Estàtica i equilibri: exercicis de la PAU de Tecnologia resolts

Plantejament Es demana la resistència d’un fil conductor a partir de la resistivitat del material, la longitud del fil i el seu diàmetre.

1. La secció del fil és un cercle de diàmetre $d=0{,}2\,\mathrm{mm}=2\cdot10^{-4}\,\mathrm{m}$:

   $S$${}= \frac{\pi d^2}{4}$${}= \frac{\pi\,(2\cdot10^{-4}\,\mathrm{m})^2}{4}$${}= 3{,}142\cdot10^{-8}\,\mathrm{m^2}$

2. Amb $\rho=0{,}49\,\mu\Omega\,\mathrm{m}=0{,}49\cdot10^{-6}\,\Omega\,\mathrm{m}$ i $L=7\,\mathrm{m}$:

   $R$${}= \rho\,\frac{L}{S}=\frac{0{,}49\cdot10^{-6}\,\Omega\,\mathrm{m}\cdot7\,\mathrm{m}}{3{,}142\cdot10^{-8}\,\mathrm{m^2}}$${}= 109{,}2\,\Omega$

3. Per què no les altres: la c) ($27{,}30\,\Omega$) surt si es pren el diàmetre com si fos el radi ($S=\pi d^2$), i la b) ($17{,}15\,\Omega$), si es pren com a secció el valor del diàmetre, $0{,}2\,\mathrm{mm^2}$. La a) no surt de $R=\rho L/S$.

Plantejament Es demana el coeficient d’eficiència (COP) d’una màquina frigorífica ideal: el de Carnot, que només depèn de les temperatures absolutes dels dos focus.

1. Les temperatures han d’anar en kelvin:

   $T_\text{f}=7+273{,}15=280{,}15\,\mathrm{K}$$T_\text{c}=35+273{,}15=308{,}15\,\mathrm{K}$

2. En una màquina frigorífica, l’efecte útil és la calor que s’extreu del focus fred. Per a la màquina ideal:

   $\text{COP}$${}= \frac{T_\text{f}}{T_\text{c}-T_\text{f}}$${}= \frac{280{,}15}{308{,}15-280{,}15}$${}= \frac{280{,}15}{28}$${}= 10{,}01$

3. Si se suma $273$ en lloc de $273{,}15$ surt $280/28=10{,}00$, i l’opció més propera continua sent la c).

4. Per què no les altres: la d) ($11{,}01$) és el COP de la mateixa màquina fent de bomba de calor, $T_\text{c}/(T_\text{c}-T_\text{f})$; la a) ($0{,}25$) surt de fer el càlcul amb graus Celsius, $7/28$. La b) no surt de cap d’aquestes expressions.

Plantejament Es demana la força del cable AB que sosté una placa articulada a O. S’obté amb l’equilibri de moments respecte a l’articulació, on la reacció desconeguda no fa moment.

1. Forces sobre la placa: el pes $m\,g$, vertical cap avall, aplicat al centre de la placa, a una distància horitzontal $L$ d’O (la meitat de $2L$); la tensió $T$ del cable, aplicada a B i dirigida cap a A, formant $30^\circ$ amb el costat superior OB; i la reacció de l’articulació a O.

2. El braç de $T$ respecte a O és la distància d’O a la recta AB: $\overline{OB}\,\sin30^\circ=2L\cdot0{,}5=L$. El pes fa girar la placa en sentit horari i la tensió, en sentit antihorari:

   $\sum M_O$${}= 0:\quad T\cdot2L\sin30^\circ$${}-m\,g\,L=0$${}\Rightarrow T=\frac{m\,g}{2\sin30^\circ}$${}= m\,g$

3. Amb $g=9{,}807\,\mathrm{m/s^2}$ (l’enunciat no en dona el valor):

   $T=5\,\mathrm{kg}\cdot9{,}807\,\mathrm{m/s^2}=49{,}04\,\mathrm{N}$

4. Per què no les altres: la a) ($24{,}52\,\mathrm{N}=m\,g/2$) surt si es pren com a braç de $T$ tot el costat $2L$, sense el $\sin30^\circ$; la c) i la d) ($1{,}5\,m\,g$ i $2\,m\,g$) no compleixen l’equilibri de moments.

