Tecnologia, PAU 2022 de Catalunya: l’examen extraordinari resolt

Plantejament Es demana la funció lògica del circuit de portes: cal seguir el senyal porta a porta, des de les entrades fins a $S$, i després simplificar-la amb l’àlgebra de Boole.

1. Porta NO (el bloc «1» amb cercle a la sortida) sobre $a$, i porta O ($\geq 1$) amb aquesta sortida i $b$:

   $X_1 = \overline{a} + b$

2. Segona porta O, amb $a$ i $b$:

   $X_2 = a + b$

3. Porta I negada (NAND: «&» amb cercle a la sortida) amb les dues sortides anteriors:

   $X_3 = \overline{(\overline{a} + b)\,(a + b)}$

4. Porta NAND amb $c$ i $d$:

   $X_4 = \overline{c\,d}$

5. Porta O final, que dona la funció sense simplificar:

   $S = \overline{(\overline{a} + b)\,(a + b)} + \overline{c\,d}$

6. Simplificació del producte: es multiplica, $a\,\overline{a} = 0$ i $b\,b = b$, i s’aplica l’absorció ($b$ absorbeix $\overline{a}\,b$ i $a\,b$):

   $(\overline{a} + b)\,(a + b)$${}= \overline{a}\,a + \overline{a}\,b + a\,b + b$${}= b$

7. Per tant, la primera NAND dona $\overline{b}$, i amb la llei de De Morgan, $\overline{c\,d} = \overline{c} + \overline{d}$:

   $S = \overline{b} + \overline{c} + \overline{d}$

8. Una altra manera d’escriure-ho, també per De Morgan, és $S = \overline{b\,c\,d}$: la sortida només val $0$ quan $b$, $c$ i $d$ valen $1$ alhora. L’entrada $a$ no influeix en la sortida.

Plantejament Es demana la taula de veritat de $S(a,b,c,d)$ per a les $16$ combinacions d’entrada. Amb la funció simplificada, $S = 0$ només quan $b = c = d = 1$, sigui quin sigui el valor de $a$.

1. Taula de veritat, amb les files en ordre binari $a\,b\,c\,d$:

   $a$	$b$	$c$	$d$	$S$
   0	0	0	0	1
   0	0	0	1	1
   0	0	1	0	1
   0	0	1	1	1
   0	1	0	0	1
   0	1	0	1	1
   0	1	1	0	1
   0	1	1	1	0
   1	0	0	0	1
   1	0	0	1	1
   1	0	1	0	1
   1	0	1	1	1
   1	1	0	0	1
   1	1	0	1	1
   1	1	1	0	1
   1	1	1	1	0

2. Comprovació amb el circuit original en una de les files amb $S = 0$, per exemple $a = 0$, $b = 1$, $c = 1$, $d = 1$: $\overline{a} + b = 1$ i $a + b = 1$, de manera que la primera NAND dona $0$; $c\,d = 1$ i la segona NAND també dona $0$; per tant, $S = 0 + 0 = 0$.

Plantejament Es demana l’esquema de contactes de la funció simplificada, $S = \overline{b} + \overline{c} + \overline{d}$: una suma de tres variables negades.

1. Cada variable negada és un contacte normalment tancat: el de $b$ fa $\overline{b}$ (condueix quan $b = 0$), i igual per a $c$ i $d$.

2. La suma (funció O) són els tres contactes connectats en paral·lel entre l’alimentació i la sortida $S$: n’hi ha prou que condueixi un perquè $S = 1$.

3. L’entrada $a$ no apareix a l’esquema, perquè no influeix en $S$.

ResultatTres contactes normalment tancats, $\overline{b}$, $\overline{c}$ i $\overline{d}$, connectats en paral·lel abans de la sortida $S$. Esquema a la figura.

La pauta oficial dona: Tres contactes normalment tancats, $\overline{b}$, $\overline{c}$ i $\overline{d}$, en paral·lel.

Plantejament Es demana la velocitat angular de l’eix de sortida del reductor: la del motor, passada a rad/s, multiplicada per la relació de transmissió $\tau = \omega_\text{red}/\omega_\text{mot}$.

