Tecnologia, PAU 2023 de Catalunya: l’examen extraordinari resolt

L’examen extraordinari de Tecnologia industrial de la PAU de Catalunya del 2023, sencer: els sis exercicis que es proposaven, tal com van sortir, cadascun amb la solució pas a pas d’EducaIA de cada apartat, contrastada amb la pauta oficial de correcció. Quan la nostra resposta no coincideix del tot amb la pauta, et diem per què.

Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

Què s’hi proposava, en punts

Els punts de cada apartat, sumats pel tema del temari que pregunta. En aquest examen es triaven els exercicis (ho diuen les instruccions de sota), així que la barra suma tots els que es proposaven: 15 punts.

Instruccions de l’examen Responeu a QUATRE dels sis exercicis següents. Cada exercici val 2,5 punts. En el cas que respongueu a més exercicis, només es valoraran els quatre primers.

Els exercicis de l’examen

2023Convocatòria extraordinària · Sèrie 2 · Exercici 1

2,5 puntsCoincideix amb la pautaTemes: Energia, consum i emissions, Màquines tèrmiques, Pneumàtica, hidràulica i fluids, Circuits elèctrics
Enunciat oficial

Indiqueu la resposta correcta de cada qüestió. Responeu en la taula de la pàgina 3. En el cas que no indiqueu les respostes a la taula, les qüestions es consideraran no contestades.

[En cada qüestió només es pot triar UNA resposta. Qüestió ben contestada: 0,5 punts; qüestió mal contestada: –0,16 punts; qüestió no contestada: 0 punts.]

1.1 Un motor de quatre temps consumeix 9,5 L/h9{,}5\,\mathrm{L/h} d’un combustible de densitat 0,85 kg/dm30{,}85\,\mathrm{kg/dm^3} i poder calorífic pc=44,8 MJ/kgp_\mathrm{c} = 44{,}8\,\mathrm{MJ/kg}. En el cas que s’analitza, proporciona un parell de 87 N m87\,\mathrm{N\,m} quan gira a 3 000 min−13\,000\,\mathrm{min^{-1}}. Quin és el rendiment del motor?

a) 16,3216{,}32 %

b) 27,227{,}2 %

c) 45,3345{,}33 %

d) 75,5575{,}55 %

[0,5 punts]

1.2 Un motor eleva una barrera de pàrquing homogènia de longitud l=1,5 ml = 1{,}5\,\mathrm{m} i massa m=3 kgm = 3\,\mathrm{kg}, des de la posició horitzontal (barrera tancada) fins a la vertical. L’energia mecànica necessària per a fer aquest moviment

a) és nul·la.

b) és 22,07 J22{,}07\,\mathrm{J}.

c) és 44,13 J44{,}13\,\mathrm{J}.

d) depèn de la velocitat de gir de la barrera.

[0,5 punts]

Qüestió 2. Barrera de pàrquing en dues posicions. A l’esquerra, horitzontal: barra de longitud l articulada per un extrem a un pal fix, amb el centre de gravetat al seu punt mitjà i el pes mg cap avall. A la dreta, la mateixa barrera girada 90° fins a la vertical, amb el centre de gravetat al seu punt mitjà, per sobre de l’eix de gir.

1.3 La bomba d’una depuradora de piscina consumeix 1,1 kW1{,}1\,\mathrm{kW} quan bombeja un cabal d’aigua de 10 m3/h10\,\mathrm{m^3/h}. La bomba, de rendiment 0,70{,}7, està en funcionament 6 hores al dia d’abril a octubre. Si el preu de l’energia és de 0,215780{,}21578 €/(kW h), quin és el cost econòmic de tenir la bomba funcionant durant aquests 7 mesos?

a) 304,8304{,}8 €

b) 213,3213{,}3 €

c) 454,4454{,}4 €

d) 149,3149{,}3 €

[0,5 punts]

1.4 Es vol aixecar una massa m=750 kgm = 750\,\mathrm{kg} utilitzant una premsa hidràulica. El diàmetre de l’èmbol gros és 900 mm900\,\mathrm{mm} i el de l’èmbol petit, 300 mm300\,\mathrm{mm}. Les resistències passives són negligibles. Si es vol desplaçar 20 mm20\,\mathrm{mm} la càrrega, quin ha de ser el desplaçament de l’èmbol petit?

a) 450 mm450\,\mathrm{mm}

b) 222,2 mm222{,}2\,\mathrm{mm}

c) 180 mm180\,\mathrm{mm}

d) 60 mm60\,\mathrm{mm}

[0,5 punts]

Qüestió 4. Premsa hidràulica: dos èmbols comunicats per un líquid. Sobre l’èmbol gros, a l’esquerra, hi ha la massa m; sobre l’èmbol petit, a la dreta, s’aplica la força F cap avall. La gravetat g apunta cap avall.

1.5 El fil de la resistència elèctrica d’un calefactor té una resistivitat ρ=16×10−9 Ω m\rho = 16 \times 10^{-9}\,\Omega\,\mathrm{m}, un diàmetre de 0,12 mm0{,}12\,\mathrm{mm} i una longitud de 30 m30\,\mathrm{m}. La potència consumida pel calefactor quan es connecta a una tensió de 230 V230\,\mathrm{V} és

a) 9,919 kW9{,}919\,\mathrm{kW}.

b) 4,244 kW4{,}244\,\mathrm{kW}.

c) 2,492 kW2{,}492\,\mathrm{kW}.

d) 1,246 kW1{,}246\,\mathrm{kW}.

[0,5 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

1.10,5 punts

Plantejament Es demana el rendiment d’un motor de combustió: el quocient entre la potència mecànica que dona (parell per velocitat angular) i la potència tèrmica que aporta el combustible (cabal màssic per poder calorífic).

  1. Cabal màssic de combustible: el volum per hora per la densitat (0,85 kg/dm3=0,85 kg/L0{,}85\,\mathrm{kg/dm^3} = 0{,}85\,\mathrm{kg/L}, perquè 1 dm3=1 L1\,\mathrm{dm^3} = 1\,\mathrm{L}).

    ṁ\dot m=9,5 L/h⋅0,85 kg/L{}= 9{,}5\,\mathrm{L/h}\cdot 0{,}85\,\mathrm{kg/L}=8,075 kg/h{}= 8{,}075\,\mathrm{kg/h}

  2. Potència tèrmica que aporta el combustible, passant les hores a segons (1 h=3 600 s1\,\mathrm{h} = 3\,600\,\mathrm{s}) i els MJ a J:

    PcP_\mathrm{c}=ṁ pc{}= \dot m\,p_\mathrm{c}=8,075 kg3 600 s⋅44,8⋅106 J/kg{}= \frac{8{,}075\,\mathrm{kg}}{3\,600\,\mathrm{s}}\cdot 44{,}8\cdot 10^{6}\,\mathrm{J/kg}=100,5⋅103 W{}= 100{,}5\cdot 10^{3}\,\mathrm{W}

  3. Velocitat angular del motor:

    ω\omega=3 000 min−1⋅2π rad60 s{}= 3\,000\,\mathrm{min^{-1}}\cdot\frac{2\pi\,\mathrm{rad}}{60\,\mathrm{s}}=314,16 rad/s{}= 314{,}16\,\mathrm{rad/s}

  4. Potència mecànica que dona el motor:

    PmP_\mathrm{m}=Γ ω=87 N m⋅314,16 rad/s{}= \Gamma\,\omega=87\,\mathrm{N\,m}\cdot 314{,}16\,\mathrm{rad/s}=27,33⋅103 W{}= 27{,}33\cdot 10^{3}\,\mathrm{W}

  5. Rendiment, que és el 27,227{,}2 %:

    η\eta=PmPc{}= \frac{P_\mathrm{m}}{P_\mathrm{c}}=27,33 kW100,5 kW{}= \frac{27{,}33\,\mathrm{kW}}{100{,}5\,\mathrm{kW}}=0,272{}= 0{,}272

  6. Les altres opcions no surten del quocient Pm/PcP_\mathrm{m}/P_\mathrm{c} amb aquestes dades: la a) és més baixa que el valor calculat i la c) i la d), molt més altes.

ResultatResposta b): η=0,272\eta = 0{,}272, és a dir, el 27,227{,}2 %.

La pauta oficial dona: Resposta b).

1.20,5 punts

Plantejament Es pregunta quina energia mecànica cal per a portar una barrera homogènia de l’horitzontal a la vertical, girant al voltant d’un extrem. És l’augment d’energia potencial, que depèn de quant puja el centre de gravetat.

