Tecnologia, PAU 2022 de Catalunya: l’examen de juny (sèrie 2) resolt

Plantejament Taula de veritat d’un sistema combinacional: $ab$ és la planta on és l’ascensor i $cd$ la planta que demana l’usuari, totes dues en binari ($a$ i $c$ són els bits de més pes). L’ascensor ha de pujar ($z = 1$) quan la planta demanada és més alta que l’actual; si és la mateixa o més baixa, $z = 0$.

1. Cada fila és una combinació de les quatre entrades; al costat de les entrades escrivim en decimal la planta actual ($2a + b$) i la de destinació ($2c + d$), i la sortida:

   $a$	$b$	$c$	$d$	Planta actual	Planta destí	$z$
   0	0	0	0	0	0	0
   0	0	0	1	0	1	1
   0	0	1	0	0	2	1
   0	0	1	1	0	3	1
   0	1	0	0	1	0	0
   0	1	0	1	1	1	0
   0	1	1	0	1	2	1
   0	1	1	1	1	3	1
   1	0	0	0	2	0	0
   1	0	0	1	2	1	0
   1	0	1	0	2	2	0
   1	0	1	1	2	3	1
   1	1	0	0	3	0	0
   1	1	0	1	3	1	0
   1	1	1	0	3	2	0
   1	1	1	1	3	3	0

2. Hi ha sis combinacions amb $z = 1$: des de la planta 0 cap a les plantes 1, 2 i 3; des de la planta 1 cap a les plantes 2 i 3; i des de la planta 2 cap a la planta 3. Des de la planta 3 l’ascensor no pot pujar mai.

Plantejament Funció lògica del sistema: suma de productes amb les files en què $z = 1$ (forma canònica) i simplificació amb un mapa de Karnaugh de quatre variables.

1. Les files amb $z = 1$ són les 1, 2, 3, 6, 7 i 11 (el número de fila és $abcd$ llegit en binari). Forma canònica, amb un producte per fila i la variable negada on val 0:

   $z$${}= \overline{a}\,\overline{b}\,\overline{c}\,d$${}+ \overline{a}\,\overline{b}\,c\,\overline{d} + \overline{a}\,\overline{b}\,c\,d$${}+ \overline{a}\,b\,c\,\overline{d} + \overline{a}\,b\,c\,d$${}+ a\,\overline{b}\,c\,d$

2. Mapa de Karnaugh ($ab$ a les files i $cd$ a les columnes, totes dues en codi Gray: 00, 01, 11, 10):

   $ab \backslash cd$	00	01	11	10
   00	0	1	1	1
   01	0	0	1	1
   11	0	0	0	0
   10	0	0	1	0

3. Grup de quatre: les files $ab = 00$ i $ab = 01$ amb les columnes $cd = 11$ i $cd = 10$ (files 3, 2, 7 i 6 de la taula). Dins del grup es mantenen $a = 0$ i $c = 1$:

   $\overline{a}\,c$

4. La fila 1 (0001) només té un veí a 1 al mapa, la fila 3 (0011): grup de dos amb $a = 0$, $b = 0$ i $d = 1$:

   $\overline{a}\,\overline{b}\,d$

5. La fila 11 (1011) també només té un veí a 1, la fila 3 (0011), que és a la mateixa columna, fent la volta del mapa: grup de dos amb $b = 0$, $c = 1$ i $d = 1$:

   $\overline{b}\,c\,d$

6. Els tres grups cobreixen els sis uns i cap no es pot fer més gran. La funció simplificada és la suma dels tres termes:

   $z = \overline{a}\,c + \overline{a}\,\overline{b}\,d + \overline{b}\,c\,d$

7. Comprovació amb la taula: per a $ab = 11$ (planta 3) els tres termes valen 0; per a 1011 (de la planta 2 a la 3) només val 1 el terme $\overline{b}\,c\,d$; i per a 0001 (de la planta 0 a la 1) només val 1 el terme $\overline{a}\,\overline{b}\,d$.

