Tecnologia, PAU 2024 de Catalunya: l’examen de juny (sèrie 1) resolt

Plantejament Es demana la taula de veritat de l’accés $a$ en funció de l’horari $h$ i dels tres sistemes de control $c$, $t$ i $e$. Amb quatre variables d’entrada hi ha $2^4=16$ combinacions. La regla de l’enunciat: en horari laboral ($h=1$) n’hi ha prou amb un sistema vàlid; fora de l’horari laboral ($h=0$) en calen almenys dos.

1. Fora de l’horari laboral ($h=0$, les vuit primeres files), $a=1$ només quan almenys dos de $c$, $t$ i $e$ valen $1$: files 3, 5, 6 i 7.

2. En horari laboral ($h=1$, les vuit últimes files), $a=1$ sempre que algun dels tres sistemes valgui $1$; només es denega l’accés a la fila 8, amb els tres sistemes sense validar.

3. Taula de veritat (la fila és el nombre binari $hcte$, amb $h$ com a bit de més pes):

   Fila	$h$	$c$	$t$	$e$	$a$
   0	0	0	0	0	0
   1	0	0	0	1	0
   2	0	0	1	0	0
   3	0	0	1	1	1
   4	0	1	0	0	0
   5	0	1	0	1	1
   6	0	1	1	0	1
   7	0	1	1	1	1
   8	1	0	0	0	0
   9	1	0	0	1	1
   10	1	0	1	0	1
   11	1	0	1	1	1
   12	1	1	0	0	1
   13	1	1	0	1	1
   14	1	1	1	0	1
   15	1	1	1	1	1

Plantejament Es demana la funció lògica de $a$ i, si es pot, simplificar-la. A partir de la taula s’escriu la funció canònica i després se simplifica amb un mapa de Karnaugh.

1. Files amb $a=1$: 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14 i 15. La primera forma canònica (suma de productes) té un terme per cada una, amb la variable negada on val $0$, $a$${}= \sum m(3,5,6,7,9,10,11,12,13,14,15)$:

   $a$${}= \overline{h}\,\overline{c}\,t\,e+\overline{h}\,c\,\overline{t}\,e$${}+\overline{h}\,c\,t\,\overline{e}+\overline{h}\,c\,t\,e$${}+h\,\overline{c}\,\overline{t}\,e+h\,\overline{c}\,t\,\overline{e}$${}+h\,\overline{c}\,t\,e+h\,c\,\overline{t}\,\overline{e}$${}+h\,c\,\overline{t}\,e+h\,c\,t\,\overline{e}$${}+h\,c\,t\,e$

2. Com que només hi ha cinc zeros (files 0, 1, 2, 4 i 8), és més curta la segona forma canònica (producte de sumes), amb un factor per cada zero i la variable negada on val $1$:

   $a$${}= (h+c+t+e)(h+c+t+\overline{e})(h+c+\overline{t}+e)(h+\overline{c}+t+e)(\overline{h}+c+t+e)$

3. Mapa de Karnaugh ($hc$ a les files i $te$ a les columnes, totes dues en codi Gray):

   $hc \backslash te$	00	01	11	10
   00	0	0	1	0
   01	0	1	1	1
   11	1	1	1	1
   10	0	1	1	1

4. Grups de quatre uns, els més grans possibles: la columna $te=11$ sencera (files 3, 7, 15 i 11) dona $t\,e$; les files $hc=01$ i $11$ amb les columnes $te=01$ i $11$ (5, 7, 13 i 15) donen $c\,e$; les files $hc=01$ i $11$ amb les columnes $te=11$ i $10$ (7, 6, 15 i 14) donen $c\,t$.

5. Les files $hc=11$ i $10$ amb les columnes $te=01$ i $11$ (13, 15, 9 i 11) donen $h\,e$; les files $hc=11$ i $10$ amb les columnes $te=11$ i $10$ (15, 14, 11 i 10) donen $h\,t$; i la fila $hc=11$ sencera (12, 13, 15 i 14) dona $h\,c$.

