¿Cuántos ejercicios de derivadas y sus aplicaciones han caído en la PAU de Matemáticas de Cataluña?

Entre 2022 y 2026, 39 ejercicios en 15 de los 15 exámenes que tenemos resueltos (cada año, la ordinaria y la extraordinaria, y también la serie de incidencias). Ha caído en 2026, 2025, 2024, 2023 y 2022.

¿Las soluciones son las oficiales?

No: las escribe EducaIA, paso a paso, y cada resultado está contrastado con la pauta oficial de corrección. Cuando la pauta da otra cifra (casi siempre por redondeo), lo ponemos al lado con la explicación.

¿Qué hago si mi resultado no coincide con la pauta?

Mira primero si es el mismo valor escrito de otra forma: una fracción y su decimal, o una raíz sin simplificar. Da los resultados exactos, con fracciones o raíces, salvo que el enunciado pida decimales, y justifica cada paso: las pautas puntúan el planteamiento, no solo el resultado.

¿Puedo imprimir los ejercicios?

Sí. El botón de imprimir prepara una hoja con los enunciados oficiales, con espacio para responder, y las soluciones aparte. Cada ejercicio enlaza también el PDF oficial del examen y de la pauta.

Derivadas y sus aplicaciones: ejercicios PAU Matemáticas

2026Convocatoria ordinaria · Serie 1 · Ejercicio 1

2,5 puntosCoincide con la pautaTambién en Límites y continuidad, Integrales

Enunciado oficial del ejercicio 1 de la PAU de Matemáticas de Cataluña de 2026 (convocatoria ordinaria), en castellano. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Enunciado oficial del ejercicio 1 de la PAU de Matemáticas de Cataluña de 2026 (convocatoria ordinaria), en catalán. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Considere la siguiente función definida a trozos: $f(x)$ ${}= \begin{cases}5e^{2x} & x\le 0\\ (x+m)^2+1 & 0<x<2\\ 1 & 2\le x\end{cases}$ , donde $m$ es un parámetro real.

1.1 Determine los valores de $m$ que hacen que la función $f(x)$ sea continua en todo su dominio. Justifique la respuesta.

[1 punto]

1.2 Haga un esbozo de la gráfica de $y=f(x)$ para el caso $m=-2$ , y calcule el área delimitada por esta gráfica, el eje $OX$ y las rectas $x=-1$ y $x=3$ .

[1 punto]

1.3 Para $m=-2$ , encuentre un punto donde la recta tangente a $y=f(x)$ sea paralela a $y=-2x$ . Calcule la ecuación de esta recta tangente.

[0,5 puntos]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

1.11 punto

Planteamiento Cada trozo es una función continua (exponencial, polinómica y constante) en su intervalo, así que solo hay que imponer la continuidad en los puntos donde cambia la fórmula, $x=0$ y $x=2$ : los límites laterales y el valor de la función deben coincidir.

En $x=0$ :
$\lim_{x\to 0^-}5e^{2x}=5=f(0)$ $\lim_{x\to 0^+}\left((x+m)^2+1\right)$ ${}= m^2+1$
Igualamos los dos valores:
$m^2+1=5\ \Longrightarrow\ m^2=4\ \Longrightarrow\ m=2$ $\text{o}\ \ m=-2$
En $x=2$ :
$\lim_{x\to 2^-}\left((x+m)^2+1\right)$ ${}= (2+m)^2+1$ $f(2)=\lim_{x\to 2^+}1=1$
Igualamos los dos valores:
$(2+m)^2+1$ ${}= 1$ ${}\Longrightarrow (2+m)^2=0$ ${}\Longrightarrow m=-2$
Las dos condiciones se cumplen a la vez solo para $m=-2$ .

ResultadoLa función es continua en todo $\mathbb{R}$ solo para $m=-2$ .

La pauta oficial da: $m=-2$

1.21 punto

Planteamiento Para $m=-2$ la función es positiva en todas partes, de modo que el área es la integral definida de $f$ entre $-1$ y $3$ , separada en los tres trozos.

Para $m=-2$ , la función es:
$f(x)$ ${}= \begin{cases}5e^{2x} & x\le 0\\ (x-2)^2+1 & 0<x<2\\ 1 & 2\le x\end{cases}$
Esbozo: el primer trozo es una exponencial creciente que tiende a $0$ hacia $-\infty$ y vale $5$ en $x=0$ ; el segundo es una parábola con vértice en $(2,1)$ que baja de $5$ a $1$ ; el tercero es la recta horizontal $y=1$ . La función es continua y siempre positiva.
Planteamos el área:
$A$ ${}= \int_{-1}^{0}5e^{2x}\,dx$ ${}+\int_{0}^{2}\left((x-2)^2+1\right)dx$ ${}+\int_{2}^{3}1\,dx$
Trozo exponencial:
$\int_{-1}^{0}5e^{2x}\,dx$ ${}= \left[\frac{5}{2}e^{2x}\right]_{-1}^{0}$ ${}= \frac{5}{2}-\frac{5}{2e^{2}}$
Trozo parabólico:
$\int_{0}^{2}\left((x-2)^2+1\right)dx$ ${}= \left[\frac{(x-2)^3}{3}+x\right]_{0}^{2}$ ${}= 2-\left(-\frac{8}{3}\right)$ ${}= \frac{14}{3}$
Trozo constante:
$\int_{2}^{3}1\,dx=1$
Sumamos:
$A$ ${}= \frac{5}{2}-\frac{5}{2e^{2}}+\frac{14}{3}+1$ ${}= \frac{49}{6}-\frac{5}{2e^{2}}$ ${}\approx 7{,}83\ \text{u}^2$

Resultado $A=\dfrac{49}{6}-\dfrac{5}{2e^{2}}\approx 7{,}83\ \text{u}^2$

La pauta oficial da: $\frac{5}{2}-\frac{5}{2e^{2}}+\frac{8}{3}+3-2\approx 7{,}83\ \mathrm{u}^2$

Gráfica de la función para m=−2: exponencial hasta x=0, parábola de vértice (2,1) entre 0 y 2 y recta y=1 a partir de x=2. El área entre x=−1 y x=3 bajo la gráfica está sombreada; mide 49/6−5/(2e²)≈7,83 unidades cuadradas.

1.30,5 puntos

Planteamiento Una recta paralela a $y=-2x$ tiene pendiente $-2$ , y la pendiente de la tangente es la derivada. Buscamos dónde $f'(x)=-2$ .

En el primer trozo la derivada es positiva y en el tercero es cero, así que el punto debe estar en el trozo parabólico:
$(5e^{2x})'=10e^{2x}>0$ $(1)'=0$
Derivamos el trozo del medio e igualamos a $-2$ :
$f'(x)$ ${}= 2(x-2)$ ${}= -2$ ${}\Longrightarrow x=1\in(0,2)$
Calculamos la ordenada:
$f(1)=(1-2)^2+1=2$
Ecuación de la recta tangente:
$y-2=-2(x-1)\ \Longrightarrow\ y=-2x+4$

ResultadoPunto $(1,2)$ ; recta tangente $y=-2x+4$ .

La pauta oficial da: $(1,2)$ , $y=-2x+4$

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemáticas 2026, convocatoria ordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 22 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

El examen entero, resuelto Examen en catalán (PDF)Examen en castellano (PDF)Pauta de corrección (PDF)Reutilizado según el aviso legal de la Generalitat

2026Convocatoria ordinaria · Serie 1 · Ejercicio 3

2,5 puntosLa pauta tiene un errorTambién en Probabilidad y estadística

Enunciado oficial del ejercicio 3 de la PAU de Matemáticas de Cataluña de 2026 (convocatoria ordinaria), en castellano. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Enunciado oficial del ejercicio 3 de la PAU de Matemáticas de Cataluña de 2026 (convocatoria ordinaria), en catalán. El texto está en la página. — Enunciado oficial

El Ayuntamiento de Canet de Mar ha conseguido 24 entradas gratuitas para un concierto de un grupo de rock catalán, y ha decidido sortearlas entre los vecinos interesados en asistir. Todos los vecinos del pueblo seguidores de este grupo se apuntan al sorteo, y solo al 16 % de ellos les toca una entrada. Del resto de seguidores del grupo, seis séptimas partes intentan comprar una entrada a través de la web, donde la probabilidad de conseguirla es del 25 %.

3.1 ¿Cuántas personas de este municipio tienen entrada para el concierto?

[0,75 puntos]

3.2 Si se escoge al azar un vecino de Canet seguidor de este grupo de rock y no tiene entrada para el concierto, ¿cuál es la probabilidad de que haya intentado conseguirla vía web?

[0,75 puntos]

3.3 El día del concierto, el equipo de sonido mide el nivel de decibelios generado por los gritos entusiastas del público a lo largo de los 5 minutos de duración de la canción más famosa del grupo; se puede aproximar por la siguiente función: $S(t)$ ${}= -t^3+12t^2-30t$ ${}+90,\quad t\in[0,5]$ , donde $t$ es el tiempo en minutos y $S(t)$ los decibelios. Cuando se superan los 100 decibelios se considera que el público está muy entregado y se activan automáticamente unos efectos lumínicos especiales. ¿Se activarán en algún momento durante estos cinco minutos? Si la respuesta es afirmativa, calcule en qué minuto se activan, aproximado a las décimas.

[1 punto]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

3.10,75 puntos

Planteamiento Calculamos qué proporción de seguidores acaba teniendo entrada (por el sorteo o por la web) y, como sabemos que el 16 % son exactamente 24 personas, pasamos de proporción a número de personas.

Sucesos: $E_S$ = «obtener entrada en el sorteo», $W$ = «intentar comprarla en la web», $E_W$ = «conseguirla en la web».
$P(E_S)=0{,}16$
Intentan la web seis séptimas partes de los que no han ganado en el sorteo:
$P(W)$ ${}= (1-0{,}16)\cdot\frac{6}{7}$ ${}= 0{,}84\cdot\frac{6}{7}$ ${}= 0{,}72$
De estos, el 25 % la consigue:
$P(E_W)=0{,}72\cdot 0{,}25=0{,}18$
Proporción de seguidores con entrada:
$P(E)=0{,}16+0{,}18=0{,}34$
El 16 % de los seguidores son las 24 personas del sorteo; por tanto, hay 150 seguidores:
$N=\frac{24}{0{,}16}=150$
Personas con entrada:
$0{,}34\cdot 150=51$

Resultado $51$ personas.

La pauta oficial da: $51$

3.20,75 puntos

Planteamiento Es una probabilidad condicionada: sabemos que la persona no tiene entrada y queremos la probabilidad de que hubiera probado la web. Aplicamos la fórmula de Bayes.

Sea $\overline{E}$ = «no tener entrada». Del apartado anterior:
$P(\overline{E})=1-0{,}34=0{,}66$
Si ha probado la web, no tiene entrada con probabilidad $1-0{,}25$ :
$P(\overline{E}\mid W)=0{,}75$
Fórmula de Bayes:
$P(W\mid\overline{E})$ ${}= \frac{P(\overline{E}\mid W)\,P(W)}{P(\overline{E})}$ ${}= \frac{0{,}75\cdot 0{,}72}{0{,}66}$ ${}= \frac{0{,}54}{0{,}66}$ ${}= \frac{9}{11}$ ${}\approx 0{,}82$

Resultado $P=\dfrac{9}{11}\approx 0{,}82$

La pauta oficial da: $\approx 0{,}82$

3.31 punto

Planteamiento Queremos saber si $S(t)$ llega a $100$ . Definimos $D(t)=S(t)-100$ , que es continua, y aplicamos el teorema de Bolzano; después vamos reduciendo el intervalo hasta tener la precisión de una décima.

$D$ es polinómica y, por tanto, continua en $[0,5]$ :
$D(t)$ ${}= S(t)-100$ ${}= -t^3+12t^2-30t$ ${}-10$
Valores en los extremos:
$D(0)=-10<0$ $D(5)$ ${}= -125+300-150-10$ ${}= 15$ ${}> 0$
Por el teorema de Bolzano existe $c\in(0,5)$ con $D(c)=0$ , es decir, $S(c)=100$ : los efectos se activan.
Antes de eso $S$ no llega a $100$ : $S'(t)=-3t^2+24t-30$ se anula en $t=4-\sqrt{6}\approx 1{,}55$ ; $S$ decrece en $[0;\,1{,}55]$ (donde $S\le 90$ ) y después crece, así que solo atraviesa el valor $100$ una vez.
Acotamos la raíz:
$D(4)=-2<0$ $D(4{,}2)=1{,}592>0\ \Rightarrow\ c\in(4;\,4{,}2)$
$D(4{,}1)$ ${}= -0{,}201$ ${}< 0$ ${}\Rightarrow c\in(4{,}1;\,4{,}2)$
Para decidir el redondeo a las décimas miramos el punto medio:
$D(4{,}15)$ ${}\approx 0{,}70$ ${}> 0$ ${}\Rightarrow c\in(4{,}1;\,4{,}15)$ ${}\Rightarrow c$ ${}\approx 4{,}1$

ResultadoSí; se activan a los $t\approx 4{,}1$ minutos.

La pauta oficial da: $\text{Sí}$ , $t\approx 4{,}1\ \text{min}$

Gráfica del nivel de sonido S(t) entre t=0 y t=5 con la recta horizontal S=100. La curva baja hasta un mínimo hacia t≈1,55, después sube y corta la recta S=100 una sola vez, en t≈4,1 minutos.

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemáticas 2026, convocatoria ordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 22 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

El examen entero, resuelto Examen en catalán (PDF)Examen en castellano (PDF)Pauta de corrección (PDF)Reutilizado según el aviso legal de la Generalitat

2026Convocatoria ordinaria · Serie 1 · Ejercicio 4

2,5 puntosCoincide con la pautaTambién en Geometría en el espacio

Enunciado oficial del ejercicio 4 de la PAU de Matemáticas de Cataluña de 2026 (convocatoria ordinaria), en castellano. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Enunciado oficial del ejercicio 4 de la PAU de Matemáticas de Cataluña de 2026 (convocatoria ordinaria), en catalán. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Escoja UNA de las dos opciones (A o B) y responda a las cuestiones que se plantean. Indique en la portada del examen la opción elegida.

OPCIÓN A

El alcalde de un pueblo de Catalunya encarga al arquitecto municipal el diseño de un parque infantil que se construirá en un terreno público. Para cumplir con la normativa vigente, en el parque tiene que haber dos espacios bien delimitados: uno para una boca de riego —el cual, según el arquitecto, debe tener forma circular—, y otro para una caseta donde guardar las herramientas de mantenimiento —el cual debe tener forma cuadrada—. Por motivos estéticos, el arquitecto quiere delimitar cada uno de estos dos espacios con una barandilla de forja. Sabiendo que las dos barandillas miden exactamente 10 m de longitud en total, ¿qué medida debe tener la barandilla de cada espacio para que la suma de las superficies de los dos espacios sea lo más pequeña posible? ¿Cuál es esta superficie mínima?