Plantejament Circuit amb portes lògiques de la funció simplificada: una suma (porta OR) de tres productes (portes AND) en què apareixen $\overline{a}$ i $\overline{b}$, que donen dues portes NOT.

1. Dues portes NOT donen $\overline{a}$ i $\overline{b}$ a partir de les entrades $a$ i $b$.

2. Tres portes AND fan els productes: una de dues entrades per a $\overline{a}\,c$, i dues de tres entrades per a $\overline{a}\,\overline{b}\,d$ i $\overline{b}\,c\,d$.

3. Una porta OR de tres entrades suma les sortides de les tres AND i dona $z$. Si es posa una porta NOT per a cada entrada negada de cada AND, el circuit és equivalent.

4. A la figura, amb els símbols normalitzats: el rectangle amb «1» i un cercle a la sortida és la porta NOT, el de «&» la porta AND i el de «≥1» la porta OR. Un punt negre indica una connexió; on dues línies es creuen sense punt no estan connectades.

ResultatDues portes NOT ($\overline{a}$, $\overline{b}$), tres AND ($\overline{a}\,c$, $\overline{a}\,\overline{b}\,d$, $\overline{b}\,c\,d$) i una OR de tres entrades que dona $z$ (figura).

La pauta oficial dona: Circuit amb quatre portes NOT (una per a cada entrada negada), tres AND ($\overline{a}\,\overline{b}\,d$, $\overline{b}\,c\,d$ i $\overline{a}\,c$) i una OR de tres entrades.

Plantejament Energia elèctrica que consumeix la rentadora en un cicle: cada fase consumeix la seva potència mitjana durant el temps que dura, i l’energia del cicle és la suma de les dues.

1. Temps de cada fase: la rentada dura $t_1 = 30\,\mathrm{min} = 0{,}5\,\mathrm{h}$, i l’esbandida i la centrifugació ocupen la resta del programa:

   $t_2 = t - t_1 = 1{,}5\,\mathrm{h} - 0{,}5\,\mathrm{h} = 1\,\mathrm{h}$

2. Energia del cicle:

   $E_{\text{cons}}$${}= P_1\,t_1 + P_2\,t_2$${}= 2\,000\,\mathrm{W}\cdot 0{,}5\,\mathrm{h}$${}+ 250\,\mathrm{W}\cdot 1\,\mathrm{h}$${}= 1\,250\,\mathrm{W\,h}$

3. En altres unitats, amb $1\,\mathrm{W\,h} = 3\,600\,\mathrm{J}$:

   $E_{\text{cons}}$${}= 1{,}25\,\mathrm{kW\,h}$${}= 1\,250\cdot 3\,600\,\mathrm{J}$${}= 4\,500\,\mathrm{kJ}$

4. La tensió de $230\,\mathrm{V}$ no fa falta per a aquest càlcul.

Plantejament Percentatge de l’energia del cicle que es consumeix en la fase de rentada, la que escalfa l’aigua.

1. Energia de la fase de rentada:

   $E_1$${}= P_1\,t_1$${}= 2\,000\,\mathrm{W}\cdot 0{,}5\,\mathrm{h}$${}= 1\,000\,\mathrm{W\,h}$

2. Percentatge sobre l’energia del cicle:

   $c_{\text{r}}$${}= \frac{E_1}{E_{\text{cons}}}\cdot 100$${}= \frac{1\,000\,\mathrm{W\,h}}{1\,250\,\mathrm{W\,h}}\cdot 100$${}= 80\,\%$

Plantejament Cost d’un cicle segons la franja horària: energia del cicle per preu del kW · h de la franja, suposant que tot el cicle cau dins de la mateixa franja.