Plantejament Es demana la longitud entre marques d’una proveta d’alumini sotmesa a tracció. Primer cal comprovar si treballa en zona elàstica; si és així, val la llei de Hooke.

1. Secció de la proveta, amb $d=10\,\mathrm{mm}$:

   $S$${}= \frac{\pi d^2}{4}$${}= \frac{\pi\cdot(10\,\mathrm{mm})^2}{4}$${}= 78{,}54\,\mathrm{mm^2}$

2. Tensió amb $F=20\,\mathrm{kN}=20\,000\,\mathrm{N}$ ($1\,\mathrm{N/mm^2}=1\,\mathrm{MPa}$):

   $\sigma$${}= \frac{F}{S}=\frac{20\,000\,\mathrm{N}}{78{,}54\,\mathrm{mm^2}}$${}= 254{,}6\,\mathrm{MPa}$

3. Com que $254{,}6\,\mathrm{MPa}$ és menor que el límit elàstic, $275\,\mathrm{MPa}$, la proveta treballa en zona elàstica. Deformació unitària i allargament, amb $E=69\,\mathrm{GPa}=69\,000\,\mathrm{MPa}$ i $L_0=200\,\mathrm{mm}$:

   $\varepsilon$${}= \frac{\sigma}{E}=\frac{254{,}6}{69\,000}$${}= 3{,}690\cdot10^{-3}$$\Delta L$${}= \varepsilon\,L_0$${}= 3{,}690\cdot10^{-3}\cdot200\,\mathrm{mm}$${}= 0{,}738\,\mathrm{mm}$

4. Longitud entre marques sota la càrrega:

   $L$${}= L_0+\Delta L$${}= 200+0{,}738$${}= 200{,}74\,\mathrm{mm}$

5. Per què no les altres: amb la llei de Hooke, l’allargament de la a) ($0{,}10\,\mathrm{mm}$) correspondria a una tensió de $34{,}5\,\mathrm{MPa}$, i els de la c) i la d) ($1{,}01\,\mathrm{mm}$ i $7{,}38\,\mathrm{mm}$), a $348\,\mathrm{MPa}$ i $2\,546\,\mathrm{MPa}$, per sobre fins i tot de la tensió de ruptura; cap no és la tensió real, $254{,}6\,\mathrm{MPa}$.

Plantejament Es demana la funció lògica d’un circuit de tres portes AND de dues entrades que van a una porta OR; cal llegir a quines variables va connectada cada porta.

1. Seguint les línies de la figura (un punt negre és una connexió; un pont en forma d’arc, un encreuament sense connexió): la primera porta AND rep $p$ i $q$; la segona, $q$ i $r$; la tercera, $r$ i $p$. Les seves sortides són:

   $p\,q$$q\,r$$p\,r$

2. La porta OR ($\geq1$) suma les tres sortides:

   $s=pq+qr+pr$

3. És la funció majoria: $s=1$ quan almenys dues de les tres entrades valen 1.

4. Per què no les altres: la d) és la negació d’aquesta funció (caldria un inversor a la sortida); la b) i la c) són productes, que voldrien una porta AND a la sortida, i el circuit hi té una porta OR.

Plantejament Cal trobar la funció de la taula de veritat i comparar-la amb la de cada esquema de contactes: contactes en sèrie fan un producte (AND) i branques en paral·lel, una suma (OR).

1. Files de la taula amb $d=1$: $abc=011$, $101$ i $111$. En suma de productes:

   $d=\overline{a}\,b\,c+a\,\overline{b}\,c+a\,b\,c$

2. Simplificació: $\overline{a}bc+abc=bc$ i $a\overline{b}c+abc=ac$ (el terme $abc$ es pot fer servir dues vegades, perquè $x+x=x$):

   $d=b\,c+a\,c=c\,(a+b)$

3. Lectura dels esquemes: un contacte dibuixat obert, amb la làmina separada del tram següent, és normalment obert i deixa passar quan la seva variable val 1; un contacte amb la làmina recolzada en un petit tram vertical és normalment tancat i deixa passar quan la variable val 0. La línia vertical que uneix dues làmines indica que són del mateix interruptor.