  1. La barrera és homogènia: el centre de gravetat és al seu punt mitjà, a l/2l/2 de l’eix de gir. En posició horitzontal és a l’altura de l’eix, i en posició vertical és l/2l/2 més amunt:

    Δh=l2=1,5 m2=0,75 m\Delta h = \frac{l}{2} = \frac{1{,}5\,\mathrm{m}}{2} = 0{,}75\,\mathrm{m}

  2. Augment d’energia potencial (l’enunciat no dona gg; prenem g=9,807 m/s2g = 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}, i amb 9,81 m/s29{,}81\,\mathrm{m/s^2} surt el mateix resultat):

    ΔEp\Delta E_\mathrm{p}=m g Δh{}= m\,g\,\Delta h=3 kg⋅9,807 m/s2⋅0,75 m{}= 3\,\mathrm{kg}\cdot 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}\cdot 0{,}75\,\mathrm{m}=22,07 J{}= 22{,}07\,\mathrm{J}

  3. Si la barrera surt del repòs i s’atura a la vertical, com és el cas d’una barrera que s’obre, l’energia cinètica inicial i final és zero: l’energia necessària és només l’augment d’energia potencial, i no depèn de la velocitat de gir (la d) és falsa). Tampoc no és nul·la, perquè el centre de gravetat puja (la a) és falsa).

  4. La c), 44,13 J44{,}13\,\mathrm{J}, és m g lm\,g\,l: el que sortiria si tota la massa pugés la longitud sencera de la barrera, quan el centre de gravetat només puja l/2l/2.

    m g l=3⋅9,807⋅1,5=44,13 Jm\,g\,l = 3\cdot 9{,}807\cdot 1{,}5 = 44{,}13\,\mathrm{J}

ResultatResposta b): ΔEp=22,07 J\Delta E_\mathrm{p} = 22{,}07\,\mathrm{J}.

La pauta oficial dona: Resposta b).

1.30,5 punts

Plantejament Es demana el cost de l’energia elèctrica que consumeix la bomba d’una depuradora durant set mesos: l’energia consumida (potència consumida per temps de funcionament) pel preu del kW h.

  1. Dies d’abril a octubre, tots dos inclosos: abril 3030, maig 3131, juny 3030, juliol 3131, agost 3131, setembre 3030 i octubre 3131.

    NN=30+31+30+31+31{}= 30+31+30+31+31+30+31{}+30+31=214 dies{}= 214\ \text{dies}

  2. Hores de funcionament, a 66 hores al dia:

    t=214⋅6 h=1 284 ht = 214\cdot 6\,\mathrm{h} = 1\,284\,\mathrm{h}

  3. Els 1,1 kW1{,}1\,\mathrm{kW} ja són la potència que la bomba consumeix de la xarxa. El rendiment 0,70{,}7 diu quina part d’aquesta potència arriba a l’aigua, però no canvia el que es paga. Energia consumida:

    EE=P t=1,1 kW⋅1 284 h{}= P\,t=1{,}1\,\mathrm{kW}\cdot 1\,284\,\mathrm{h}=1 412,4 kW h{}= 1\,412{,}4\,\mathrm{kW\,h}

  4. Cost, en euros, a 0,215780{,}21578 €/(kW h):

    C=1 412,4⋅0,21578=304,8C = 1\,412{,}4\cdot 0{,}21578 = 304{,}8

  5. La b), 213,3213{,}3 €, és el que surt si es multiplica, per error, per 0,70{,}7; i la d), 149,3149{,}3 €, si es multiplica dues vegades per 0,70{,}7. La c) no surt de cap d’aquests càlculs.

    304,77⋅0,7=213,3304{,}77\cdot 0{,}7 = 213{,}3304,77⋅0,72=149,3304{,}77\cdot 0{,}7^2 = 149{,}3

ResultatResposta a): el cost és de 304,8304{,}8 €.

La pauta oficial dona: Resposta a).

1.40,5 punts

Plantejament Es pregunta quant s’ha de desplaçar l’èmbol petit d’una premsa hidràulica perquè la càrrega pugi 20 mm20\,\mathrm{mm}. Com que el líquid és incompressible, el volum que desplaça l’èmbol petit és el mateix que rep l’èmbol gros.

  1. Igualtat de volums desplaçats, amb A=πD2/4A = \pi D^2/4 (p\mathrm{p}, èmbol petit; g\mathrm{g}, èmbol gros):

    Ap xpA_\mathrm{p}\,x_\mathrm{p}=Ag xg{}= A_\mathrm{g}\,x_\mathrm{g}⇒xp{}\Rightarrow x_\mathrm{p}=xg Dg2Dp2{}= x_\mathrm{g}\,\frac{D_\mathrm{g}^2}{D_\mathrm{p}^2}

  2. Substituint:

    xpx_\mathrm{p}=20 mm⋅(900 mm300 mm)2{}= 20\,\mathrm{mm}\cdot\left(\frac{900\,\mathrm{mm}}{300\,\mathrm{mm}}\right)^2=20 mm⋅9{}= 20\,\mathrm{mm}\cdot 9=180 mm{}= 180\,\mathrm{mm}

  3. La massa de 750 kg750\,\mathrm{kg} no fa falta per al desplaçament: només serviria per a calcular la força a l’èmbol petit. La d), 60 mm60\,\mathrm{mm}, surt de multiplicar per la relació de diàmetres (33) en lloc de la relació d’àrees (99).

ResultatResposta c): l’èmbol petit s’ha de desplaçar 180 mm180\,\mathrm{mm}.

La pauta oficial dona: Resposta c).

1.50,5 punts

Plantejament Es demana la potència d’un calefactor a partir de les dades del fil resistiu: primer la resistència del fil, R=ρ L/SR = \rho\,L/S, i després la potència a 230 V230\,\mathrm{V}, P=U2/RP = U^2/R.

  1. Secció del fil, amb el diàmetre en metres (d=0,12 mm=1,2⋅10−4 md = 0{,}12\,\mathrm{mm} = 1{,}2\cdot 10^{-4}\,\mathrm{m}):

    SS=π d24{}= \frac{\pi\,d^2}{4}=π (1,2⋅10−4 m)24{}= \frac{\pi\,(1{,}2\cdot 10^{-4}\,\mathrm{m})^2}{4}=1,131⋅10−8 m2{}= 1{,}131\cdot 10^{-8}\,\mathrm{m^2}

  2. Resistència del fil, de longitud L=30 mL = 30\,\mathrm{m}:

    RR=ρ LS=16⋅10−9 Ω m⋅30 m1,131⋅10−8 m2{}= \rho\,\frac{L}{S}=16\cdot 10^{-9}\,\Omega\,\mathrm{m}\cdot\frac{30\,\mathrm{m}}{1{,}131\cdot 10^{-8}\,\mathrm{m^2}}=42,44 Ω{}= 42{,}44\,\Omega

  3. Potència consumida a U=230 VU = 230\,\mathrm{V}:

    PP=U2R{}= \frac{U^2}{R}=(230 V)242,44 Ω{}= \frac{(230\,\mathrm{V})^2}{42{,}44\,\Omega}=1 246 W{}= 1\,246\,\mathrm{W}=1,246 kW{}= 1{,}246\,\mathrm{kW}

  4. Les altres tres opcions no coincideixen amb el valor de U2/RU^2/R calculat amb aquestes dades.

ResultatResposta d): P=1,246 kWP = 1{,}246\,\mathrm{kW}, amb R=42,44 ΩR = 42{,}44\,\Omega.

La pauta oficial dona: Resposta d).