1. En hores punta:

   $c_{\text{punta}}$${}= E_{\text{cons}}\,p_{\text{punta}}$${}= 1{,}25\,\mathrm{kW\,h}\cdot 0{,}342\,930\,\text{€}/(\mathrm{kW\,h})$${}= 0{,}4287\,\text{€}$

2. En hores vall:

   $c_{\text{vall}}$${}= E_{\text{cons}}\,p_{\text{vall}}$${}= 1{,}25\,\mathrm{kW\,h}\cdot 0{,}216\,951\,\text{€}/(\mathrm{kW\,h})$${}= 0{,}2712\,\text{€}$

Plantejament Estalvi en un any: diferència de cost entre posar la rentadora en hores punta i en hores vall, multiplicada pels cicles que es fan en un any.

1. Cicles en un any, a $n = 10$ cicles al mes:

   $N = 12\,n = 12\cdot 10 = 120$

2. Estalvi per cicle:

   $c_{\text{punta}} - c_{\text{vall}}$${}= 0{,}4287\,\text{€} - 0{,}2712\,\text{€}$${}= 0{,}1575\,\text{€}$

3. Estalvi anual:

   $e_{\text{a}}$${}= 12\,n\,(c_{\text{punta}} - c_{\text{vall}})$${}= 120\cdot 0{,}1575\,\text{€}$${}= 18{,}90\,\text{€}$

Plantejament Moviment circular uniformement decelerat: el parell de fricció és constant, així que la velocitat angular del volant baixa de manera uniforme des de $\omega_0$ fins a zero en $t = 1\,\mathrm{min} = 60\,\mathrm{s}$.

1. Velocitat angular inicial en unitats del SI (una volta són $2\pi\,\mathrm{rad}$ i un minut, $60\,\mathrm{s}$):

   $\omega_0$${}= n_0\,\frac{2\pi}{60}$${}= 5\,000\cdot\frac{2\pi}{60}$${}= 523{,}6\,\mathrm{rad/s}$

2. Acceleració angular, amb velocitat final $\omega_{\text{f}} = 0$:

   $\alpha$${}= \frac{\omega_{\text{f}} - \omega_0}{t}$${}= \frac{0 - 523{,}6\,\mathrm{rad/s}}{60\,\mathrm{s}}$${}= -8{,}727\,\mathrm{rad/s^2}$

3. El signe negatiu indica que el volant frena.

Plantejament Angle que gira el volant fins a aturar-se, en un moviment uniformement decelerat, i nombre de voltes que hi correspon.

1. Angle girat en els $60\,\mathrm{s}$ de frenada:

   $\theta$${}= \omega_0\,t + \tfrac{1}{2}\,\alpha\,t^2$${}= 523{,}6\cdot 60$${}- \tfrac{1}{2}\cdot 8{,}727\cdot 60^2$${}= 1{,}571\cdot 10^{4}\,\mathrm{rad}$

2. Cada volta són $2\pi$ radiants:

   $n$${}= \frac{\theta}{2\pi}=\frac{1{,}571\cdot 10^{4}\,\mathrm{rad}}{2\pi\,\mathrm{rad}}$${}= 2\,500\ \text{voltes}$

3. Comprovació: com que la velocitat baixa uniformement, la velocitat mitjana és la meitat de la inicial, $2\,500\,\mathrm{min^{-1}}$, i en $1\,\mathrm{min}$ el volant fa $2\,500$ voltes.

Plantejament Energia mecànica dissipada per la fricció: tota l’energia cinètica de rotació que tenia el volant es perd fins que s’atura.

1. Energia cinètica de rotació inicial (la final és zero, perquè el volant s’atura):

   $E_{\text{diss}}$${}= \tfrac{1}{2}\,I\,\omega_0^2$${}= \tfrac{1}{2}\cdot 0{,}9\,\mathrm{kg\cdot m^2}\cdot (523{,}6\,\mathrm{rad/s})^2$${}= 1{,}234\cdot 10^{5}\,\mathrm{J}$

2. Comprovació pel treball del parell de fricció: $\Gamma_{\text{f}}$${}= I\,|\alpha|$${}= 0{,}9\cdot 8{,}727$${}= 7{,}854\,\mathrm{N\,m}$, i el seu treball al llarg de l’angle girat és $\Gamma_{\text{f}}\,\theta$${}= 7{,}854\cdot 1{,}571\cdot 10^{4}$${}= 1{,}234\cdot 10^{5}\,\mathrm{J}$, el mateix valor.