4. Esquema a): dalt, $a$ obert i $b$ tancat en sèrie; baix, $b$ obert i $c$ tancat. Funció: $d=a\overline{b}+b\overline{c}$. Esquema b): dalt, $b$ tancat i $c$ obert; baix, $a$ i $c$ oberts: $d=\overline{b}c+ac$. Esquema c): dalt, $b$ i $c$ oberts; baix, $a$ i $c$ oberts: $d=bc+ac$. Esquema d): dalt, $b$ i $c$ oberts; baix, $a$ tancat i $c$ obert: $d=bc+\overline{a}c$.

5. Només l’esquema c) dona $d=bc+ac$. Les altres fallen en alguna fila: la a) dona $d=1$ amb $abc=100$, i la b) i la d), amb $abc=001$, files on la taula diu $d=0$.

Plantejament Es demana el rendiment d’un motor de corrent continu d’imants permanents en condicions nominals. Sense pèrdues per fregament, les úniques pèrdues són les de la resistència de l’induït, $R_\text{i}\,I^2$.

1. Potència elèctrica absorbida:

   $P_\text{abs}$${}= V_\text{N}\,I_\text{N}$${}= 300\,\mathrm{V}\cdot16\,\mathrm{A}$${}= 4\,800\,\mathrm{W}$

2. Pèrdues a la resistència de l’induït:

   $P_\text{Cu}$${}= R_\text{i}\,I_\text{N}^2$${}= 3\,\Omega\cdot(16\,\mathrm{A})^2$${}= 768\,\mathrm{W}$

3. Potència útil i rendiment ($0{,}84$, és a dir, un $84$ %):

   $P_\text{u}=4\,800-768=4\,032\,\mathrm{W}$$\eta=\frac{P_\text{u}}{P_\text{abs}}=\frac{4\,032}{4\,800}=0{,}84$

4. El mateix surt amb la força contraelectromotriu: $E$${}= V_\text{N}-R_\text{i}I_\text{N}$${}= 300-48$${}= 252\,\mathrm{V}$ i $\eta=E/V_\text{N}=252/300=0{,}84$. La velocitat $n_\text{N}$ no cal.

5. Per què no les altres: la a) ($16$ %) és la fracció de pèrdues, $768/4\,800$, no el rendiment; la b) i la d) no surten d’aquest balanç.

Plantejament El circuit és una font de corrent altern que alimenta un condensador i una bobina en sèrie. L’amperímetre $A_2$ mesura el corrent de la sèrie i el voltímetre $U_3$, la tensió del condensador.

1. Reactàncies a $f=60\,\mathrm{Hz}$, amb $L=50\,\mathrm{mH}=0{,}05\,\mathrm{H}$ i $C=66\,\mu\mathrm{F}=66\cdot10^{-6}\,\mathrm{F}$:

   $X_L$${}= 2\pi fL$${}= 2\pi\cdot60\cdot0{,}05$${}= 18{,}85\,\Omega$$X_C$${}= \frac{1}{2\pi fC}$${}= \frac{1}{2\pi\cdot60\cdot66\cdot10^{-6}}$${}= 40{,}19\,\Omega$

2. En sèrie i sense resistència, les dues reactàncies es resten (les tensions de la bobina i del condensador estan en oposició):

   $Z$${}= |X_L-X_C|$${}= |18{,}85-40{,}19|$${}= 21{,}34\,\Omega$

3. La tensió de la font, $U_1=230\,\mathrm{V}$, és la de la sèrie. Corrent que marca l’amperímetre:

   $A_2$${}= I=\frac{U_1}{Z}$${}= \frac{230\,\mathrm{V}}{21{,}34\,\Omega}$${}= 10{,}78\,\mathrm{A}$

4. Tensió del condensador, que marca el voltímetre (amb $I=10{,}777\,\mathrm{A}$, una xifra més per no arrossegar l’arrodoniment):

   $U_3$${}= I\,X_C$${}= 10{,}777\,\mathrm{A}\cdot40{,}19\,\Omega$${}= 433{,}1\,\mathrm{V}$

5. La tensió del condensador supera la de la font perquè la de la bobina, $I\,X_L=203{,}1\,\mathrm{V}$, va en oposició: $433{,}1-203{,}1=230\,\mathrm{V}$.

