Pneumàtica, hidràulica i fluids: exercicis de la PAU de Tecnologia resolts

Plantejament Rendiment d’un aparell que escalfa aigua: cal comparar la calor que rep l’aigua (l’energia útil) amb l’energia elèctrica que ha consumit el rentaplats.

1. L’enunciat no dona la densitat de l’aigua; amb $\rho=1\ \mathrm{kg/L}$, els 11 L d’aigua tenen una massa de $11\ \mathrm{kg}=11\,000\ \mathrm{g}$. L’aigua s’escalfa de 10 °C a 70 °C, és a dir, $\Delta T=60\ {}^\circ\mathrm{C}$.

2. Calor que rep l’aigua:

   $Q$${}= m\,c_\text{e}\,\Delta T$${}= 11\,000\ \mathrm{g}\cdot4{,}18\ \mathrm{\dfrac{J}{g\,{}^\circ C}}\cdot60\ {}^\circ\mathrm{C}$${}= 2{,}759\cdot10^{6}\ \mathrm{J}$

3. Energia elèctrica consumida, passada a joules ($1\ \mathrm{kW\,h}=3{,}6\cdot10^{6}\ \mathrm{J}$):

   $E_\text{elèctr}$${}= 0{,}9\ \mathrm{kW\,h}\cdot3{,}6\cdot10^{6}\ \mathrm{\dfrac{J}{kW\,h}}$${}= 3{,}24\cdot10^{6}\ \mathrm{J}$

4. Rendiment (energia útil dividida per l’energia consumida); en percentatge, el $85{,}15$ %:

   $\eta$${}= \dfrac{Q}{E_\text{elèctr}}$${}= \dfrac{2{,}759\cdot10^{6}\ \mathrm{J}}{3{,}24\cdot10^{6}\ \mathrm{J}}$${}= 0{,}8515$

5. Per què no les altres: la c) ($76{,}63$ %) és el que surt si es divideix l’energia útil, $0{,}7663\ \mathrm{kW\,h}$, per $1\ \mathrm{kW\,h}$ en lloc dels $0{,}9\ \mathrm{kW\,h}$ consumits; la a) i la b) no surten del quocient entre l’energia útil i la consumida.

Plantejament Consum específic d’un motor tèrmic: la massa de combustible que crema per cada kW h de treball útil que dona a l’eix, a partir del poder calorífic i del rendiment.

1. Cada kilogram de gasoil allibera $44{,}8\ \mathrm{MJ}$, i el motor en converteix en treball el 32 %:

   $W_\text{útil}$${}= \eta\,p_\text{c}$${}= 0{,}32\cdot44{,}8\ \mathrm{MJ/kg}$${}= 14{,}34\ \mathrm{MJ/kg}$

2. Passat a kW h ($1\ \mathrm{kW\,h}=3{,}6\ \mathrm{MJ}$):

   $W_\text{útil}$${}= \dfrac{14{,}336\ \mathrm{MJ/kg}}{3{,}6\ \mathrm{MJ/(kW\,h)}}$${}= 3{,}982\ \mathrm{kW\,h/kg}$

3. El consum específic és l’invers: la massa de gasoil que cal cremar per obtenir 1 kW h de treball útil.

   $c_\text{esp}$${}= \dfrac{1}{3{,}982\ \mathrm{kW\,h/kg}}$${}= 0{,}2511\ \mathrm{kg/(kW\,h)}$${}= 251{,}1\ \mathrm{g/(kW\,h)}$

4. La densitat no cal, perquè el consum específic es dona en massa. Per què no les altres: la b) ($69{,}75$) són grams per MJ, sense passar a kW h; la c) ($80{,}36$) és el consum amb un rendiment del 100 %, $3\,600\ \mathrm{kJ}/44{,}8\ \mathrm{kJ/g}$; la d) ($3{,}982$) és el treball útil per kilogram en kW h/kg, no un consum.

Plantejament Velocitat de retrocés d’un cilindre hidràulic de doble efecte: en el retrocés l’oli entra per la banda de la tija, on la superfície útil és l’anell entre l’èmbol i la tija.