Plantejament Diagrama de cos lliure de la barra OA: s’hi dibuixen totes les forces exteriors que actuen sobre la barra, cadascuna al seu punt d’aplicació i amb la seva direcció.

1. Pes $m\,g$, vertical i cap avall, aplicat al centre de la barra G (la barra és homogènia), a una distància $L$ d’O i d’A.

2. Força del cable $T$, aplicada a A en la direcció del cable: cap amunt i cap a la dreta, formant $\alpha = 30^\circ$ amb l’horitzontal. Un cable només pot estirar.

3. Reacció de l’articulació O, desconeguda, descomposta en una component horitzontal $F_{\text{H}}$ i una de vertical $F_{\text{V}}$. Es dibuixen en el sentit que se suposa; els càlculs de l’apartat c confirmen que $F_{\text{H}}$ va cap a l’esquerra i $F_{\text{V}}$ cap amunt.

4. La barra forma $\varphi = 30^\circ$ amb l’horitzontal. Com que el cable forma $30^\circ$ amb l’horitzontal pel costat contrari de la barra, l’angle entre el cable i la barra a A és de $60^\circ$. La figura mostra el diagrama.

ResultatTres forces sobre la barra: el pes $m\,g$ al centre G (cap avall), la tensió $T$ a A (en la direcció del cable, a $30^\circ$ per sobre de l’horitzontal) i la reacció a O, amb components $F_{\text{H}}$ i $F_{\text{V}}$ (figura).

La pauta oficial dona: Diagrama amb $T$ a A, $m\,g$ al centre de la barra i les reaccions $F_{\text{H}}$ (cap a l’esquerra) i $F_{\text{V}}$ (cap amunt) a O.

Plantejament Força del cable a partir de l’equilibri de moments de la barra respecte de l’articulació O: així les reaccions $F_{\text{H}}$ i $F_{\text{V}}$ no hi intervenen i l’única incògnita és $T$.

1. Braç del pes respecte d’O: la distància horitzontal entre O i el centre G, $L\cos\varphi$.

2. Braç de la tensió respecte d’O: la distància d’O a la recta del cable. El cable forma $60^\circ$ amb la barra i A és a $2L$ d’O, així que el braç és $2L\sin 60^\circ$.

3. Equació de moments respecte d’O (el pes tendeix a fer girar la barra cap a un costat i el cable cap a l’altre):

   $\sum M_{\text{O}}$${}= 0:\quad T\cdot 2L\sin 60^\circ$${}- m\,g\,L\cos 30^\circ=0$

4. Com que $\sin 60^\circ = \cos 30^\circ$, queda $T = m\,g/2$. L’enunciat no dona $g$; amb $g = 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}$:

   $T$${}= \frac{m\,g}{2}=\frac{50\,\mathrm{kg}\cdot 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}}{2}$${}= 245{,}2\,\mathrm{N}$

Plantejament Reaccions a l’articulació O a partir de l’equilibri de forces de la barra en horitzontal i en vertical, amb la $T$ de l’apartat anterior. Prenem positiu cap a la dreta i cap amunt.

1. Components de la tensió:

   $T\cos 30^\circ$${}= 245{,}2\cdot 0{,}8660$${}= 212{,}3\,\mathrm{N}$$T\sin 30^\circ = 245{,}2\cdot 0{,}5 = 122{,}6\,\mathrm{N}$

2. Forces horitzontals: només hi ha la component horitzontal del cable, cap a la dreta, i $F_{\text{H}}$, que per tant ha d’anar cap a l’esquerra:

   $\sum F_x$${}= 0:\quad T\cos 30^\circ - F_{\text{H}}=0$${}\Rightarrow F_{\text{H}}$${}= 212{,}3\,\mathrm{N}$

3. Forces verticals, amb el pes $m\,g = 50\cdot 9{,}807 = 490{,}4\,\mathrm{N}$:

   $\sum F_y$${}= 0:\quad T\sin 30^\circ + F_{\text{V}}$${}- m\,g=0$${}\Rightarrow F_{\text{V}}$${}= 490{,}4 - 122{,}6$${}= 367{,}8\,\mathrm{N}$

4. Com que $T = m\,g/2$, també es pot escriure $F_{\text{H}} = \tfrac{\sqrt{3}}{4}\,m\,g$ i $F_{\text{V}} = \tfrac{3}{4}\,m\,g$.