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Tecnologia industrial 2023, convocatòria extraordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 26 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2023Convocatòria extraordinària · Sèrie 2 · Exercici 2

2,5 puntsCoincideix amb la pautaTemes: Electrònica digital
Enunciat oficial

Un hivernacle disposa de quatre sensors: un de temperatura, un de velocitat del vent, un de pressió atmosfèrica i un d’humitat ambiental. Es vol dissenyar un circuit digital que controli el tancament del sostre. El sostre es tanca si es dona, com a mínim, una de les tres condicions següents: si la velocitat del vent supera els 60 km/h60\,\mathrm{km/h}; si la temperatura ambient supera els 30 ∘C30\,^\circ\mathrm{C} amb una humitat ambiental inferior al 4040 %, o si es detecta un canvi sobtat de pressió quan la humitat ambiental és superior o igual al 4040 %. En altres condicions, el sostre no es tanca. Responeu a les qüestions que hi ha a continuació utilitzant les variables d’estat següents:

temperatura: tt={1: Tamb>30 ∘C0: Tamb≤30 ∘C{}= \begin{cases} 1:\ T_\mathrm{amb} > 30\,^\circ\mathrm{C} \\ 0:\ T_\mathrm{amb} \le 30\,^\circ\mathrm{C} \end{cases}; humitat: hh={1: hamb≥40 %0: hamb<40 %{}= \begin{cases} 1:\ h_\mathrm{amb} \ge 40\,\% \\ 0:\ h_\mathrm{amb} < 40\,\% \end{cases};

velocitat: vv={1: vvent>60 km/h0: vvent≤60 km/h{}= \begin{cases} 1:\ v_\mathrm{vent} > 60\,\mathrm{km/h} \\ 0:\ v_\mathrm{vent} \le 60\,\mathrm{km/h} \end{cases}; pressió: pp={1: canvi sobtat de pressioˊ0: sense canvi sobtat de pressioˊ{}= \begin{cases} 1:\ \text{canvi sobtat de pressió} \\ 0:\ \text{sense canvi sobtat de pressió} \end{cases};

acció: aa={1: el sostre es tanca0: el sostre no es tanca{}= \begin{cases} 1:\ \text{el sostre es tanca} \\ 0:\ \text{el sostre no es tanca} \end{cases}.

Utilitzant les variables d’estat descrites, dissenyeu el sistema digital que permeti determinar quan s’ha de produir el tancament del sostre. Per fer-ho:

a) Elaboreu la taula de veritat del sistema.

[1 punt]

b) Determineu la funció lògica entre aquestes variables i, si escau, simplifiqueu-la.

[1 punt]

c) Dibuixeu l’esquema de contactes equivalent.

[0,5 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)1 punt

Plantejament Es demana la taula de veritat de la funció a(t,h,v,p)a(t,h,v,p): per a cadascuna de les 1616 combinacions de les quatre entrades cal decidir si es compleix alguna de les tres condicions de tancament.

  1. Traducció de les tres condicions a les variables: vent fort, v=1v = 1; temperatura alta amb humitat baixa, t=1t = 1 i h=0h = 0 (el producte t h‾t\,\overline{h}); canvi sobtat de pressió amb humitat alta, p=1p = 1 i h=1h = 1 (el producte h ph\,p). El sostre es tanca (a=1a = 1) si se’n compleix com a mínim una.

  2. Taula de veritat, amb les files en ordre binari t h v pt\,h\,v\,p; l’última columna diu quina condició es compleix:

    tthhvvppaaCondició
    00000—
    00010—
    00101vv
    00111vv
    01000—
    01011h ph\,p
    01101vv
    01111vv, h ph\,p
    10001t h‾t\,\overline{h}
    10011t h‾t\,\overline{h}
    10101vv, t h‾t\,\overline{h}
    10111vv, t h‾t\,\overline{h}
    11000—
    11011h ph\,p
    11101vv
    11111vv, h ph\,p

Resultata=0a = 0 només a les files t h v p=0000t\,h\,v\,p = 0000, 00010001, 01000100 i 11001100; a les altres dotze, a=1a = 1 (taula als passos).

La pauta oficial dona: Taula de veritat amb a=0a = 0 a les files t h v p=0000t\,h\,v\,p = 0000, 00010001, 01000100 i 11001100, i a=1a = 1 a la resta.

b)1 punt

Plantejament Es demana la funció lògica de aa i la seva simplificació. Es passen els uns de la taula a un mapa de Karnaugh i s’agrupen en blocs tan grans com es pugui.

  1. Mapa de Karnaugh, amb thth a les files i vpvp a les columnes, totes dues en codi Gray (0000, 0101, 1111, 1010):

    th\vpth \backslash vp0000010111111010
    00000011
    01010111
    11110111
    10101111

  2. Grup 1: les dues columnes vp=11vp = 11 i vp=10vp = 10 senceres (vuit uns). Hi és sempre v=1v = 1 i canvien totes les altres variables: el terme és vv.

  3. Grup 2: la fila th=10th = 10 sencera (quatre uns). Hi és sempre t=1t = 1 i h=0h = 0: el terme és t h‾t\,\overline{h}.

  4. Grup 3: el quadrat de les files th=01th = 01 i th=11th = 11 amb les columnes vp=01vp = 01 i vp=11vp = 11 (quatre uns). Hi és sempre h=1h = 1 i p=1p = 1: el terme és h ph\,p.

  5. Els tres grups cobreixen els dotze uns. La funció simplificada és la suma dels tres termes, que és justament la frase de l’enunciat (vent fort, o calor amb humitat baixa, o canvi de pressió amb humitat alta):

    a=v+t h‾+h pa = v + t\,\overline{h} + h\,p

  6. També es pot escriure la funció com a producte de sumes a partir dels quatre zeros de la taula (un factor per zero, amb la variable negada on val 11); simplificant-la s’arriba a la mateixa expressió:

    aa=(t+h+v+p) (t+h+v+p‾) (t+h‾+v+p) (t‾+h‾+v+p){}= (t+h+v+p)\,(t+h+v+\overline{p})\,(t+\overline{h}+v+p)\,(\overline{t}+\overline{h}+v+p)

Resultata=v+t h‾+h pa = v + t\,\overline{h} + h\,p

La pauta oficial dona: aa=(t+h+v+p)(t+h+v+p‾)(t+h‾+v+p)(t‾+h‾+v+p){}= (t+h+v+p)(t+h+v+\overline{p})(t+\overline{h}+v+p)(\overline{t}+\overline{h}+v+p); simplificant, a=t h‾+h p+va = t\,\overline{h} + h\,p + v.

c)0,5 punts

Plantejament Es demana l’esquema de contactes de la funció simplificada, a=v+t h‾+h pa = v + t\,\overline{h} + h\,p: cada producte és una branca de contactes en sèrie, i la suma és la connexió en paral·lel de les branques.

  1. Branca 1: un contacte normalment obert de vv.

  2. Branca 2: un contacte normalment obert de tt en sèrie amb un contacte normalment tancat de hh, que fa la funció h‾\overline{h} (condueix quan h=0h = 0).

  3. Branca 3: un contacte normalment obert de hh en sèrie amb un contacte normalment obert de pp.

  4. Les tres branques es connecten en paral·lel entre l’alimentació i la sortida aa, que s’activa (el sostre es tanca) quan condueix qualsevol de les branques.

ResultatTres branques en paral·lel cap a la sortida aa: vv; tt en sèrie amb h‾\overline{h} (contacte tancat); hh en sèrie amb pp. Esquema a la figura.

La pauta oficial dona: Esquema de contactes amb tres branques en paral·lel: vv; hh en sèrie amb pp; tt en sèrie amb h‾\overline{h} (contacte tancat).

Esquema de contactes amb tres branques en paral·lel entre l’entrada i la sortida a, dibuixada amb el símbol ⊗ (la càrrega que s’activa). Branca superior: contacte normalment obert v. Branca del mig: contacte normalment obert t en sèrie amb un contacte normalment tancat h̄. Branca inferior: contactes normalment oberts h i p en sèrie.

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Tecnologia industrial 2023, convocatòria extraordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 26 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2023Convocatòria extraordinària · Sèrie 2 · Exercici 3

2,5 puntsCoincideix amb la pautaTemes: Energia, consum i emissions
Enunciat oficial

Es disposa d’un escalfador d’aigua que funciona amb gas butà i d’un altre que és elèctric. Ambdós subministren un cabal d’aigua q=10 L/minq = 10\,\mathrm{L/min} i augmenten la temperatura de l’aigua ΔT=30 ∘C\Delta T = 30\,^\circ\mathrm{C}, que té una calor específica ce=4,187 kJ/(kg K)c_\mathrm{e} = 4{,}187\,\mathrm{kJ/(kg\,K)}. Es vol comparar el cost econòmic i la petjada de diòxid de carboni (CO2\mathrm{CO_2}) de tenir en funcionament cadascun dels escalfadors durant t=5 ht = 5\,\mathrm{h}.

El poder calorífic del butà és pc_butaˋ=47 MJ/kgp_\text{c\_butà} = 47\,\mathrm{MJ/kg}, el preu d’una bombona que en conté mbutaˋ=12,5 kgm_\text{butà} = 12{,}5\,\mathrm{kg} és cbutaˋ=17,66c_\text{butà} = 17{,}66 € i el seu coeficient d’emissions de CO2\mathrm{CO_2} és ebutaˋ=2,960 kg CO2/kge_\text{butà} = 2{,}960\,\mathrm{kg\,CO_2/kg}. L’escalfador que funciona amb aquest combustible té un rendiment ηbutaˋ=0,89\eta_\text{butà} = 0{,}89. L’escalfador elèctric té un rendiment ηeleˋctr=0,97\eta_\text{elèctr} = 0{,}97 i el preu de l’electricitat és celeˋctr=0,21c_\text{elèctr} = 0{,}21 €/(kW h). Les emissions, tenint en compte el mix elèctric, són de eeleˋctre_\text{elèctr}=250 gCO2/(kW h){}= 250\,\mathrm{g_{CO_2}/(kW\,h)}.