1. Cabal en unitats del SI:

   $q$${}= \dfrac{9{,}3\cdot10^{-3}\ \mathrm{m^3}}{60\ \mathrm{s}}$${}= 1{,}55\cdot10^{-4}\ \mathrm{m^3/s}$

2. Superfície anular, amb $D=60\ \mathrm{mm}=0{,}060\ \mathrm{m}$ i $d=25\ \mathrm{mm}=0{,}025\ \mathrm{m}$:

   $A_\text{ret}$${}= \dfrac{\pi\,(D^2-d^2)}{4}$${}= \dfrac{\pi\,(0{,}060^2-0{,}025^2)}{4}$${}= 2{,}3366\cdot10^{-3}\ \mathrm{m^2}$

3. Velocitat de retrocés (cabal dividit per la superfície):

   $v_\text{ret}$${}= \dfrac{q}{A_\text{ret}}$${}= \dfrac{1{,}55\cdot10^{-4}\ \mathrm{m^3/s}}{2{,}3366\cdot10^{-3}\ \mathrm{m^2}}$${}= 6{,}634\cdot10^{-2}\ \mathrm{m/s}$${}= 66{,}34\ \mathrm{mm/s}$

4. Per què no les altres: la c) ($54{,}82\ \mathrm{mm/s}$) és la velocitat d’avanç, amb tota la superfície de l’èmbol, $\pi D^2/4$; la a) i la b) són les velocitats d’avanç i de retrocés expressades en m/min ($3{,}289$ i $3{,}980$) però amb la unitat mm/s.

Plantejament Reducció de les emissions de gasos amb efecte d’hivernacle en reduir una fracció de residu: es multiplica la massa d’envasos que s’ha deixat de generar pel factor d’emissió dels envasos.

1. Massa d’envasos que s’ha deixat de generar (el 60 % de 525 kg):

   $\Delta m=0{,}60\cdot525\ \mathrm{kg}=315\ \mathrm{kg}$

2. El factor d’emissió dels envasos (taula) és $120{,}09\ \mathrm{g\,CO_{2_{eq}}}$ per kilogram. Reducció d’emissions:

   $\Delta E$${}= 315\ \mathrm{kg}\cdot120{,}09\ \mathrm{g\,CO_{2_{eq}}/kg}$${}= 37\,828\ \mathrm{g\,CO_{2_{eq}}}$${}= 37{,}83\ \mathrm{kg\,CO_{2_{eq}}}$

3. Per què no les altres: la a) ($25{,}22$) correspon als 210 kg que encara es generen (el 40 % restant); la c) ($63{,}05$), als 525 kg sencers; la d) ($88{,}27$) correspon a 735 kg, el 140 % de 525 kg, que no és la massa que s’ha deixat de generar.

Plantejament Error relatiu del gruix d’una peça mesurada amb peu de rei: el gruix no es mesura directament, surt de la diferència entre les cotes $b$ i $a$.

1. A la figura, $b$ és l’amplada total de la base i $a$ és la cota de dins, des de la cara interior del braç vertical fins a l’extrem dret (a la figura de l’examen aquesta cota no porta la lletra $a$). El gruix del braç vertical és la diferència:

   $e=b-a$

2. Gruix nominal i gruix mesurat:

   $e_\text{nom}=120-90=30\ \mathrm{mm}$$e_\text{mes}=120{,}1-88{,}8=31{,}3\ \mathrm{mm}$

3. Error relatiu respecte del valor nominal; en percentatge, un $4{,}333$ %:

   $\varepsilon_\text{r}$${}= \dfrac{e_\text{mes}-e_\text{nom}}{e_\text{nom}}$${}= \dfrac{31{,}3-30}{30}$${}= 0{,}04333$

4. Per què no les altres: la b) ($0{,}4333$ %) és el mateix valor deu vegades més petit, un error en passar a percentatge; la a) i la d) no surten de comparar el gruix mesurat amb el nominal.

Plantejament Diagrama de cos lliure de la barra OBC: s’aïlla la barra i s’hi dibuixen totes les forces exteriors, cadascuna al seu punt d’aplicació.

1. Al punt C, el pes de les caixes, vertical i cap avall (amb $g=9{,}807\ \mathrm{m/s^2}$, ja que l’enunciat no en dona el valor):

   $m\,g$${}= 75\ \mathrm{kg}\cdot9{,}807\ \mathrm{m/s^2}$${}= 735{,}5\ \mathrm{N}$

2. Al punt B, la força del cilindre, $F_\text{c}$, en la direcció del cilindre (la recta PB) i amb sentit de P cap a B: el cilindre empeny la barra cap amunt. Forma l’angle $\alpha$ amb la barra.