[2,5 puntos]

OPCIÓN B

Considere los puntos del espacio $P=(1,0,-1)$ , $Q=(3,-2,0)$ y $R=(1,1,1)$ .

4.1 Calcule la ecuación del plano que contiene los puntos $P$ , $Q$ y $R$ .

[0,75 puntos]

4.2 Compruebe que el área del triángulo $\Delta PQR$ es $\frac{3\sqrt{5}}{2}u^2$ .

[0,75 puntos]

4.3 Determine las condiciones que deben cumplir las coordenadas de un cuarto punto $S=(x,y,z)$ para que $P$ , $Q$ , $R$ y $S$ formen un tetraedro de volumen 1. (El volumen del tetraedro formado por los puntos $P$ , $Q$ , $R$ y $S$ es: $\text{volumen}(PQRS)$ ${}= \frac{\text{área}(\Delta PQR)\cdot\text{altura}}{3}$ ).

[1 punto]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

Opción A

2,5 puntos

Planteamiento Llamamos $x$ a la longitud de barandilla del círculo; el resto, $10-x$ , es el perímetro del cuadrado. Escribimos la suma de las dos áreas en función de $x$ y buscamos su mínimo en $[0,10]$ .

Círculo de perímetro $x$ :
$r=\frac{x}{2\pi}$ $A_1=\pi r^2=\frac{x^2}{4\pi}$
Cuadrado de perímetro $10-x$ :
$c=\frac{10-x}{4}$ $A_2=\frac{(10-x)^2}{16}$
Función a minimizar:
$A(x)=\frac{x^2}{4\pi}+\frac{(10-x)^2}{16}$ $0\le x\le 10$
Derivamos e igualamos a cero:
$A'(x)$ ${}= \frac{x}{2\pi}-\frac{10-x}{8}=0$ ${}\Longrightarrow 4x=\pi(10-x)$ ${}\Longrightarrow x=\frac{10\pi}{4+\pi}$ ${}\approx 4{,}4$
Es un mínimo, porque la segunda derivada es positiva:
$A''(x)=\frac{1}{2\pi}+\frac{1}{8}>0$
Barandilla del cuadrado:
$10-\frac{10\pi}{4+\pi}=\frac{40}{4+\pi}\approx 5{,}6$
Superficie mínima (también es menor que en los extremos, $A(0)=6{,}25$ y $A(10)\approx 7{,}96$ ):
$A\left(\frac{10\pi}{4+\pi}\right)=\frac{25}{4+\pi}\approx 3{,}5$

ResultadoBarandilla del círculo: $\dfrac{10\pi}{4+\pi}\approx 4{,}4\ \text{m}$ ; barandilla del cuadrado: $\dfrac{40}{4+\pi}\approx 5{,}6\ \text{m}$ ; superficie mínima: $\dfrac{25}{4+\pi}\approx 3{,}5\ \text{m}^2$ .

La pauta oficial da: $x\approx 4{,}4\ m\ (\text{cercle})$ , $5{,}6\ m\ (\text{quadrat})$ , $A\approx 3{,}5\ \mathrm{m}^2$

Opción B

4.10,75 puntos

Planteamiento Dos vectores del plano, $\overrightarrow{PQ}$ y $\overrightarrow{PR}$ , dan el vector normal con el producto vectorial; después imponemos que el plano pase por $P$ .

Vectores:
$\overrightarrow{PQ}=(2,-2,1)$ $\overrightarrow{PR}=(0,1,2)$
Vector normal:
$\vec n$ ${}= \overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}$ ${}= \begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\2&-2&1\\0&1&2\end{vmatrix}$ ${}= (-5,-4,2)$
El plano es $5x+4y-2z+D=0$ (normal $(5,4,-2)$ ). Pasa por $P$ :
$5\cdot 1+4\cdot 0-2\cdot(-1)$ ${}+D=0$ ${}\Longrightarrow D=-7$
Comprobación con $Q$ y $R$ :
$15-8-0-7=0$ $5+4-2-7=0$

Resultado $5x+4y-2z-7=0$

La pauta oficial da: $5x+4y-2z-7=0$

4.20,75 puntos

Planteamiento El área de un triángulo es la mitad del módulo del producto vectorial de dos de sus lados, que ya hemos calculado.

$A_{PQR}$ ${}= \frac{1}{2}\left|\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}\right|$ ${}= \frac{1}{2}\sqrt{(-5)^2+(-4)^2+2^2}$ ${}= \frac{\sqrt{45}}{2}$ ${}= \frac{3\sqrt{5}}{2}$

Resultado $\text{Área}=\dfrac{3\sqrt{5}}{2}\ \text{u}^2$ , como dice el enunciado.

La pauta oficial da: $\frac{3\sqrt5}{2}\ \mathrm{u}^2$

4.31 punto

Planteamiento La altura del tetraedro es la distancia de $S$ al plano $\pi$ del triángulo. Imponemos que el volumen valga 1 y resolvemos la ecuación con valor absoluto.

Distancia de $S=(x,y,z)$ al plano $\pi$ :
$d(S,\pi)$ ${}= \frac{|5x+4y-2z-7|}{\sqrt{5^2+4^2+(-2)^2}}$ ${}= \frac{|5x+4y-2z-7|}{3\sqrt{5}}$
Volumen igual a 1:
$\frac{1}{3}\cdot\frac{3\sqrt{5}}{2}\cdot\frac{|5x+4y-2z-7|}{3\sqrt{5}}$ ${}= \frac{|5x+4y-2z-7|}{6}$ ${}= 1$
Valor absoluto:
$5x+4y-2z-7=6$ $\text{o}\ \quad 5x+4y-2z-7=-6$

Resultado $S$ debe estar en uno de los dos planos paralelos a $\pi$ : $5x+4y-2z-13=0$ o $5x+4y-2z-1=0$ .

La pauta oficial da: $5x+4y-2z-1$ ${}= 0\ \text{i}\ 5x+4y-2z-13=0$

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemáticas 2026, convocatoria ordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 22 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

El examen entero, resuelto Examen en catalán (PDF)Examen en castellano (PDF)Pauta de corrección (PDF)Reutilizado según el aviso legal de la Generalitat

2026Convocatoria ordinaria · Serie 5 · Ejercicio 1

2,5 puntosCoincide con la pautaTambién en Integrales

Considere la parábola $y=f(x)$ , con $f(x)=-x^2+5x$ , y la hipérbola $y=g(x)$ , con $g(x)=8-\dfrac{8}{x+1}$ .

1.1 ¿En cuántos puntos se cortan las gráficas de estas dos funciones? Calcúlelos todos.

[0,75 puntos]

1.2 Calcule el área de la región situada entre las dos curvas desde $x=1$ hasta $x=3$ .

[1 punto]

1.3 Compruebe que $f(x)$ tiene sus raíces en los puntos de abscisa $x=0$ y $x=5$ , y que la ordenada del vértice de la parábola $y=f(x)$ es $y=6{,}25$ . Justifique que $y=f(x)$ es la única parábola que existe con estas dos propiedades.

[0,75 puntos]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

1.10,75 puntos

Planteamiento Se pide cuántos puntos comunes tienen las dos gráficas y cuáles son. Igualamos $f(x)=g(x)$ ; como $g$ no está definida en $x=-1$ , trabajamos con $x\neq -1$ y podemos multiplicar por $x+1$ .

Igualamos las dos funciones y multiplicamos por $x+1$ :
$-x^2+5x$ ${}= 8-\frac{8}{x+1}$ ${}\Longrightarrow \left(-x^2+5x\right)(x+1)$ ${}= 8(x+1)-8$
Desarrollamos y lo pasamos todo a un miembro:
$-x^3+4x^2+5x$ ${}= 8x$ ${}\Longrightarrow -x^3+4x^2-3x=0$ ${}\Longrightarrow -x\left(x^2-4x+3\right)=0$
Una solución es $x=0$ ; las otras salen de la ecuación de segundo grado:
$x=\frac{4\pm\sqrt{16-12}}{2}=\frac{4\pm 2}{2}\ \Longrightarrow\ x=1$ $x=3$
Ninguna es $x=-1$ , así que las tres son válidas. Ordenadas:
$f(0)=0$ $f(1)=-1+5=4$ $f(3)=-9+15=6$
Comprobación con la hipérbola: $g(0)=8-8=0$ , $g(1)=8-4=4$ y $g(3)=8-2=6$ .

ResultadoSe cortan en tres puntos: $(0,0)$ , $(1,4)$ y $(3,6)$ .

La pauta oficial da: 3 puntos: $(0,0)$ , $(1,4)$ , $(3,6)$

1.21 punto

Planteamiento Se pide el área entre las dos curvas de $x=1$ a $x=3$ . Entre estos dos puntos de corte no hay ningún otro, así que una curva queda siempre por encima de la otra; el área es la integral de la de arriba menos la de abajo.

Cuál está por encima: en $x=2$ , $f(2)=6$ y $g(2)=8-\frac{8}{3}\approx 5{,}33$ ; por tanto, en $(1,3)$ la parábola está por encima de la hipérbola:
$f(x)-g(x)$ ${}= -x^2+5x-8+\frac{8}{x+1}$
Primitiva (la de $\frac{8}{x+1}$ es $8\ln(x+1)$ , porque $x+1>0$ ):
$A$ ${}= \int_1^3\left(-x^2+5x-8+\frac{8}{x+1}\right)dx$ ${}= \left[-\frac{x^3}{3}+\frac{5x^2}{2}-8x+8\ln(x+1)\right]_1^3$
Regla de Barrow:
$A$ ${}= \left(-9+\frac{45}{2}-24+8\ln 4\right)$ ${}-\left(-\frac{1}{3}+\frac{5}{2}-8+8\ln 2\right)$ ${}= -\frac{21}{2}+\frac{35}{6}+8\ln 4-8\ln 2$
Como $\ln 4=2\ln 2$ :
$A=-\frac{14}{3}+8\ln 2\approx 0{,}8785$

Resultado $A=8\ln 2-\dfrac{14}{3}\approx 0{,}8785\ \text{u}^2$

La pauta oficial da: $-\frac{26}{3}+4+8\ln 2=0{,}878\ldots\ \text{u}^2$

La parábola y=−x²+5x y la hipérbola y=8−8/(x+1) para x entre −0,5 y 5, con los tres puntos de corte (0,0), (1,4) y (3,6) marcados. Entre x=1 y x=3 la parábola queda por encima, y la región entre las dos curvas, de área 8ln 2−14/3≈0,88, está sombreada.

1.30,75 puntos

Planteamiento Se pide comprobar dos propiedades de $f$ (las raíces y la ordenada del vértice) y justificar que ninguna otra parábola las tiene. Para la unicidad, escribimos una parábola cualquiera con esas raíces e imponemos la ordenada del vértice.

Raíces:
$f(0)=-0^2+5\cdot 0=0$ $f(5)=-25+25=0$
Vértice: es el punto donde se anula la derivada (aquí, el máximo de la parábola):
$f'(x)=-2x+5=0\ \Longrightarrow\ x=\frac{5}{2}$ $f\left(\frac{5}{2}\right)=-\frac{25}{4}+\frac{25}{2}=\frac{25}{4}=6{,}25$
Unicidad: una parábola $y=ax^2+bx+c$ ( $a\neq 0$ ) que se anula en $x=0$ y en $x=5$ se factoriza con esas dos raíces:
$y=ax(x-5)$
El vértice está en el punto medio de las raíces, $x=\frac{0+5}{2}=\frac{5}{2}$ , porque la parábola es simétrica respecto de la recta vertical que pasa por el vértice. Imponemos que su ordenada sea $6{,}25$ :
$a\cdot\frac{5}{2}\left(\frac{5}{2}-5\right)$ ${}= -\frac{25}{4}\,a$ ${}= 6{,}25$ ${}\Longrightarrow a=-1$
El único valor posible es $a=-1$ , que da $y=-x(x-5)=-x^2+5x$ : es la parábola $y=f(x)$ .

Resultado $f(0)=f(5)=0$ y el vértice es $\left(\frac{5}{2};\ 6{,}25\right)$ . Cualquier parábola con esas raíces es $y=ax(x-5)$ , y la ordenada del vértice obliga a que $a=-1$ : la única es $y=-x^2+5x$ .

La pauta oficial da: $f(x)=ax(x-5)$ , $a=-1$

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemáticas 2026, convocatoria ordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 30 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

El examen entero, resuelto Examen en catalán (PDF)Examen en castellano (PDF)Pauta de corrección (PDF)Reutilizado según el aviso legal de la Generalitat

2026Convocatoria ordinaria · Serie 5 · Ejercicio 3

2,5 puntosCoincide con la pautaTambién en Probabilidad y estadística

En una ciudad se ha estudiado la relación entre los hábitos de lectura y la práctica de deporte entre el alumnado de bachillerato. Para ello, se han formulado las dos preguntas siguientes al alumnado de esta etapa educativa: «¿Lees como mínimo dos libros al mes?» y «¿Practicas algún deporte al menos cuatro horas por semana?». De los resultados de la encuesta, se desprende que el 60 % leen como mínimo dos libros al mes, de los cuales el 70 % practican algún deporte un mínimo de cuatro horas por semana. También se observa que, de entre los que no leen un mínimo de dos libros al mes, el 50 % hacen menos de cuatro horas semanales de deporte. Si se elige al azar un alumno/a de bachillerato de esta ciudad:

3.1 ¿Cuál es la probabilidad de que haga deporte al menos cuatro horas semanales?

[0,75 puntos]

3.2 Si se sabe que este alumno/a hace deporte menos de cuatro horas semanales, ¿cuál es la probabilidad de que lea al menos dos libros al mes?

[0,75 puntos]

3.3 Alba es una estudiante de bachillerato que ha ido anotando durante todo el curso cuántas horas dedicaba a la semana a leer y cuántas a hacer deporte. Para cada semana tiene apuntado un número real $x$ que corresponde a la cantidad de horas de lectura y que oscila entre 1 y 6, y un número real $y$ que corresponde a la cantidad de horas de práctica deportiva. Ha observado que la relación $y=7-x+\ln(2x-1)$ se ajusta bastante bien a los datos que ha anotado. Calcule, según este modelo, cuál es el máximo y el mínimo de horas por semana que Alba ha dedicado a practicar deporte.

[1 punto]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

3.10,75 puntos

Planteamiento Se pide la probabilidad de que el alumno haga al menos cuatro horas de deporte a la semana. Depende de si lee o no al menos dos libros al mes, que son los dos grupos de la encuesta: usamos el teorema de la probabilidad total.

