Tecnologia, PAU 2024 de Catalunya: l’examen de juny (sèrie 5) resolt

Plantejament Es demana la taula de veritat del llum $l$ en funció dels quatre bits del nombre, $a$, $b$, $c$ i $d$ ($a$ és el de més pes). El llum s’encén si el nombre és 0 o senar.

1. Amb quatre entrades hi ha $2^4=16$ combinacions, que són els nombres del 0 al 15. Un nombre en binari és senar quan el bit de menys pes, $d$, val 1. Per tant, $l=1$ a les vuit files amb $d=1$ (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 i 15) i també a la fila 0 ($abcd=0000$).

2. Taula de veritat (la fila és el nombre $abcd$ en decimal):

   Fila	$a$	$b$	$c$	$d$	$l$
   0	0	0	0	0	1
   1	0	0	0	1	1
   2	0	0	1	0	0
   3	0	0	1	1	1
   4	0	1	0	0	0
   5	0	1	0	1	1
   6	0	1	1	0	0
   7	0	1	1	1	1
   8	1	0	0	0	0
   9	1	0	0	1	1
   10	1	0	1	0	0
   11	1	0	1	1	1
   12	1	1	0	0	0
   13	1	1	0	1	1
   14	1	1	1	0	0
   15	1	1	1	1	1

Plantejament Es demana la funció lògica de $l$ i, si es pot, simplificar-la. Primer s’escriu la funció canònica a partir de la taula i després se simplifica amb un mapa de Karnaugh.

1. Files amb $l=1$: 0, 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 i 15. La primera forma canònica (suma de productes) té un terme per cada una, amb la variable negada on val 0, $l=\sum m(0,1,3,5,7,9,11,13,15)$:

   $l$${}= \overline{a}\,\overline{b}\,\overline{c}\,\overline{d}$${}+\overline{a}\,\overline{b}\,\overline{c}\,d+\overline{a}\,\overline{b}\,c\,d$${}+\overline{a}\,b\,\overline{c}\,d+\overline{a}\,b\,c\,d$${}+a\,\overline{b}\,\overline{c}\,d+a\,\overline{b}\,c\,d$${}+a\,b\,\overline{c}\,d+a\,b\,c\,d$

2. Mapa de Karnaugh ($ab$ a les files i $cd$ a les columnes, totes dues en codi Gray):

   $ab \backslash cd$	00	01	11	10
   00	1	1	1	0
   01	0	1	1	0
   11	0	1	1	0
   10	0	1	1	0

3. Grup de vuit uns: les dues columnes del mig ($cd=01$ i $cd=11$), on $d=1$ i les altres tres variables canvien. Dona $d$.

4. Queda l’u de la fila 0 ($abcd=0000$). S’agrupa amb el seu veí de la fila 1 ($abcd=0001$), encara que ja sigui al grup anterior: en aquesta parella $a=0$, $b=0$ i $c=0$, i $d$ canvia. Dona $\overline{a}\,\overline{b}\,\overline{c}$.

5. La funció simplificada és la suma dels dos grups:

   $l=d+\overline{a}\,\overline{b}\,\overline{c}$

6. Amb àlgebra de Boole s’arriba al mateix: els vuit termes amb $d$ sense negar sumen $d$, i $d+\overline{a}\,\overline{b}\,\overline{c}\,\overline{d}=d+\overline{a}\,\overline{b}\,\overline{c}$, perquè $x+\overline{x}\,y=x+y$.

7. Comprovació: la funció val 1 quan $d=1$ (els senars) o quan $a=b=c=0$ (els nombres 0 i 1), i 0 a la resta de files, com la taula.

Plantejament Es demana l’esquema de contactes de la funció simplificada, $l=d+\overline{a}\,\overline{b}\,\overline{c}$: cada producte és una branca de contactes en sèrie, i la suma és la connexió en paral·lel de les branques.

1. Branca 1: un contacte normalment obert de $d$, que condueix quan $d=1$.

2. Branca 2: tres contactes normalment tancats de $a$, $b$ i $c$ connectats en sèrie, que fan $\overline{a}\,\overline{b}\,\overline{c}$: només condueixen tots tres quan $a$, $b$ i $c$ valen 0.