1. Velocitat angular del motor ($1\ \text{volta} = 2\pi\,\mathrm{rad}$ i $1\,\mathrm{min} = 60\,\mathrm{s}$):

   $\omega_\text{mot}$${}= n_\text{mot}\,\frac{2\pi}{60}$${}= 1470\,\mathrm{min^{-1}}\cdot\frac{2\pi\,\mathrm{rad}}{60\,\mathrm{s}}$${}= 153{,}94\,\mathrm{rad/s}$

2. Velocitat de l’eix de sortida del reductor:

   $\omega_\text{red}$${}= \tau\,\omega_\text{mot}$${}= 0{,}009\cdot 153{,}94\,\mathrm{rad/s}$${}= 1{,}385\,\mathrm{rad/s}$

Plantejament Es demana el treball per pujar la càrrega $8\,\mathrm{m}$. Com que puja a velocitat constant, l’energia cinètica no varia i el treball és l’augment d’energia potencial de la càrrega.

1. El treball és el pes per l’altura (l’enunciat no dona $g$; prenem $g = 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}$; amb $9{,}81\,\mathrm{m/s^2}$ sortiria $157{,}0\,\mathrm{kJ}$, i els resultats dels apartats següents canviarien a la quarta xifra):

   $W$${}= m\,g\,h$${}= 2000\,\mathrm{kg}\cdot 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}\cdot 8\,\mathrm{m}$${}= 156{,}9\cdot 10^{3}\,\mathrm{J}$${}= 156{,}9\,\mathrm{kJ}$

Plantejament Es demana la potència elèctrica que consumeix el conjunt motor reductor: la potència útil, que és el treball dividit pel temps, dividida pel rendiment del conjunt.

1. Temps en segons: $t = 1{,}5\,\mathrm{min} = 90\,\mathrm{s}$. Potència útil, amb el treball amb una xifra més ($156{,}91\cdot 10^{3}\,\mathrm{J}$) perquè l’arrodoniment no afecti el resultat:

   $P_\text{útil}$${}= \frac{W}{t}=\frac{156{,}91\cdot 10^{3}\,\mathrm{J}}{90\,\mathrm{s}}$${}= 1\,743{,}4\,\mathrm{W}$

2. Potència elèctrica consumida:

   $P_\text{elèc}$${}= \frac{P_\text{útil}}{\eta}$${}= \frac{1\,743{,}4\,\mathrm{W}}{0{,}6}$${}= 2\,906\,\mathrm{W}$${}= 2{,}906\,\mathrm{kW}$

3. La velocitat de l’apartat a) i la relació de transmissió no calen per a aquest càlcul: el treball i el temps ja donen la potència útil.

Plantejament Es demana el corrent que absorbeix el motor d’inducció monofàsic. En corrent altern monofàsic, la potència activa és $P = U\,I\cos\varphi$.

1. Aïllant el corrent:

   $I$${}= \frac{P_\text{elèc}}{U\cos\varphi}$${}= \frac{2\,906\,\mathrm{W}}{230\,\mathrm{V}\cdot 0{,}85}$${}= 14{,}86\,\mathrm{A}$

Plantejament Es demana la cilindrada total del motor: el volum que escombra un pistó en una cursa (secció del cilindre per cursa) multiplicat pel nombre de cilindres. La relació de compressió no fa falta per a això.

1. Volum unitari d’un cilindre, treballant en centímetres ($d = 8{,}3\,\mathrm{cm}$, $s = 9{,}1\,\mathrm{cm}$):

   $V_1$${}= \frac{\pi\,d^2}{4}\,s$${}= \frac{\pi\,(8{,}3\,\mathrm{cm})^2}{4}\cdot 9{,}1\,\mathrm{cm}$${}= 492{,}4\,\mathrm{cm^3}$

2. Cilindrada total dels sis cilindres:

   $V$${}= n_\mathrm{c}\,V_1$${}= 6\cdot 492{,}4\,\mathrm{cm^3}$${}= 2\,954\,\mathrm{cm^3}$

Plantejament Es demana el parell que dona el motor: la potència mecànica dividida per la velocitat angular.

1. Velocitat angular del motor:

   $\omega$${}= n\,\frac{2\pi}{60}$${}= 3\,000\,\mathrm{min^{-1}}\cdot\frac{2\pi\,\mathrm{rad}}{60\,\mathrm{s}}$${}= 314{,}16\,\mathrm{rad/s}$

2. Parell motor:

   $\Gamma$${}= \frac{P_\text{mec}}{\omega}=\frac{20\,000\,\mathrm{W}}{314{,}16\,\mathrm{rad/s}}$${}= 63{,}66\,\mathrm{N\,m}$

Plantejament Es demana la potència tèrmica que aporta la benzina: el cabal màssic de combustible multiplicat pel poder calorífic, expressat en kW.