Sucesos: $L$ = «lee como mínimo dos libros al mes» y $E$ = «hace deporte al menos cuatro horas a la semana». Datos:
$P(L)=0{,}6$ $P(E\mid L)=0{,}7$ $P(\overline E\mid\overline L)=0{,}5$
Complementarios:
$P(\overline L)=0{,}4$ $P(E\mid\overline L)=1-0{,}5=0{,}5$ $P(\overline E\mid L)=1-0{,}7=0{,}3$
Teorema de la probabilidad total:
$P(E)$ ${}= P(L)\,P(E\mid L)$ ${}+P(\overline L)\,P(E\mid\overline L)$ ${}= 0{,}6\cdot 0{,}7+0{,}4\cdot 0{,}5$ ${}= 0{,}42+0{,}20$ ${}= 0{,}62$

Resultado $P(E)=0{,}62$

La pauta oficial da: $0{,}62$

3.20,75 puntos

Planteamiento Sabemos que hace menos de cuatro horas de deporte ( $\overline E$ ) y queremos la probabilidad de que lea al menos dos libros al mes: es $P(L\mid\overline E)$ , que calculamos con la fórmula de Bayes.

Probabilidad de $\overline E$ , con el apartado anterior:
$P(\overline E)=1-0{,}62=0{,}38$
Fórmula de Bayes:
$P(L\mid\overline E)$ ${}= \frac{P(\overline E\mid L)\,P(L)}{P(\overline E)}$ ${}= \frac{0{,}3\cdot 0{,}6}{0{,}38}$ ${}= \frac{0{,}18}{0{,}38}$ ${}= \frac{9}{19}$

Resultado $P(L\mid\overline E)=\dfrac{9}{19}\approx 0{,}4737$

La pauta oficial da: $0{,}47\ldots$

3.31 punto

Planteamiento Se piden el máximo y el mínimo absolutos de $y(x)=7-x+\ln(2x-1)$ en el intervalo $[1,6]$ , que es donde varía $x$ . Una función continua en un intervalo cerrado tiene en él máximo y mínimo absolutos, y están en un punto crítico del interior o en un extremo del intervalo.

Derivada (en $[1,6]$ , $2x-1>0$ ):
$y'(x)=-1+\frac{2}{2x-1}=\frac{3-2x}{2x-1}$
Punto crítico:
$y'(x)=0\ \Longleftrightarrow\ 3-2x=0\ \Longleftrightarrow\ x=\frac{3}{2}$
Signo: el denominador es positivo; $y'>0$ en $\left[1,\frac{3}{2}\right)$ e $y'<0$ en $\left(\frac{3}{2},6\right]$ . La función crece y después decrece: en $x=\frac{3}{2}$ está el máximo absoluto.
Valores en el punto crítico y en los extremos del intervalo:
$y(1)=7-1+\ln 1=6$ $y\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{11}{2}+\ln 2\approx 6{,}19$ $y(6)=1+\ln 11\approx 3{,}40$
El valor más grande es $y\left(\frac{3}{2}\right)$ y el más pequeño, $y(6)$ : la función decrece de $\frac{3}{2}$ a $6$ e $y(6)$ es menor que $y(1)=6$ .

ResultadoSegún el modelo, Alba ha hecho como máximo $\frac{11}{2}+\ln 2\approx 6{,}19$ horas de deporte a la semana (las semanas que leía $1{,}5$ horas) y como mínimo $1+\ln 11\approx 3{,}40$ horas (las que leía $6$ horas).

La pauta oficial da: máximo $\approx 6{,}19$ h; mínimo $\approx 3{,}4$ h

Gráfica de y=7−x+ln(2x−1) para x entre 1 y 6: empieza en (1,6), sube hasta el máximo (3/2; 11/2+ln 2)≈(1,5; 6,19) y después baja hasta (6; 1+ln 11)≈(6; 3,40), el valor más pequeño. Dos rectas horizontales discontinuas marcan el máximo y el mínimo.

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemáticas 2026, convocatoria ordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 30 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

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2026Convocatoria ordinaria · Serie 5 · Ejercicio 4

2,5 puntosDatos imposibles en el examenTambién en Integrales, Geometría en el espacio

Escoja UNA de las dos opciones (A o B) y responda a las cuestiones que se plantean. Indique en la portada del examen la opción elegida.

OPCIÓN A

De una función $f(x)$ , se sabe que pasa por el punto $(-1,-1)$ y que la gráfica de su función derivada es la siguiente:

4.1 Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f(x)$ en el punto $(-1,-1)$ .

[1 punto]

4.2 Estudie si $f(x)$ tiene puntos críticos (puntos donde $f'(x)=0$ ) y, en caso de tenerlos, determine sus abscisas y clasifíquelos según sean máximos, mínimos o puntos de inflexión de $f(x)$ .

[1 punto]

4.3 Sabiendo, además, que $f(0)=-0{,}2$ , calcule el área entre la gráfica de $f'(x)$ y el eje de abscisas, desde $x=-1$ hasta $x=0$ .

[0,5 puntos]

OPCIÓN B

En una industria se usan brazos robóticos con sensores para medir con precisión determinadas piezas metálicas y comprobar si tienen irregularidades. Las piezas se colocan sobre la superficie determinada por el plano $\pi\colon (x,y,z)$ ${}= (6,1,1)+\lambda(1,1,0)$ ${}+\mu(0,0,1)$ y, por encima de ella, un brazo robótico desplaza un sensor desde el punto $A=(1,2,3)$ hasta el punto $B=(5,3,7)$ en línea recta (las unidades de los tres ejes de coordenadas están expresadas en centímetros).

4.1 ¿Qué distancia ha recorrido el sensor?

[0,5 puntos]

4.2 Al acabar el movimiento, ¿a qué distancia de la superficie se encuentra el sensor?

[1 punto]

4.3 Si el sensor siguiera moviéndose en la misma línea recta y en el mismo sentido, ¿en qué punto chocaría con la superficie?

[1 punto]

Gráfica de f'(x) sobre una cuadrícula, con x e y entre −4 y 4. La curva viene de valores muy negativos, corta el eje OX en x=−2, sube hasta un máximo de unos 2,8 hacia x≈−1,45, pasa por el punto (−1,2), baja hasta tocar el eje en el origen sin atravesarlo, vuelve a subir hasta unos 0,4 hacia x≈0,7, corta el eje en x=1 y baja rápidamente hacia valores negativos.

Hazlo en papel y compara paso a paso.

Opción A

4.11 punto

Planteamiento Se pide la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto $(-1,-1)$ , $y-f(-1)=f'(-1)\,(x+1)$ . La pendiente, $f'(-1)$ , se lee en la gráfica de $f'$ .

En la gráfica, la curva de $f'$ pasa por el punto $(-1,2)$ :
$f'(-1)=2$
Recta tangente por el punto $(-1,-1)$ con pendiente $2$ :
$y-(-1)$ ${}= 2\left(x-(-1)\right)$ ${}\Longrightarrow y+1$ ${}= 2(x+1)$ ${}\Longrightarrow y=2x+1$

Resultado $y=2x+1$

La pauta oficial da: $y=2x+1$

4.21 punto

Planteamiento Se piden los puntos críticos de $f$ (donde $f'=0$ ) y su clasificación. Los leemos en la gráfica de $f'$ : son los puntos donde la curva toca el eje de abscisas. Los clasificamos con el signo de $f'$ a cada lado y, si no cambia, con el crecimiento de $f'$ (que es el signo de $f''$ ).

La gráfica de $f'$ toca el eje $OX$ en tres puntos:
$f'(-2)=0$ $f'(0)=0$ $f'(1)=0$
$x=-2$ : antes, $f'<0$ ( $f$ decrece) y después, $f'>0$ ( $f$ crece). Es un mínimo relativo de $f$ .
$x=1$ : antes, $f'>0$ ( $f$ crece) y después, $f'<0$ ( $f$ decrece). Es un máximo relativo de $f$ .
$x=0$ : $f'$ es positiva a ambos lados, así que $f$ crece antes y después y no hay extremo. En cambio, $f'$ tiene ahí un mínimo: decrece justo antes de $0$ ( $f''<0$ , $f$ cóncava hacia abajo) y crece justo después ( $f''>0$ , $f$ cóncava hacia arriba). La concavidad cambia: es un punto de inflexión de $f$ , con tangente horizontal.

ResultadoTres puntos críticos: en $x=-2$ , un mínimo relativo; en $x=1$ , un máximo relativo; en $x=0$ , un punto de inflexión (con tangente horizontal).

La pauta oficial da: $x=-2$ : mínimo; $x=1$ : máximo; $x=0$ : punto de inflexión

4.30,5 puntos

Planteamiento Se pide el área entre la gráfica de $f'$ y el eje $OX$ entre $x=-1$ y $x=0$ . Como $f$ es una primitiva de $f'$ , la regla de Barrow permite calcular la integral con los valores $f(0)$ y $f(-1)$ , sin conocer la expresión de $f'$ .

En $[-1,0]$ la gráfica de $f'$ está por encima del eje ( $f'\ge 0$ ; solo se anula en $x=0$ ): el área es la integral, sin valor absoluto.
Regla de Barrow, con $f(0)=-0{,}2$ y $f(-1)=-1$ (el punto de la gráfica de $f$ del enunciado):
$A$ ${}= \int_{-1}^{0}f'(x)\,dx$ ${}= \big[f(x)\big]_{-1}^{0}$ ${}= f(0)-f(-1)$ ${}= -0{,}2-(-1)$ ${}= 0{,}8$
Observación: la gráfica dibujada y el dato $f(0)=-0{,}2$ no encajan del todo. Si se mide el área sobre la cuadrícula, sale algo menos de $0{,}8$ (unas $0{,}72$ unidades cuadradas). El enunciado da $f(0)$ para que el área se calcule con la regla de Barrow, y con ese dato el área es $0{,}8$ .

Resultado $A=0{,}8\ \text{u}^2$

La pauta oficial da: $0{,}8\ \text{u}^2$

Opción B

4.10,5 puntos

Planteamiento El sensor va en línea recta de $A$ a $B$ : la distancia recorrida es la longitud del segmento $AB$ , el módulo del vector $\overrightarrow{AB}$ .

Vector entre los dos puntos (final menos inicial):
$\overrightarrow{AB}$ ${}= B-A$ ${}= (5-1,\ 3-2,\ 7-3)$ ${}= (4,1,4)$
Módulo:
$d(A,B)$ ${}= \left|\overrightarrow{AB}\right|$ ${}= \sqrt{4^2+1^2+4^2}$ ${}= \sqrt{33}$ ${}\approx 5{,}74\ \text{cm}$

Resultado $\sqrt{33}\approx 5{,}74$ cm

La pauta oficial da: $\sqrt{33}\approx 5{,}74\ \text{cm}$

4.21 punto

Planteamiento Se pide la distancia del punto final, $B$ , al plano $\pi$ . Pasamos el plano a la ecuación general y usamos la fórmula de la distancia de un punto a un plano.

Vector normal del plano, producto vectorial de sus dos vectores directores:
$\vec n$ ${}= (1,1,0)\times(0,0,1)$ ${}= \begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\1&1&0\\0&0&1\end{vmatrix}$ ${}= (1,-1,0)$
Ecuación general, con el punto $(6,1,1)$ del plano:
$1\cdot(x-6)$ ${}-1\cdot(y-1)$ ${}+0\cdot(z-1)=0$ ${}\Longrightarrow \pi\colon\ x-y-5=0$
Distancia de $B=(5,3,7)$ al plano:
$d(B,\pi)$ ${}= \frac{|5-3-5|}{\sqrt{1^2+(-1)^2+0^2}}$ ${}= \frac{3}{\sqrt{2}}$ ${}= \frac{3\sqrt{2}}{2}$ ${}\approx 2{,}12\ \text{cm}$

Resultado $d(B,\pi)=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\approx 2{,}12$ cm

La pauta oficial da: $\frac{3}{\sqrt{2}}\approx 2{,}12\ \text{cm}$

4.31 punto

Planteamiento Se pide dónde la recta $AB$ , recorrida en el sentido de $A$ hacia $B$ , corta el plano $\pi$ . Escribimos la recta en forma paramétrica y la sustituimos en la ecuación del plano.

Recta que pasa por $A$ con vector director $\overrightarrow{AB}$ :
$(x,y,z)$ ${}= (1,2,3)+\lambda(4,1,4)$ ${}= (1+4\lambda,\ 2+\lambda,\ 3+4\lambda)$
Sustituimos en $\pi\colon x-y-5=0$ :
$(1+4\lambda)-(2+\lambda)-5=0$ ${}\Longrightarrow 3\lambda-6=0$ ${}\Longrightarrow \lambda=2$
$\lambda=0$ es $A$ y $\lambda=1$ es $B$ ; $\lambda=2$ está más allá de $B$ , en el mismo sentido del movimiento, como dice el enunciado. Punto de choque:
$(1,2,3)+2\,(4,1,4)=(9,4,11)$
Comprobación: $9-4-5=0$ , el punto está en el plano.

ResultadoChocaría con la superficie en el punto $(9,4,11)$ .

La pauta oficial da: $(9,4,11)$

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemáticas 2026, convocatoria ordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 30 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

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2026Convocatoria extraordinaria · Serie 2 · Ejercicio 1

2,5 puntosCoincide con la pautaTambién en Límites y continuidad

Enunciado oficial del ejercicio 1 de la PAU de Matemáticas de Cataluña de 2026 (convocatoria extraordinaria), en castellano. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Enunciado oficial del ejercicio 1 de la PAU de Matemáticas de Cataluña de 2026 (convocatoria extraordinaria), en catalán. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Considere la función $f(x)=\frac{5x}{x^2+1}$ .

1.1 Estudie su dominio y sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como sus posibles máximos y mínimos locales.

[1 punto]

1.2 Calcule las ecuaciones de todas las asíntotas de esta función (si tiene) y dibuje un esbozo de su gráfica.

[0,75 puntos]

1.3 Calcule la ecuación de la recta normal (es decir, la recta perpendicular a la tangente) a la curva $y=f(x)$ en el punto de abscisa $x=2$ .

[0,75 puntos]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

1.11 punto

Planteamiento El denominador no se anula nunca, así que el dominio es todo $\mathbb{R}$ . El signo de la derivada nos da la monotonía y los extremos.