Determineu:

a) La potència consumida per cadascun dels escalfadors PbutaˋP_\text{butà} i PeleˋctrP_\text{elèctr}.

[0,5 punts]

b) El cabal de gas butà qbutaˋq_\text{butà} consumit en kg/h.

[0,5 punts]

c) El cost econòmic del consum dels dos escalfadors cebutaˋce_\text{butà} i ceeleˋctrce_\text{elèctr}.

[1 punt]

d) La petjada de CO2\mathrm{CO_2} emesa per ambdós escalfadors mCO2_butaˋm_{\mathrm{CO_2}\text{\_butà}} i mCO2_eleˋctrm_{\mathrm{CO_2}\text{\_elèctr}}.

[0,5 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)0,5 punts

Plantejament Es demana la potència que consumeix cada escalfador. Primer es calcula la potència útil, la que escalfa l’aigua, que és la mateixa en tots dos; després es divideix pel rendiment de cada aparell.

  1. Cabal màssic d’aigua, amb la densitat de l’aigua, 1 kg/L1\,\mathrm{kg/L}, i el minut passat a segons:

    qmq_m=10 L/min⋅1 kg/L{}= 10\,\mathrm{L/min}\cdot 1\,\mathrm{kg/L}=10 kg/min{}= 10\,\mathrm{kg/min}=1060 kg/s{}= \frac{10}{60}\,\mathrm{kg/s}

  2. Potència útil per escalfar l’aigua (un increment de 30 ∘C30\,^\circ\mathrm{C} és un increment de 30 K30\,\mathrm{K}):

    PuP_\mathrm{u}=qm ce ΔT{}= q_m\,c_\mathrm{e}\,\Delta T=1060 kg/s⋅4,187 kJ/(kg K)⋅30 K{}= \frac{10}{60}\,\mathrm{kg/s}\cdot 4{,}187\,\mathrm{kJ/(kg\,K)}\cdot 30\,\mathrm{K}=20,935 kW{}= 20{,}935\,\mathrm{kW}

  3. Potència consumida per l’escalfador de butà:

    PbutaˋP_\text{butà}=Puηbutaˋ{}= \frac{P_\mathrm{u}}{\eta_\text{butà}}=20,935 kW0,89{}= \frac{20{,}935\,\mathrm{kW}}{0{,}89}=23,52 kW{}= 23{,}52\,\mathrm{kW}

  4. Potència consumida per l’escalfador elèctric:

    PeleˋctrP_\text{elèctr}=Puηeleˋctr{}= \frac{P_\mathrm{u}}{\eta_\text{elèctr}}=20,935 kW0,97{}= \frac{20{,}935\,\mathrm{kW}}{0{,}97}=21,58 kW{}= 21{,}58\,\mathrm{kW}

ResultatPbutaˋ=23,52 kWP_\text{butà} = 23{,}52\,\mathrm{kW} i Peleˋctr=21,58 kWP_\text{elèctr} = 21{,}58\,\mathrm{kW}.

La pauta oficial dona: PbutaˋP_\text{butà}=q ce ΔT/ηbutaˋ{}= q\,c_\mathrm{e}\,\Delta T/\eta_\text{butà}=23,52 kW{}= 23{,}52\,\mathrm{kW}; PeleˋctrP_\text{elèctr}=q ce ΔT/ηeleˋctr{}= q\,c_\mathrm{e}\,\Delta T/\eta_\text{elèctr}=21,58 kW{}= 21{,}58\,\mathrm{kW}.

b)0,5 punts

Plantejament Es demana quants quilograms de butà per hora crema l’escalfador de gas: la potència que consumeix dividida per l’energia que dona cada quilogram de butà (el poder calorífic).

  1. Cabal màssic de butà, amb la potència en kJ/s i el poder calorífic en kJ/kg (47 MJ/kg=47 000 kJ/kg47\,\mathrm{MJ/kg} = 47\,000\,\mathrm{kJ/kg}):

    qbutaˋq_\text{butà}=Pbutaˋpc_butaˋ{}= \frac{P_\text{butà}}{p_\text{c\_butà}}=23,522 kJ/s47 000 kJ/kg{}= \frac{23{,}522\,\mathrm{kJ/s}}{47\,000\,\mathrm{kJ/kg}}=5,005⋅10−4 kg/s{}= 5{,}005\cdot 10^{-4}\,\mathrm{kg/s}

  2. Passat a kg/h, multiplicant per 3 600 s/h3\,600\,\mathrm{s/h}:

    qbutaˋq_\text{butà}=5,005⋅10−4 kg/s⋅3 600 s/h{}= 5{,}005\cdot 10^{-4}\,\mathrm{kg/s}\cdot 3\,600\,\mathrm{s/h}=1,802 kg/h{}= 1{,}802\,\mathrm{kg/h}

Resultatqbutaˋ=1,802 kg/hq_\text{butà} = 1{,}802\,\mathrm{kg/h}.

La pauta oficial dona: qbutaˋq_\text{butà}=Pbutaˋ/pc_butaˋ{}= P_\text{butà}/p_\text{c\_butà}=1,802 kg/h{}= 1{,}802\,\mathrm{kg/h}.

c)1 punt

Plantejament Es demana el cost de fer funcionar cada escalfador 5 h5\,\mathrm{h}: per al de butà, el preu dels quilograms de gas que crema; per a l’elèctric, el preu dels kW h que consumeix.

  1. Butà consumit en t=5 ht = 5\,\mathrm{h}:

    mm=qbutaˋ t{}= q_\text{butà}\,t=1,802 kg/h⋅5 h{}= 1{,}802\,\mathrm{kg/h}\cdot 5\,\mathrm{h}=9,01 kg{}= 9{,}01\,\mathrm{kg}

  2. Això és una fracció d’una bombona de 12,5 kg12{,}5\,\mathrm{kg}, que costa 17,6617{,}66 €. Cost del butà, en euros:

    cebutaˋce_\text{butà}=mmbutaˋ cbutaˋ{}= \frac{m}{m_\text{butà}}\,c_\text{butà}=9,01 kg12,5 kg⋅17,66{}= \frac{9{,}01\,\mathrm{kg}}{12{,}5\,\mathrm{kg}}\cdot 17{,}66=12,73{}= 12{,}73

  3. Energia elèctrica consumida en 5 h5\,\mathrm{h}:

    EeleˋctrE_\text{elèctr}=Peleˋctr t{}= P_\text{elèctr}\,t=21,58 kW⋅5 h{}= 21{,}58\,\mathrm{kW}\cdot 5\,\mathrm{h}=107,9 kW h{}= 107{,}9\,\mathrm{kW\,h}

  4. Cost de l’electricitat, en euros, a 0,210{,}21 €/(kW h):

    ceeleˋctrce_\text{elèctr}=Eeleˋctr celeˋctr{}= E_\text{elèctr}\,c_\text{elèctr}=107,9⋅0,21{}= 107{,}9\cdot 0{,}21=22,66{}= 22{,}66

  5. Tot i que l’escalfador elèctric té més rendiment, funcionar amb butà surt més barat: 12,7312{,}73 € davant de 22,6622{,}66 €.

Resultatcebutaˋ=12,73ce_\text{butà} = 12{,}73 € i ceeleˋctr=22,66ce_\text{elèctr} = 22{,}66 €: l’escalfador de butà és més barat.

La pauta oficial dona: cebutaˋ=12,73ce_\text{butà} = 12{,}73 €; ceeleˋctr=22,66ce_\text{elèctr} = 22{,}66 €.

d)0,5 punts

Plantejament Es demana la massa de CO2\mathrm{CO_2} que s’emet en 5 h5\,\mathrm{h} amb cada escalfador: per al de butà, els quilograms de gas cremats pel seu coeficient d’emissions; per a l’elèctric, els kW h consumits pel factor d’emissió del mix elèctric.