6. Per què no les altres: la b) dona com a $U_3$ la tensió de la bobina, $203{,}1\,\mathrm{V}$; la c) i la d) corresponen, aproximadament, al mateix circuit calculat a $50\,\mathrm{Hz}$ en lloc de $60\,\mathrm{Hz}$ (a $50\,\mathrm{Hz}$ surt $I=7{,}072\,\mathrm{A}$, i les tensions del condensador i de la bobina són $341{,}1\,\mathrm{V}$ i $111{,}1\,\mathrm{V}$).

Plantejament Es demana què li passa a un cable d’acer estirat amb $1\,500\,\mathrm{N}$: cal calcular la tensió (la força dividida per la secció) i comparar-la amb el límit elàstic.

1. Secció del cable, amb $d=3\,\mathrm{mm}$:

   $S$${}= \dfrac{\pi\,d^2}{4}$${}= \dfrac{\pi\cdot(3\,\mathrm{mm})^2}{4}$${}= 7{,}069\,\mathrm{mm^2}$

2. Tensió ($1\,\mathrm{N/mm^2}=1\,\mathrm{MPa}$):

   $\sigma$${}= \dfrac{F}{S}$${}= \dfrac{1\,500\,\mathrm{N}}{7{,}069\,\mathrm{mm^2}}$${}= 212{,}2\,\mathrm{MPa}$

3. Com que $212{,}2\,\mathrm{MPa}$ és menys que el límit elàstic, $275\,\mathrm{MPa}$, el cable treballa en zona elàstica: ni es deforma plàsticament ni es trenca, i la a) i la b) són falses. La c), $70{,}69\,\mathrm{MPa}$, no correspon a la força i la secció del cable. El mòdul elàstic i la longitud no calen per a respondre.

Plantejament Es pregunta com canvia el parell del motor mentre la barrera puja de l’horitzontal a la vertical a velocitat angular constant.

1. A velocitat angular constant no hi ha acceleració angular: en cada posició, el parell del motor equilibra el moment del pes de la barrera respecte de l’eix de gir.

2. La barrera és homogènia: el pes $m\,g$ actua al seu punt mitjà, a $l/2$ de l’eix ($l$ és la longitud de la barrera). Si $\theta$ és l’angle de la barrera amb l’horitzontal, el braç del pes és la distància horitzontal $(l/2)\cos\theta$:

   $\Gamma_\text{mot}=m\,g\,\dfrac{l}{2}\cos\theta$

3. Amb la barrera tancada ($\theta=0^\circ$), $\cos\theta=1$ i el parell és màxim; amb la barrera oberta ($\theta=90^\circ$), $\cos\theta=0$: el pes passa per l’eix de gir i el parell és nul.

4. Per què no les altres: la a) diu el contrari (el màxim és amb la barrera tancada); la c) és falsa perquè el parell canvia amb $\cos\theta$, i la d) també, perquè el centre de gravetat puja $l/2$ i cal aportar-hi l’energia potencial $m\,g\,l/2$.

Plantejament Es demana la petjada de $\mathrm{CO_2}$ de l’opció que menys emet per portar 20 persones a $250\,\mathrm{km}$: cal comptar quants vehicles calen de cada tipus.

1. Vehicles necessaris per a 20 persones: un miniautocar (21 places), 4 vehicles lleugers (5 places cadascun) o 10 motocicletes (2 places cadascuna).

2. Emissions de cada opció (vehicles per factor d’emissió per quilòmetres). Miniautocar: $1\cdot 402{,}13\,\mathrm{g/km}\cdot 250\,\mathrm{km}$${}= 100{,}5\,\mathrm{kg}$. Cotxes de benzina: $4\cdot 149{,}28\,\mathrm{g/km}\cdot 250\,\mathrm{km}$${}= 149{,}3\,\mathrm{kg}$. Cotxes de gasoil: $4\cdot 233{,}12\,\mathrm{g/km}\cdot 250\,\mathrm{km}$${}= 233{,}1\,\mathrm{kg}$. Motocicletes: $10\cdot 92{,}29\,\mathrm{g/km}\cdot 250\,\mathrm{km}$${}= 230{,}7\,\mathrm{kg}$.