3. Al punt O, la reacció de l’articulació, amb dues components: $F_\text{H}$ (horitzontal) i $F_\text{V}$ (vertical). A la figura $F_\text{H}$ va cap a la dreta i $F_\text{V}$ cap avall, que és el sentit que surt de les equacions de l’apartat c.

4. La massa de la barra és negligible: no hi ha pes propi. La figura recull les tres forces.

ResultatSobre la barra actuen $m\,g$ cap avall a C, $F_\text{c}$ a B en la direcció PB (de P cap a B) i la reacció a O, amb components $F_\text{H}$ i $F_\text{V}$ (figura).

La pauta oficial dona: Diagrama: $m\,g$ cap avall a C, $F_\text{c}$ a B formant l’angle $\alpha$ amb la barra, i a O les components $F_\text{H}$ (cap a la dreta) i $F_\text{V}$ (cap avall).

Plantejament Relació geomètrica entre l’angle $\varphi$ de la barra amb l’horitzontal i l’angle $\alpha$ entre la barra i el cilindre, a partir del triangle OPB.

1. El triangle OPB és isòsceles: $OP=l$ (enunciat) i $OB=l$ (B és el punt mitjà d’una barra de longitud $2l$). Per tant, els angles en B i en P són iguals, i a B aquest angle és $\alpha$.

2. L’angle en O és el que formen la vertical cap avall (OP) i la barra (OB): $90^\circ$ fins a l’horitzontal més $\varphi$ fins a la barra, és a dir, $90^\circ+\varphi$.

3. Els angles d’un triangle sumen $180^\circ$:

   $(90^\circ+\varphi)+2\alpha$${}= 180^\circ$${}\Rightarrow \alpha=\dfrac{90^\circ-\varphi}{2}$${}= 45^\circ-\dfrac{\varphi}{2}$

Plantejament Força del cilindre perquè la barra estigui en equilibri amb $\varphi=30^\circ$: es prenen moments respecte d’O, on la reacció de l’articulació no fa moment.

1. Amb $\varphi=30^\circ$, la relació de l’apartat b dona $\alpha=(90^\circ-30^\circ)/2=30^\circ$.

2. Braços respecte d’O: el pes actua a C, a una distància horitzontal $2l\cos\varphi$ d’O; la força del cilindre actua a B, a una distància $l$ d’O i formant l’angle $\alpha$ amb la barra, així que el seu braç és $l\sin\alpha$. El cilindre fa girar la barra cap amunt i el pes, cap avall.

3. Equilibri de moments respecte d’O:

   $\sum M_\text{O}=0:$$F_\text{c}\,l\sin\alpha-m\,g\,2l\cos\varphi=0$

4. Aïllant $F_\text{c}$ i substituint:

   $F_\text{c}$${}= \dfrac{2\,m\,g\cos\varphi}{\sin\alpha}$${}= \dfrac{2\cdot735{,}5\ \mathrm{N}\cdot\cos30^\circ}{\sin30^\circ}$${}= 2\,548\ \mathrm{N}$

5. Les reaccions a O no es demanen, però completen el diagrama. A P, el cilindre forma l’angle $\alpha=30^\circ$ amb la vertical OP, de manera que la recta PB forma $60^\circ$ amb l’horitzontal i $F_\text{c}$ apunta cap amunt i cap a l’esquerra. Equacions de forces, amb $F_\text{H}$ cap a la dreta i $F_\text{V}$ cap avall:

   $\sum F_x=0:\ F_\text{H}-F_\text{c}\cos60^\circ=0$$\sum F_y$${}= 0:\ F_\text{c}\sin60^\circ-m\,g$${}-F_\text{V}=0$

6. Substituint, surten positives, és a dir, amb el sentit suposat:

   $F_\text{H}=2\,548\cdot0{,}5=1\,274\ \mathrm{N}$$F_\text{V}$${}= 2\,548\cdot0{,}8660-735{,}5$${}= 1\,471\ \mathrm{N}$

Plantejament Pressió relativa de l’oli dins del cilindre: la força que fa el cilindre dividida per la superfície de l’èmbol.