1. Cabal màssic de benzina (volum per hora per densitat):

   $\dot m$${}= c\,\rho=6{,}5\,\mathrm{L/h}\cdot 0{,}8\,\mathrm{kg/L}$${}= 5{,}2\,\mathrm{kg/h}$

2. Potència tèrmica, passant l’hora a segons ($1\,\mathrm{h} = 3\,600\,\mathrm{s}$) perquè $1\,\mathrm{kJ/s} = 1\,\mathrm{kW}$:

   $P_\text{tèrm}$${}= \dot m\,p_\mathrm{c}$${}= \frac{5{,}2\,\mathrm{kg}}{3\,600\,\mathrm{s}}\cdot 42\,000\,\mathrm{kJ/kg}$${}= 60{,}67\,\mathrm{kW}$

Plantejament Es demana el rendiment del motor: la potència mecànica útil dividida per la potència tèrmica consumida.

1. Rendiment, que vol dir que el $32{,}97$ % de l’energia del combustible es converteix en treball mecànic:

   $\eta$${}= \frac{P_\text{mec}}{P_\text{tèrm}}$${}= \frac{20\,\mathrm{kW}}{60{,}67\,\mathrm{kW}}$${}= 0{,}3297$

Plantejament Es demana el diagrama de cos lliure del taulell: el taulell aïllat amb totes les forces que hi actuen. Les barres AB i CD no tenen massa i estan articulades pels dos extrems, de manera que cadascuna només pot fer força en la seva pròpia direcció, la de la barra.

1. Força $F$ al punt O, l’extrem esquerre del taulell, vertical cap amunt.

2. Pes $m\,g$, vertical cap avall, aplicat al centre del taulell, a $1{,}5\,L$ d’O (el taulell és homogeni i fa $3L$).

3. Força de la barra AB, $F_\mathrm{AB}$, al punt A (a $L$ d’O), en la direcció de la barra, a $\varphi = 60^\circ$ de l’horitzontal. Els càlculs de l’apartat c) donen que va cap a B, és a dir, cap avall i cap a la dreta: la barra estira el taulell.

4. Força de la barra CD, $F_\mathrm{CD}$, al punt C (a $2L$ d’O), també en la direcció de la barra, paral·lela a AB. Va de D cap a C, és a dir, cap amunt i cap a l’esquerra: la barra empeny el taulell.

5. No hi ha cap altra força sobre el taulell: les articulacions B i D actuen sobre les barres, no directament sobre el taulell.

ResultatTaulell amb quatre forces: $F$ cap amunt a O; $m\,g$ cap avall al centre, a $1{,}5\,L$ d’O; $F_\mathrm{AB}$ a A, cap avall i cap a la dreta, i $F_\mathrm{CD}$ a C, cap amunt i cap a l’esquerra, totes dues a $60^\circ$ de l’horitzontal. Diagrama a la figura.

La pauta oficial dona: Diagrama: $F$ cap amunt a O, $m\,g$ cap avall al centre, $F_\mathrm{AB}$ a A en la direcció de la barra cap a B i $F_\mathrm{CD}$ a C en la direcció de la barra, de D cap a C.

Plantejament Es demana la força $F$ necessària per mantenir el taulell en equilibri amb $\varphi = 60^\circ$. Com que les dues barres són paral·leles, n’hi ha prou amb les equacions d’equilibri de forces.

1. Equilibri horitzontal, amb els sentits del diagrama ($F_\mathrm{AB}$ cap avall i a la dreta, $F_\mathrm{CD}$ cap amunt i a l’esquerra; si un valor sortís negatiu, el sentit seria l’oposat):

   $\sum F_x$${}= 0:\quad F_\mathrm{AB}\cos\varphi$${}- F_\mathrm{CD}\cos\varphi=0$${}\Rightarrow F_\mathrm{AB}$${}= F_\mathrm{CD}$

2. Equilibri vertical:

   $\sum F_y$${}= 0:\quad F - F_\mathrm{AB}\sin\varphi$${}+ F_\mathrm{CD}\sin\varphi - m\,g=0$