  1. Escalfador de butà, amb els 9,01 kg9{,}01\,\mathrm{kg} de butà de l’apartat anterior:

    mCO2_butaˋm_{\mathrm{CO_2}\text{\_butà}}=m ebutaˋ{}= m\,e_\text{butà}=9,01 kg⋅2,960 kg CO2/kg{}= 9{,}01\,\mathrm{kg}\cdot 2{,}960\,\mathrm{kg\,CO_2/kg}=26,67 kg CO2{}= 26{,}67\,\mathrm{kg\,CO_2}

  2. Escalfador elèctric, amb els 107,9 kW h107{,}9\,\mathrm{kW\,h} consumits i 250 g=0,250 kg250\,\mathrm{g} = 0{,}250\,\mathrm{kg} de CO2\mathrm{CO_2} per kW h:

    mCO2_eleˋctrm_{\mathrm{CO_2}\text{\_elèctr}}=Eeleˋctr eeleˋctr{}= E_\text{elèctr}\,e_\text{elèctr}=107,9 kW h⋅0,250 kg CO2/(kW h){}= 107{,}9\,\mathrm{kW\,h}\cdot 0{,}250\,\mathrm{kg\,CO_2/(kW\,h)}=26,98 kg CO2{}= 26{,}98\,\mathrm{kg\,CO_2}

  3. Les dues petjades són pràcticament iguals: l’escalfador elèctric emet només uns 0,31 kg0{,}31\,\mathrm{kg} més de CO2\mathrm{CO_2} en les 5 h5\,\mathrm{h}.

ResultatmCO2_butaˋ=26,67 kgm_{\mathrm{CO_2}\text{\_butà}} = 26{,}67\,\mathrm{kg} i mCO2_eleˋctr=26,98 kgm_{\mathrm{CO_2}\text{\_elèctr}} = 26{,}98\,\mathrm{kg} de CO2\mathrm{CO_2}.

La pauta oficial dona: mCO2_butaˋ=26,67 kg CO2m_{\mathrm{CO_2}\text{\_butà}} = 26{,}67\,\mathrm{kg\,CO_2}; mCO2_eleˋctrm_{\mathrm{CO_2}\text{\_elèctr}}=26,98 kg CO2{}= 26{,}98\,\mathrm{kg\,CO_2}.

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Tecnologia industrial 2023, convocatòria extraordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 26 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2023Convocatòria extraordinària · Sèrie 2 · Exercici 4

2,5 puntsCoincideix amb la pautaTemes: Motors i màquines elèctriques
Enunciat oficial

Una cadira de rodes elèctrica experimental està sensoritzada per a estudiar-ne els consums elèctrics. Disposa d’una bateria d’ió liti de tensió U=36 VU = 36\,\mathrm{V} i energia Ebat=240 W hE_\mathrm{bat} = 240\,\mathrm{W\,h} que alimenta un motor reductor de rendiment η=0,72\eta = 0{,}72.

En les condicions d’estudi, la persona i la cadira tenen una massa conjunta m=130 kgm = 130\,\mathrm{kg} i avancen per una pujada on l’angle que forma el perfil del carrer amb l’horitzontal és α=8∘\alpha = 8^\circ. En l’estudi, la cadira puja a dues velocitats diferents, v1v_1 i v2v_2, i les potències consumides pel motor són P1=109,5 WP_1 = 109{,}5\,\mathrm{W} i P2=650,3 WP_2 = 650{,}3\,\mathrm{W}, respectivament. Determineu:

a) La capacitat de la bateria cc en A h.

[0,5 punts]

b) Les velocitats d’avanç v1v_1 i v2v_2.

[1 punt]

c) El temps màxim que la cadira podrà estar en funcionament en cada cas, t1t_1 i t2t_2, i la distància màxima recorreguda, smaˋxs_\text{màx}.

[1 punt]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)0,5 punts

Plantejament Es demana la capacitat de la bateria, la càrrega elèctrica que pot donar, en ampere hora. L’energia emmagatzemada és la capacitat per la tensió, Ebat=c UE_\mathrm{bat} = c\,U.

  1. Com que 1 W=1 V A1\,\mathrm{W} = 1\,\mathrm{V\,A}, dividir els W h per la tensió en volts dona A h:

    c=EbatU=240 W h36 V=6,667 A hc = \frac{E_\mathrm{bat}}{U} = \frac{240\,\mathrm{W\,h}}{36\,\mathrm{V}} = 6{,}667\,\mathrm{A\,h}

Resultatc=6,667 A hc = 6{,}667\,\mathrm{A\,h}.

La pauta oficial dona: c=Ebat/U=6,667 A hc = E_\mathrm{bat}/U = 6{,}667\,\mathrm{A\,h}.

b)1 punt

Plantejament Es demanen les dues velocitats de pujada. A velocitat constant, la potència mecànica que dona el motor reductor serveix per a vèncer la component del pes al llarg de la pujada; aquesta potència és la consumida pel rendiment. No es tenen en compte altres resistències a l’avanç, perquè l’enunciat no en dona cap dada.

  1. Potència mecànica a la sortida del motor reductor:

    Pmec=η PP_\text{mec} = \eta\,P

  2. A velocitat constant, la força que cal fer és la component del pes paral·lela a la pujada, m gsin⁡αm\,g\sin\alpha, i la potència és aquesta força per la velocitat:

    Pmec=m g vsin⁡α⇒v=η Pm gsin⁡αP_\text{mec} = m\,g\,v\sin\alpha \Rightarrow v = \frac{\eta\,P}{m\,g\sin\alpha}

  3. Denominador, comú a les dues velocitats (sin⁡8∘=0,13917\sin 8^\circ = 0{,}13917; l’enunciat no dona gg i prenem g=9,807 m/s2g = 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}; amb 9,81 m/s29{,}81\,\mathrm{m/s^2} les velocitats canvien a la quarta xifra, 0,44420{,}4442 i 2,638 m/s2{,}638\,\mathrm{m/s}):

    m gsin⁡αm\,g\sin\alpha=130 kg⋅9,807 m/s2⋅0,13917{}= 130\,\mathrm{kg}\cdot 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}\cdot 0{,}13917=177,43 N{}= 177{,}43\,\mathrm{N}

  4. Velocitat 1 (per passar a km/h es multiplica per 3,63{,}6):

    v1v_1=0,72⋅109,5 W177,43 N{}= \frac{0{,}72\cdot 109{,}5\,\mathrm{W}}{177{,}43\,\mathrm{N}}=0,4443 m/s{}= 0{,}4443\,\mathrm{m/s}=1,6 km/h{}= 1{,}6\,\mathrm{km/h}

  5. Velocitat 2:

    v2v_2=0,72⋅650,3 W177,43 N{}= \frac{0{,}72\cdot 650{,}3\,\mathrm{W}}{177{,}43\,\mathrm{N}}=2,639 m/s{}= 2{,}639\,\mathrm{m/s}=9,5 km/h{}= 9{,}5\,\mathrm{km/h}

Resultatv1=0,4443 m/sv_1 = 0{,}4443\,\mathrm{m/s} (1,6 km/h1{,}6\,\mathrm{km/h}) i v2=2,639 m/sv_2 = 2{,}639\,\mathrm{m/s} (9,5 km/h9{,}5\,\mathrm{km/h}).

La pauta oficial dona: v1v_1=ηP1/(m gsin⁡α){}= \eta P_1/(m\,g\sin\alpha)=0,4443 m/s{}= 0{,}4443\,\mathrm{m/s}=1,6 km/h{}= 1{,}6\,\mathrm{km/h}; v2=2,639 m/s=9,5 km/hv_2 = 2{,}639\,\mathrm{m/s} = 9{,}5\,\mathrm{km/h}.

c)1 punt

Plantejament Es demana quant de temps dura la bateria a cada velocitat i quina distància es recorre fins que s’esgota. Amb una potència constant, el temps és l’energia de la bateria dividida per la potència consumida, i la distància és la velocitat pel temps.