1. Superfície de l’èmbol, amb $d_\text{int}=40\ \mathrm{mm}=0{,}04\ \mathrm{m}$:

   $A$${}= \dfrac{\pi\,d_\text{int}^2}{4}$${}= \dfrac{\pi\cdot0{,}04^2}{4}$${}= 1{,}2566\cdot10^{-3}\ \mathrm{m^2}$

2. El cilindre empeny (la tija surt), així que l’oli actua sobre tota la cara de l’èmbol:

   $p_\text{int}$${}= \dfrac{F_\text{c}}{A}$${}= \dfrac{2\,548\ \mathrm{N}}{1{,}2566\cdot10^{-3}\ \mathrm{m^2}}$${}= 2{,}028\cdot10^{6}\ \mathrm{Pa}$${}= 2{,}028\ \mathrm{MPa}$

Plantejament Límit elàstic d’un material a partir de la corba tensió-deformació d’un assaig de tracció.

1. Quan la corba no té un límit marcat, el límit elàstic es pren de manera convencional: és la tensió on la corba talla una recta paral·lela al tram recte (elàstic) que surt d’una deformació permanent $\varepsilon=0{,}002$, el $0{,}2$ %.

2. La figura ja dibuixa aquesta recta fina. A l’eix horitzontal, la marca $0{,}005$ cau a la cinquena línia vertical de la quadrícula, així que cada línia val $0{,}001$ i la recta fina surt de la segona, $\varepsilon=0{,}002$. La recta talla la corba a l’altura de la línia horitzontal de $250\ \mathrm{MPa}$, a mig camí entre 200 i 300.

3. Per què no les altres: $200\ \mathrm{MPa}$, la b), és on s’acaba el tram recte de la corba, el límit de proporcionalitat; $230\ \mathrm{MPa}$, la a), no correspon a cap punt destacat de la corba, i $265\ \mathrm{MPa}$, la c), queda per sobre de tota la corba dibuixada, que no arriba a $265\ \mathrm{MPa}$.

Plantejament Emissions de $\mathrm{CO_2}$ d’un cotxe: cal saber quants quilòmetres fa amb el 90 % del dipòsit i multiplicar-los pel factor d’emissió per quilòmetre.

1. Combustible utilitzat:

   $V=0{,}90\cdot60\ \mathrm{L}=54\ \mathrm{L}$

2. Distància recorreguda amb un consum de $4{,}6\ \mathrm{L}$ cada $100\ \mathrm{km}$:

   $s$${}= \dfrac{54\ \mathrm{L}}{4{,}6\ \mathrm{L}}\cdot100\ \mathrm{km}$${}= 1\,173{,}9\ \mathrm{km}$

3. Massa de $\mathrm{CO_2}$ emesa:

   $m_{\mathrm{CO_2}}$${}= 1\,173{,}9\ \mathrm{km}\cdot121\ \mathrm{g/km}$${}= 1{,}420\cdot10^{5}\ \mathrm{g}$${}= 142{,}0\ \mathrm{kg}$

4. Per què no les altres: la b) ($157{,}8\ \mathrm{kg}$) correspon al dipòsit sencer, 60 L, sense descomptar el 10 % que queda; la d) ($1{,}420\ \mathrm{kg}$) és el mateix resultat cent vegades més petit, un error d’unitats; la c) no surt d’aquest càlcul.

Plantejament Lliscament d’un motor d’inducció trifàsic: es compara la velocitat de l’eix amb la velocitat de sincronisme del camp giratori, que depèn de la freqüència i del nombre de pols.

1. Hexapolar vol dir 6 pols, és a dir, $p=3$ parells de pols. Velocitat de sincronisme amb $f=50\ \mathrm{Hz}$:

   $n_\text{s}$${}= \dfrac{60\,f}{p}$${}= \dfrac{60\cdot50}{3}$${}= 1\,000\ \mathrm{min^{-1}}$

2. Lliscament en tant per u:

   $s$${}= \dfrac{n_\text{s}-n}{n_\text{s}}$${}= \dfrac{1\,000-940}{1\,000}$${}= 0{,}06$

3. La tensió (230 V) no intervé en el càlcul. Per què no les altres: la b) ($63{,}83\cdot10^{-3}$) surt de dividir per la velocitat de l’eix, $60/940$, en lloc de per la de sincronisme; la a) i la d) són lliscaments massa grans: amb $n_\text{s}=1\,000\ \mathrm{min^{-1}}$ l’eix giraria a uns $532$ i $120\ \mathrm{min^{-1}}$, i no a $940\ \mathrm{min^{-1}}$.