3. La que menys emet és el miniautocar. Les altres opcions de resposta són les petjades dels altres mitjans: la b), dels cotxes de benzina; la c), dels cotxes de gasoil, i la d), de les motocicletes.

Plantejament Es demana la potència que cal aportar al compressor: la que rep el gas (el cabal per l’increment d’entalpia) més les pèrdues, que són el 20 % de la potència aportada.

1. Cabal màssic en kg/s: $\dot m=30\,\mathrm{g/s}=0{,}03\,\mathrm{kg/s}$. Potència que rep el gas:

   $P_\text{gas}$${}= \dot m\,(H_2-H_1)$${}= 0{,}03\,\mathrm{kg/s}\cdot(420-250)\,\mathrm{kJ/kg}$${}= 5{,}1\,\mathrm{kW}$

2. Si es perd el 20 % de la potència aportada, el gas en rep el 80 %, és a dir, el rendiment és $\eta=0{,}8$:

   $P$${}= \dfrac{P_\text{gas}}{\eta}$${}= \dfrac{5{,}1\,\mathrm{kW}}{0{,}8}$${}= 6{,}375\,\mathrm{kW}$

3. Per què no les altres: la c), $6{,}120\,\mathrm{kW}$, surt de sumar un 20 % a la potència del gas ($5{,}1\cdot 1{,}2$), és a dir, de calcular les pèrdues sobre la potència que rep el gas en lloc de sobre l’aportada. La a) i la d) no corresponen a aquest càlcul.

Plantejament Es demana la impedància d’una bobina i un condensador en sèrie a $50\,\mathrm{Hz}$: les dues reactàncies tenen efectes oposats i es resten.

1. Reactància inductiva:

   $X_L$${}= 2\pi f\,L$${}= 2\pi\cdot 50\,\mathrm{Hz}\cdot 0{,}025\,\mathrm{H}$${}= 7{,}854\,\Omega$

2. Reactància capacitiva:

   $X_C$${}= \dfrac{1}{2\pi f\,C}$${}= \dfrac{1}{2\pi\cdot 50\,\mathrm{Hz}\cdot 25\cdot 10^{-6}\,\mathrm{F}}$${}= 127{,}32\,\Omega$

3. Sense resistència, la impedància és la diferència de les dues reactàncies, en valor absolut:

   $Z$${}= |X_L-X_C|$${}= |7{,}854-127{,}32|\,\Omega$${}= 119{,}5\,\Omega$

4. La càrrega és capacitiva, perquè $X_C$ és més gran que $X_L$. Per què no les altres: la b) és només $X_L$; la d), només $X_C$, i la a), $0\,\Omega$, només passaria a la freqüència de ressonància, on $X_L=X_C$.

Plantejament Lectura de corbes tensió-deformació: es pregunta quin acer és més fràgil, és a dir, quin es trenca amb menys deformació plàstica.

1. Un material fràgil es trenca poc després de sortir de la zona elàstica, gairebé sense deformació plàstica; un de dúctil es deforma molt abans de trencar-se.

2. L’acer A (línia contínua) arriba a uns $410\,\mathrm{MPa}$ amb $\varepsilon\approx 0{,}002$ i es trenca cap a $\varepsilon\approx 0{,}004$. L’acer B (línia de punts) surt del tram recte a uns $260\,\mathrm{MPa}$ i continua deformant-se fins a $\varepsilon\approx 0{,}014$.

3. L’acer A es trenca amb molta menys deformació: és el més fràgil, encara que sigui el que aguanta més tensió. La figura permet comparar-ho, així que la c) i la d) són falses.

4. A la figura de la versió castellana de l’examen, la marca central de l’eix vertical diu «100»; per l’escala de les altres marques (0 i 400) hauria de dir 200. No afecta la resposta, perquè només es compara la deformació.

Plantejament Ajust ISO 50 H7/g6: es demana el joc màxim, que es dona amb el forat més gran i l’eix més petit.

