la funció i dibuixar-la com un esquema de contactes.

1. Combinacions possibles dels sensors de mida: gran ($a\,m\,b = 111$), mitjà ($011$), petit ($001$) i molt petit ($000$). Les altres quatre ($010$, $100$, $101$ i $110$) no corresponen a cap de les quatre mides: són condicions impossibles, i el sistema les rebutja.

2. S’accepta ($r = 0$) només en tres casos: mitjà que pesa més de 3 quirats ($a\,m\,b\,p = 0111$), gran que pesa més de 3 quirats ($1111$) i petit que no pesa més de 3 quirats ($0010$). La resta de combinacions es rebutgen ($r = 1$).

3. Taula de veritat (la fila és el nombre binari $a\,m\,b\,p$, amb $a$ com a bit de més pes):

   Fila	$a$	$m$	$b$	$p$	$r$
   0	0	0	0	0	1
   1	0	0	0	1	1
   2	0	0	1	0	0
   3	0	0	1	1	1
   4	0	1	0	0	1
   5	0	1	0	1	1
   6	0	1	1	0	1
   7	0	1	1	1	0
   8	1	0	0	0	1
   9	1	0	0	1	1
   10	1	0	1	0	1
   11	1	0	1	1	1
   12	1	1	0	0	1
   13	1	1	0	1	1
   14	1	1	1	0	1
   15	1	1	1	1	0

4. Com que només hi ha tres zeros, és més curt escriure la funció canònica com a producte de sumes: un factor per cada fila amb $r = 0$, amb la variable negada on val 1:

   $r$${}= (a + m + \overline{b} + p)\,(a + \overline{m} + \overline{b} + \overline{p})\,(\overline{a} + \overline{m} + \overline{b} + \overline{p})$

5. Per simplificar, mapa de Karnaugh ($a\,m$ a les files i $b\,p$ a les columnes, en codi Gray):

   $am \backslash bp$	00	01	11	10
   00	1	1	1	0
   01	1	1	0	1
   11	1	1	0	1
   10	1	1	1	1

6. Grups d’uns: les dues columnes amb $b = 0$ (vuit uns) donen $\overline{b}$; les caselles amb $m = 0$ i $p = 1$ (files 1, 3, 9 i 11) donen $\overline{m}\,p$; les caselles amb $m = 1$ i $p = 0$ (files 4, 6, 12 i 14) donen $m\,\overline{p}$, i la fila $a\,m = 10$ sencera (files 8, 9, 10 i 11) dona $a\,\overline{m}$ i cobreix l’únic 1 que faltava, el de la fila 10:

   $r = \overline{b} + \overline{m}\,p + m\,\overline{p} + a\,\overline{m}$

7. Per a la fila 10 també serveix el grup $a\,\overline{p}$ (files 8, 10, 12 i 14) en lloc d’$a\,\overline{m}$; totes dues funcions donen la mateixa taula:

   $r = \overline{b} + \overline{m}\,p + m\,\overline{p} + a\,\overline{p}$

8. Esquema de contactes (figura): cada producte és una branca de contactes en sèrie, i la suma són les branques en paral·lel. Un contacte normalment obert es tanca quan la seva variable val 1, i un de normalment tancat, quan val 0. Les quatre branques en paral·lel que alimenten la sortida $r$ són: $a$ (normalment obert) en sèrie amb $\overline{m}$ (normalment tancat); $\overline{m}$ en sèrie amb $p$ (normalment obert); $m$ (normalment obert) en sèrie amb $\overline{p}$ (normalment tancat), i $\overline{b}$ (normalment tancat) sol. Amb la funció alternativa del pas anterior, la primera branca seria $a$ (normalment obert) en sèrie amb $\overline{p}$ (normalment tancat).

9. Comprovació: l’esquema condueix ($r = 1$) en les tretze combinacions de rebuig i no condueix en les tres d’acceptació ($0010$, $0111$ i $1111$).

Resultat$r = \overline{b} + \overline{m}\,p + m\,\overline{p} + a\,\overline{m}$ (o bé $a\,\overline{p}$ en lloc d’$a\,\overline{m}$): quatre branques de contactes en paral·lel (figura).

