Tecnologia, PAU 2022 de Catalunya: l’examen de juny (sèrie 5) resolt

Plantejament Taula de veritat: el número d’entrada és $8a + 4b + 2c + d$ i el led s’ha d’encendre per als números 0, 4, 8 i 12, que són el 0 i els múltiples de 4 fins a 15.

1. Cada fila és una combinació de les quatre entrades; al costat escrivim el número en decimal i la sortida:

   $a$	$b$	$c$	$d$	Número	$l$
   0	0	0	0	0	1
   0	0	0	1	1	0
   0	0	1	0	2	0
   0	0	1	1	3	0
   0	1	0	0	4	1
   0	1	0	1	5	0
   0	1	1	0	6	0
   0	1	1	1	7	0
   1	0	0	0	8	1
   1	0	0	1	9	0
   1	0	1	0	10	0
   1	0	1	1	11	0
   1	1	0	0	12	1
   1	1	0	1	13	0
   1	1	1	0	14	0
   1	1	1	1	15	0

2. El led s’encén en les quatre files en què els dos últims dígits valen 0 ($c = 0$ i $d = 0$): un número binari és múltiple de 4 quan acaba en 00.

Plantejament Funció lògica en suma de productes a partir de les files amb $l = 1$, i simplificació amb àlgebra de Boole, comprovada amb el mapa de Karnaugh.

1. Forma canònica, un producte per cada fila amb $l = 1$ (la variable va negada on val 0):

   $l$${}= \overline{a}\,\overline{b}\,\overline{c}\,\overline{d}$${}+ \overline{a}\,b\,\overline{c}\,\overline{d}$${}+ a\,\overline{b}\,\overline{c}\,\overline{d} + a\,b\,\overline{c}\,\overline{d}$

2. Traient factor comú $\overline{c}\,\overline{d}$:

   $l$${}= \overline{c}\,\overline{d}\,(\overline{a}\,\overline{b} + \overline{a}\,b + a\,\overline{b} + a\,b)$

3. El parèntesi conté les quatre combinacions possibles de $a$ i $b$, així que val sempre 1:

   $\overline{a}\,(\overline{b} + b) + a\,(\overline{b} + b)$${}= \overline{a} + a$${}= 1$

4. Funció simplificada:

   $l = \overline{c}\,\overline{d}$

5. Al mapa de Karnaugh ($ab$ a les files i $cd$ a les columnes) els quatre uns omplen sencera la columna $cd = 00$, un grup de quatre que dona el mateix terme:

   $ab \backslash cd$	00	01	11	10
   00	1	0	0	0
   01	1	0	0	0
   11	1	0	0	0
   10	1	0	0	0

6. Per De Morgan també es pot escriure $l = \overline{c + d}$: el led s’encén quan ni $c$ ni $d$ valen 1.

Plantejament Esquema de contactes de la funció $l = \overline{c}\,\overline{d}$: un producte lògic són contactes en sèrie, i una variable negada és un contacte normalment tancat, que deixa passar el corrent quan la variable val 0.

1. $\overline{c}$ és un contacte normalment tancat accionat per $c$, i $\overline{d}$, un contacte normalment tancat accionat per $d$.

2. El producte $\overline{c}\,\overline{d}$ són aquests dos contactes en sèrie, i a continuació el led $l$. El led només rep corrent quan cap dels dos contactes no està accionat, és a dir, quan $c = 0$ i $d = 0$.

3. A la figura, cada contacte porta el nom de la variable que l’acciona i es dibuixa normalment tancat; el cercle amb una creu és el led.

ResultatDos contactes normalment tancats, accionats per $c$ i per $d$, en sèrie amb el led $l$ (figura).

La pauta oficial dona: Dos contactes normalment tancats, $c$ i $d$, en sèrie amb el led $l$.

Plantejament Emissions diàries de cada cotxe: l’energia elèctrica o el gasoil que gasta en el trajecte d’un dia, multiplicat pel seu factor d’emissió.