Plantejament Resistència equivalent de dues resistències en paral·lel amb tolerància: el valor mínim surt amb les dues al mínim i el màxim, amb les dues al màxim.

1. Valor nominal:

   $R_\text{eq}$${}= \dfrac{R_1\,R_2}{R_1+R_2}$${}= \dfrac{20\cdot30}{20+30}$${}= 12\ \Omega$

2. Mínim, amb les dues un 5 % per sota ($19\ \Omega$ i $28{,}5\ \Omega$):

   $R_\text{eq,mín}$${}= \dfrac{19\cdot28{,}5}{19+28{,}5}$${}= 11{,}40\ \Omega$

3. Màxim, amb les dues un 5 % per sobre ($21\ \Omega$ i $31{,}5\ \Omega$):

   $R_\text{eq,màx}$${}= \dfrac{21\cdot31{,}5}{21+31{,}5}$${}= 12{,}60\ \Omega$

4. És a dir, $12\ \Omega\pm5$ %: si les dues resistències tenen la mateixa tolerància, l’equivalent en paral·lel també la té. Per què no les altres: la b) són els límits de la connexió en sèrie ($50\ \Omega\pm5$ %); la d) surt de combinar una resistència al mínim i l’altra al màxim, que no dona els extrems; la c) seria $50\ \Omega\pm1$ %, que no correspon a les dades.

Plantejament Força teòrica d’avanç d’un cilindre d’efecte simple: en l’avanç la pressió actua sobre tota la cara de l’èmbol, i la tija no hi resta superfície.

1. Superfície de l’èmbol, amb $D=40\ \mathrm{mm}=0{,}04\ \mathrm{m}$:

   $A$${}= \dfrac{\pi\,D^2}{4}$${}= \dfrac{\pi\cdot0{,}04^2}{4}$${}= 1{,}2566\cdot10^{-3}\ \mathrm{m^2}$

2. Força teòrica, amb $p=0{,}7\ \mathrm{MPa}=7\cdot10^{5}\ \mathrm{Pa}$:

   $F$${}= p\,A=7\cdot10^{5}\ \mathrm{Pa}\cdot1{,}2566\cdot10^{-3}\ \mathrm{m^2}$${}= 879{,}6\ \mathrm{N}$

3. «Teòrica» vol dir sense descomptar la força de la molla de retorn ni els fregaments, que l’enunciat no dona. Per què no les altres: la a) ($536{,}0\ \mathrm{N}$) usa la superfície anular $\pi\,(D^2-d^2)/4$, que és la del retrocés d’un cilindre de doble efecte; la b) ($343{,}6\ \mathrm{N}$), la secció de la tija; la c) ($123{,}7\ \mathrm{N}$), un cercle de diàmetre $D-d$.

Plantejament Es demana el rendiment d’un motor de combustió: el quocient entre la potència mecànica que dona (parell per velocitat angular) i la potència tèrmica que aporta el combustible (cabal màssic per poder calorífic).

1. Cabal màssic de combustible: el volum per hora per la densitat ($0{,}85\,\mathrm{kg/dm^3} = 0{,}85\,\mathrm{kg/L}$, perquè $1\,\mathrm{dm^3} = 1\,\mathrm{L}$).