Dominio:
$x^2+1>0\ \ \forall x\ \Rightarrow\ \operatorname{Dom}f=\mathbb{R}$
Derivada (regla del cociente):
$f'(x)$ ${}= \frac{5(x^2+1)-5x\cdot 2x}{(x^2+1)^2}$ ${}= \frac{5(1-x^2)}{(x^2+1)^2}$
Puntos críticos:
$f'(x)=0\ \Longleftrightarrow\ 1-x^2=0\ \Longleftrightarrow\ x=\pm 1$
El denominador es positivo; el signo depende de $1-x^2$ :
$f'<0\ \text{en}\ (-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$ $f'>0\ \text{en}\ (-1,1)$
Valores en los extremos:
$f(-1)=-\frac{5}{2}$ $f(1)=\frac{5}{2}$

ResultadoDominio $\mathbb{R}$ . Decreciente en $(-\infty,-1)$ y en $(1,+\infty)$ ; creciente en $(-1,1)$ . Mínimo local en $\left(-1,-\frac{5}{2}\right)$ y máximo local en $\left(1,\frac{5}{2}\right)$ .

La pauta oficial da: $\text{decr. } (-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$ , $\text{creix. } (-1,1)$ ; $\text{mín. } x=-1$ , $\text{màx. } x=1$

1.20,75 puntos

Planteamiento Como el denominador no se anula, no hay asíntotas verticales. Para las horizontales calculamos el límite en $\pm\infty$ ; si las hay, no hay oblicuas.

Asíntota horizontal (el grado del denominador es mayor):
$\lim_{x\to\pm\infty}\frac{5x}{x^2+1}$ ${}= \lim_{x\to\pm\infty}\frac{5/x}{1+1/x^2}=0$
Por tanto $y=0$ es asíntota horizontal en $+\infty$ y en $-\infty$ , y no hay asíntota oblicua.
Esbozo: la función es impar ( $f(-x)=-f(x)$ ), pasa por el origen, es positiva para $x>0$ y negativa para $x<0$ ; sube hasta el máximo $\left(1,\frac52\right)$ y después baja hacia $0$ ; simétricamente, tiene el mínimo en $\left(-1,-\frac52\right)$ .

ResultadoÚnica asíntota: la horizontal $y=0$ (en $\pm\infty$ ). No tiene verticales ni oblicuas.

La pauta oficial da: $y=0\ \text{(horitzontal)}$ ; $\text{sense verticals}$

Esbozo de f(x)=5x/(x²+1): curva que pasa por el origen, con mínimo en (−1,−5/2) y máximo en (1,5/2), y que se acerca a la asíntota horizontal y=0 (línea discontinua) por ambos lados.

1.30,75 puntos

Planteamiento La recta normal pasa por el punto de la curva y su pendiente es $-\dfrac{1}{f'(2)}$ , porque es perpendicular a la tangente.

Punto:
$f(2)=\frac{10}{5}=2\ \Rightarrow\ (2,2)$
Pendiente de la tangente:
$f'(2)=\frac{5(1-4)}{25}=-\frac{3}{5}$
Pendiente de la normal:
$m_n=-\frac{1}{-3/5}=\frac{5}{3}$
Ecuación:
$y-2=\frac{5}{3}(x-2)\ \Longrightarrow\ y=\frac{5}{3}x-\frac{4}{3}$

Resultado $y=\dfrac{5}{3}x-\dfrac{4}{3}$

La pauta oficial da: $y=\frac{5}{3}x-\frac{4}{3}$

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemáticas 2026, convocatoria extraordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 22 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

El examen entero, resuelto Examen en catalán (PDF)Examen en castellano (PDF)Pauta de corrección (PDF)Reutilizado según el aviso legal de la Generalitat

2026Convocatoria extraordinaria · Serie 2 · Ejercicio 4

2,5 puntosCoincide con la pautaTambién en Geometría en el espacio

Enunciado oficial del ejercicio 4 de la PAU de Matemáticas de Cataluña de 2026 (convocatoria extraordinaria), en castellano. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Enunciado oficial del ejercicio 4 de la PAU de Matemáticas de Cataluña de 2026 (convocatoria extraordinaria), en catalán. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Aina quiere construir una caja de cartón en forma de prisma rectangular con tapa, para guardar la tableta y el cargador. Escoja UNA de las dos opciones (A o B) y responda a las cuestiones que se plantean. Indique en la portada del examen la opción elegida.

OPCIÓN A

Aina construirá la caja a partir de un cartón rectangular de 80 cm × 50 cm. En la siguiente figura se muestra el desarrollo de la caja; las zonas rayadas son las partes que Aina recortará y retirará para poder montarla:

4.1 Compruebe que el volumen de la caja resultante es $V(x)=2x^3-130x^2+2\,000x$ , donde $x$ es la longitud del lado del cuadrado que hay que recortar de las esquinas para poder montarla.

[1 punto]

4.2 Calcule las dimensiones de la caja para que su volumen sea máximo. ¿Cuál es este volumen máximo?

[1,5 puntos]

OPCIÓN B

Aina quiere hacer un croquis en 3D de la caja utilizando un programa informático. Para empezar, sitúa un lado de la tapa desde el vértice $A(1,1,1)$ hasta el vértice $B(4,1,5)$ , y el otro lado de la tapa desde el vértice $A$ hasta el vértice $C(1,10,1)$ .

4.1 ¿Cuáles son las coordenadas del cuarto vértice de la tapa? Calcule las longitudes de los dos lados de la tapa.

[1 punto]

4.2 Sabiendo que los otros cuatro vértices de la caja están situados en el plano $\pi:-4x+3z=24$ , calcule las coordenadas de uno de ellos (cualquiera) y la altura de la caja.

[1,5 puntos]

Desarrollo de la caja sobre el cartón de 80 cm (horizontal) por 50 cm (vertical). En las esquinas hay cuadrados rayados de lado x cm (marcado arriba a la izquierda). En la parte derecha del cartón, la franja superior y la inferior, también de anchura x, están rayadas en un tramo largo. El resto del cartón, sin rayar, forma la base, los lados y la tapa: a lo largo de los 80 cm hay dos tramos largos separados por tramos de anchura x.

Hazlo en papel y compara paso a paso.

Opción A

4.11 punto

Planteamiento Al plegar, la altura de la caja es $x$ . La anchura de la base es lo que queda de los 50 cm tras quitar dos franjas de anchura $x$ . A lo largo de los 80 cm hay dos alturas $x$ y dos veces la longitud de la base (base y tapa).

Dimensiones:
$\text{altura}=x$ $\text{anchura}=50-2x$ $\text{longitud}=\frac{80-2x}{2}=40-x$
Volumen:
$V(x)$ ${}= x(50-2x)(40-x)$ ${}= x\,(2x^2-130x+2000)$ ${}= 2x^3-130x^2$ ${}+2000x$
Para que la caja exista hace falta $0<x<25$ .

Resultado $V(x)$ ${}= x(50-2x)(40-x)$ ${}= 2x^3-130x^2$ ${}+2\,000x$ , con $0<x<25$ .

La pauta oficial da: $V(x)=(40-x)(50-2x)x$

4.21,5 puntos

Planteamiento Buscamos el máximo de $V(x)$ en $(0,25)$ : puntos críticos con $V'(x)=0$ y comprobación con la segunda derivada.

Derivada:
$V'(x)$ ${}= 6x^2-260x+2000=0$ ${}\Longleftrightarrow 3x^2-130x+1000=0$
$x$ ${}= \frac{130\pm\sqrt{16900-12000}}{6}$ ${}= \frac{130\pm 70}{6}$ ${}\Longrightarrow x=10$ $\text{o}\ \ x=\frac{100}{3}$
$x=\frac{100}{3}\approx 33{,}3$ no es válido ( $x<25$ ). Segunda derivada:
$V''(x)=12x-260$ $V''(10)=-140<0\ \Rightarrow\ \text{máximo}$
Dimensiones para $x=10$ :
$40-10=30$ $50-20=30$ $x=10$
Volumen máximo:
$V(10)=30\cdot 30\cdot 10=9000$

ResultadoCaja de $30\ \text{cm}\times 30\ \text{cm}\times 10\ \text{cm}$ (altura $10$ cm); volumen máximo $9\,000\ \text{cm}^3$ .

La pauta oficial da: $30\times30\times10\ cm$ , $V=9000\ cm^3$

Opción B

4.11 punto

Planteamiento La tapa es un paralelogramo (de hecho, un rectángulo) con lados $AB$ y $AC$ : el cuarto vértice se obtiene sumando a $B$ el vector $\overrightarrow{AC}$ .

Vectores de los lados:
$\overrightarrow{AB}=(3,0,4)$ $\overrightarrow{AC}=(0,9,0)$ $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0$
Cuarto vértice:
$D$ ${}= B+\overrightarrow{AC}$ ${}= (4,1,5)+(0,9,0)$ ${}= (4,10,5)$
Longitudes:
$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{3^2+0^2+4^2}=5$ $|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{0^2+9^2+0^2}=9$

Resultado $D=(4,10,5)$ ; los lados de la tapa miden $5$ y $9$ unidades.

La pauta oficial da: $D=(4,10,5)$ ; $5\ u\ \text{i}\ 9\ u$

4.21,5 puntos

Planteamiento El plano $\pi$ es paralelo a la tapa, así que la altura es la distancia de un vértice de la tapa a $\pi$ . El vértice de debajo de $A$ es la proyección ortogonal de $A$ sobre $\pi$ .

El vector normal de $\pi$ , $(-4,0,3)$ , es perpendicular a los dos lados de la tapa, de modo que $\pi$ es paralelo a la tapa:
$(-4,0,3)\cdot(3,0,4)=0$ $(-4,0,3)\cdot(0,9,0)=0$
Altura:
$d(A,\pi)$ ${}= \frac{|-4\cdot 1+3\cdot 1-24|}{\sqrt{(-4)^2+0^2+3^2}}$ ${}= \frac{25}{5}=5$
Recta perpendicular a $\pi$ por $A$ :
$(x,y,z)=(1,1,1)+\lambda(-4,0,3)$
Intersección con $\pi$ :
$-4(1-4\lambda)+3(1+3\lambda)$ ${}= 24$ ${}\Longrightarrow 25\lambda-1$ ${}= 24$ ${}\Longrightarrow \lambda=1$
Vértice:
$A'=(1,1,1)+(-4,0,3)=(-3,1,4)$

ResultadoUn vértice es $A'=(-3,1,4)$ (el que hay debajo de $A$ ); la altura de la caja es $5$ unidades.

La pauta oficial da: $A'=(-3,1,4)$ ; $\text{alçada}\ 5\ u$

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemáticas 2026, convocatoria extraordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 22 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

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2025Convocatoria ordinaria · Serie 1 · Ejercicio 1

2,5 puntosCoincide con la pautaTambién en Límites y continuidad

Enunciado oficial del ejercicio 1 de la PAU de Matemáticas de Cataluña de 2025 (convocatoria ordinaria), en castellano. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Enunciado oficial del ejercicio 1 de la PAU de Matemáticas de Cataluña de 2025 (convocatoria ordinaria), en catalán. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Considere la función $f(x)=\frac{x^2-2x}{x-1}$ .

a) Determine los cortes de la curva $y=f(x)$ con los ejes de coordenadas, y las ecuaciones de sus posibles asíntotas verticales, horizontales y oblicuas.

[1 punto]

b) Calcule las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva $y=f(x)$ en los puntos $x=0$ y $x=2$ . ¿Estas dos rectas son paralelas? Justifique la respuesta.

[1 punto]

c) ¿Hay algún punto donde la recta tangente a $f(x)$ tenga pendiente 1? En caso afirmativo, encuéntrelo.

[0,5 puntos]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

a)1 punto

Planteamiento El dominio es $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ . Los cortes con los ejes salen de $f(0)$ y de $f(x)=0$ . Las asíntotas verticales se buscan donde se anula el denominador, y como el numerador tiene un grado más que el denominador habrá una asíntota oblicua y ninguna horizontal.

Corte con el eje $OY$ :
$f(0)=\frac{0}{-1}=0\ \Rightarrow\ (0,0)$
Cortes con el eje $OX$ :
$x^2-2x=x(x-2)=0\ \Rightarrow\ (0,0)$ $\text{y}\ \ (2,0)$
Asíntota vertical $x=1$ : el numerador vale $-1$ y el denominador tiende a $0$ :
$\lim_{x\to 1^-}f(x)=+\infty$ $\lim_{x\to 1^+}f(x)=-\infty$
No hay asíntota horizontal, porque el límite en el infinito no es finito:
$\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^2-2x}{x-1}=\pm\infty$
Asíntota oblicua $y=mx+n$ :
$m$ ${}= \lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}$ ${}= \lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^2-2x}{x^2-x}$ ${}= 1$
$n$ ${}= \lim_{x\to\pm\infty}\left(f(x)-x\right)$ ${}= \lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^2-2x-x^2+x}{x-1}$ ${}= \lim_{x\to\pm\infty}\frac{-x}{x-1}$ ${}= -1$
Lo podemos confirmar haciendo la división:
$f(x)=x-1-\frac{1}{x-1}$

ResultadoCortes: $(0,0)$ y $(2,0)$ . Asíntota vertical $x=1$ ; asíntota oblicua $y=x-1$ ; no tiene asíntota horizontal.

La pauta oficial da: $(0,0)$ , $(2,0)$ ; $x=1$ ; $y=x-1$

b)1 punto

Planteamiento La recta tangente en $x=a$ es $y-f(a)=f'(a)(x-a)$ . Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente y no coinciden.

Derivada:
$f'(x)$ ${}= \frac{(2x-2)(x-1)-(x^2-2x)}{(x-1)^2}$ ${}= \frac{x^2-2x+2}{(x-1)^2}$
En $x=0$ :
$f(0)=0$ $f'(0)=\frac{2}{1}=2\ \Rightarrow\ y=2x$
En $x=2$ :
$f(2)=0$ $f'(2)$ ${}= \frac{4-4+2}{1}$ ${}= 2$ ${}\Rightarrow y=2(x-2)$ ${}= 2x-4$
Tienen la misma pendiente, $2$ , y ordenadas en el origen distintas ( $0$ y $-4$ ): son paralelas.

ResultadoTangente en $x=0$ : $y=2x$ ; tangente en $x=2$ : $y=2x-4$ . Son paralelas porque las dos tienen pendiente $2$ .

La pauta oficial da: $y=2x$ , $y=2x-4$ ; $\text{paraŀleles}$

c)0,5 puntos

Planteamiento La pendiente de la tangente es $f'(x)$ . Planteamos $f'(x)=1$ y miramos si tiene solución.

$\frac{x^2-2x+2}{(x-1)^2}$ ${}= 1$ ${}\Longrightarrow x^2-2x+2$ ${}= x^2-2x+1$ ${}\Longrightarrow 2=1$
Es imposible. De hecho, $f'(x)=1+\dfrac{1}{(x-1)^2}>1$ para todo $x\ne 1$ .

ResultadoNo: no hay ningún punto donde la tangente tenga pendiente $1$ .