1. Mides límit, sobre la cota nominal de $50\,\mathrm{mm}$: el forat va de $50{,}000$ a $50{,}025\,\mathrm{mm}$, i l’eix, de $49{,}975$ a $49{,}991\,\mathrm{mm}$.

2. Joc màxim: forat màxim menys eix mínim. Amb les desviacions, és la superior del forat menys la inferior de l’eix:

   $J_\text{màx}=25\,\mu\mathrm{m}-(-25\,\mu\mathrm{m})=50\,\mu\mathrm{m}$

3. Per què no les altres: la a), $9\,\mu\mathrm{m}$, és el joc mínim, $0-(-9)$; la c), $34\,\mu\mathrm{m}$, és el forat màxim menys l’eix màxim, $25-(-9)$, i la b), $25\,\mu\mathrm{m}$, és el forat mínim menys l’eix mínim, $0-(-25)$.

Plantejament Motor de corrent continu: es demana el rendiment nominal, la potència útil de la placa dividida per la potència elèctrica que absorbeix.

1. A la placa, $P_\text{N}=60\,\mathrm{W}$ és la potència útil a l’eix. Potència elèctrica absorbida:

   $P_\text{abs}$${}= U_\text{N}\,I_\text{N}$${}= 24\,\mathrm{V}\cdot 3{,}47\,\mathrm{A}$${}= 83{,}28\,\mathrm{W}$

2. Rendiment:

   $\eta$${}= \dfrac{P_\text{N}}{P_\text{abs}}$${}= \dfrac{60\,\mathrm{W}}{83{,}28\,\mathrm{W}}$${}= 0{,}7205$

3. És a dir, un 72 %. La velocitat de gir no cal per a calcular el rendiment.

Plantejament Es demana el diagrama de cos lliure de la barra OP (la cama i el peu, amb la filla a P): totes les forces exteriors que hi actuen, amb el punt d’aplicació i la direcció de cadascuna.

1. Sistema aïllat: la barra OP, inclinada $\alpha=30^\circ$ respecte a la vertical. Les mides de la figura són $b=\overline{OG}=190\,\mathrm{mm}$ i $c=\overline{OP}=400\,\mathrm{mm}$.

2. Pes de la cama i el peu, $m_\text{c}\,g=4\cdot9{,}807=39{,}23\,\mathrm{N}$, vertical cap avall, aplicat a G.

3. Pes de la filla, $m_\text{f}\,g=12\cdot9{,}807=117{,}7\,\mathrm{N}$, vertical cap avall, aplicat a P (amb $g=9{,}807\,\mathrm{m/s^2}$; l’enunciat no en dona el valor).

4. Força del quàdriceps, $F_\text{m}$, aplicada a Q, cap amunt, formant $\varphi=25^\circ$ amb la prolongació de la barra per sobre d’O; la seva recta d’acció passa a $a=20\,\mathrm{mm}$ d’O. Com que la barra forma $30^\circ$ amb la vertical, $F_\text{m}$ forma $\alpha-\varphi=5^\circ$ amb la vertical, inclinada cap al costat de la paret.

5. Reacció de l’articulació a O, desconeguda: se’n dibuixen les dues components, $O_\text{H}$ (horitzontal, cap a la dreta, lluny de la paret) i $O_\text{V}$ (vertical, cap amunt). Si una surt negativa, va en sentit contrari al dibuixat.

ResultatDiagrama amb quatre forces: $m_\text{c}\,g$ a G i $m_\text{f}\,g$ a P, verticals cap avall; $F_\text{m}$ a Q, cap amunt i a $5^\circ$ de la vertical; i la reacció a O, amb components $O_\text{H}$ i $O_\text{V}$. Esquema a la figura.

La pauta oficial dona: Diagrama de cos lliure: $F_\text{m}$ a Q (a $25^\circ$ de la prolongació de la barra), $m_\text{c}\,g$ a G, $m_\text{f}\,g$ a P i les components $O_\text{H}$ i $O_\text{V}$ de la reacció a O.

Plantejament Es demana la força del quàdriceps. S’obté de l’equilibri de moments respecte a O, on les dues components de la reacció no fan moment.