   $\dot m$${}= 9{,}5\,\mathrm{L/h}\cdot 0{,}85\,\mathrm{kg/L}$${}= 8{,}075\,\mathrm{kg/h}$

2. Potència tèrmica que aporta el combustible, passant les hores a segons ($1\,\mathrm{h} = 3\,600\,\mathrm{s}$) i els MJ a J:

   $P_\mathrm{c}$${}= \dot m\,p_\mathrm{c}$${}= \frac{8{,}075\,\mathrm{kg}}{3\,600\,\mathrm{s}}\cdot 44{,}8\cdot 10^{6}\,\mathrm{J/kg}$${}= 100{,}5\cdot 10^{3}\,\mathrm{W}$

3. Velocitat angular del motor:

   $\omega$${}= 3\,000\,\mathrm{min^{-1}}\cdot\frac{2\pi\,\mathrm{rad}}{60\,\mathrm{s}}$${}= 314{,}16\,\mathrm{rad/s}$

4. Potència mecànica que dona el motor:

   $P_\mathrm{m}$${}= \Gamma\,\omega=87\,\mathrm{N\,m}\cdot 314{,}16\,\mathrm{rad/s}$${}= 27{,}33\cdot 10^{3}\,\mathrm{W}$

5. Rendiment, que és el $27{,}2$ %:

   $\eta$${}= \frac{P_\mathrm{m}}{P_\mathrm{c}}$${}= \frac{27{,}33\,\mathrm{kW}}{100{,}5\,\mathrm{kW}}$${}= 0{,}272$

6. Les altres opcions no surten del quocient $P_\mathrm{m}/P_\mathrm{c}$ amb aquestes dades: la a) és més baixa que el valor calculat i la c) i la d), molt més altes.

Plantejament Es pregunta quina energia mecànica cal per a portar una barrera homogènia de l’horitzontal a la vertical, girant al voltant d’un extrem. És l’augment d’energia potencial, que depèn de quant puja el centre de gravetat.

1. La barrera és homogènia: el centre de gravetat és al seu punt mitjà, a $l/2$ de l’eix de gir. En posició horitzontal és a l’altura de l’eix, i en posició vertical és $l/2$ més amunt:

   $\Delta h = \frac{l}{2} = \frac{1{,}5\,\mathrm{m}}{2} = 0{,}75\,\mathrm{m}$

2. Augment d’energia potencial (l’enunciat no dona $g$; prenem $g = 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}$, i amb $9{,}81\,\mathrm{m/s^2}$ surt el mateix resultat):

   $\Delta E_\mathrm{p}$${}= m\,g\,\Delta h$${}= 3\,\mathrm{kg}\cdot 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}\cdot 0{,}75\,\mathrm{m}$${}= 22{,}07\,\mathrm{J}$

3. Si la barrera surt del repòs i s’atura a la vertical, com és el cas d’una barrera que s’obre, l’energia cinètica inicial i final és zero: l’energia necessària és només l’augment d’energia potencial, i no depèn de la velocitat de gir (la d) és falsa). Tampoc no és nul·la, perquè el centre de gravetat puja (la a) és falsa).

4. La c), $44{,}13\,\mathrm{J}$, és $m\,g\,l$: el que sortiria si tota la massa pugés la longitud sencera de la barrera, quan el centre de gravetat només puja $l/2$.

   $m\,g\,l = 3\cdot 9{,}807\cdot 1{,}5 = 44{,}13\,\mathrm{J}$

Plantejament Es demana el cost de l’energia elèctrica que consumeix la bomba d’una depuradora durant set mesos: l’energia consumida (potència consumida per temps de funcionament) pel preu del kW h.

1. Dies d’abril a octubre, tots dos inclosos: abril $30$, maig $31$, juny $30$, juliol $31$, agost $31$, setembre $30$ i octubre $31$.

   $N$${}= 30+31+30+31+31$${}+30+31$${}= 214\ \text{dies}$

2. Hores de funcionament, a $6$ hores al dia:

   $t = 214\cdot 6\,\mathrm{h} = 1\,284\,\mathrm{h}$

3. Els $1{,}1\,\mathrm{kW}$ ja són la potència que la bomba consumeix de la xarxa. El rendiment $0{,}7$ diu quina part d’aquesta potència arriba a l’aigua, però no canvia el que es paga. Energia consumida:

   $E$${}= P\,t=1{,}1\,\mathrm{kW}\cdot 1\,284\,\mathrm{h}$${}= 1\,412{,}4\,\mathrm{kW\,h}$

4. Cost, en euros, a $0{,}21578$ €/(kW h):

   $C = 1\,412{,}4\cdot 0{,}21578 = 304{,}8$

5. La b), $213{,}3$ €, és el que surt si es multiplica, per error, per $0{,}7$; i la d), $149{,}3$ €, si es multiplica dues vegades per $0{,}7$. La c) no surt de cap d’aquests càlculs.