  1. Temps a la velocitat 1:

    t1t_1=EbatP1{}= \frac{E_\mathrm{bat}}{P_1}=240 W h109,5 W{}= \frac{240\,\mathrm{W\,h}}{109{,}5\,\mathrm{W}}=2,192 h{}= 2{,}192\,\mathrm{h}

  2. Temps a la velocitat 2 (uns 2222 minuts):

    t2t_2=EbatP2{}= \frac{E_\mathrm{bat}}{P_2}=240 W h650,3 W{}= \frac{240\,\mathrm{W\,h}}{650{,}3\,\mathrm{W}}=0,3691 h{}= 0{,}3691\,\mathrm{h}

  3. Distància a la velocitat 1, amb el temps en segons (t1t_1=240⋅3 600 J109,5 W{}= \frac{240\cdot 3\,600\,\mathrm{J}}{109{,}5\,\mathrm{W}}=7 890,4 s{}= 7\,890{,}4\,\mathrm{s}):

    s1s_1=v1 t1{}= v_1\,t_1=0,4443 m/s⋅7 890,4 s{}= 0{,}4443\,\mathrm{m/s}\cdot 7\,890{,}4\,\mathrm{s}=3 506 m{}= 3\,506\,\mathrm{m}

  4. Distància a la velocitat 2 (t2t_2=240⋅3 600 J650,3 W{}= \frac{240\cdot 3\,600\,\mathrm{J}}{650{,}3\,\mathrm{W}}=1 328,6 s{}= 1\,328{,}6\,\mathrm{s}):

    s2s_2=v2 t2{}= v_2\,t_2=2,639 m/s⋅1 328,6 s{}= 2{,}639\,\mathrm{m/s}\cdot 1\,328{,}6\,\mathrm{s}=3 506 m{}= 3\,506\,\mathrm{m}

  5. Les dues distàncies són iguals, i no és casualitat: multiplicant v=ηP/(m gsin⁡α)v = \eta P/(m\,g\sin\alpha) per t=Ebat/Pt = E_\mathrm{bat}/P, la potència se simplifica. Tota l’energia útil de la bateria es fa servir per pujar, i l’altura guanyada és la mateixa a qualsevol velocitat (amb g=9,81 m/s2g = 9{,}81\,\mathrm{m/s^2} sortirien 3 505 m3\,505\,\mathrm{m}):

    smaˋxs_\text{màx}=η Ebatm gsin⁡α{}= \frac{\eta\,E_\mathrm{bat}}{m\,g\sin\alpha}=0,72⋅240⋅3 600 J177,43 N{}= \frac{0{,}72\cdot 240\cdot 3\,600\,\mathrm{J}}{177{,}43\,\mathrm{N}}=3 506 m{}= 3\,506\,\mathrm{m}

Resultatt1=2,192 ht_1 = 2{,}192\,\mathrm{h}, t2=0,3691 ht_2 = 0{,}3691\,\mathrm{h} i smaˋx=3,506 kms_\text{màx} = 3{,}506\,\mathrm{km}, la mateixa en els dos casos.

La pauta oficial dona: t1=2,192 ht_1 = 2{,}192\,\mathrm{h}; t2=0,3691 ht_2 = 0{,}3691\,\mathrm{h}; smaˋxs_\text{màx}=v1t1{}= v_1 t_1=v2t2{}= v_2 t_2=3,506 km{}= 3{,}506\,\mathrm{km}.

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Tecnologia industrial 2023, convocatòria extraordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 26 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2023Convocatòria extraordinària · Sèrie 2 · Exercici 5

2,5 puntsCoincideix amb la pautaTemes: Estàtica i equilibri, Mecanismes i transmissions
Enunciat oficial

Una cistella de bàsquet de massa mc=45 kgm_\mathrm{c} = 45\,\mathrm{kg} és solidària a una barra homogènia OBC de longitud 2l=4 m2l = 4\,\mathrm{m} i massa mb=60 kgm_\mathrm{b} = 60\,\mathrm{kg}. El punt O està articulat al sostre. L’angle entre el sostre i la barra està comprès entre 15∘≤φ≤45∘15^\circ \le \varphi \le 45^\circ. Per a plegar i desplegar la cistella s’utilitza un mecanisme de tambor, de diàmetre d=250 mmd = 250\,\mathrm{mm}, en què un motor enrotlla al tambor un cable que hi té l’extrem fixat. El cable passa per una politja situada al sostre al punt P, de diàmetre negligible, i l’altre extrem està fixat al punt mitjà de la barra OBC (punt B). El centre d’inèrcia de la cistella es troba al punt C. En la posició desplegada, φ=45∘\varphi = 45^\circ, el taulell es troba al pla vertical i el cable BP és perpendicular a la barra OBC.

Barra OBC articulada al sostre al punt O, que baixa cap a la dreta formant un angle φ amb el sostre. B és el punt mitjà (OB = l i BC = l) i hi ha el centre de gravetat de la barra, de massa m_b; a l’extrem C hi ha el centre d’inèrcia de la cistella, de massa m_c, dibuixada amb línia discontínua. Un cable va de B a la politja P del sostre i continua horitzontal fins al tambor. Requadre de dades: m_b = 60 kg, m_c = 45 kg, l = 2 m, d = 250 mm. La gravetat g apunta cap avall.

a) Dibuixeu el diagrama de cos lliure de la barra OBC.

[0,5 punts]

b) Determineu:

La força TT a la qual està sotmès el cable.

[0,5 punts]

c) Les forces vertical FVF_\mathrm{V} i horitzontal FHF_\mathrm{H} a l’articulació O.

[1 punt]

d) El parell Γ\Gamma que hauria de fer el motor per a mantenir la cistella en aquesta configuració.

[0,5 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)0,5 punts

Plantejament Es demana el diagrama de cos lliure de la barra OBC en la posició desplegada (φ=45∘\varphi = 45^\circ): la barra aïllada amb totes les forces que hi actuen, cadascuna al seu punt d’aplicació.

  1. Pes de la barra, mb gm_\mathrm{b}\,g, vertical cap avall, aplicat al punt mitjà B, que és el seu centre de gravetat perquè la barra és homogènia.

  2. Pes de la cistella, mc gm_\mathrm{c}\,g, vertical cap avall, aplicat al punt C, on és el centre d’inèrcia de la cistella (la cistella és solidària a la barra).

  3. Tensió del cable, TT, aplicada a B en la direcció del cable BP: perpendicular a la barra i cap a la politja P, és a dir, cap amunt i cap a la dreta (un cable només pot estirar).

  4. Reacció de l’articulació O, que pot tenir qualsevol direcció: se’n dibuixen les dues components, FHF_\mathrm{H} horitzontal i FVF_\mathrm{V} vertical. Els càlculs de l’apartat c) donen FHF_\mathrm{H} cap a l’esquerra i FVF_\mathrm{V} cap amunt.

  5. Distàncies: OB=BC=l=2 m\mathrm{OB} = \mathrm{BC} = l = 2\,\mathrm{m}, i la barra forma un angle φ=45∘\varphi = 45^\circ amb el sostre, que és horitzontal.

ResultatForces sobre la barra OBC: FHF_\mathrm{H} (cap a l’esquerra) i FVF_\mathrm{V} (cap amunt) a O; TT perpendicular a la barra a B; els pesos mb gm_\mathrm{b}\,g a B i mc gm_\mathrm{c}\,g a C, verticals cap avall. Diagrama a la figura.

La pauta oficial dona: Diagrama de cos lliure de la barra: FHF_\mathrm{H} (cap a l’esquerra) i FVF_\mathrm{V} (cap amunt) a O, TT perpendicular a la barra a B, mb gm_\mathrm{b}\,g a B i mc gm_\mathrm{c}\,g a C.

Diagrama de cos lliure de la barra OBC, que baixa a φ = 45° per sota de l’horitzontal que passa per O. A O, la reacció de l’articulació en components: F_H cap a l’esquerra i F_V cap amunt. A B, punt mitjà, la tensió T perpendicular a la barra, cap amunt i cap a la dreta, i el pes de la barra m_b·g cap avall. A C, extrem de la barra, el pes de la cistella m_c·g cap avall. OB = BC = l.

b)0,5 punts

Plantejament Es demana la tensió del cable. Les dues components de la reacció d’O no se saben, així que es prenen moments respecte d’O: així no hi surten i queda una sola incògnita, TT.

  1. Equació de moments respecte d’O (sentit antihorari positiu). TT és perpendicular a la barra i s’aplica a la distància ll d’O, de manera que el seu braç és ll. Els pesos són verticals i els seus braços són les distàncies horitzontals d’O a B i a C, lcos⁡φl\cos\varphi i 2lcos⁡φ2l\cos\varphi:

    ∑MO\sum M_\mathrm{O}=0:T l−mb g lcos⁡φ{}= 0:\quad T\,l - m_\mathrm{b}\,g\,l\cos\varphi −mc g 2lcos⁡φ=0{}- m_\mathrm{c}\,g\,2l\cos\varphi=0

  2. Aïllant TT (la ll se simplifica):

    T=gcos⁡φ (mb+2 mc)T = g\cos\varphi\,(m_\mathrm{b} + 2\,m_\mathrm{c})

  3. Substituint amb φ=45∘\varphi = 45^\circ (l’enunciat no dona gg; prenem g=9,807 m/s2g = 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}; amb 9,81 m/s29{,}81\,\mathrm{m/s^2} tots els resultats d’aquest exercici canvien a la quarta xifra):

    TT=9,807 m/s2⋅cos⁡45∘⋅(60+2⋅45) kg{}= 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}\cdot\cos 45^\circ\cdot(60 + 2\cdot 45)\,\mathrm{kg}=1 040 N{}= 1\,040\,\mathrm{N}

ResultatT=1 040 NT = 1\,040\,\mathrm{N}.