1. Braços dels pesos respecte a O: les distàncies horitzontals de G i de P a O, perquè els pesos són verticals i la barra forma $30^\circ$ amb la vertical:

   $b\sin30^\circ=190\cdot0{,}5=95\,\mathrm{mm}$$c\sin30^\circ=400\cdot0{,}5=200\,\mathrm{mm}$

2. El braç de $F_\text{m}$ és $a=20\,\mathrm{mm}$ (dada). Els pesos fan girar la barra en sentit horari a la figura i el quàdriceps, en sentit antihorari:

   $\sum M_O$${}= 0:\quad F_\text{m}\,a$${}-m_\text{c}\,g\,b\sin30^\circ$${}-m_\text{f}\,g\,c\sin30^\circ=0$

3. Aïllant $F_\text{m}$, amb les distàncies en mm (es simplifiquen):

   $F_\text{m}$${}= \frac{m_\text{c}\,g\,b\sin30^\circ+m_\text{f}\,g\,c\sin30^\circ}{a}$${}= \frac{4\cdot9{,}807\cdot95+12\cdot9{,}807\cdot200}{20}\,\mathrm{N}$${}= 1\,363\,\mathrm{N}$

Plantejament Les forces a l’articulació O són les dues components de la reacció. S’obtenen de l’equilibri de forces en horitzontal i en vertical.

1. Components de $F_\text{m}$, que forma $\alpha-\varphi=5^\circ$ amb la vertical i s’inclina cap a l’esquerra, cap a la paret (eix $x$ positiu cap a la dreta i eix $y$ positiu cap amunt):

   $F_{\text{m},x}=-F_\text{m}\sin5^\circ=-118{,}8\,\mathrm{N}$$F_{\text{m},y}=F_\text{m}\cos5^\circ=1\,358\,\mathrm{N}$

2. Equilibri horitzontal:

   $\sum F_x$${}= 0:\quad O_\text{H}-F_\text{m}\sin5^\circ=0$${}\Rightarrow O_\text{H}$${}= 118{,}8\,\mathrm{N}$

3. Equilibri vertical:

   $\sum F_y$${}= 0:\quad O_\text{V}+F_\text{m}\cos5^\circ$${}-(m_\text{f}+m_\text{c})\,g=0$${}\Rightarrow O_\text{V}$${}= 16\cdot9{,}807-1\,358$${}= -1\,201\,\mathrm{N}$

4. El signe negatiu vol dir que $O_\text{V}$ va cap avall, al revés del que s’havia dibuixat: l’articulació empeny la cama cap avall amb $1\,201\,\mathrm{N}$ i cap a la dreta amb $118{,}8\,\mathrm{N}$.

5. Mòdul de la força total a l’articulació:

   $|\vec{O}|$${}= \sqrt{O_\text{H}^2+O_\text{V}^2}$${}= \sqrt{118{,}8^2+1\,201^2}$${}= 1\,207\,\mathrm{N}$

Plantejament Es demana el diagrama de cos lliure de la barra ABC: s’aïlla la barra i s’hi dibuixen totes les forces externes, cadascuna al seu punt d’aplicació.

1. La barra forma $\varphi=30^\circ$ amb l’horitzontal i no té massa. Hi actuen tres forces.

2. Al punt C, el pes del pacient, $m\,g$, vertical cap avall: el cable que el subjecta és vertical i transmet tot el pes a C.

3. Al punt B, a una distància $L$ d’A, la força del cilindre hidràulic, $F_\text{c}$, dirigida segons l’eix del cilindre, que forma $\alpha=75^\circ$ amb l’horitzontal, cap amunt. L’angle entre el cilindre i la barra és $\alpha-\varphi=75^\circ-30^\circ=45^\circ$.

4. Al punt A, la reacció de l’articulació, amb una component horitzontal $F_\text{H}$ i una de vertical $F_\text{V}$. A la figura es dibuixen cap a l’esquerra i cap avall, que és el sentit que surt en resoldre l’apartat c).

ResultatDiagrama amb $m\,g$ vertical cap avall a C, $F_\text{c}$ a B segons l’eix del cilindre ($75^\circ$ amb l’horitzontal, $45^\circ$ amb la barra) i les components $F_\text{H}$ i $F_\text{V}$ de la reacció a A (figura).