3. Les dues branques es connecten en paral·lel entre l’alimentació i el llum $l$, que s’encén quan condueix qualsevol de les dues. A la figura, cada contacte porta escrita la seva variable, i els normalment tancats es dibuixen amb una petita ratlla vertical a l’extrem de la làmina.

ResultatDues branques en paral·lel cap al llum $l$: un contacte normalment obert $d$, i tres contactes normalment tancats $\overline{a}$, $\overline{b}$ i $\overline{c}$ en sèrie (esquema a la figura).

La pauta oficial dona: Esquema de contactes: un contacte normalment obert $d$ en paral·lel amb tres contactes normalment tancats $a$, $b$ i $c$ en sèrie, cap al llum $l$.

Plantejament Es demana l’energia química que conté un sac de $15\,\mathrm{kg}$ de pèl·lets: la massa pel poder calorífic.

1. Energia del combustible:

   $E_\text{cons}$${}= m\,p_\text{c}$${}= 15\,\mathrm{kg}\cdot 5{,}23\,\mathrm{kW\,h/kg}$${}= 78{,}45\,\mathrm{kW\,h}$

2. En unitats del SI ($1\,\mathrm{kW\,h}=3{,}6\,\mathrm{MJ}$):

   $E_\text{cons}$${}= 78{,}45\cdot 3{,}6\,\mathrm{MJ}$${}= 282{,}4\,\mathrm{MJ}$

3. L’àrea de l’habitació, $A$, no cal per a cap apartat.

Plantejament Es demana l’energia que l’estufa cedeix a l’habitatge (la part de $E_\text{cons}$ que aprofita, segons el rendiment) i quant costa cada kW h d’aquesta energia útil.

1. Energia útil:

   $E_\text{útil}$${}= \eta\,E_\text{cons}$${}= 0{,}89\cdot 78{,}45\,\mathrm{kW\,h}$${}= 69{,}82\,\mathrm{kW\,h}$${}= 251{,}4\,\mathrm{MJ}$

2. Cost per kW h útil: el preu del sac dividit per l’energia útil que se n’obté:

   $c_\text{e}$${}= \dfrac{p}{E_\text{útil}}$${}= \dfrac{6\,\text{€}}{69{,}82\,\mathrm{kW\,h}}$${}= 0{,}08593\,\text{€}/(\mathrm{kW\,h})$${}= 85{,}93\cdot 10^{-3}\,\text{€}/(\mathrm{kW\,h})$

Plantejament Es demana quant de temps funciona l’estufa fins que gasta el dipòsit ple ($15\,\mathrm{kg}$), amb el consum de pèl·lets per hora.

1. Temps de funcionament: la massa del dipòsit dividida pel consum per hora:

   $t$${}= \dfrac{m}{q_\text{pèl}}$${}= \dfrac{15\,\mathrm{kg}}{1{,}483\,\mathrm{kg/h}}$${}= 10{,}11\,\mathrm{h}$

2. Són unes 10 hores i 7 minuts ($0{,}11\,\mathrm{h}\cdot 60\,\mathrm{min/h}\approx 7\,\mathrm{min}$).

Plantejament Es demana la massa de cendra que queda després de cremar tot el contingut del dipòsit: el $0{,}7$ % de la massa de pèl·lets.

1. Massa de cendra:

   $m_\text{cendra}$${}= m\,r_\text{cendra}$${}= 15\,\mathrm{kg}\cdot\dfrac{0{,}7}{100}$${}= 0{,}105\,\mathrm{kg}$${}= 105\,\mathrm{g}$

Plantejament Es demana la relació de transmissió total entre el motor i la roda, $\tau=\omega_\text{roda}/\omega_\text{mot}$, d’un tren de tres parells de rodes dentades.

1. Lectura de la figura: el motor fa girar $z_1$, que engrana amb $z_2$; $z_3$ va al mateix eix que $z_2$ i engrana amb $z_4$; $z_5$ va al mateix eix que $z_4$ i engrana amb $z_6$, que va a l’eix de la roda.