6. Calen els sis grups: cadascun és l’únic que cobreix una de les files 3, 5, 6, 9, 10 i 12. La funció simplificada és la suma dels sis productes:

   $a=t\,e+c\,e+c\,t+h\,e+h\,t+h\,c$

7. Es llegeix així: s’hi pot entrar amb dos sistemes vàlids qualssevol ($c\,t$, $c\,e$ o $t\,e$) o, en horari laboral, amb un de sol ($h\,c$, $h\,t$ o $h\,e$). Traient factor comú es pot escriure més curta, i és la mateixa funció:

   $a=c\,(e+h+t)+e\,(h+t)+h\,t$

Plantejament Es demana el circuit de portes lògiques de la funció simplificada $a=t\,e+c\,e+c\,t+h\,e+h\,t+h\,c$: una suma (OR) de sis productes (AND) de dues variables, sense cap variable negada.

1. Sis portes AND de dues entrades fan els productes:

   $t\,e$$c\,e$$c\,t$$h\,e$$h\,t$$h\,c$

2. Una porta OR de sis entrades els suma i dona la sortida $a$. No cal cap inversor. A la figura, cada porta AND és un rectangle amb «&» i la porta OR, un rectangle amb «≥1» (símbols IEC); els punts negres marquen les connexions.

3. Amb la forma factoritzada $a=c\,(e+h+t)+e\,(h+t)+h\,t$ també es pot fer: una OR de tres entrades ($e+h+t$) i una AND amb $c$, una OR de dues entrades ($h+t$) i una AND amb $e$, una AND per a $h\,t$ i una OR final de tres entrades. Té la mateixa taula de veritat.

ResultatSis portes AND de dues entrades ($t\,e$, $c\,e$, $c\,t$, $h\,e$, $h\,t$ i $h\,c$) connectades a una porta OR de sis entrades, que dona $a$ (esquema a la figura).

La pauta oficial dona: Sis portes AND de dues entrades i una porta OR de sis entrades que dona $a$.

Plantejament Es demana la potència elèctrica que el motor treu de la bateria durant la pujada. A velocitat constant i sense altres pèrdues, la potència mecànica és la que cal per vèncer la component del pes paral·lela a la pujada; la potència elèctrica és aquesta potència dividida pel rendiment del motor.

1. Velocitat en unitats del SI:

   $v=\dfrac{8\,\mathrm{km/h}}{3{,}6}=2{,}222\,\mathrm{m/s}$

2. Component del pes paral·lela al pendent, que és la força que ha de fer el motor a velocitat constant (prenem $g=9{,}807\,\mathrm{m/s^2}$):

   $F$${}= m\,g\,\sin\alpha$${}= 70\,\mathrm{kg}\cdot 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}\cdot\sin 7^\circ$${}= 83{,}66\,\mathrm{N}$

3. Potència mecànica a la roda:

   $P_\text{mec}$${}= F\,v=m\,g\,v\,\sin\alpha$${}= 83{,}66\,\mathrm{N}\cdot 2{,}222\,\mathrm{m/s}$${}= 185{,}9\,\mathrm{W}$

4. Potència elèctrica consumida:

   $P_\text{elèc}$${}= \dfrac{P_\text{mec}}{\eta_\text{mot}}$${}= \dfrac{185{,}9\,\mathrm{W}}{0{,}85}$${}= 218{,}7\,\mathrm{W}$

5. Amb $g=9{,}81\,\mathrm{m/s^2}$ surt $218{,}8\,\mathrm{W}$: la diferència només és a la quarta xifra.

Plantejament Es demana la velocitat angular de l’eix del motor i el parell que fa. Com que la roda està connectada directament a l’eix, giren junts: la velocitat del patinet és la velocitat de la perifèria de la roda, i el parell és la potència mecànica dividida per la velocitat angular.

1. Radi de la roda: $r=d_\text{roda}/2=70\,\mathrm{mm}=0{,}070\,\mathrm{m}$. Velocitat angular de l’eix, que és la de la roda:

   $\omega_\text{mot}$${}= \dfrac{v}{d_\text{roda}/2}$${}= \dfrac{2{,}222\,\mathrm{m/s}}{0{,}070\,\mathrm{m}}$${}= 31{,}75\,\mathrm{rad/s}$

2. En voltes per minut:

   $n$${}= 31{,}75\,\mathrm{rad/s}\cdot\dfrac{60\,\mathrm{s/min}}{2\pi\,\mathrm{rad}}$${}= 303{,}2\,\mathrm{min}^{-1}$