La pauta oficial dona: Diagrama de cos lliure: $F_\text{H}$ (cap a l’esquerra) i $F_\text{V}$ (cap avall) a A, $F_\text{c}$ a B formant $45^\circ$ amb la barra, i $m\,g$ a C.

Plantejament Es demana la força del cilindre: s’obté de l’equilibri de moments respecte d’A, on la reacció de l’articulació no fa moment.

1. Braços respecte d’A: la força $F_\text{c}$, aplicada a $L$ d’A i inclinada $45^\circ$ respecte de la barra, té un braç $L\sin 45^\circ$; el pes, aplicat a C (a $3L$ d’A) i vertical, té un braç horitzontal $3L\cos 30^\circ$.

2. Equilibri de moments (positiu en sentit antihorari):

   $\sum M_\text{A}$${}= 0:\quad F_\text{c}\,L\sin 45^\circ$${}-m\,g\cdot 3L\cos 30^\circ=0$

3. La longitud $L$ se simplifica, i per això el valor $L=300\,\mathrm{mm}$ de la figura no cal. Amb $m\,g$${}= 85\,\mathrm{kg}\cdot 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}$${}= 833{,}6\,\mathrm{N}$:

   $F_\text{c}$${}= \dfrac{3\,m\,g\cos 30^\circ}{\sin 45^\circ}$${}= \dfrac{3\cdot 833{,}6\,\mathrm{N}\cdot 0{,}8660}{0{,}7071}$${}= 3\,063\,\mathrm{N}$

Plantejament Es demanen les components de la força a l’articulació A: s’obtenen de l’equilibri de forces horitzontals i verticals de la barra.

1. Components de $F_\text{c}$, que forma $75^\circ$ amb l’horitzontal: $F_\text{c}\cos 75^\circ=792{,}7\,\mathrm{N}$ cap a la dreta i $F_\text{c}\sin 75^\circ=2\,958{,}5\,\mathrm{N}$ cap amunt.

2. Equilibri horitzontal, amb $F_\text{H}$ cap a l’esquerra:

   $\sum F_x$${}= 0:\quad F_\text{c}\cos 75^\circ$${}-F_\text{H}=0$${}\Rightarrow F_\text{H}$${}= 792{,}7\,\mathrm{N}$

3. Equilibri vertical, amb $F_\text{V}$ cap avall:

   $\sum F_y$${}= 0:\quad F_\text{c}\sin 75^\circ-m\,g$${}-F_\text{V}=0$${}\Rightarrow F_\text{V}$${}= 2\,958{,}5-833{,}6$${}= 2\,125\,\mathrm{N}$

4. Els dos valors surten positius: la reacció a A va cap a l’esquerra i cap avall, com s’havia dibuixat. El cilindre empeny la barra cap amunt amb més força que el pes, i l’articulació l’estira cap avall per mantenir l’equilibri.

Plantejament Diagrama de sòlid lliure de la guia OC: s’aïlla la guia i s’hi dibuixen totes les forces externes que hi actuen, cadascuna en el seu punt d’aplicació.

1. S’aïlla la guia OC (sense la paret ni el fil) i s’hi dibuixen quatre forces, totes en el pla del dibuix.

2. Pes de la guia, $P_1 = m_\text{fusta}\,g$, vertical cap avall, aplicat al centre de la guia (és homogènia), a $l/2 = 0{,}5\,\mathrm{m}$ d’O.

3. Pes de l’ampolla, $P_2 = m_\text{aigua}\,g$, vertical cap avall, a la distància $x$ d’O (on hi ha el ganxo).

4. Força del fil, $T$, aplicada a B ($d = 0{,}3\,\mathrm{m}$ d’O) i dirigida de B cap a A: forma $\varphi = 30^\circ$ amb l’horitzontal, cap amunt i cap a la paret.

5. Reacció de l’articulació O, amb dues components: $R_{Ox}$ horitzontal, cap a fora de la paret (equilibra la component horitzontal de $T$), i $R_{Oy}$ vertical. El sentit de $R_{Oy}$ se suposa cap amunt; si en resoldre sortís negativa, aniria cap avall.