   $304{,}77\cdot 0{,}7 = 213{,}3$$304{,}77\cdot 0{,}7^2 = 149{,}3$

Plantejament Es pregunta quant s’ha de desplaçar l’èmbol petit d’una premsa hidràulica perquè la càrrega pugi $20\,\mathrm{mm}$. Com que el líquid és incompressible, el volum que desplaça l’èmbol petit és el mateix que rep l’èmbol gros.

1. Igualtat de volums desplaçats, amb $A = \pi D^2/4$ ($\mathrm{p}$, èmbol petit; $\mathrm{g}$, èmbol gros):

   $A_\mathrm{p}\,x_\mathrm{p}$${}= A_\mathrm{g}\,x_\mathrm{g}$${}\Rightarrow x_\mathrm{p}$${}= x_\mathrm{g}\,\frac{D_\mathrm{g}^2}{D_\mathrm{p}^2}$

2. Substituint:

   $x_\mathrm{p}$${}= 20\,\mathrm{mm}\cdot\left(\frac{900\,\mathrm{mm}}{300\,\mathrm{mm}}\right)^2$${}= 20\,\mathrm{mm}\cdot 9$${}= 180\,\mathrm{mm}$

3. La massa de $750\,\mathrm{kg}$ no fa falta per al desplaçament: només serviria per a calcular la força a l’èmbol petit. La d), $60\,\mathrm{mm}$, surt de multiplicar per la relació de diàmetres ($3$) en lloc de la relació d’àrees ($9$).

Plantejament Es demana la potència d’un calefactor a partir de les dades del fil resistiu: primer la resistència del fil, $R = \rho\,L/S$, i després la potència a $230\,\mathrm{V}$, $P = U^2/R$.

1. Secció del fil, amb el diàmetre en metres ($d = 0{,}12\,\mathrm{mm} = 1{,}2\cdot 10^{-4}\,\mathrm{m}$):

   $S$${}= \frac{\pi\,d^2}{4}$${}= \frac{\pi\,(1{,}2\cdot 10^{-4}\,\mathrm{m})^2}{4}$${}= 1{,}131\cdot 10^{-8}\,\mathrm{m^2}$

2. Resistència del fil, de longitud $L = 30\,\mathrm{m}$:

   $R$${}= \rho\,\frac{L}{S}=16\cdot 10^{-9}\,\Omega\,\mathrm{m}\cdot\frac{30\,\mathrm{m}}{1{,}131\cdot 10^{-8}\,\mathrm{m^2}}$${}= 42{,}44\,\Omega$

3. Potència consumida a $U = 230\,\mathrm{V}$:

   $P$${}= \frac{U^2}{R}$${}= \frac{(230\,\mathrm{V})^2}{42{,}44\,\Omega}$${}= 1\,246\,\mathrm{W}$${}= 1{,}246\,\mathrm{kW}$

4. Les altres tres opcions no coincideixen amb el valor de $U^2/R$ calculat amb aquestes dades.

Plantejament Es demana el cilindre més petit de la llista que pugui fer $65\,000\,\mathrm{N}$ en l’avanç sense passar de la pressió màxima de la bomba. En un cilindre d’efecte simple, en l’avanç l’oli empeny tota la secció de l’èmbol, de diàmetre $d_\text{int}$.

1. La força en l’avanç és la pressió per l’àrea de l’èmbol. Amb la pressió màxima, el diàmetre mínim és:

   $F$${}= p_\text{màx}\,\frac{\pi\,d_\text{int}^2}{4}$${}\Rightarrow d_\text{int,mín}$${}= \sqrt{\frac{4F}{\pi\,p_\text{màx}}}$

2. Substituint, amb $20\,\mathrm{MPa} = 20\cdot 10^{6}\,\mathrm{Pa}$:

   $d_\text{int,mín}$${}= \sqrt{\frac{4\cdot 65\,000\,\mathrm{N}}{\pi\cdot 20\cdot 10^{6}\,\mathrm{Pa}}}$${}= 0{,}06433\,\mathrm{m}$${}= 64{,}33\,\mathrm{mm}$

3. Els models de $\mathrm{M_1}$ a $\mathrm{M_4}$, amb $d_\text{int} \le 60\,\mathrm{mm}$, no arriben a fer la força. El més petit amb $d_\text{int} \ge 64{,}33\,\mathrm{mm}$ és el $\mathrm{M_5}$, de $70\,\mathrm{mm}$.