La pauta oficial dona: ∑M(O)=0\sum M(\mathrm{O}) = 0: T l−mb g lcos⁡φ−mc g 2lcos⁡φ=0T\,l - m_\mathrm{b}\,g\,l\cos\varphi - m_\mathrm{c}\,g\,2l\cos\varphi = 0; amb φ=45∘\varphi = 45^\circ, T=1 040 NT = 1\,040\,\mathrm{N}.

c)1 punt

Plantejament Es demanen les dues components de la reacció a l’articulació O. S’apliquen les equacions d’equilibri de forces horitzontals i verticals, amb la tensió TT de l’apartat anterior.

  1. Direcció de TT: és perpendicular a la barra, que baixa a 45∘45^\circ, i per tant forma 45∘45^\circ amb l’horitzontal, cap amunt i cap a la dreta. Les seves dues components són iguals:

    Tsin⁡45∘T\sin 45^\circ=Tcos⁡45∘{}= T\cos 45^\circ=gcos⁡245∘ (mb+2 mc){}= g\cos^2 45^\circ\,(m_\mathrm{b} + 2\,m_\mathrm{c})=9,807⋅0,5⋅150 N{}= 9{,}807\cdot 0{,}5\cdot 150\,\mathrm{N}=735,5 N{}= 735{,}5\,\mathrm{N}

  2. Equilibri horitzontal, amb FHF_\mathrm{H} suposada cap a l’esquerra:

    ∑Fx\sum F_x=0:Tsin⁡45∘−FH=0{}= 0:\quad T\sin 45^\circ - F_\mathrm{H}=0⇒FH{}\Rightarrow F_\mathrm{H}=735,5 N{}= 735{,}5\,\mathrm{N}

  3. Equilibri vertical, amb FVF_\mathrm{V} suposada cap amunt:

    ∑Fy\sum F_y=0:FV+Tcos⁡45∘{}= 0:\quad F_\mathrm{V} + T\cos 45^\circ −mb g−mc g=0{}- m_\mathrm{b}\,g - m_\mathrm{c}\,g=0

  4. Aïllant FVF_\mathrm{V}:

    FVF_\mathrm{V}=(60+45) kg⋅9,807 m/s2{}= (60 + 45)\,\mathrm{kg}\cdot 9{,}807\,\mathrm{m/s^2} −735,5 N{}- 735{,}5\,\mathrm{N}=1 029,7 N−735,5 N{}= 1\,029{,}7\,\mathrm{N} - 735{,}5\,\mathrm{N}=294,2 N{}= 294{,}2\,\mathrm{N}

  5. Tots dos valors surten positius: els sentits suposats són els correctes. L’articulació empeny la barra cap a l’esquerra amb 735,5 N735{,}5\,\mathrm{N} i la sosté cap amunt amb 294,2 N294{,}2\,\mathrm{N}.

ResultatFH=735,5 NF_\mathrm{H} = 735{,}5\,\mathrm{N}, cap a l’esquerra, i FV=294,2 NF_\mathrm{V} = 294{,}2\,\mathrm{N}, cap amunt.

La pauta oficial dona: FH=T2/2=735,5 NF_\mathrm{H} = T\sqrt{2}/2 = 735{,}5\,\mathrm{N}; FVF_\mathrm{V}=g (mb+mc)−T2/2{}= g\,(m_\mathrm{b} + m_\mathrm{c}) - T\sqrt{2}/2=294,2 N{}= 294{,}2\,\mathrm{N}.

d)0,5 punts

Plantejament Es demana el parell que ha de fer el motor del tambor per a mantenir la cistella quieta. La politja P es considera ideal, de manera que la tensió del cable és la mateixa TT fins al tambor, i el cable s’enrotlla a una distància de l’eix igual al radi del tambor.

  1. Radi del tambor: r=d/2=125 mm=0,125 mr = d/2 = 125\,\mathrm{mm} = 0{,}125\,\mathrm{m}. El parell és la tensió pel radi:

    Γ\Gamma=T d2=1 040 N⋅0,125 m{}= T\,\frac{d}{2}=1\,040\,\mathrm{N}\cdot 0{,}125\,\mathrm{m}=130,0 N m{}= 130{,}0\,\mathrm{N\,m}

ResultatΓ=130,0 N m\Gamma = 130{,}0\,\mathrm{N\,m}.

La pauta oficial dona: Γ=T d/2=130,0 N m\Gamma = T\,d/2 = 130{,}0\,\mathrm{N\,m}.

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Tecnologia industrial 2023, convocatòria extraordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 26 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2023Convocatòria extraordinària · Sèrie 2 · Exercici 6

2,5 puntsLa pauta arrodoneix diferentTemes: Pneumàtica, hidràulica i fluids
Enunciat oficial

Cal seleccionar un cilindre hidràulic comercial d’efecte simple per a elevar contenidors. El cilindre s’ha de connectar a una bomba d’oli que subministra un cabal constant q=3 m3/hq = 3\,\mathrm{m^3/h} i una pressió màxima pmaˋx=20 MPap_\text{màx} = 20\,\mathrm{MPa}. Es demana que, en aquestes condicions, el cilindre sigui capaç de fer una força F=65 000 NF = 65\,000\,\mathrm{N} en la seva cursa d’avanç (extensió del cilindre). Un fabricant de cilindres hidràulics facilita 10 models amb els valors de diàmetre interior, dintd_\text{int}, i diàmetre de tija, dtijad_\text{tija}, següents:

ModelM1\mathrm{M_1}M2\mathrm{M_2}M3\mathrm{M_3}M4\mathrm{M_4}M5\mathrm{M_5}M6\mathrm{M_6}M7\mathrm{M_7}M8\mathrm{M_8}M9\mathrm{M_9}M10\mathrm{M_{10}}
dintd_\text{int} (mm)3240506070808090100120
dtijad_\text{tija} (mm)20253030404050505070

Determineu:

a) El model més petit que compleix les especificacions.

[0,5 punts]

b) Amb el cilindre escollit, i sabent que el sistema avança a velocitat constant, determineu:

La pressió p0p_0 que haurà de subministrar la bomba.

[0,5 punts]

c) La velocitat de la tija, vtijav_\text{tija}, i la potència que desenvolupa el cilindre, PcilP_\text{cil}.

[1 punt]

d) La tensió normal a compressió de la tija, σ\sigma.

[0,5 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)0,5 punts

Plantejament Es demana el cilindre més petit de la llista que pugui fer 65 000 N65\,000\,\mathrm{N} en l’avanç sense passar de la pressió màxima de la bomba. En un cilindre d’efecte simple, en l’avanç l’oli empeny tota la secció de l’èmbol, de diàmetre dintd_\text{int}.

  1. La força en l’avanç és la pressió per l’àrea de l’èmbol. Amb la pressió màxima, el diàmetre mínim és:

    FF=pmaˋx π dint24{}= p_\text{màx}\,\frac{\pi\,d_\text{int}^2}{4}⇒dint,mıˊn{}\Rightarrow d_\text{int,mín}=4Fπ pmaˋx{}= \sqrt{\frac{4F}{\pi\,p_\text{màx}}}

  2. Substituint, amb 20 MPa=20⋅106 Pa20\,\mathrm{MPa} = 20\cdot 10^{6}\,\mathrm{Pa}:

    dint,mıˊnd_\text{int,mín}=4⋅65 000 Nπ⋅20⋅106 Pa{}= \sqrt{\frac{4\cdot 65\,000\,\mathrm{N}}{\pi\cdot 20\cdot 10^{6}\,\mathrm{Pa}}}=0,06433 m{}= 0{,}06433\,\mathrm{m}=64,33 mm{}= 64{,}33\,\mathrm{mm}

  3. Els models de M1\mathrm{M_1} a M4\mathrm{M_4}, amb dint≤60 mmd_\text{int} \le 60\,\mathrm{mm}, no arriben a fer la força. El més petit amb dint≥64,33 mmd_\text{int} \ge 64{,}33\,\mathrm{mm} és el M5\mathrm{M_5}, de 70 mm70\,\mathrm{mm}.

ResultatModel M5\mathrm{M_5}: dint=70 mmd_\text{int} = 70\,\mathrm{mm} i dtija=40 mmd_\text{tija} = 40\,\mathrm{mm}.