La pauta oficial da: $\text{No}$

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2025Convocatoria ordinaria · Serie 1 · Ejercicio 3

2,5 puntosCoincide con la pautaTambién en Probabilidad y estadística

Enunciado oficial del ejercicio 3 de la PAU de Matemáticas de Cataluña de 2025 (convocatoria ordinaria), en castellano. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Enunciado oficial del ejercicio 3 de la PAU de Matemáticas de Cataluña de 2025 (convocatoria ordinaria), en catalán. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Una empresa produce dos tipos de piezas, de hierro y de acero. El 60 % de la producción total corresponde a las piezas de hierro, y el resto son de acero. Sabemos que el 95 % de las piezas de hierro producidas no tienen ningún defecto, mientras que el 3 % de las piezas de acero son defectuosas.

a) Si se coge una pieza al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuosa?

[0,75 puntos]

b) La empresa pronto diversificará la producción y empezará a producir también piezas de titanio, que se venderán en paquetes de 5. Si la probabilidad de que una pieza de titanio sea defectuosa es un valor desconocido $p$ , y cada pieza es defectuosa independientemente de las demás, compruebe que la expresión que nos da la probabilidad de que en un paquete de 5 piezas haya exactamente 4 defectuosas (en función de $p$ ) es $f(p)=5(p^4-p^5)$ .

[0,75 puntos]

c) Considere la función $f(p)$ del apartado anterior. Determine el valor máximo que toma $f(p)$ cuando $p\ge 0$ .

[1 punto]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

a)0,75 puntos

Planteamiento Hay dos tipos de piezas con probabilidades de defecto distintas: usamos la fórmula de la probabilidad total. Las piezas de hierro defectuosas son el $100-95=5\,\%$ .

Datos: $F$ = «de hierro», $A$ = «de acero», $D$ = «defectuosa».
$P(F)=0{,}6$ $P(A)=0{,}4$ $P(D\mid F)=0{,}05$ $P(D\mid A)=0{,}03$
Probabilidad total:
$P(D)$ ${}= 0{,}6\cdot 0{,}05+0{,}4\cdot 0{,}03$ ${}= 0{,}03+0{,}012$ ${}= 0{,}042$

Resultado $P(D)=0{,}042$

La pauta oficial da: $0{,}042$

b)0,75 puntos

Planteamiento El número $X$ de piezas defectuosas en un paquete de 5 sigue una binomial $B(5,p)$ , porque las piezas son independientes y cada una es defectuosa con probabilidad $p$ .

Hay $\binom{5}{4}=5$ maneras de elegir cuál es la pieza buena, y cada configuración tiene probabilidad $p^4(1-p)$ :
$P(X=4)$ ${}= \binom{5}{4}p^4(1-p)$ ${}= 5p^4(1-p)$ ${}= 5(p^4-p^5)$

Resultado $P(X=4)=5(p^4-p^5)=f(p)$ , como queríamos comprobar.

La pauta oficial da: $5(p^4-p^5)$

c)1 punto

Planteamiento Buscamos los puntos críticos de $f$ para $p\ge 0$ y estudiamos el signo de la derivada para saber dónde crece y dónde decrece.

Derivada:
$f'(p)$ ${}= 20p^3-25p^4$ ${}= 5p^3(4-5p)$
Puntos críticos:
$f'(p)=0\ \Longrightarrow\ p=0$ $\text{o}\ \ p=\frac{4}{5}$
Signo: $f'>0$ en $\left(0,\frac45\right)$ y $f'<0$ para $p>\frac45$ . Por tanto $f$ crece hasta $\frac45$ y después decrece: en $p=\frac45$ está el máximo absoluto para $p\ge 0$ .
Valor máximo:
$f\left(\frac{4}{5}\right)$ ${}= 5\left(\frac{4}{5}\right)^4\left(1-\frac{4}{5}\right)$ ${}= \left(\frac{4}{5}\right)^4$ ${}= \frac{256}{625}$ ${}\approx 0{,}41$

ResultadoEl valor máximo es $f\left(\frac45\right)=\dfrac{256}{625}\approx 0{,}41$ .

La pauta oficial da: $f\left(\frac45\right)=0{,}41$

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2025Convocatoria ordinaria · Serie 4 · Ejercicio 1

2,5 puntosCoincide con la pauta

Considere la función $f(x)=+\sqrt{1+x^3}$ .

a) Indique el dominio de esta función y los cortes de la curva $y=f(x)$ con los ejes de coordenadas.

[0,5 puntos]

b) Resuelva la ecuación $f'(x)=0$ y estudie las zonas de crecimiento y decrecimiento de la función $f(x)$ , así como sus máximos y mínimos locales.

[1 punto]

c) Encuentre cuál debe ser el valor de $a$ para que el punto $(a,3)$ pertenezca a la gráfica de la función y calcule la ecuación de la recta tangente a la curva $y=f(x)$ en este punto.

[1 punto]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

a)0,5 puntos

Planteamiento Se pide el dominio de $f$ y los puntos donde la curva corta los ejes. La raíz cuadrada solo tiene sentido cuando el radicando no es negativo.

Dominio: hace falta que $1+x^3\ge 0$ , es decir, $x^3\ge -1$ ; como $x^3$ es creciente, esto ocurre exactamente cuando $x\ge -1$ :
$\operatorname{Dom}f$ ${}= \left\{x\in\mathbb{R}:\ 1+x^3\ge 0\right\}$ ${}= [-1,+\infty)$
Corte con el eje de ordenadas ( $x=0$ ):
$f(0)=\sqrt{1+0^3}=1\ \Longrightarrow\ (0,1)$
Cortes con el eje de abscisas ( $f(x)=0$ ):
$\sqrt{1+x^3}=0$ ${}\Longleftrightarrow 1+x^3=0$ ${}\Longleftrightarrow x^3$ ${}= -1$ ${}\Longleftrightarrow x=-1$ ${}\Longrightarrow (-1,0)$

ResultadoDominio $[-1,+\infty)$ . La curva corta el eje $OY$ en $(0,1)$ y el eje $OX$ en $(-1,0)$ .

La pauta oficial da: $[-1,+\infty)$ ; $(0,1)$ , $(-1,0)$

b)1 punto

Planteamiento Se pide resolver $f'(x)=0$ y estudiar dónde crece y dónde decrece $f$ y sus extremos locales. Derivamos con la regla de la cadena, $\left(\sqrt{u}\right)'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}$ , y estudiamos el signo de $f'$ en el interior del dominio, $(-1,+\infty)$ , donde $1+x^3>0$ .

Derivada (para $x>-1$ ):
$f'(x)=\frac{3x^2}{2\sqrt{1+x^3}}$
Ecuación $f'(x)=0$ : una fracción se anula cuando se anula el numerador:
$\frac{3x^2}{2\sqrt{1+x^3}}=0$ ${}\Longleftrightarrow 3x^2=0$ ${}\Longleftrightarrow x=0$
Signo: el numerador $3x^2$ es positivo si $x\neq 0$ y el denominador es siempre positivo. Por tanto:
$f'(x)$ ${}> 0\ \text{para}\ x\in(-1,0)\cup(0,+\infty)$
La función es creciente en todo el dominio, $[-1,+\infty)$ : la derivada solo se anula en el punto aislado $x=0$ .
En $x=0$ la tangente es horizontal, pero $f'$ no cambia de signo (es positiva a ambos lados): la función sigue creciendo y no hay ni máximo ni mínimo. Por ejemplo, $f(-0{,}5)\approx 0{,}935$ , $f(0)=1$ y $f(0{,}5)\approx 1{,}061$ .
Por tanto, $f$ no tiene máximos ni mínimos locales en el interior del dominio. El valor más pequeño que toma es $f(-1)=0$ , en el borde del dominio.

Resultado $f'(x)=0$ solo en $x=0$ . $f$ es creciente en todo el dominio $[-1,+\infty)$ y no tiene máximos ni mínimos locales en el interior del dominio (en $x=0$ la tangente es horizontal, pero no hay extremo). Su valor más pequeño, el mínimo absoluto $f(-1)=0$ , está en el borde del dominio.

La pauta oficial da: $x=0$ ; $\text{creciente en }[-1,+\infty)$ ; $\text{sin máximos ni mínimos locales}$

Gráfica de y=√(1+x³) para −1≤x≤2,2: empieza en el punto (−1,0), donde es vertical, sube siempre, pasa por (0,1) con tangente horizontal (la recta discontinua y=1) sin cambiar de sentido, y sigue subiendo hasta (2,3).

c)1 punto

Planteamiento Se pide el valor de $a$ para que el punto $(a,3)$ esté en la gráfica, y la recta tangente en ese punto, $y-f(a)=f'(a)(x-a)$ .

El punto está en la gráfica si $f(a)=3$ :
$\sqrt{1+a^3}$ ${}= 3$ ${}\Longrightarrow 1+a^3$ ${}= 9$ ${}\Longrightarrow a^3$ ${}= 8$ ${}\Longrightarrow a=2$
Pendiente, con la derivada del apartado b):
$f'(2)$ ${}= \frac{3\cdot 2^2}{2\sqrt{1+2^3}}$ ${}= \frac{12}{2\cdot 3}$ ${}= 2$
Recta tangente en el punto $(2,3)$ :
$y-3=2(x-2)\ \Longrightarrow\ y=2x-1$

Resultado $a=2$ ; la recta tangente en el punto $(2,3)$ es $y=2x-1$ .

La pauta oficial da: $a=2$ ; $y=2x-1$

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemáticas 2025, convocatoria ordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 30 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

El examen entero, resuelto Examen en catalán (PDF)Examen en castellano (PDF)Pauta de corrección (PDF)Reutilizado según el aviso legal de la Generalitat

2025Convocatoria ordinaria · Serie 4 · Ejercicio 4

2,5 puntosLa pauta redondea distintoTambién en Matrices y determinantes

Enunciado oficial del ejercicio 4 de la PAU de Matemáticas de Cataluña de 2025 (convocatoria ordinaria), en castellano. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Enunciado oficial del ejercicio 4 de la PAU de Matemáticas de Cataluña de 2025 (convocatoria ordinaria), en catalán. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Escoja UNA de las dos opciones (A o B) y responda a las cuestiones que se plantean.

OPCIÓN A

El diseñador de una casa de perfumes ha decidido que la botella del próximo perfume que la empresa sacará al mercado será de cristal y tendrá la forma de un cilindro con una media esfera en la parte superior, tal como se puede ver en la siguiente figura: El perfume estará contenido en la parte cilíndrica, la cual tiene una capacidad de 100 $\text{cm}^3$ . El ingeniero a cargo del proceso de producción se propone minimizar el coste total del cristal usado y, por tanto, quiere que la superficie total de la botella sea mínima.

a) Compruebe que la superficie total de la botella de perfume viene dada por la fórmula $S(r)=3\pi r^2+\dfrac{200}{r}$ .

[1 punto]

b) ¿Qué dimensiones debe tener la botella de perfume para que su superficie total sea mínima? ¿Cuál es la superficie total de la botella en este caso? Nota: Recuerde que la superficie de una esfera viene dada por la fórmula $4\pi r^2$ , donde $r$ es su radio.

[1,5 puntos]

OPCIÓN B

Considere las matrices $\boldsymbol{A}$ ${}= \begin{pmatrix}a&0\\1&a^2\end{pmatrix}$ , donde $a$ es un parámetro real, y $\boldsymbol{B}$ ${}= \begin{pmatrix}2&0\\1&4\end{pmatrix}$ .

a) Encuentre los valores de $a$ para los cuales las matrices $\boldsymbol{A}$ y $\boldsymbol{B}$ conmutan. (Dos matrices $\boldsymbol{A}$ y $\boldsymbol{B}$ conmutan si $\boldsymbol{A}\,\boldsymbol{B}=\boldsymbol{B}\,\boldsymbol{A}$ ).

[0,75 puntos]

b) Encuentre los valores de $a$ para los cuales la matriz $\boldsymbol{A}$ es invertible.

[0,75 puntos]

c) Encuentre los valores de $a$ para los cuales $\boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{A}$ .

[1 punto]

Botella de perfume: un cilindro de radio r y altura h con una media esfera del mismo radio encima. El radio r está marcado en la base de la media esfera, desde el centro hasta el borde, y la altura h, junto al cilindro.

Hazlo en papel y compara paso a paso.

Opción A

a)1 punto

Planteamiento Se pide comprobar la fórmula de la superficie. La botella tiene tres partes de cristal: la base del cilindro (un círculo), la superficie lateral del cilindro y la media esfera. La condición de volumen relaciona la altura $h$ del cilindro con el radio $r$ .

La parte cilíndrica, de radio $r$ y altura $h$ (en cm), tiene una capacidad de $100\ \text{cm}^3$ :
$\pi r^2h=100\ \Longrightarrow\ h=\frac{100}{\pi r^2}$
Superficies: la base, $\pi r^2$ ; la lateral del cilindro, $2\pi rh$ ; la media esfera, la mitad de $4\pi r^2$ . La cara superior del cilindro es la base de la media esfera y no forma parte de la superficie exterior de la botella:
$S$ ${}= \pi r^2+2\pi rh+\frac{4\pi r^2}{2}$ ${}= 3\pi r^2+2\pi rh$
Sustituimos $h$ :
$S(r)$ ${}= 3\pi r^2+2\pi r\cdot\frac{100}{\pi r^2}$ ${}= 3\pi r^2+\frac{200}{r}$

Resultado $S(r)=3\pi r^2+\dfrac{200}{r}$ , con $r$ en cm y $S$ en $\text{cm}^2$ .

La pauta oficial da: $S(r)=3\pi r^2+\frac{200}{r}$

b)1,5 puntos

Planteamiento Se piden las dimensiones de la botella (el radio $r$ y la altura $h$ del cilindro) que hacen mínima la superficie, y el valor de esa superficie. Derivamos $S(r)$ para $r>0$ , buscamos el punto crítico y comprobamos que es un mínimo.

Derivada:
$S'(r)=6\pi r-\frac{200}{r^2}$
Punto crítico:
$S'(r)=0$ ${}\Longleftrightarrow 6\pi r^3$ ${}= 200$ ${}\Longleftrightarrow r^3$ ${}= \frac{100}{3\pi}$ ${}\Longleftrightarrow r=\sqrt[3]{\frac{100}{3\pi}}$ ${}\approx 2{,}197\ \text{cm}$
Derivada segunda, positiva para todo $r>0$ : es un mínimo, y es el mínimo absoluto porque $S'$ es negativa antes de este punto y positiva después:
$S''(r)=6\pi+\frac{400}{r^3}>0$
Altura del cilindro: como $100=3\pi r^3$ , queda $h=3r$ :
$h=\frac{100}{\pi r^2}=\frac{3\pi r^3}{\pi r^2}=3r\approx 6{,}592\ \text{cm}$
Superficie mínima: como $\frac{200}{r}=\frac{6\pi r^3}{r}=6\pi r^2$ ,
$S$ ${}= 3\pi r^2+6\pi r^2$ ${}= 9\pi r^2$ ${}\approx 136{,}5\ \text{cm}^2$

ResultadoRadio $r=\sqrt[3]{\dfrac{100}{3\pi}}\approx 2{,}20$ cm y altura del cilindro $h=3r\approx 6{,}59$ cm. Superficie mínima $S=9\pi r^2\approx 136{,}5\ \text{cm}^2$ .