2. En cada parell, les velocitats angulars van al revés que el nombre de dents: la roda conduïda gira $z_\text{conductora}/z_\text{conduïda}$ vegades la velocitat de la conductora. La relació total és el producte de les tres:

   $\tau$${}= \dfrac{\omega_\text{roda}}{\omega_\text{mot}}$${}= \dfrac{z_1}{z_2}\cdot\dfrac{z_3}{z_4}\cdot\dfrac{z_5}{z_6}$${}= \dfrac{23\cdot 16\cdot 18}{57\cdot 33\cdot 38}$${}= \dfrac{6\,624}{71\,478}$${}= 0{,}09267$

3. És un reductor: la roda gira unes $10{,}8$ vegades més a poc a poc que el motor ($1/\tau=10{,}79$).

Plantejament Es demana la velocitat d’avanç de la moto: la velocitat angular de la roda (la del motor per $\tau$) pel radi de la roda.

1. Velocitat angular del motor:

   $\omega_\text{mot}$${}= \dfrac{2\pi\,n_\text{mot}}{60}$${}= \dfrac{2\pi\cdot 4\,000}{60}$${}= 418{,}9\,\mathrm{rad/s}$

2. Velocitat angular de la roda:

   $\omega_\text{roda}$${}= \tau\,\omega_\text{mot}$${}= 0{,}09267\cdot 418{,}9\,\mathrm{rad/s}$${}= 38{,}82\,\mathrm{rad/s}$

3. Velocitat d’avanç, amb el radi de la roda $d/2=0{,}3\,\mathrm{m}$ (la roda no llisca):

   $v$${}= \omega_\text{roda}\,\dfrac{d}{2}$${}= 38{,}82\,\mathrm{rad/s}\cdot 0{,}3\,\mathrm{m}$${}= 11{,}65\,\mathrm{m/s}$

4. En km/h (amb més decimals, $v=11{,}645\,\mathrm{m/s}$):

   $v=11{,}645\cdot 3{,}6=41{,}92\,\mathrm{km/h}$

Plantejament Es demana el parell a l’eix de la roda: la potència que hi arriba (la del motor menys les pèrdues de la transmissió) dividida per la velocitat angular de la roda.

1. Potència a l’eix de la roda:

   $P_\text{útil}$${}= \eta\,P_\text{mot}$${}= 0{,}9\cdot 15\,\mathrm{kW}$${}= 13{,}5\,\mathrm{kW}$

2. Parell a l’eix de la roda:

   $\Gamma$${}= \dfrac{P_\text{útil}}{\omega_\text{roda}}$${}= \dfrac{13\,500\,\mathrm{W}}{38{,}82\,\mathrm{rad/s}}$${}= 347{,}8\,\mathrm{N\,m}$

3. La cilindrada del motor, $C=250\,\mathrm{cm^3}$, no cal per a cap apartat.

Plantejament Es demana la resistència del fil de nicrom a partir de la resistivitat, la longitud i el diàmetre.

1. Secció del fil, amb $d=0{,}8\,\mathrm{mm}=8\cdot 10^{-4}\,\mathrm{m}$:

   $S$${}= \dfrac{\pi\,d^2}{4}$${}= \dfrac{\pi\,(8\cdot 10^{-4}\,\mathrm{m})^2}{4}$${}= 5{,}027\cdot 10^{-7}\,\mathrm{m^2}$

2. Resistència del fil:

   $R$${}= \rho\,\dfrac{L}{S}$${}= 1{,}28\cdot 10^{-6}\,\Omega\,\mathrm{m}\cdot\dfrac{5{,}54\,\mathrm{m}}{5{,}027\cdot 10^{-7}\,\mathrm{m^2}}$${}= 14{,}11\,\Omega$

Plantejament Es demana la potència útil de la placa: la potència elèctrica que absorbeix la resistència connectada a $230\,\mathrm{V}$, multiplicada pel rendiment.

1. Potència elèctrica (amb més decimals, $R=14{,}107\,\Omega$):

   $P_\text{elèc}$${}= \dfrac{U^2}{R}$${}= \dfrac{(230\,\mathrm{V})^2}{14{,}107\,\Omega}$${}= 3\,750\,\mathrm{W}$

2. Potència útil:

   $P_\text{útil}$${}= \eta\,P_\text{elèc}$${}= 0{,}9\cdot 3\,750\,\mathrm{W}$${}= 3\,375\,\mathrm{W}$${}= 3{,}375\,\mathrm{kW}$

Plantejament Es demana el corrent que circula per la resistència connectada a $230\,\mathrm{V}$ (llei d’Ohm).