3. Com que $F_\mathrm{AB} = F_\mathrm{CD}$, els dos termes de les barres s’anul·len i queda $F = m\,g$ (l’enunciat no dona $g$; prenem $g = 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}$; amb $9{,}81\,\mathrm{m/s^2}$ els resultats d’aquest exercici canvien a la quarta xifra):

   $F$${}= m\,g=4\,\mathrm{kg}\cdot 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}$${}= 39{,}23\,\mathrm{N}$

Plantejament Es demanen les forces que fan les barres sobre el taulell i si treballen a tracció o a compressió. Falta una equació, la de moments, que es pren respecte d’A perquè $F_\mathrm{AB}$ no hi surti.

1. Moments respecte d’A (sentit antihorari positiu). $F$ és a una distància $L$ a l’esquerra d’A; el pes, a $L/2$ a la dreta; $F_\mathrm{CD}$ s’aplica a C, a $L$ a la dreta, i només en fa moment la component vertical, $F_\mathrm{CD}\sin\varphi$, perquè la component horitzontal passa per A:

   $\sum M_\mathrm{A}$${}= 0:\quad -F\,L - m\,g\,\frac{L}{2}$${}+ F_\mathrm{CD}\,L\sin\varphi=0$

2. Aïllant $F_\mathrm{CD}$ (la $L$ se simplifica), amb $m\,g/2 = 19{,}61\,\mathrm{N}$:

   $F_\mathrm{CD}$${}= \frac{F + \frac{m\,g}{2}}{\sin\varphi}$${}= \frac{39{,}23\,\mathrm{N} + 19{,}61\,\mathrm{N}}{\sin 60^\circ}$${}= 67{,}94\,\mathrm{N}$

3. De l’equilibri horitzontal de l’apartat anterior:

   $F_\mathrm{AB} = F_\mathrm{CD} = 67{,}94\,\mathrm{N}$

4. Tots dos valors surten positius: els sentits del diagrama són els correctes. La barra AB estira el taulell cap a B; per acció i reacció, el taulell estira la barra, que treballa a tracció. La barra CD empeny el taulell cap amunt; el taulell la comprimeix, i treballa a compressió.

Plantejament Es demana el corrent de cada estufa i el corrent total. Cada estufa rep la tensió de $230\,\mathrm{V}$, és a dir, estan connectades en paral·lel; com que són resistències, la potència és $P = U\,I$.

1. Corrent de cada estufa:

   $I_i = \frac{P_1}{U_1} = \frac{900\,\mathrm{W}}{230\,\mathrm{V}} = 3{,}913\,\mathrm{A}$

2. En paral·lel, els corrents de les set estufes se sumen:

   $I = n\,I_i = 7\cdot 3{,}913\,\mathrm{A} = 27{,}39\,\mathrm{A}$

Plantejament Es demana la resistència elèctrica de cada estufa a partir de la seva potència i la seva tensió d’alimentació.

1. De $P = U^2/R$:

   $R = \frac{U_1^2}{P_1} = \frac{(230\,\mathrm{V})^2}{900\,\mathrm{W}} = 58{,}78\,\Omega$

2. Comprovació amb la llei d’Ohm:

   $R = \frac{U_1}{I_i} = \frac{230\,\mathrm{V}}{3{,}913\,\mathrm{A}} = 58{,}78\,\Omega$

Plantejament Es demana la potència de cada estufa si la tensió baixa a $125\,\mathrm{V}$. La resistència de l’estufa és la mateixa (se suposa que no varia amb la temperatura), de manera que la potència varia amb el quadrat de la tensió.

1. Potència amb la nova tensió:

   $P_2$${}= \frac{U_2^2}{R}$${}= \frac{(125\,\mathrm{V})^2}{58{,}78\,\Omega}$${}= 265{,}8\,\mathrm{W}$

2. El mateix resultat surt sense passar per $R$, perquè $R = U_1^2/P_1 = U_2^2/P_2$:

   $P_2$${}= P_1\left(\frac{U_2}{U_1}\right)^2$${}= 900\,\mathrm{W}\cdot\left(\frac{125}{230}\right)^2$${}= 265{,}8\,\mathrm{W}$

3. La tensió baixa fins al $54$ % de la nominal i la potència, fins al $29{,}5$ %, perquè depèn del quadrat de la tensió.