1. Distància diària:

   $d$${}= d_{\text{urbà}}$${}+ d_{\text{extraurbà}}$${}= 10\,\mathrm{km} + 120\,\mathrm{km}$${}= 130\,\mathrm{km}$

2. Energia elèctrica diària del cotxe elèctric (el consum és per cada $100\,\mathrm{km}$):

   $E_{\text{elèctr}}$${}= c_{\text{elèctr}}\,d$${}= \frac{13{,}3\,\mathrm{kW\,h}}{100\,\mathrm{km}}\cdot 130\,\mathrm{km}$${}= 17{,}29\,\mathrm{kW\,h}$

3. Emissions equivalents del cotxe elèctric, amb el factor del mix elèctric ($241\,\mathrm{g} = 0{,}241\,\mathrm{kg}$ per cada $\mathrm{kW\,h}$):

   $m_{\text{elèctr}}$${}= E_{\text{elèctr}}\,FE_{\text{elèctr}}$${}= 17{,}29\,\mathrm{kW\,h}\cdot 0{,}241\,\mathrm{kg/(kW\,h)}$${}= 4{,}167\,\mathrm{kg}$

4. Gasoil diari del cotxe de gasoil, amb un consum diferent en ciutat i en carretera:

   $V_{\text{gas}}$${}= \frac{4{,}4\,\mathrm{L}}{100\,\mathrm{km}}\cdot 10\,\mathrm{km}$${}+ \frac{3{,}6\,\mathrm{L}}{100\,\mathrm{km}}\cdot 120\,\mathrm{km}$${}= 0{,}44\,\mathrm{L} + 4{,}32\,\mathrm{L}$${}= 4{,}76\,\mathrm{L}$

5. Emissions del cotxe de gasoil:

   $m_{\text{gas}}$${}= V_{\text{gas}}\,FE_{\text{gas}}$${}= 4{,}76\,\mathrm{L}\cdot 2{,}87\,\mathrm{kg/L}$${}= 13{,}66\,\mathrm{kg}$

Plantejament Cost diari de l’energia de cada cotxe: l’energia elèctrica o el gasoil del dia, per preu unitari.

1. Cotxe elèctric:

   $cd_{\text{elèctr}}$${}= E_{\text{elèctr}}\,p_{\text{elèctr}}$${}= 17{,}29\,\mathrm{kW\,h}\cdot 0{,}14\,\text{€}/(\mathrm{kW\,h})$${}= 2{,}421\,\text{€}$

2. Cotxe de gasoil:

   $cd_{\text{gas}}$${}= V_{\text{gas}}\,p_{\text{gas}}$${}= 4{,}76\,\mathrm{L}\cdot 1{,}209\,\text{€}/\mathrm{L}$${}= 5{,}755\,\text{€}$

Plantejament Temps de retorn del sobrecost: el que costa de més el cotxe elèctric es recupera amb el que s’estalvia cada dia en energia (el manteniment és igual i no compta).

1. Sobrecost d’adquisició:

   $\Delta c_{\text{v}}$${}= c_{\text{v\_elèctr}}$${}- c_{\text{v\_gas}}$${}= 25\,700\,\text{€} - 18\,000\,\text{€}$${}= 7\,700\,\text{€}$

2. Estalvi per dia de trajecte, amb els costos diaris sense arrodonir ($5{,}7548$ € i $2{,}4206$ €):

   $cd_{\text{gas}} - cd_{\text{elèctr}}$${}= 5{,}7548\,\text{€} - 2{,}4206\,\text{€}$${}= 3{,}3342\,\text{€}$

3. Dies de trajecte que calen perquè els dos cotxes hagin costat el mateix, $c_{\text{v\_elèctr}}$${}+ cd_{\text{elèctr}}\,N$${}= c_{\text{v\_gas}} + cd_{\text{gas}}\,N$:

   $N$${}= \frac{\Delta c_{\text{v}}}{cd_{\text{gas}} - cd_{\text{elèctr}}}$${}= \frac{7\,700\,\text{€}}{3{,}3342\,\text{€}}$${}= 2\,309{,}4$${}\approx 2\,309\ \text{dies}$

4. A 280 dies de trajecte l’any:

   $t$${}= \frac{2\,309{,}4\ \text{dies}}{280\ \text{dies/any}}$${}= 8{,}248\ \text{anys}$${}\approx 8{,}2\ \text{anys}$

5. És a dir, uns 8 anys i 3 mesos de trajectes: a partir d’aquí el cotxe elèctric ja surt més barat.