La pauta oficial da: $r\simeq 2{,}2\ \text{cm}$ , $h=6{,}6\ \text{cm}$ ; $S\simeq 136{,}8\ \text{cm}^2$

Opción B

a)0,75 puntos

Planteamiento Se piden los valores de $a$ para los cuales $\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}=\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}$ . Calculamos los dos productos e igualamos elemento a elemento.

Producto $\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}$ :
$\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}$ ${}= \begin{pmatrix}a&0\\1&a^2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&0\\1&4\end{pmatrix}$ ${}= \begin{pmatrix}2a&0\\2+a^2&4a^2\end{pmatrix}$
Producto $\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}$ :
$\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}$ ${}= \begin{pmatrix}2&0\\1&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&0\\1&a^2\end{pmatrix}$ ${}= \begin{pmatrix}2a&0\\a+4&4a^2\end{pmatrix}$
Solo puede fallar el elemento de la fila 2 y la columna 1:
$2+a^2$ ${}= a+4$ ${}\Longleftrightarrow a^2-a-2=0$ ${}\Longleftrightarrow a=\frac{1\pm\sqrt{1+8}}{2}$ ${}= \frac{1\pm 3}{2}$
Para $a=2$ , $\boldsymbol{A}$ es la misma matriz $\boldsymbol{B}$ ; para $a=-1$ , $\boldsymbol{A}$ ${}= \begin{pmatrix}-1&0\\1&1\end{pmatrix}$ .

Resultado $a=2$ o $a=-1$ .

La pauta oficial da: $a=2$ , $a=-1$

b)0,75 puntos

Planteamiento Se piden los valores de $a$ para los cuales $\boldsymbol{A}$ tiene inversa: una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante no es cero.

Determinante:
$|\boldsymbol{A}|$ ${}= \begin{vmatrix}a&0\\1&a^2\end{vmatrix}$ ${}= a\cdot a^2-0\cdot 1$ ${}= a^3$
$a^3=0$ solo si $a=0$ .

Resultado $\boldsymbol{A}$ es invertible si y solo si $a\neq 0$ .

La pauta oficial da: $a\neq 0$

c)1 punto

Planteamiento Se piden los valores de $a$ para los cuales la inversa de $\boldsymbol{A}$ es la propia $\boldsymbol{A}$ . Multiplicando por $\boldsymbol{A}$ , la condición equivale a $\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{I}$ : calculamos $\boldsymbol{A}^2$ y la igualamos a la identidad.

Cuadrado de $\boldsymbol{A}$ :
$\boldsymbol{A}^2$ ${}= \begin{pmatrix}a&0\\1&a^2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&0\\1&a^2\end{pmatrix}$ ${}= \begin{pmatrix}a^2&0\\a+a^2&a^4\end{pmatrix}$
Igualamos a $\boldsymbol{I}$ ${}= \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ elemento a elemento:
$a^2=1$ $a+a^2=0$ $a^4=1$
$a^2=1$ da $a=1$ o $a=-1$ (y entonces $a^4=1$ también se cumple). $a+a^2=a(1+a)=0$ da $a=0$ o $a=-1$ . El único valor que cumple las tres condiciones es $a=-1$ .
Comprobación:
$\boldsymbol{A}$ ${}= \begin{pmatrix}-1&0\\1&1\end{pmatrix}$ $\boldsymbol{A}^2$ ${}= \begin{pmatrix}1&0\\-1+1&1\end{pmatrix}$ ${}= \boldsymbol{I}$

Resultado $a=-1$

La pauta oficial da: $a=-1$

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemáticas 2025, convocatoria ordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 30 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

El examen entero, resuelto Examen en catalán (PDF)Examen en castellano (PDF)Pauta de corrección (PDF)Reutilizado según el aviso legal de la Generalitat

2025Convocatoria extraordinaria · Serie 3 · Ejercicio 1

2,5 puntosCoincide con la pauta

Enunciado oficial del ejercicio 1 de la PAU de Matemáticas de Cataluña de 2025 (convocatoria extraordinaria), en castellano. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Enunciado oficial del ejercicio 1 de la PAU de Matemáticas de Cataluña de 2025 (convocatoria extraordinaria), en catalán. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Una familia quiere comprar un terreno para construir una casa rodeada de acantilados con vistas al mar. En aquella zona de la costa, los acantilados siguen las rectas $y=0$ e $y=3x$ . Además, la familia quiere que el terreno sea triangular y que el tercer lado del triángulo pase por el punto $P=(1,1)$ , tal como puede verse en la figura.

a) Plantee la ecuación de la recta $r$ que define el tercer lado del triángulo en función de su pendiente $m$ , y compruebe que el área del terreno viene dada por $A(m)=\frac{3}{2}\cdot\frac{m^2-2m+1}{m^2-3m}$ .

[1 punto]

b) Calcule el valor de $m$ que hace que el área de este terreno (y, por tanto, su precio) sea mínima. ¿Cuál es el valor de esta área?

[1,5 puntos]

Plano cartesiano con el origen O. La recta y=3x sale del origen hacia arriba a la derecha y la recta y=0 es el eje horizontal. Una recta discontinua r, de pendiente negativa, pasa por el punto P=(1,1) y corta a ambas rectas. El triángulo de vértices el origen, el corte de r con y=3x y el corte de r con el eje horizontal está rayado. Las marcas numéricas de los ejes aparecen como «~~», ilegibles en el original.

Hazlo en papel y compara paso a paso.

a)1 punto

Planteamiento La recta $r$ pasa por $P=(1,1)$ y tiene pendiente $m$ . El triángulo tiene vértices en el origen, en el corte de $r$ con el eje $OX$ (base) y en el corte de $r$ con $y=3x$ (la ordenada de ese punto es la altura).

Recta:
$r:\ y-1=m(x-1)$
Corte con $y=0$ (base):
$-1=m(x-1)\ \Longrightarrow\ x=\frac{m-1}{m}$
Corte con $y=3x$ (altura = ordenada):
$3x-1=m(x-1)\ \Longrightarrow\ x=\frac{m-1}{m-3}$ $y=\frac{3(m-1)}{m-3}$
Área:
$A(m)$ ${}= \frac{1}{2}\cdot\frac{m-1}{m}\cdot\frac{3(m-1)}{m-3}$ ${}= \frac{3}{2}\cdot\frac{m^2-2m+1}{m^2-3m}$
Como en la figura, la pendiente es negativa ( $m<0$ ); entonces $m^2-3m>0$ y la expresión es positiva.

Resultado $r:\ y-1=m(x-1)$ y $A(m)$ ${}= \dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{m^2-2m+1}{m^2-3m}$ .

La pauta oficial da: $A(m)=\frac32\cdot\frac{m^2-2m+1}{m^2-3m}$

b)1,5 puntos

Planteamiento Derivamos $A(m)$ , buscamos dónde se anula la derivada con $m<0$ y estudiamos su signo para asegurar que es un mínimo.

Derivada:
$A'(m)$ ${}= \frac{3}{2}\cdot\frac{(2m-2)(m^2-3m)-(m^2-2m+1)(2m-3)}{(m^2-3m)^2}$ ${}= \frac{3}{2}\cdot\frac{-m^2-2m+3}{(m^2-3m)^2}$
Puntos críticos:
$-m^2-2m+3$ ${}= -(m-1)(m+3)=0$ ${}\Longrightarrow m=1$ $\text{o}\ \ m=-3$
Con $m<0$ solo sirve $m=-3$ ( $m=1$ da una recta por el origen y no hay triángulo). Signo de $A'$ : negativo para $m<-3$ y positivo para $-3<m<0$ ; por tanto, en $m=-3$ hay un mínimo.
Área mínima:
$A(-3)=\frac{3}{2}\cdot\frac{9+6+1}{9+9}=\frac{3}{2}\cdot\frac{16}{18}=\frac{4}{3}$
La recta óptima es $y=-3x+4$ , y el triángulo tiene vértices $(0,0)$ , $\left(\frac43,0\right)$ y $\left(\frac23,2\right)$ .

Resultado $m=-3$ ; área mínima $\dfrac{4}{3}\ \text{u}^2$ .

La pauta oficial da: $m=-3$ , $A=\frac43\ \mathrm{u}^2$

Triángulo de área mínima: vértices (0,0), (4/3,0) y (2/3,2), limitado por y=0, y=3x y la recta y=−3x+4, que pasa por P=(1,1). Su área es 4/3.

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemáticas 2025, convocatoria extraordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 22 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

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2025Convocatoria extraordinaria · Serie 3 · Ejercicio 3

2,5 puntosCoincide con la pautaTambién en Probabilidad y estadística, Sistemas de ecuaciones

Enunciado oficial del ejercicio 3 de la PAU de Matemáticas de Cataluña de 2025 (convocatoria extraordinaria), en castellano. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Enunciado oficial del ejercicio 3 de la PAU de Matemáticas de Cataluña de 2025 (convocatoria extraordinaria), en catalán. El texto está en la página. — Enunciado oficial

La lesión per sesamoiditis (inflamación del hueso sesamoide del pie) es relativamente habitual entre la población que practica deportes de impacto (atletismo, baloncesto, tenis…). En una población de deportistas, se ha realizado un estudio diferenciando entre los que practican deportes de impacto y los que practican deportes sin impacto brusco (como natación, pilates, senderismo…). Se ha podido determinar que el 45 % practican deportes de impacto. Entre ellos, un 10 % padecen lesiones por sesamoiditis, mientras que entre los que no practican deportes de impacto solamente un 3 % presentan esta lesión. Escogemos a un deportista al azar.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que padezca sesamoiditis?

[0,75 puntos]

b) Si el deportista escogido tiene una lesión por sesamoiditis, ¿cuál es la probabilidad de que practique deportes de impacto?

[0,75 puntos]

c) Una empresa de calzado deportivo ha creado una zapatilla con amortiguación para minimizar las lesiones por sesamoiditis. Los beneficios generados por la venta de este producto, en miles de euros, siguen una función de la forma $f(x)=ax^3+bx^2+cx$ , donde $x$ son los años transcurridos desde que la zapatilla salió a la venta y $a$ , $b$ y $c$ son constantes reales. Calcule los valores de $a$ , $b$ y $c$ sabiendo que el primer año se alcanzó el máximo de beneficios, por valor de 8 000 euros, y que en el segundo año hubo un punto de inflexión en los beneficios.

[1 punto]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

a)0,75 puntos

Planteamiento La población se divide en dos grupos con probabilidades de lesión distintas: usamos la fórmula de la probabilidad total.

Datos: $I$ = «practica deportes de impacto», $S$ = «padece sesamoiditis».
$P(I)=0{,}45$ $P(\overline{I})=0{,}55$ $P(S\mid I)=0{,}1$ $P(S\mid\overline{I})=0{,}03$
Probabilidad total:
$P(S)$ ${}= 0{,}45\cdot 0{,}1+0{,}55\cdot 0{,}03$ ${}= 0{,}045+0{,}0165$ ${}= 0{,}0615$

Resultado $P(S)=0{,}0615$

La pauta oficial da: $0{,}0615$

b)0,75 puntos

Planteamiento Sabemos que tiene la lesión y queremos la probabilidad de que practique deportes de impacto: probabilidad condicionada, que calculamos con la fórmula de Bayes.

$P(I\mid S)$ ${}= \frac{P(S\mid I)\,P(I)}{P(S)}$ ${}= \frac{0{,}045}{0{,}0615}$ ${}= \frac{30}{41}$ ${}\approx 0{,}7317$

Resultado $P(I\mid S)=\dfrac{30}{41}\approx 0{,}7317$

La pauta oficial da: $\approx 0{,}7317$

c)1 punto

Planteamiento Traducimos cada dato a una ecuación: máximo en $x=1$ significa $f'(1)=0$ ; beneficio de 8 000 € significa $f(1)=8$ (en miles de euros); punto de inflexión en $x=2$ significa $f''(2)=0$ . Resolvemos el sistema.

Derivadas:
$f'(x)=3ax^2+2bx+c$ $f''(x)=6ax+2b$
Condiciones:
$\begin{cases}f'(1)=0:& 3a+2b+c=0\\ f(1)=8:& a+b+c=8\\ f''(2)=0:& 12a+2b=0\end{cases}$
Restando las dos primeras:
$2a+b=-8$
De la tercera, $b=-6a$ ; sustituyendo:
$2a-6a=-8\ \Longrightarrow\ a=2$ $b=-12$ $c=8-2+12=18$
Comprobamos que es un máximo y que hay inflexión: $f''(1)=12-24=-12<0$ y $f'''(x)=12\ne 0$ .
$f(x)=2x^3-12x^2+18x$

Resultado $a=2$ , $b=-12$ , $c=18$ ; es decir, $f(x)=2x^3-12x^2+18x$ .

La pauta oficial da: $a=2$ , $b=-12$ , $c=18$

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemáticas 2025, convocatoria extraordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 22 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

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2024Convocatoria ordinaria · Serie 1 · Ejercicio 1

2,5 puntosCoincide con la pautaTambién en Límites y continuidad

Enunciado oficial del ejercicio 1 de la PAU de Matemáticas de Cataluña de 2024 (convocatoria ordinaria), en castellano. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Enunciado oficial del ejercicio 1 de la PAU de Matemáticas de Cataluña de 2024 (convocatoria ordinaria), en catalán. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Considere la función $f(x)=2\dfrac{\ln x}{x}$ , definida para $x>0$ .

a) Estudie sus máximos y sus mínimos, y sus zonas de crecimiento y de decrecimiento.

[1 punto]

b) ¿Esta función tiene asíntotas? Haga un esbozo de su gráfica.

[1 punto]

c) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $y=f(x)$ en el punto de abscisa $x=1$ .

[0,5 puntos]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

a)1 punto

Planteamiento Los extremos relativos de una función derivable están en los puntos donde se anula la derivada. Derivamos $f$ con la regla del cociente y estudiamos el signo de $f'$ en el intervalo $(0,+\infty)$ .