Plantejament Parell del motor: el cable passa per la politja fixa, que suposem sense fricció, i s’enrotlla al tambor, de manera que l’estira amb la mateixa força $T$ a una distància igual al radi del tambor.

1. Radi del tambor: $d/2$${}= 450\,\mathrm{mm}/2$${}= 225\,\mathrm{mm}$${}= 0{,}225\,\mathrm{m}$.

2. Parell, amb $T = m\,g/2$ sense arrodonir:

   $\Gamma$${}= T\,\frac{d}{2}=\frac{m\,g\,d}{4}$${}= \frac{50\cdot 9{,}807\cdot 0{,}45}{4}$${}= 55{,}16\,\mathrm{N\,m}$

Plantejament Esquema d’un circuit mixt: una branca amb tres resistències en sèrie i una altra amb una sola resistència, totes dues connectades als mateixos dos nusos que la font de tensió alterna.

1. Branca 1: $R_1$, $R_2$ i $R_3$ una darrere l’altra, de manera que les travessa la mateixa intensitat.

2. Branca 2: $R_4$ sola, connectada entre els mateixos dos nusos que els extrems de la branca 1.

3. La font sinusoidal $U$ es connecta entre els extrems de $R_4$, que són també els extrems de la branca 1: la font i les dues branques queden en paral·lel. A la figura, el cercle amb una ona és la font de tensió alterna i els punts negres, els dos nusos.

ResultatFont $U$ en paral·lel amb dues branques: $R_1$, $R_2$ i $R_3$ en sèrie, i $R_4$ sola (figura).

La pauta oficial dona: Esquema amb $R_1$, $R_2$ i $R_3$ en sèrie, $R_4$ en paral·lel i la font sinusoidal connectada en paral·lel amb les dues branques.

Plantejament Resistència equivalent d’una associació mixta: primer s’associen les resistències en sèrie i després el resultat en paral·lel amb $R_4$.

1. Les tres resistències en sèrie se sumen:

   $R_{123}$${}= R_1 + R_2 + R_3$${}= 20\,\Omega + 20\,\Omega + 20\,\Omega$${}= 60\,\Omega$

2. En paral·lel amb $R_4$:

   $R_{\text{eq}}$${}= \frac{R_{123}\,R_4}{R_{123} + R_4}$${}= \frac{60\cdot 100}{60 + 100}\,\Omega$${}= 37{,}5\,\Omega$

3. Com en tota associació en paral·lel, la resistència equivalent és més petita que la de cadascuna de les dues branques.

Plantejament Intensitat i potència del circuit sencer amb la llei d’Ohm. Tot són resistències, de manera que la intensitat va en fase amb la tensió i, amb valors eficaços, es calcula igual que en corrent continu.

1. Intensitat total que dona la font:

   $I$${}= \frac{U}{R_{\text{eq}}}$${}= \frac{230\,\mathrm{V}}{37{,}5\,\Omega}$${}= 6{,}133\,\mathrm{A}$

2. Potència consumida:

   $P$${}= U\,I=\frac{U^2}{R_{\text{eq}}}$${}= \frac{(230\,\mathrm{V})^2}{37{,}5\,\Omega}$${}= 1\,411\,\mathrm{W}$${}= 1{,}411\,\mathrm{kW}$

3. Comprovació per branques: per $R_4$ passen $230/100 = 2{,}3\,\mathrm{A}$ i per la branca en sèrie $230/60 = 3{,}833\,\mathrm{A}$; la suma és $6{,}133\,\mathrm{A}$.