La pauta oficial dona: dint,mıˊnd_\text{int,mín}=4F/(p π){}= \sqrt{4F/(p\,\pi)}=64,33 mm{}= 64{,}33\,\mathrm{mm}: cal escollir el model M5\mathrm{M_5}, amb dint=70 mmd_\text{int} = 70\,\mathrm{mm} i dtija=40 mmd_\text{tija} = 40\,\mathrm{mm}.

b)0,5 punts

Plantejament Es demana la pressió que ha de donar la bomba amb el model M5\mathrm{M_5}. A velocitat constant, la força del cilindre és igual a la càrrega, 65 000 N65\,000\,\mathrm{N}, i la pressió és aquesta força dividida per l’àrea de l’èmbol.

  1. Àrea de l’èmbol en l’avanç (dint=70 mm=0,07 md_\text{int} = 70\,\mathrm{mm} = 0{,}07\,\mathrm{m}):

    Aavanc¸A_\text{avanç}=π dint24{}= \frac{\pi\,d_\text{int}^2}{4}=π (0,07 m)24{}= \frac{\pi\,(0{,}07\,\mathrm{m})^2}{4}=3,8485⋅10−3 m2{}= 3{,}8485\cdot 10^{-3}\,\mathrm{m^2}

  2. Pressió necessària:

    p0p_0=FAavanc¸{}= \frac{F}{A_\text{avanç}}=65 000 N3,8485⋅10−3 m2{}= \frac{65\,000\,\mathrm{N}}{3{,}8485\cdot 10^{-3}\,\mathrm{m^2}}=16,89⋅106 Pa{}= 16{,}89\cdot 10^{6}\,\mathrm{Pa}=16,89 MPa{}= 16{,}89\,\mathrm{MPa}

  3. És menor que els 20 MPa20\,\mathrm{MPa} màxims de la bomba, com havia de ser en triar un cilindre més gran que el mínim.

Resultatp0=16,89 MPap_0 = 16{,}89\,\mathrm{MPa}.

La pauta oficial dona: p0=F/Aavanc¸=16,89 MPap_0 = F/A_\text{avanç} = 16{,}89\,\mathrm{MPa}.

c)1 punt

Plantejament Es demanen la velocitat d’avanç de la tija i la potència del cilindre. Tot el cabal de la bomba entra a la cambra de l’èmbol: la velocitat és el cabal dividit per l’àrea, i la potència és la força per la velocitat.

  1. Cabal en unitats del SI:

    qq=3 m3/h{}= 3\,\mathrm{m^3/h}=3 m33 600 s{}= \frac{3\,\mathrm{m^3}}{3\,600\,\mathrm{s}}=8,3333⋅10−4 m3/s{}= 8{,}3333\cdot 10^{-4}\,\mathrm{m^3/s}

  2. Velocitat de la tija:

    vtijav_\text{tija}=qAavanc¸{}= \frac{q}{A_\text{avanç}}=8,3333⋅10−4 m3/s3,8485⋅10−3 m2{}= \frac{8{,}3333\cdot 10^{-4}\,\mathrm{m^3/s}}{3{,}8485\cdot 10^{-3}\,\mathrm{m^2}}=0,2165 m/s{}= 0{,}2165\,\mathrm{m/s}=216,5 mm/s{}= 216{,}5\,\mathrm{mm/s}

  3. Potència que desenvolupa el cilindre:

    PcilP_\text{cil}=F vtija{}= F\,v_\text{tija}=65 000 N⋅0,2165 m/s{}= 65\,000\,\mathrm{N}\cdot 0{,}2165\,\mathrm{m/s}=14,07⋅103 W{}= 14{,}07\cdot 10^{3}\,\mathrm{W}=14,07 kW{}= 14{,}07\,\mathrm{kW}

  4. Comprovació: la potència hidràulica que entra al cilindre, pressió per cabal, dona el mateix:

    p0 qp_0\,q=16,89⋅106 Pa⋅8,3333⋅10−4 m3/s{}= 16{,}89\cdot 10^{6}\,\mathrm{Pa}\cdot 8{,}3333\cdot 10^{-4}\,\mathrm{m^3/s}=14,07 kW{}= 14{,}07\,\mathrm{kW}

  5. Si la velocitat s’arrodoneix a 0,216 m/s0{,}216\,\mathrm{m/s} abans de multiplicar, surt 14,04 kW14{,}04\,\mathrm{kW}; la diferència és només d’arrodoniment.

Resultatvtija=216,5 mm/sv_\text{tija} = 216{,}5\,\mathrm{mm/s} i Pcil=14,07 kWP_\text{cil} = 14{,}07\,\mathrm{kW}.

La pauta oficial dona: vtijav_\text{tija}=q/Aavanc¸{}= q/A_\text{avanç}=216,5 mm/s{}= 216{,}5\,\mathrm{mm/s}; Pcil=F vtija=14,04 kWP_\text{cil} = F\,v_\text{tija} = 14{,}04\,\mathrm{kW}.

d)0,5 punts

Plantejament Es demana la tensió normal a la tija mentre empeny la càrrega. La tija transmet la força FF i treballa a compressió; la tensió és la força dividida per la secció de la tija.

  1. Secció de la tija (dtija=40 mm=0,04 md_\text{tija} = 40\,\mathrm{mm} = 0{,}04\,\mathrm{m}):

    AtijaA_\text{tija}=π dtija24{}= \frac{\pi\,d_\text{tija}^2}{4}=π (0,04 m)24{}= \frac{\pi\,(0{,}04\,\mathrm{m})^2}{4}=1,2566⋅10−3 m2{}= 1{,}2566\cdot 10^{-3}\,\mathrm{m^2}

  2. Tensió normal de compressió:

    σ\sigma=FAtija{}= \frac{F}{A_\text{tija}}=65 000 N1,2566⋅10−3 m2{}= \frac{65\,000\,\mathrm{N}}{1{,}2566\cdot 10^{-3}\,\mathrm{m^2}}=51,73⋅106 Pa{}= 51{,}73\cdot 10^{6}\,\mathrm{Pa}=51,73 MPa{}= 51{,}73\,\mathrm{MPa}

Resultatσ=51,73 MPa\sigma = 51{,}73\,\mathrm{MPa}, de compressió.

La pauta oficial dona: σ\sigma=4F/(π dtija2){}= 4F/(\pi\,d_\text{tija}^2)=51,73 MPa{}= 51{,}73\,\mathrm{MPa}.

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Tecnologia industrial 2023, convocatòria extraordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 26 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

Els altres exàmens de Tecnologia, resolts

Practica cada tema

Cada tema d’aquest examen té la seva pàgina amb tots els exercicis de la PAU de Tecnologia de 2022 a 2026.

Energia, consum i emissionsPneumàtica, hidràulica i fluidsElectrònica digitalMotors i màquines elèctriquesEstàtica i equilibriMecanismes i transmissionsCircuits elèctricsMàquines tèrmiquesTots els temes de Tecnologia

Preguntes freqüents

Com era l’examen extraordinari de Tecnologia del 2023?

Responeu a QUATRE dels sis exercicis següents. Cada exercici val 2,5 punts. En el cas que respongueu a més exercicis, només es valoraran els quatre primers. Per temes, els punts dels exercicis proposats eren: energia, consum i emissions (3,5 punts), pneumàtica, hidràulica i fluids (3 punts), electrònica digital (2,5 punts), motors i màquines elèctriques (2,5 punts), estàtica i equilibri (2 punts), mecanismes i transmissions (0,5 punts), circuits elèctrics (0,5 punts) i màquines tèrmiques (0,5 punts).

Les solucions són les oficials?

No: les escriu EducaIA, pas a pas, i cada apartat està contrastat amb la pauta oficial de correcció. En 1 dels 6 exercicis la nostra resposta no coincideix del tot amb la pauta (per arrodoniment): ho expliquem al costat de la solució.

On són l’examen oficial i la pauta?

Als enllaços de dalt de tot: el PDF de l’examen en català i en castellà i el de la pauta de correcció, al web de la Generalitat. El botó d’imprimir prepara l’examen amb espai per respondre i les solucions a part.

Solucions escrites per EducaIA i contrastades una a una amb la pauta oficial de correcció.

Com fem i comprovem els exercicis

Tens la PAU de Tecnologia aquest curs?

Puja els teus apunts de Tecnologia i EducaIA et prepara el pla dia a dia fins a la PAU, amb resums, flashcards i tests dels teus propis temes.

Prepara la PAU de Tecnologia a EducaIA

Tots els exàmens de CatalunyaCentre PAU de CatalunyaCalculadora de nota PAU

Enunciat oficial

Toca la imatge per apropar-la o allunyar-la.