Derivada, con la regla del cociente y $(\ln x)'=\frac{1}{x}$ :
$f'(x)$ ${}= 2\cdot\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln x\cdot 1}{x^2}$ ${}= \frac{2(1-\ln x)}{x^2}$
Puntos críticos:
$f'(x)=0$ ${}\Longleftrightarrow 1-\ln x=0$ ${}\Longleftrightarrow \ln x=1$ ${}\Longleftrightarrow x=e$
Signo de $f'$ : el denominador $x^2$ es positivo, así que el signo es el de $1-\ln x$ , positivo si $0<x<e$ y negativo si $x>e$ . Por ejemplo:
$f'(1)=\frac{2(1-0)}{1}=2>0$ $f'(e^2)=\frac{2(1-2)}{e^4}=-\frac{2}{e^4}<0$
Lo confirmamos con la derivada segunda, derivando $f'$ con la regla del cociente:
$f''(x)=\frac{2(2\ln x-3)}{x^3}$ $f''(e)=\frac{2(2-3)}{e^3}=-\frac{2}{e^3}<0$
Valor de la función en el punto crítico:
$f(e)=2\cdot\frac{\ln e}{e}=\frac{2}{e}\approx 0{,}74$
La función crece hasta $x=e$ y decrece a partir de ese punto: en $x=e$ hay un máximo, que es absoluto. No tiene ningún mínimo.

ResultadoCreciente en $(0,e)$ y decreciente en $(e,+\infty)$ . Máximo en $\left(e,\dfrac{2}{e}\right)$ ; no tiene mínimos.

La pauta oficial da: $\text{creixent a }(0,e)$ , $\text{decreixent a }(e,+\infty)$ ; $\text{màxim a }x=e$

b)1 punto

Planteamiento Buscamos una asíntota vertical en el extremo del dominio, $x\to 0^+$ , y una horizontal cuando $x\to+\infty$ . Si hay horizontal en $+\infty$ , no hay oblicua.

Cuando $x\to 0^+$ , el numerador tiende a $-\infty$ y el denominador a $0^+$ :
$\lim_{x\to 0^+}\frac{2\ln x}{x}=\frac{-\infty}{0^+}=-\infty$
Por tanto, $x=0$ es una asíntota vertical (por la derecha).
Cuando $x\to+\infty$ hay una indeterminación $\frac{\infty}{\infty}$ . Aplicamos la regla de L’Hôpital:
$\lim_{x\to+\infty}\frac{2\ln x}{x}$ ${}= \lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{2}{x}}{1}$ ${}= \lim_{x\to+\infty}\frac{2}{x}=0$
Por tanto, $y=0$ es una asíntota horizontal cuando $x\to+\infty$ , y no hay asíntota oblicua.
Para el esbozo, el corte con el eje $OX$ : $f(x)=0$ solo si $\ln x=0$ :
$\ln x=0\ \Longleftrightarrow\ x=1$ $f(1)=2\cdot\frac{\ln 1}{1}=0$
Signo: $f<0$ en $(0,1)$ , porque $\ln x<0$ , y $f>0$ en $(1,+\infty)$ . Con el máximo del apartado a), la gráfica sube desde $-\infty$ pegada al eje $OY$ , corta el eje $OX$ en $(1,0)$ , llega al máximo $\left(e,\frac{2}{e}\right)\approx(2{,}72;\ 0{,}74)$ y después baja lentamente hacia $0$ por encima del eje, sin tocarlo.

ResultadoAsíntota vertical $x=0$ (cuando $x\to 0^+$ ) y asíntota horizontal $y=0$ (cuando $x\to+\infty$ ).

La pauta oficial da: $x=0\ \text{(vertical)}$ ; $y=0\ \text{(horitzontal)}$

Esbozo de y=(2ln x)/x para x>0: la curva sube desde −∞ pegada a la asíntota vertical x=0, corta el eje OX en (1,0), tiene el máximo en (e,2/e) y baja hacia la asíntota horizontal y=0 por encima del eje. Las dos asíntotas están dibujadas con línea discontinua.

c)0,5 puntos

Planteamiento La recta tangente a $y=f(x)$ en $x=a$ es $y-f(a)=f'(a)(x-a)$ . Necesitamos $f(1)$ y $f'(1)$ .

Valor de la función:
$f(1)=2\cdot\frac{\ln 1}{1}=0$
Pendiente, con la derivada del apartado a):
$f'(1)=\frac{2(1-\ln 1)}{1^2}=2$
Recta tangente:
$y-0=2(x-1)\ \Longrightarrow\ y=2x-2$

Resultado $y=2x-2$

La pauta oficial da: $y=2x-2$

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemáticas 2024, convocatoria ordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 22 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

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2024Convocatoria ordinaria · Serie 1 · Ejercicio 5

2,5 puntosCoincide con la pauta

Enunciado oficial del ejercicio 5 de la PAU de Matemáticas de Cataluña de 2024 (convocatoria ordinaria), en castellano. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Enunciado oficial del ejercicio 5 de la PAU de Matemáticas de Cataluña de 2024 (convocatoria ordinaria), en catalán. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Se quiere construir un pequeño cobertizo de madera de $6\ \mathrm{m}^3$ de volumen, en forma de prisma rectangular, adosado a la pared lateral de una casa, para guardar leña. Solo hay que construir, por tanto, el techo y tres paredes (la pared del fondo del cobertizo es la de la casa a la que está adosado). Además, se quiere que el cobertizo mida el triple de anchura que de profundidad. Cada metro cuadrado de pared tiene un coste de construcción de $30$ € y el techo cuesta $50$ € por metro cuadrado. Una vez construido el cobertizo, añadir una puerta tiene un coste fijo de $35$ €.

a) Compruebe que el coste de construcción del cobertizo viene dado por la función $C(x)=\dfrac{300}{x}+150x^2+35$ , donde $x$ es la profundidad del cobertizo en metros.

[1,25 puntos]

b) Calcule cuáles han de ser las dimensiones del cobertizo para que el coste de construcción sea mínimo y justifique la respuesta. ¿Cuál es este coste?

[1,25 puntos]

Dibujo en perspectiva del cobertizo: un prisma rectangular gris con una puerta de arco en la cara frontal, apoyado contra la pared de la casa, que se representa con unas líneas detrás y a los lados. El dibujo no lleva medidas.

Hazlo en papel y compara paso a paso.

a)1,25 puntos

Planteamiento Llamamos $x$ a la profundidad, $3x$ a la anchura y $h$ a la altura, en metros. Escribimos el coste con estas variables y eliminamos $h$ con la condición del volumen.

Volumen de $6\ \mathrm{m}^3$ :
$3x\cdot x\cdot h=6\ \Longrightarrow\ h=\frac{6}{3x^2}=\frac{2}{x^2}$
Paredes que hay que construir: la frontal, de $3x$ por $h$ , y las dos laterales, de $x$ por $h$ (la del fondo es la de la casa):
$S_{\text{paredes}}$ ${}= 3xh+xh+xh$ ${}= 5xh$
Techo, de $3x$ por $x$ :
$S_{\text{techo}}=3x\cdot x=3x^2$
Coste: paredes a $30$ € el $\mathrm{m}^2$ , techo a $50$ € el $\mathrm{m}^2$ y puerta a $35$ €:
$C$ ${}= 30\cdot 5xh+50\cdot 3x^2$ ${}+35$ ${}= 150xh+150x^2+35$
Sustituimos $h=\frac{2}{x^2}$ :
$C(x)$ ${}= 150x\cdot\frac{2}{x^2}+150x^2$ ${}+35$ ${}= \frac{300}{x}+150x^2+35$

Resultado $C(x)=\dfrac{300}{x}+150x^2+35$ €, con $x>0$ la profundidad en metros.

La pauta oficial da: $C(x)=\frac{300}{x}+150x^2+35$

b)1,25 puntos

Planteamiento Buscamos el mínimo de $C(x)$ en el intervalo $(0,+\infty)$ : derivamos, igualamos a cero y comprobamos que el punto encontrado es un mínimo.

Derivada:
$C'(x)$ ${}= -\frac{300}{x^2}+300x$ ${}= \frac{300\left(x^3-1\right)}{x^2}$
Punto crítico:
$C'(x)=0\ \Longleftrightarrow\ x^3=1\ \Longleftrightarrow\ x=1$
Derivada segunda:
$C''(x)=\frac{600}{x^3}+300$ $C''(1)=600+300=900>0$
Es un mínimo. Además, $C'(x)<0$ para $0<x<1$ y $C'(x)>0$ para $x>1$ , así que es el mínimo absoluto en $(0,+\infty)$ .
Dimensiones, con $h=\frac{2}{x^2}$ del apartado a):
$x=1\ \mathrm{m}$ $3x=3\ \mathrm{m}$ $h=\frac{2}{1^2}=2\ \mathrm{m}$
Coste mínimo, en euros:
$C(1)$ ${}= \frac{300}{1}+150\cdot 1^2+35$ ${}= 485$

ResultadoProfundidad $1\ \mathrm{m}$ , anchura $3\ \mathrm{m}$ y altura $2\ \mathrm{m}$ ; el coste mínimo es de $485$ €.

La pauta oficial da: $x=1\ \mathrm{m}$ , $3x=3\ \mathrm{m}$ , $h=2\ \mathrm{m}$ ; $C(1)=485\ \text{euros}$

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemáticas 2024, convocatoria ordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 22 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

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2024Convocatoria ordinaria · Serie 5 · Ejercicio 1

2,5 puntosCoincide con la pautaTambién en Límites y continuidad

Considere la función $f(x)=-2+10(x-1)\ln x$ , definida para $x>0$ .

a) Compruebe que $f(x)$ tiene una raíz en el intervalo $[1,\ 1{,}5]$ y busque un intervalo de una décima de longitud que también contenga esta misma raíz.

[0,75 puntos]

b) Sin calcular los puntos críticos, justifique que $f(x)$ es decreciente en el intervalo $(0,1)$ y creciente en $(1,+\infty)$ . ¿Qué máximos y mínimos tiene esta función?

[1 punto]

c) Calcule $\lim_{x\to 0^+}f(x)$ y $\lim_{x\to+\infty}f(x)$ , y haga un esbozo de la gráfica de esta función.

[0,75 puntos]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

a)0,75 puntos

Planteamiento Se pide probar que $f$ se anula en algún punto de $[1;\ 1{,}5]$ y reducir el intervalo hasta una décima de longitud. Usamos el teorema de Bolzano: $f$ es continua en $(0,+\infty)$ , porque es suma y producto de funciones continuas ( $x-1$ y $\ln x$ ).

Valores en los extremos del intervalo:
$f(1)=-2+10\cdot 0\cdot\ln 1=-2<0$ $f(1{,}5)$ ${}= -2+10\cdot 0{,}5\cdot\ln 1{,}5$ ${}= -2+5\ln 1{,}5$ ${}\approx 0{,}027$ ${}> 0$
$f$ es continua en $[1;\ 1{,}5]$ y cambia de signo; por el teorema de Bolzano, existe $c\in(1;\ 1{,}5)$ con $f(c)=0$ .
Para afinar el intervalo a una décima, calculamos $f$ en un punto intermedio. Como $f(1{,}5)$ está muy cerca de $0$ , probamos con $x=1{,}4$ :
$f(1{,}4)$ ${}= -2+10\cdot 0{,}4\cdot\ln 1{,}4$ ${}= -2+4\ln 1{,}4$ ${}\approx -0{,}654$ ${}< 0$
$f(1{,}4)<0$ y $f(1{,}5)>0$ : aplicando de nuevo el teorema de Bolzano, la raíz está en $(1{,}4;\ 1{,}5)$ , un intervalo de una décima de longitud.
Es la misma raíz: en el apartado b) se ve que $f$ es creciente en $(1,+\infty)$ , así que en $(1;\ 1{,}5)$ solo se anula una vez.

Resultado $f$ tiene una raíz en $(1;\ 1{,}5)$ por el teorema de Bolzano, y esa raíz está en el intervalo $[1{,}4;\ 1{,}5]$ .

La pauta oficial da: $[1{,}4;\ 1{,}5]$

b)1 punto

Planteamiento Se pide justificar dónde crece y dónde decrece $f$ sin resolver $f'(x)=0$ : basta con estudiar el signo de cada sumando de la derivada en cada intervalo. Después deducimos los extremos.

Derivamos con la regla del producto, $\left[(x-1)\ln x\right]'$ ${}= 1\cdot\ln x+(x-1)\cdot\frac{1}{x}$ :
$f'(x)=10\left(\ln x+\frac{x-1}{x}\right)$
En el intervalo $(0,1)$ : $\ln x<0$ y, como $x-1<0$ y $x>0$ , también $\frac{x-1}{x}<0$ . La suma de dos números negativos es negativa:
$0$ ${}< x$ ${}< 1$ ${}\Longrightarrow f'(x)$ ${}< 0$ ${}\Longrightarrow f\ \text{decreciente en }(0,1)$
En el intervalo $(1,+\infty)$ : $\ln x>0$ y $\frac{x-1}{x}>0$ , así que la suma es positiva:
$x$ ${}> 1$ ${}\Longrightarrow f'(x)$ ${}> 0$ ${}\Longrightarrow f\ \text{creciente en }(1,+\infty)$
La función baja hasta $x=1$ y después sube: en $x=1$ tiene un mínimo, que es absoluto. Su valor:
$f(1)=-2+10\cdot 0\cdot\ln 1=-2$
No tiene ningún máximo: solo hay este cambio de monotonía, y la función crece sin límite hacia los dos extremos del dominio (apartado c).

ResultadoDecreciente en $(0,1)$ y creciente en $(1,+\infty)$ . Tiene un mínimo (absoluto) en $(1,-2)$ y ningún máximo.

La pauta oficial da: $\text{mínimo en }x=1$ ; $\text{ningún máximo}$

c)0,75 puntos

Planteamiento Se piden los límites en los dos extremos del dominio, $x\to 0^+$ y $x\to+\infty$ , y un esbozo de la gráfica, que hacemos con los límites y lo que sabemos de los apartados a) y b).

Cuando $x\to 0^+$ , $x-1\to -1$ y $\ln x\to-\infty$ ; el producto de dos factores negativos tiende a $+\infty$ :
$\lim_{x\to 0^+}\left(-2+10(x-1)\ln x\right)$ ${}= -2+10\cdot(-1)\cdot(-\infty)$ ${}= +\infty$
Por tanto, la recta $x=0$ (el eje de ordenadas) es una asíntota vertical.
Cuando $x\to+\infty$ , los dos factores tienden a $+\infty$ :
$\lim_{x\to+\infty}\left(-2+10(x-1)\ln x\right)$ ${}= -2+10\cdot(+\infty)\cdot(+\infty)$ ${}= +\infty$
Cortes con el eje de abscisas: en $(1,+\infty)$ la función crece desde $-2$ y corta el eje en la raíz del apartado a), entre $1{,}4$ y $1{,}5$ . En $(0,1)$ decrece desde $+\infty$ hasta $-2$ , así que también lo corta una vez; por ejemplo:
$f(0{,}5)$ ${}= -2+10\cdot(-0{,}5)\cdot\ln 0{,}5$ ${}\approx 1{,}47$ ${}> 0$ $f(1)=-2<0$
Esbozo: la gráfica baja desde $+\infty$ pegada al eje $OY$ , corta el eje $OX$ entre $0{,}5$ y $1$ , llega al mínimo $(1,-2)$ , vuelve a subir, corta el eje $OX$ entre $1{,}4$ y $1{,}5$ y crece sin límite.