Plantejament Calor necessària per escalfar l’aigua (calor sensible): massa per calor específica per increment de temperatura.

1. Massa d’aigua: $350\,\mathrm{mL}$ d’aigua són $m = 350\,\mathrm{g}$ (densitat $1\,\mathrm{g/mL}$). Increment de temperatura: $\Delta T = 95\,^\circ\mathrm{C} - 20\,^\circ\mathrm{C} = 75\,^\circ\mathrm{C}$.

2. Energia necessària:

   $E_{\text{aigua}}$${}= m\,c_{\text{e}}\,\Delta T$${}= 350\,\mathrm{g}\cdot 4{,}18\,\mathrm{J/(g\,^\circ C)}\cdot 75\,^\circ\mathrm{C}$${}= 1{,}097\cdot 10^{5}\,\mathrm{J}$

Plantejament Resistència de l’element calefactor a partir de la potència que consumeix a la tensió de la xarxa, amb $P = U^2/R$.

1. Aïllant $R$:

   $P_{\text{escalf}}$${}= \frac{U^2}{R}$${}\Rightarrow R=\frac{U^2}{P_{\text{escalf}}}$${}= \frac{(230\,\mathrm{V})^2}{1\,200\,\mathrm{W}}$${}= 44{,}08\,\Omega$

2. Comprovació: la intensitat que hi circula és $I = P/U = 1\,200/230 = 5{,}217\,\mathrm{A}$, i $U/I$ torna a donar $44{,}08\,\Omega$.

Plantejament Energia elèctrica que consumeix l’escalfador: potència pel temps de funcionament.

1. Energia consumida:

   $E_{\text{cons}}$${}= P_{\text{escalf}}\,t_{\text{escalf}}$${}= 1\,200\,\mathrm{W}\cdot 125\,\mathrm{s}$${}= 1{,}5\cdot 10^{5}\,\mathrm{J}$${}= 150\,\mathrm{kJ}$

2. En kilowatts hora, $150\,\mathrm{kJ}/(3\,600\,\mathrm{kJ/(kW\,h)})$${}= 0{,}041\,67\,\mathrm{kW\,h}$, menys de la meitat del que consumeix la vitroceràmica.

Plantejament Rendiment de cada alternativa: energia útil (la que rep l’aigua) dividida per l’energia elèctrica consumida; s’escull la de rendiment més alt.

1. Rendiment de l’escalfador, amb $E_{\text{aigua}} = 109{,}73\,\mathrm{kJ}$ sense arrodonir:

   $\eta_{\text{escalf}}$${}= \frac{E_{\text{aigua}}}{E_{\text{cons}}}$${}= \frac{109{,}73\,\mathrm{kJ}}{150\,\mathrm{kJ}}$${}= 0{,}7315$${}= 73{,}15\,\%$

2. Energia de la vitroceràmica en joules ($1\,\mathrm{kW\,h} = 3{,}6\cdot 10^{6}\,\mathrm{J}$):

   $E_{\text{vitro}}$${}= 0{,}11\,\mathrm{kW\,h}\cdot 3{,}6\cdot 10^{6}\,\mathrm{J/(kW\,h)}$${}= 3{,}96\cdot 10^{5}\,\mathrm{J}$${}= 396\,\mathrm{kJ}$

3. Rendiment de la vitroceràmica:

   $\eta_{\text{vitro}}$${}= \frac{E_{\text{aigua}}}{E_{\text{vitro}}}$${}= \frac{109{,}73\,\mathrm{kJ}}{396\,\mathrm{kJ}}$${}= 0{,}2771$${}= 27{,}71\,\%$

4. S’escull l’escalfador d’aigua: aprofita el $73{,}15$ % de l’energia que consumeix, davant del $27{,}71$ % de la vitroceràmica, i per escalfar la mateixa aigua gasta $150\,\mathrm{kJ}$ en lloc de $396\,\mathrm{kJ}$. La seva resistència és submergida i cedeix la calor directament a l’aigua.