3. Parell del motor: com que $P_\text{mec}=\Gamma\,\omega_\text{mot}$ i $v=\omega_\text{mot}\,r$, el parell és la força de l’apartat a) pel radi de la roda:

   $\Gamma$${}= \dfrac{P_\text{mec}}{\omega_\text{mot}}$${}= F\,\dfrac{d_\text{roda}}{2}$${}= 83{,}66\,\mathrm{N}\cdot 0{,}070\,\mathrm{m}$${}= 5{,}856\,\mathrm{N\,m}$

Plantejament Es demana quin percentatge de l’energia de la bateria es gasta en el trajecte. L’energia consumida és la potència elèctrica per la durada del trajecte.

1. Durada del trajecte:

   $t$${}= \dfrac{s}{v}$${}= \dfrac{2\,\mathrm{km}}{8\,\mathrm{km/h}}$${}= 0{,}25\,\mathrm{h}$${}= 900\,\mathrm{s}$

2. Energia elèctrica consumida:

   $E_\text{cons}$${}= P_\text{elèc}\,t$${}= 218{,}7\,\mathrm{W}\cdot 0{,}25\,\mathrm{h}$${}= 54{,}68\,\mathrm{W\,h}$

3. Fracció de l’energia de la bateria, és a dir, el $21{,}87$ %:

   $\Delta$${}= \dfrac{E_\text{cons}}{E_\text{bat}}$${}= \dfrac{54{,}68\,\mathrm{W\,h}}{250\,\mathrm{W\,h}}$${}= 0{,}2187$

Plantejament Es demana el treball que fa el motor per accelerar el cotxe des del repòs fins a $50\,\mathrm{km/h}$. Sense resistències passives i en un circuit horitzontal, tot aquest treball es converteix en energia cinètica del cotxe (teorema de l’energia cinètica).

1. Velocitat final en unitats del SI:

   $v=\dfrac{50\,\mathrm{km/h}}{3{,}6}=13{,}89\,\mathrm{m/s}$

2. El treball del motor és igual a la variació d’energia cinètica, i la inicial és zero. Per no arrossegar l’arrodoniment de la velocitat, es fa el càlcul amb el quocient sencer:

   $W$${}= \Delta E_\text{c}$${}= \dfrac{1}{2}\,m\,v^2$${}= \dfrac{1}{2}\cdot 1\,250\,\mathrm{kg}\cdot\left(\dfrac{50}{3{,}6}\,\mathrm{m/s}\right)^2$${}= 120{,}56\,\mathrm{kJ}$${}\approx 120{,}6\,\mathrm{kJ}$

Plantejament Es demana la massa de benzina cremada. Amb un rendiment de $0{,}25$, el combustible ha d’aportar quatre vegades el treball útil; la massa surt de dividir aquesta energia pel poder calorífic.

1. Energia que ha d’aportar la benzina:

   $E_\text{cons}$${}= \dfrac{W}{\eta}$${}= \dfrac{120{,}56\,\mathrm{kJ}}{0{,}25}$${}\approx 482\,\mathrm{kJ}$

2. Massa de benzina, amb $p_\text{c}=46\,\mathrm{MJ/kg}=46\,000\,\mathrm{kJ/kg}$:

   $m_\text{benz}$${}= \dfrac{E_\text{cons}}{p_\text{c}}$${}= \dfrac{W}{\eta\,p_\text{c}}$${}= \dfrac{120{,}56\,\mathrm{kJ}}{0{,}25\cdot 46\,000\,\mathrm{kJ/kg}}$${}= 0{,}01048\,\mathrm{kg}$${}= 10{,}48\,\mathrm{g}$

Plantejament Es demana la massa de $\mathrm{CO_2}$ emesa. El factor d’emissió va per litre, així que primer cal passar la massa de benzina a volum amb la densitat.

1. Volum de benzina ($\rho=0{,}72\,\mathrm{g/cm^3}=0{,}72\,\mathrm{kg/L}$):

   $V$${}= \dfrac{m_\text{benz}}{\rho}$${}= \dfrac{10{,}48\,\mathrm{g}}{0{,}72\,\mathrm{g/cm^3}}$${}= 14{,}56\,\mathrm{cm^3}$${}= 0{,}01456\,\mathrm{L}$

2. Massa de $\mathrm{CO_2}$ emesa:

   $m_{\mathrm{CO_2}}$${}= V\cdot\mathit{FE}$${}= 0{,}01456\,\mathrm{L}\cdot 2{,}157\,\mathrm{kg/L}$${}= 0{,}03141\,\mathrm{kg}$${}= 31{,}41\,\mathrm{g}$

Plantejament Es demana el diagrama de cos lliure del peu: el peu aïllat, amb totes les forces exteriors que hi actuen, cadascuna en el seu punt d’aplicació i amb el seu sentit.