La pauta oficial dona: Taula de veritat amb $r = 0$ només a les combinacions $a\,m\,b\,p$ = $0010$, $0111$ i $1111$; $r$${}= (a + m + \overline{b} + p)\,(a + \overline{m} + \overline{b} + p)\,(\overline{a} + \overline{m} + \overline{b} + \overline{p})$; simplificant, $r = \overline{m}\,p + m\,\overline{p} + \overline{b} + a\,\overline{m}$ o bé $r = \overline{m}\,p + m\,\overline{p} + \overline{b} + a\,\overline{p}$; esquema de contactes de quatre branques en paral·lel.

Plantejament Treball per pujar la cabina plena: és l’augment d’energia potencial de la massa a plena càrrega en el desnivell entre les dues estacions.

1. Sense comptar pèrdues, el treball és l’energia potencial guanyada; només compta el desnivell $h$, no la longitud del recorregut. Es pren $g = 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}$.

2. Treball mecànic:

   $W$${}= M\,g\,h$${}= 4\,900 \cdot 9{,}807 \cdot 544$${}= 2{,}614 \cdot 10^{7}\,\mathrm{J}$

Plantejament Potència mitjana: el treball de l’apartat a) repartit en el temps que dura el viatge.

1. El temps de viatge és una dada: $t_\text{v} = 5\,\mathrm{min} = 300\,\mathrm{s}$. (Amb la longitud i la velocitat mitjana sortirien $d/v = 1\,357/5 = 271\,\mathrm{s}$, no $300\,\mathrm{s}$: aquestes dues dades de la fitxa no quadren del tot amb el temps de viatge. Com que l’enunciat dona directament el temps de viatge, es fa servir aquest.)

2. Amb $W$ sense arrodonir ($26{,}142\,\mathrm{MJ}$):

   $P_\text{subm}$${}= \frac{W}{t_\text{v}}$${}= \frac{26{,}142 \cdot 10^{6}}{300}$${}= 87\,140\,\mathrm{W}$

Plantejament Rendiment del telefèric: quocient entre la potència útil (la que fa pujar la cabina) i la potència que consumeix el motor.

1. Rendiment:

   $\eta$${}= \frac{P_\text{subm}}{P_\text{cons}}$${}= \frac{87{,}14}{115}$${}= 0{,}7577$

2. En percentatge, un $75{,}77$ %: la resta de la potència consumida són pèrdues.

Plantejament Cost elèctric del mes de juny: es compta quants viatges fa la cabina cada dia, l’energia que hi consumeix el motor i el preu de l’energia, durant els 30 dies de juny.

1. Amb una freqüència de pas de $15\,\mathrm{min}$ durant $9\,\mathrm{h}$, la cabina fa cada dia:

   $N = \frac{9 \cdot 60}{15} = 36\,\text{viatges}$

2. El motor consumeix $P_\text{cons} = 115\,\mathrm{kW}$ durant els $5\,\mathrm{min}$ de cada viatge de pujada. Temps de funcionament diari i energia diària:

   $t_\text{dia} = 36 \cdot \frac{5}{60} = 3\,\mathrm{h}$$E_\text{dia}$${}= P_\text{cons}\,t_\text{dia}$${}= 115 \cdot 3$${}= 345\,\mathrm{kW\,h}$

3. El juny té 30 dies:

   $E_\text{juny} = 30 \cdot 345 = 10\,350\,\mathrm{kW\,h}$

4. Cost del mes: $c_\text{juny} = 10\,350 \cdot 0{,}21 = 2\,173{,}5$ €.

5. S’ha suposat que el motor només consumeix mentre la cabina puja, a la potència de la fitxa, i que cada sortida és un viatge complet de $5\,\mathrm{min}$.

Plantejament Diagrama de sòlid lliure de la guia OC: s’aïlla la guia i s’hi dibuixen totes les forces externes que hi actuen, cadascuna en el seu punt d’aplicació.

1. S’aïlla la guia OC (sense la paret ni el fil) i s’hi dibuixen quatre forces, totes en el pla del dibuix.

2. Pes de la guia, $P_1 = m_\text{fusta}\,g$, vertical cap avall, aplicat al centre de la guia (és homogènia), a $l/2 = 0{,}5\,\mathrm{m}$ d’O.

3. Pes de l’ampolla, $P_2 = m_\text{aigua}\,g$, vertical cap avall, a la distància $x$ d’O (on hi ha el ganxo).

4. Força del fil, $T$, aplicada a B ($d = 0{,}3\,\mathrm{m}$ d’O) i dirigida de B cap a A: forma $\varphi = 30^\circ$ amb l’horitzontal, cap amunt i cap a la paret.