Plantejament Es demana la pressió que ha de donar la bomba amb el model $\mathrm{M_5}$. A velocitat constant, la força del cilindre és igual a la càrrega, $65\,000\,\mathrm{N}$, i la pressió és aquesta força dividida per l’àrea de l’èmbol.

1. Àrea de l’èmbol en l’avanç ($d_\text{int} = 70\,\mathrm{mm} = 0{,}07\,\mathrm{m}$):

   $A_\text{avanç}$${}= \frac{\pi\,d_\text{int}^2}{4}$${}= \frac{\pi\,(0{,}07\,\mathrm{m})^2}{4}$${}= 3{,}8485\cdot 10^{-3}\,\mathrm{m^2}$

2. Pressió necessària:

   $p_0$${}= \frac{F}{A_\text{avanç}}$${}= \frac{65\,000\,\mathrm{N}}{3{,}8485\cdot 10^{-3}\,\mathrm{m^2}}$${}= 16{,}89\cdot 10^{6}\,\mathrm{Pa}$${}= 16{,}89\,\mathrm{MPa}$

3. És menor que els $20\,\mathrm{MPa}$ màxims de la bomba, com havia de ser en triar un cilindre més gran que el mínim.

Plantejament Es demanen la velocitat d’avanç de la tija i la potència del cilindre. Tot el cabal de la bomba entra a la cambra de l’èmbol: la velocitat és el cabal dividit per l’àrea, i la potència és la força per la velocitat.

1. Cabal en unitats del SI:

   $q$${}= 3\,\mathrm{m^3/h}$${}= \frac{3\,\mathrm{m^3}}{3\,600\,\mathrm{s}}$${}= 8{,}3333\cdot 10^{-4}\,\mathrm{m^3/s}$

2. Velocitat de la tija:

   $v_\text{tija}$${}= \frac{q}{A_\text{avanç}}$${}= \frac{8{,}3333\cdot 10^{-4}\,\mathrm{m^3/s}}{3{,}8485\cdot 10^{-3}\,\mathrm{m^2}}$${}= 0{,}2165\,\mathrm{m/s}$${}= 216{,}5\,\mathrm{mm/s}$

3. Potència que desenvolupa el cilindre:

   $P_\text{cil}$${}= F\,v_\text{tija}$${}= 65\,000\,\mathrm{N}\cdot 0{,}2165\,\mathrm{m/s}$${}= 14{,}07\cdot 10^{3}\,\mathrm{W}$${}= 14{,}07\,\mathrm{kW}$

4. Comprovació: la potència hidràulica que entra al cilindre, pressió per cabal, dona el mateix:

   $p_0\,q$${}= 16{,}89\cdot 10^{6}\,\mathrm{Pa}\cdot 8{,}3333\cdot 10^{-4}\,\mathrm{m^3/s}$${}= 14{,}07\,\mathrm{kW}$

5. Si la velocitat s’arrodoneix a $0{,}216\,\mathrm{m/s}$ abans de multiplicar, surt $14{,}04\,\mathrm{kW}$; la diferència és només d’arrodoniment.

Plantejament Es demana la tensió normal a la tija mentre empeny la càrrega. La tija transmet la força $F$ i treballa a compressió; la tensió és la força dividida per la secció de la tija.

1. Secció de la tija ($d_\text{tija} = 40\,\mathrm{mm} = 0{,}04\,\mathrm{m}$):

   $A_\text{tija}$${}= \frac{\pi\,d_\text{tija}^2}{4}$${}= \frac{\pi\,(0{,}04\,\mathrm{m})^2}{4}$${}= 1{,}2566\cdot 10^{-3}\,\mathrm{m^2}$

2. Tensió normal de compressió:

   $\sigma$${}= \frac{F}{A_\text{tija}}$${}= \frac{65\,000\,\mathrm{N}}{1{,}2566\cdot 10^{-3}\,\mathrm{m^2}}$${}= 51{,}73\cdot 10^{6}\,\mathrm{Pa}$${}= 51{,}73\,\mathrm{MPa}$