1. El pes del peu, $m\,g$, vertical i cap avall, aplicat al centre d’inèrcia G, a una distància horitzontal $b=35\,\mathrm{mm}$ a la dreta d’O.

2. La força del múscul tibial anterior, $F_\text{m}$, aplicada a Q i dirigida cap amunt al llarg del múscul, inclinada $\varphi=9^\circ$ cap a l’esquerra respecte a la vertical. La seva distància a O és el braç $a=30\,\mathrm{mm}$.

3. La reacció de l’articulació a O, desconeguda en mòdul i en direcció. Es dibuixa amb les seves dues components, $O_\text{H}$ (horitzontal) i $O_\text{V}$ (vertical), en un sentit qualsevol; el signe del resultat dirà si el sentit triat era el bo. A la figura, $O_\text{H}$ cap a la dreta i $O_\text{V}$ cap amunt.

4. No hi ha cap altra força: el peu no toca a terra.

ResultatTres forces sobre el peu: el pes $m\,g$ a G (vertical, cap avall), la força del múscul $F_\text{m}$ a Q (cap amunt, inclinada $9^\circ$ cap a l’esquerra respecte a la vertical) i la reacció a O, amb components $O_\text{H}$ i $O_\text{V}$ (diagrama a la figura).

La pauta oficial dona: Diagrama de cos lliure: $O_\text{V}$ i $O_\text{H}$ a O, $F_\text{m}$ a Q i el pes $m\,g$ a G.

Plantejament Es demana la força del múscul. L’equació de moments respecte a O l’aïlla directament, perquè les dues components de la reacció passen per O i no hi fan moment.

1. Moments respecte a O, positius en sentit antihorari: $F_\text{m}$ fa girar el peu en sentit antihorari amb el braç $a$, i el pes en sentit horari amb el braç $b$:

   $\sum M_\text{O}=0:\quad F_\text{m}\,a-m\,g\,b=0$

2. Aïllem la força (prenem $g=9{,}807\,\mathrm{m/s^2}$; les distàncies poden quedar en mil·límetres perquè només en surt un quocient):

   $F_\text{m}$${}= \dfrac{m\,g\,b}{a}$${}= \dfrac{2{,}2\,\mathrm{kg}\cdot 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}\cdot 35\,\mathrm{mm}}{30\,\mathrm{mm}}$${}= 25{,}171\,\mathrm{N}$${}\approx 25{,}17\,\mathrm{N}$

3. La cota $c=40\,\mathrm{mm}$ no cal: el pes és vertical i el seu braç respecte a O és la distància horitzontal $b$. Amb $g=9{,}81\,\mathrm{m/s^2}$ surt $25{,}18\,\mathrm{N}$.

Plantejament Es demanen les dues components de la reacció a O, amb les equacions d’equilibri de forces horitzontals i verticals.

1. Components de $F_\text{m}$: horitzontal, $F_\text{m}\sin\varphi$, cap a l’esquerra; vertical, $F_\text{m}\cos\varphi$, cap amunt.

2. Equilibri horitzontal, amb $O_\text{H}$ dibuixada cap a la dreta:

   $\sum F_x$${}= 0:\quad O_\text{H}-F_\text{m}\sin\varphi=0$${}\Rightarrow O_\text{H}$${}= 25{,}171\,\mathrm{N}\cdot\sin 9^\circ$${}= 3{,}938\,\mathrm{N}$

3. Equilibri vertical, amb $O_\text{V}$ dibuixada cap amunt:

   $\sum F_y=0:\quad O_\text{V}+F_\text{m}\cos\varphi-m\,g=0$

4. Amb $m\,g$${}= 2{,}2\,\mathrm{kg}\cdot 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}$${}= 21{,}575\,\mathrm{N}$:

   $O_\text{V}$${}= m\,g-F_\text{m}\cos\varphi$${}= 21{,}575\,\mathrm{N}$${}-25{,}171\,\mathrm{N}\cdot\cos 9^\circ$${}= 21{,}575\,\mathrm{N}-24{,}861\,\mathrm{N}$${}= -3{,}286\,\mathrm{N}$

5. El signe negatiu vol dir que $O_\text{V}$ té el sentit contrari al dibuixat: l’articulació empeny el peu cap avall amb $3{,}286\,\mathrm{N}$. $O_\text{H}$ ha sortit positiva, cap a la dreta, com s’havia dibuixat.