Plantejament Diagrama de cos lliure de la porta: les forces exteriors que actuen sobre la porta, cadascuna al seu punt i amb la seva direcció. Les barres tenen massa negligible i estan articulades als dos extrems, així que cadascuna només pot fer força en la seva pròpia direcció.

1. Geometria: B és la cantonada inferior de la cara de la porta que dona a la paret, i A és a la mateixa cara, una distància $L$ per sobre de B (les barres són iguals i paral·leles, i O és a $L$ per sobre de Q). El centre de masses G és al centre de la porta: a $s$ de cada cara i a $4L$ de la vora inferior. P és la cantonada inferior de l’altra cara, a $2s$ de B.

2. Pes $m\,g$, vertical i cap avall, a G.

3. Força $F$ de la persona, vertical i cap amunt, a P.

4. Força de la barra AO, $T_{\text{AO}}$, a A, en la direcció de la barra (que forma l’angle $\varphi$ amb la vertical), i força de la barra BQ, $T_{\text{BQ}}$, a B, paral·lela a l’anterior. Les dibuixem com a tracció, és a dir, cap a O i cap a Q; si en surt un valor negatiu, aquella barra empeny en lloc d’estirar.

ResultatQuatre forces: $m\,g$ a G (cap avall), $F$ a P (cap amunt) i $T_{\text{AO}}$ a A i $T_{\text{BQ}}$ a B, totes dues en la direcció de les barres, a un angle $\varphi$ de la vertical (figura).

La pauta oficial dona: Diagrama amb $m\,g$ al centre de la porta, $F$ a P i $T_{\text{AO}}$, $T_{\text{BQ}}$ a A i B en la direcció de les barres, a un angle $\varphi$ de la vertical.

Plantejament Força que ha de fer la persona, a partir de l’equilibri de forces de la porta en horitzontal i en vertical. Les forces de les dues barres tenen la mateixa direcció, i amb les dues equacions de forces n’hi ha prou per trobar $F$.

1. Components de les forces de les barres: horitzontal $T\sin\varphi$ (cap a la paret) i vertical $T\cos\varphi$.

2. Forces horitzontals (les úniques són les de les barres):

   $\sum F_x$${}= 0:\quad T_{\text{AO}}\sin\varphi$${}+ T_{\text{BQ}}\sin\varphi=0$${}\Rightarrow T_{\text{AO}}$${}= -T_{\text{BQ}}$

3. Forces verticals:

   $\sum F_y$${}= 0:\quad T_{\text{AO}}\cos\varphi$${}+ T_{\text{BQ}}\cos\varphi + F - m\,g=0$

4. Com que $T_{\text{AO}} + T_{\text{BQ}} = 0$, els dos primers termes s’anul·len. L’enunciat no dona $g$; amb $g = 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}$:

   $F$${}= m\,g=3\,\mathrm{kg}\cdot 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}$${}= 29{,}42\,\mathrm{N}$

5. El resultat no depèn de $\varphi$: en qualsevol posició del recorregut la persona aguanta tot el pes de la porta. Les dues barres fan forces iguals i de sentit contrari, que no aguanten pes: formen un parell que equilibra el moment del pes i de $F$.

Plantejament Forces de les barres a partir de l’equilibri de moments de la porta respecte del punt P (així $F$ no hi intervé), amb $T_{\text{AO}} = -T_{\text{BQ}}$ de l’apartat anterior.

1. Posicions respecte de P, amb l’eix $x$ cap a la paret i l’eix $y$ cap amunt: G $(s,\ 4L)$, B $(2s,\ 0)$ i A $(2s,\ L)$. El moment d’una força de components $(F_x,\ F_y)$ aplicada a $(x,\ y)$ és $M = x\,F_y - y\,F_x$, positiu en sentit antihorari.