1. Llei d’Ohm:

   $I$${}= \dfrac{U}{R}$${}= \dfrac{230\,\mathrm{V}}{14{,}107\,\Omega}$${}= 16{,}30\,\mathrm{A}$

2. També surt de la potència elèctrica: $I$${}= P_\text{elèc}/U$${}= 3\,750\,\mathrm{W}/230\,\mathrm{V}$${}= 16{,}30\,\mathrm{A}$.

Plantejament Es demana l’energia elèctrica que consumeix la placa en 30 minuts: la potència elèctrica (no la útil) pel temps.

1. Energia consumida, amb $t=30\,\mathrm{min}=0{,}5\,\mathrm{h}$:

   $E_\text{cons}$${}= P_\text{elèc}\,t$${}= 3{,}750\,\mathrm{kW}\cdot 0{,}5\,\mathrm{h}$${}= 1{,}875\,\mathrm{kW\,h}$

2. En unitats del SI ($1\,\mathrm{kW\,h}=3{,}6\,\mathrm{MJ}$):

   $E_\text{cons}$${}= 1{,}875\cdot 3{,}6\,\mathrm{MJ}$${}= 6{,}750\,\mathrm{MJ}$

Plantejament Es demana l’energia que consumeix l’escalfador (la del butà que crema) per escalfar els $75\,\mathrm{L}$ d’una dutxa: primer la calor que rep l’aigua i després el rendiment.

1. Massa d’aigua (densitat de l’aigua, $1\,\mathrm{kg/L}$): $m_\text{aigua}=75\,\mathrm{kg}$. Calor que rep l’aigua (un increment de $20\,^\circ\mathrm{C}$ és un increment de $20\,\mathrm{K}$):

   $E_\text{útil}$${}= m_\text{aigua}\,c_\text{e}\,\Delta T$${}= 75\,\mathrm{kg}\cdot 4{,}18\,\mathrm{kJ/(kg\,K)}\cdot 20\,\mathrm{K}$${}= 6\,270\,\mathrm{kJ}$${}= 6{,}27\,\mathrm{MJ}$

2. Energia consumida, amb el rendiment de l’escalfador:

   $E_\text{cons}$${}= \dfrac{E_\text{útil}}{\eta}$${}= \dfrac{6{,}27\,\mathrm{MJ}}{0{,}87}$${}= 7{,}207\,\mathrm{MJ}$

Plantejament Es demana quantes dutxes es poden fer amb una bombona de $12{,}5\,\mathrm{kg}$ de butà: la massa de butà que gasta cada dutxa i quantes dutxes surten de la bombona.

1. Massa de butà per dutxa:

   $m_\text{dutxa}$${}= \dfrac{E_\text{cons}}{pc_\text{butà}}$${}= \dfrac{7{,}207\,\mathrm{MJ}}{47{,}7\,\mathrm{MJ/kg}}$${}= 0{,}1511\,\mathrm{kg}$

2. Nombre de dutxes:

   $n$${}= \dfrac{m}{m_\text{dutxa}}$${}= \dfrac{12{,}5\,\mathrm{kg}}{0{,}1511\,\mathrm{kg}}$${}= 82{,}73$

3. Només compten les dutxes senceres: per a la dutxa 83 ja no queda prou butà.

Plantejament Es demana el cost d’una dutxa: el de l’aigua que es gasta més el del butà que es crema.

1. Cost de l’aigua, amb $V=75\,\mathrm{L}=0{,}075\,\mathrm{m^3}$:

   $p_\text{aigua}\,V$${}= 0{,}93\,\text{€}/\mathrm{m^3}\cdot 0{,}075\,\mathrm{m^3}$${}= 0{,}06975\,\text{€}$

2. Cost del butà: el preu de la bombona multiplicat per la fracció de bombona que gasta la dutxa:

   $p_\text{butà}\,\dfrac{m_\text{dutxa}}{m}$${}= 17{,}66\,\text{€}\cdot\dfrac{0{,}1511\,\mathrm{kg}}{12{,}5\,\mathrm{kg}}$${}= 0{,}21347\,\text{€}$

3. Cost total d’una dutxa:

   $p_\text{dutxa}$${}= 0{,}06975\,\text{€}+0{,}21347\,\text{€}$${}= 0{,}2832\,\text{€}$