6. Mòdul de la reacció total a O:

   $O$${}= \sqrt{O_\text{H}^2+O_\text{V}^2}$${}= \sqrt{(3{,}938\,\mathrm{N})^2+(3{,}286\,\mathrm{N})^2}$${}= 5{,}129\,\mathrm{N}$

Plantejament Es demana la reactància de la bobina a $50\,\mathrm{Hz}$.

1. Inductància en henrys: $L_1=7\,\mathrm{mH}=0{,}007\,\mathrm{H}$. Reactància inductiva:

   $X_{L_1}$${}= \omega\,L_1$${}= 2\pi f\,L_1$${}= 2\pi\cdot 50\,\mathrm{Hz}\cdot 0{,}007\,\mathrm{H}$${}= 2{,}199\,\Omega$

Plantejament Es demana el factor de potència de la càrrega $R_1$–$L_1$ en sèrie, que és el cosinus de l’angle de desfasament entre la tensió i el corrent. Surt del triangle d’impedàncies, de catets $R_1$ i $X_{L_1}$.

1. Tangent de l’angle de desfasament:

   $\tan\varphi$${}= \dfrac{X_{L_1}}{R_1}$${}= \dfrac{2{,}199\,\Omega}{5\,\Omega}$${}= 0{,}4398$

2. Angle i factor de potència:

   $\varphi$${}= \arctan 0{,}4398$${}= 23{,}74^\circ$${}\Rightarrow \cos\varphi=\cos 23{,}74^\circ$${}= 0{,}9154$

3. És el mateix que $R_1/Z$, amb la impedància de l’apartat c): $5\,\Omega/5{,}462\,\Omega=0{,}9154$. També surt de les potències, $\cos\varphi=P/S=W_1/(U_1\,A_1)$, un cop coneguts el corrent i la tensió (apartats d i e). La càrrega és inductiva: el corrent va endarrerit respecte de la tensió.

Plantejament Es demana el mòdul de la impedància equivalent: la resistència i la reactància en sèrie (els aparells de mesura es consideren ideals).

1. Mòdul de la impedància en sèrie:

   $Z$${}= \sqrt{R_1^2+X_{L_1}^2}$${}= \sqrt{(5\,\Omega)^2+(2{,}199\,\Omega)^2}$${}= 5{,}4622\,\Omega$${}\approx 5{,}462\,\Omega$

Plantejament Es demana el corrent que marca l’amperímetre. El wattímetre mesura la potència activa, i en aquesta càrrega només la resistència consumeix potència activa; la bobina ideal no en consumeix.

1. Potència activa de la resistència, $W_1=R_1\,I^2$, on $I$ és el corrent eficaç, el que marca l’amperímetre:

   $A_1$${}= \sqrt{\dfrac{W_1}{R_1}}$${}= \sqrt{\dfrac{950\,\mathrm{W}}{5\,\Omega}}$${}= 13{,}784\,\mathrm{A}$${}\approx 13{,}78\,\mathrm{A}$

Plantejament Es demana el valor eficaç de la tensió de la font, que és el corrent per la impedància (llei d’Ohm en corrent altern).

1. Amb una xifra més de la impedància i del corrent, per no arrossegar arrodoniments:

   $U_1$${}= Z\,A_1$${}= 5{,}4622\,\Omega\cdot 13{,}784\,\mathrm{A}$${}= 75{,}29\,\mathrm{V}$

2. Comprovació: la potència aparent és $S$${}= U_1\,A_1$${}= 75{,}29\,\mathrm{V}\cdot 13{,}784\,\mathrm{A}$${}= 1\,038\,\mathrm{V\,A}$, i $P/S=950/1\,038=0{,}915$, el factor de potència de l’apartat b).