2. Equació de moments respecte de P:

   $\sum M_{\text{P}}$${}= 0:\quad -m\,g\,s$${}+ 2s\,T_{\text{BQ}}\cos\varphi$${}+ 2s\,T_{\text{AO}}\cos\varphi$${}- L\,T_{\text{AO}}\sin\varphi=0$

3. Amb $T_{\text{AO}} + T_{\text{BQ}} = 0$ els dos termes amb $\cos\varphi$ s’anul·len i queda:

   $T_{\text{AO}} = -\frac{m\,g\,s}{L\sin\varphi}$

4. Per a $\varphi = 30^\circ$, amb $s = 30\,\mathrm{mm} = 0{,}03\,\mathrm{m}$ i $L = 50\,\mathrm{mm} = 0{,}05\,\mathrm{m}$:

   $T_{\text{AO}}$${}= -\frac{3\cdot 9{,}807\cdot 0{,}03}{0{,}05\cdot\sin 30^\circ}\,\mathrm{N}$${}= -35{,}31\,\mathrm{N}$$T_{\text{BQ}} = -T_{\text{AO}} = 35{,}31\,\mathrm{N}$

5. Signes: $T_{\text{BQ}}$ és positiva, així que la barra BQ estira la porta cap a Q (treballa a tracció); $T_{\text{AO}}$ és negativa, així que la barra AO empeny la porta en sentit contrari al dibuixat, allunyant A d’O (treballa a compressió). Totes dues forces valen $35{,}31\,\mathrm{N}$.

Plantejament Potència i parell a l’eix de la roda: el motor és a la mateixa roda, així que gira amb la seva velocitat angular i $P = \Gamma\,\omega$. La velocitat d’avanç és la velocitat lineal de la vora del pneumàtic, que roda sense lliscar.

1. Velocitat angular de la roda:

   $\omega_{\text{roda}}$${}= \frac{P_{\text{mot}}}{\Gamma}$${}= \frac{15\,000\,\mathrm{W}}{150\,\mathrm{N\,m}}$${}= 100\,\mathrm{rad/s}$

2. Radi del pneumàtic: $d/2$${}= 630\,\mathrm{mm}/2$${}= 315\,\mathrm{mm}$${}= 0{,}315\,\mathrm{m}$.

3. Velocitat d’avanç (per passar a km/h es multiplica per $3{,}6$):

   $v$${}= \omega_{\text{roda}}\,\frac{d}{2}$${}= 100\,\mathrm{rad/s}\cdot 0{,}315\,\mathrm{m}$${}= 31{,}5\,\mathrm{m/s}$${}= 113{,}4\,\mathrm{km/h}$

Plantejament Temps de funcionament i energia mecànica que dona el motor: a velocitat constant, el temps màxim és l’autonomia dividida per la velocitat, i l’energia és la potència del motor per aquest temps.

1. Temps màxim:

   $t_{\text{màx}}$${}= \frac{s_{\text{màx}}}{v}$${}= \frac{200\,\mathrm{km}}{113{,}4\,\mathrm{km/h}}$${}= 1{,}764\,\mathrm{h}$${}= 6\,349\,\mathrm{s}$

2. Energia subministrada pel motor:

   $E_{\text{subm}}$${}= P_{\text{mot}}\,t_{\text{màx}}$${}= P_{\text{mot}}\,\frac{s_{\text{màx}}}{v}$${}= 15\,\mathrm{kW}\cdot\frac{200\,\mathrm{km}}{113{,}4\,\mathrm{km/h}}$${}= 26{,}46\,\mathrm{kW\,h}$

3. En joules:

   $E_{\text{subm}}$${}= 15\,000\,\mathrm{W}\cdot 6\,349\,\mathrm{s}$${}= 9{,}52\cdot 10^{7}\,\mathrm{J}$${}= 95{,}2\,\mathrm{MJ}$

Plantejament Energia que han d’emmagatzemar les bateries: el motor converteix en energia mecànica només el $90$ % de l’energia elèctrica que rep, i les bateries ideals lliuren tota la que emmagatzemen.

1. Energia de les bateries, amb $E_{\text{subm}} = 26{,}455\,\mathrm{kW\,h}$ sense arrodonir:

   $E_{\text{bat}}$${}= \frac{E_{\text{subm}}}{\eta_{\text{mot}}}$${}= \frac{26{,}455\,\mathrm{kW\,h}}{0{,}9}$${}= 29{,}39\,\mathrm{kW\,h}$

2. En joules:

   $E_{\text{bat}}$${}= 29{,}39\,\mathrm{kW\,h}\cdot 3{,}6\,\mathrm{MJ/(kW\,h)}$${}= 105{,}8\,\mathrm{MJ}$