5. Reacció de l’articulació O, amb dues components: $R_{Ox}$ horitzontal, cap a fora de la paret (equilibra la component horitzontal de $T$), i $R_{Oy}$ vertical. El sentit de $R_{Oy}$ se suposa cap amunt; si en resoldre sortís negativa, aniria cap avall.

ResultatDiagrama amb $P_1$ a $l/2$, $P_2$ a $x$, $T$ a B cap a A formant $30^\circ$ amb l’horitzontal i la reacció d’O, $R_{Ox}$ i $R_{Oy}$ (figura).

La pauta oficial dona: Diagrama amb les components de la reacció a O ($O_\text{H}$, $O_\text{V}$), $T$ a B formant $\varphi$ amb l’horitzontal, $m_\text{fusta}\,g$ a $l/2$ i $m_\text{aigua}\,g$ a $x$.

Plantejament Equació d’equilibri de moments respecte de l’articulació O, on la reacció no fa moment: d’aquí surt $T$ en funció de la posició $x$ de l’ampolla.

1. Massa d’aigua de l’ampolla ($\rho = 1\,\mathrm{kg/L}$): $m_\text{aigua} = \rho\,V = 2\,\mathrm{kg}$. Es pren $g = 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}$.

2. Equilibri de moments respecte d’O. La component horitzontal de $T$ passa per O i no hi fa moment; la vertical, $T\sin\varphi$, té braç $d$, i els dos pesos fan moment en sentit contrari:

   $\sum M_O$${}= 0:\quad T\sin\varphi \cdot d$${}- m_\text{fusta}\,g\,\frac{l}{2}$${}- m_\text{aigua}\,g\,x=0$

3. Aïllant $T$:

   $T$${}= \frac{m_\text{fusta}\,g\,\frac{l}{2} + m_\text{aigua}\,g\,x}{d\sin\varphi}$

4. Amb les dades ($d\sin\varphi = 0{,}3 \cdot 0{,}5 = 0{,}15\,\mathrm{m}$):

   $T$${}= \frac{0{,}75 \cdot 9{,}807 \cdot 0{,}5 + 2 \cdot 9{,}807\,x}{0{,}15}$${}= 24{,}52 + 130{,}8\,x$

5. Amb $x$ en metres, $T$ surt en newtons. $T$ creix amb $x$: com més lluny de la paret es penja l’ampolla, més tibat va el fil.

Plantejament Força màxima del fil: la que fa arribar la tensió de tracció a la resistència del cotó, $\sigma = 80\,\mathrm{MPa}$.

1. Secció del fil, amb $d_\text{f} = 1{,}4\,\mathrm{mm} = 1{,}4 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{m}$:

   $S$${}= \frac{\pi\,d_\text{f}^2}{4}$${}= \frac{\pi\,(1{,}4 \cdot 10^{-3})^2}{4}$${}= 1{,}5394 \cdot 10^{-6}\,\mathrm{m^2}$

2. Força màxima, amb $\sigma = 80\,\mathrm{MPa} = 80 \cdot 10^{6}\,\mathrm{Pa}$:

   $T_\text{max}$${}= \sigma\,S=80 \cdot 10^{6} \cdot 1{,}5394 \cdot 10^{-6}$${}= 123{,}2\,\mathrm{N}$

Plantejament Posició màxima de l’ampolla: la $x$ amb què la força del fil de l’apartat b) arriba a la màxima de l’apartat c).

1. S’iguala l’expressió de $T$ a $T_\text{max}$ i s’aïlla $x$:

   $x_\text{max}$${}= \frac{T_\text{max}\,d\sin\varphi - m_\text{fusta}\,g\,\frac{l}{2}}{m_\text{aigua}\,g}$

2. Amb $T_\text{max} = 123{,}15\,\mathrm{N}$ (sense arrodonir):

   $x_\text{max}$${}= \frac{123{,}15 \cdot 0{,}15 - 0{,}75 \cdot 9{,}807 \cdot 0{,}5}{2 \cdot 9{,}807}$${}= \frac{18{,}47 - 3{,}678}{19{,}61}$${}= 0{,}7543\,\mathrm{m}$

3. És menys que la longitud de la guia ($l = 1\,\mathrm{m}$), així que el ganxo hi pot arribar. Si l’ampolla es penja més lluny d’O, el fil es trenca.