Resultado $\lim_{x\to 0^+}f(x)=+\infty$ y $\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ . La gráfica tiene el mínimo en $(1,-2)$ y corta el eje $OX$ dos veces: entre $0{,}5$ y $1$ , y entre $1{,}4$ y $1{,}5$ .

La pauta oficial da: $\lim_{x\to 0^+}f(x)=+\infty$ , $\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$

Esbozo de y=−2+10(x−1)ln x para 0<x≤2,2: la curva baja desde arriba pegada al eje OY (la asíntota vertical x=0, discontinua), corta el eje OX entre 0,5 y 1, tiene el mínimo en (1,−2) y vuelve a subir; corta de nuevo el eje OX dentro de la franja sombreada que va de x=1,4 a x=1,5.

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemáticas 2024, convocatoria ordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 30 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

El examen entero, resuelto Examen en catalán (PDF)Examen en castellano (PDF)Pauta de corrección (PDF)Reutilizado según el aviso legal de la Generalitat

2024Convocatoria ordinaria · Serie 5 · Ejercicio 3

2,5 puntosCoincide con la pautaTambién en Integrales

Enunciado oficial del ejercicio 3 de la PAU de Matemáticas de Cataluña de 2024 (convocatoria ordinaria), en castellano. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Enunciado oficial del ejercicio 3 de la PAU de Matemáticas de Cataluña de 2024 (convocatoria ordinaria), en catalán. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Considere las parábolas $y=f_a(x)$ , con $f_a(x)=ax^2+2x+5-a$ , donde $a$ es un parámetro real.

a) Determine el valor del parámetro $a$ para el que la recta tangente a $y=f_a(x)$ en el punto de abscisa $x=1$ pasa por el punto $(2,13)$ .

[1 punto]

b) Calcule los puntos de corte de las parábolas $y=f_1(x)$ e $y=f_3(x)$ .

[0,5 puntos]

c) Calcule el área de la región situada entre las dos parábolas $y=f_1(x)$ e $y=f_3(x)$ .

[1 punto]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

a)1 punto

Planteamiento Se pide el valor de $a$ para que la tangente en $x=1$ pase por $(2,13)$ . Escribimos la tangente en función de $a$ con $y-f_a(1)=f_a'(1)(x-1)$ e imponemos el punto.

Punto de tangencia: la ordenada no depende de $a$ , así que es $(1,7)$ para cualquier $a$ :
$f_a(1)=a+2+5-a=7$
Pendiente:
$f_a'(x)=2ax+2$ $f_a'(1)=2a+2$
Recta tangente en función de $a$ :
$y-7=(2a+2)(x-1)$
Imponemos que pase por $(2,13)$ :
$13-7$ ${}= (2a+2)(2-1)$ ${}\Longrightarrow 6=2a+2$ ${}\Longrightarrow a=2$
Comprobación: para $a=2$ la tangente es $y-7=6(x-1)$ , es decir, $y=6x+1$ , y en $x=2$ da $y=13$ .

Resultado $a=2$ (la tangente es $y=6x+1$ ).

La pauta oficial da: $a=2$

b)0,5 puntos

Planteamiento Se piden los puntos comunes de $y=f_1(x)$ e $y=f_3(x)$ : igualamos las dos expresiones y resolvemos la ecuación.

Las dos parábolas, con $a=1$ y con $a=3$ :
$f_1(x)=x^2+2x+4$ $f_3(x)=3x^2+2x+2$
Igualamos:
$x^2+2x+4$ ${}= 3x^2+2x+2$ ${}\Longrightarrow 2x^2-2=0$ ${}\Longrightarrow x^2$ ${}= 1$ ${}\Longrightarrow x=\pm 1$
Ordenadas:
$f_1(1)=1+2+4=7$ $f_1(-1)=1-2+4=3$
Comprobamos con la otra parábola: $f_3(1)=3+2+2=7$ y $f_3(-1)=3-2+2=3$ .

Resultado $(1,7)$ y $(-1,3)$ .

La pauta oficial da: $(1,7)$ , $(-1,3)$

c)1 punto

Planteamiento Se pide el área encerrada entre las dos parábolas. Es la integral, entre los puntos de corte $x=-1$ y $x=1$ (apartado b), de la función de arriba menos la de abajo.

Cuál está por encima: en $(-1,1)$ la diferencia es positiva (por ejemplo, en $x=0$ vale $2$ ), así que $f_1$ queda por encima de $f_3$ :
$f_1(x)-f_3(x)=-2x^2+2$
Área, con la regla de Barrow:
$A$ ${}= \int_{-1}^{1}\left(-2x^2+2\right)dx$ ${}= \left[-\frac{2x^3}{3}+2x\right]_{-1}^{1}$
Sustituimos los límites de integración:
$A$ ${}= \left(-\frac{2}{3}+2\right)-\left(\frac{2}{3}-2\right)$ ${}= \frac{4}{3}+\frac{4}{3}$ ${}= \frac{8}{3}$

Resultado $A=\dfrac{8}{3}\ \text{u}^2\approx 2{,}67\ \text{u}^2$

La pauta oficial da: $\frac{8}{3}\ \text{u}^2$

Las parábolas y=f₁(x)=x²+2x+4 (la de arriba) e y=f₃(x)=3x²+2x+2 (la de abajo) entre x=−1 y x=1, donde se cortan en los puntos (−1,3) y (1,7). La región cerrada entre las dos, de área 8/3, está sombreada.

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemáticas 2024, convocatoria ordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 30 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

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2024Convocatoria ordinaria · Serie 5 · Ejercicio 5

2,5 puntosLa pauta redondea distinto

Carles quiere construir un decorado para la obra de teatro de final de curso en forma de un rectángulo y dos semicírculos, tal como se muestra en la siguiente figura:

a) Determine el perímetro y el área del decorado a construir en función de $x$ y de $y$ .

[1 punto]

b) Para revestir el perímetro del decorado, Carles tiene material para cubrir hasta 10 m. Si lo quiere gastar todo, ¿cuáles serán las medidas del decorado de área máxima que podrá construir? ¿Cuál es el valor de esta área?

[1,5 puntos]

Contorno del decorado: un rectángulo con un semicírculo grande sobre el lado superior y un semicírculo más pequeño pegado al lado derecho. El radio del semicírculo superior, x, está marcado desde el centro del lado superior hasta el vértice superior derecho; el radio del semicírculo de la derecha, y, va desde ese vértice hacia abajo hasta el centro del lado derecho. Así, el rectángulo mide 2x de ancho y 2y de alto.

Hazlo en papel y compara paso a paso.

a)1 punto

Planteamiento Se piden el perímetro y el área del decorado en función de $x$ e $y$ . En la figura, $x$ es el radio del semicírculo superior e $y$ el del semicírculo de la derecha; por tanto, el rectángulo mide $2x$ de ancho y $2y$ de alto.

El contorno lo forman el lado inferior ( $2x$ ), el izquierdo ( $2y$ ), la semicircunferencia superior (la mitad de $2\pi x$ ) y la de la derecha (la mitad de $2\pi y$ ):
$P(x,y)$ ${}= 2x+2y+\pi x+\pi y$ ${}= (2+\pi)(x+y)$
El área es la del rectángulo más la de los dos semicírculos:
$A(x,y)$ ${}= 2x\cdot 2y+\frac{\pi x^2}{2}+\frac{\pi y^2}{2}$ ${}= 4xy+\frac{\pi}{2}\left(x^2+y^2\right)$

Resultado $P=(2+\pi)(x+y)$ ; $A=4xy+\dfrac{\pi}{2}\left(x^2+y^2\right)$ .

La pauta oficial da: $P=(2+\pi)(x+y)$ , $A=\frac{\pi x^2}{2}+\frac{\pi y^2}{2}+4xy$

b)1,5 puntos

Planteamiento Se piden las medidas y el área del decorado de área máxima con un perímetro de $10$ m. Con la condición del perímetro escribimos $y$ en función de $x$ , de modo que el área depende de una sola variable; la derivamos y buscamos el máximo.

Condición del perímetro (en metros):
$(2+\pi)(x+y)=10\ \Longrightarrow\ y=\frac{10}{2+\pi}-x$
Llamamos $s=\frac{10}{2+\pi}\approx 1{,}945$ m, de modo que $y=s-x$ , con $0\le x\le s$ . El área en función solo de $x$ :
$A(x)$ ${}= 4x(s-x)$ ${}+\frac{\pi}{2}\left(x^2+(s-x)^2\right)$
Derivamos:
$A'(x)$ ${}= 4s-8x$ ${}+\frac{\pi}{2}\left(2x-2(s-x)\right)$ ${}= (2\pi-8)x+(4-\pi)s$
Punto crítico:
$A'(x)=0$ ${}\Longleftrightarrow (8-2\pi)x$ ${}= (4-\pi)s$ ${}\Longleftrightarrow x=\frac{(4-\pi)s}{2(4-\pi)}$ ${}= \frac{s}{2}$
Derivada segunda, negativa para cualquier $x$ porque $2\pi\approx 6{,}28<8$ : el punto crítico es un máximo, y es el máximo absoluto en $[0,s]$ porque $A'$ es decreciente en él.
$A''(x)=2\pi-8<0$
Medidas: $x$ e $y$ son iguales.
$x=y=\frac{s}{2}=\frac{5}{2+\pi}\approx 0{,}9725\ \text{m}$
El rectángulo es, por tanto, un cuadrado de lado $2x=\frac{10}{2+\pi}\approx 1{,}945$ m, y los dos semicírculos tienen el mismo radio, $\approx 0{,}9725$ m.
Área máxima, con $x=y=\frac{5}{2+\pi}$ :
$A$ ${}= 4x^2+\pi x^2$ ${}= (4+\pi)\cdot\frac{25}{(2+\pi)^2}$ ${}= \frac{25(4+\pi)}{(2+\pi)^2}$ ${}\approx 6{,}754\ \text{m}^2$

Resultado $x=y=\dfrac{5}{2+\pi}\approx 0{,}9725$ m: el rectángulo es un cuadrado de $\approx 1{,}945$ m de lado con dos semicírculos de radio $\approx 0{,}9725$ m. Área máxima $\dfrac{25(4+\pi)}{(2+\pi)^2}$ ${}\approx 6{,}754\ \text{m}^2$ .

La pauta oficial da: $x=y=0{,}972\ldots\ \text{m}$ ; $A=6{,}747\ldots\ \text{m}^2$

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemáticas 2024, convocatoria ordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 30 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

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2024Convocatoria extraordinaria · Serie 3 · Ejercicio 1

2,5 puntosCoincide con la pauta

Enunciado oficial del ejercicio 1 de la PAU de Matemáticas de Cataluña de 2024 (convocatoria extraordinaria), en castellano. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Enunciado oficial del ejercicio 1 de la PAU de Matemáticas de Cataluña de 2024 (convocatoria extraordinaria), en catalán. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Considere la función polinómica $f(x)=3x^{13}+5x^3+2$ .

a) Justifique que su gráfica corta el eje de abscisas en un punto del intervalo $[-2,0]$ . Dé un intervalo de longitud $0{,}5$ donde se encuentre este punto de corte.

[1,25 puntos]

b) Estudie las zonas de crecimiento y de decrecimiento, y los máximos y los mínimos de $y=f(x)$ . ¿Cuántos puntos de corte tiene exactamente la gráfica de esta función con el eje de abscisas? Justifique su respuesta.

[1,25 puntos]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

a)1,25 puntos

Planteamiento Teorema de Bolzano: si $f$ es continua en $[a,b]$ y $f(a)$ y $f(b)$ tienen signos contrarios, $f$ se anula en algún punto de $(a,b)$ . Lo aplicamos en $[-2,0]$ y después en intervalos más pequeños.

$f$ es polinómica, por tanto continua en todo $\mathbb{R}$ y, en particular, en $[-2,0]$ .
Signo en los extremos, con $(-2)^{13}=-8192$ y $(-2)^3=-8$ :
$f(-2)$ ${}= 3\cdot(-8192)$ ${}+5\cdot(-8)+2$ ${}= -24576-40+2$ ${}= -24614$ ${}< 0$ $f(0)=2>0$
Por Bolzano, hay algún $c\in(-2,0)$ con $f(c)=0$ : la gráfica corta el eje de abscisas dentro del intervalo.
Probamos el punto medio, $x=-1$ :
$f(-1)$ ${}= 3\cdot(-1)^{13}$ ${}+5\cdot(-1)^3+2$ ${}= -3-5+2$ ${}= -6$ ${}< 0$
Como $f(-1)<0<f(0)$ , el corte está en $(-1,0)$ . Probamos $x=-0{,}5$ , con $(-0{,}5)^{13}=-\frac{1}{8192}$ y $(-0{,}5)^3=-0{,}125$ :
$f(-0{,}5)$ ${}= -\frac{3}{8192}-0{,}625+2$ ${}\approx 1{,}37$ ${}> 0$
Como $f(-1)<0<f(-0{,}5)$ , aplicando Bolzano en $[-1,-0{,}5]$ el punto de corte está en este intervalo, que mide $0{,}5$ de longitud.

ResultadoPor Bolzano ( $f(-2)<0<f(0)$ ) la gráfica corta el eje en $[-2,0]$ ; un intervalo de longitud $0{,}5$ que contiene el corte es $[-1,-0{,}5]$ .

La pauta oficial da: $f(-2)<0<f(0)$ ; $[-1,-0{,}5]$

b)1,25 puntos

Planteamiento Estudiamos el signo de la derivada. Si $f$ es estrictamente creciente, no puede valer cero en dos puntos diferentes.

Derivada:
$f'(x)$ ${}= 39x^{12}+15x^2$ ${}= 3x^2\left(13x^{10}+5\right)$
Los dos factores son positivos o nulos ( $x^2\ge 0$ y $13x^{10}+5\ge 5$ ), y el producto solo se anula en $x=0$ :
$f'(x)>0\ \text{ si }x\ne 0$ $f'(0)=0$
Por tanto $f$ es estrictamente creciente en todo $\mathbb{R}$ y no decrece en ningún punto. En $x=0$ la derivada se anula pero no cambia de signo: no hay ni máximo ni mínimo. El punto $(0,f(0))=(0,2)$ es un punto de inflexión con tangente horizontal.
Una función estrictamente creciente no puede tomar el valor $0$ en dos puntos diferentes. Con el apartado a), la gráfica corta el eje de abscisas exactamente una vez, en un punto de $[-1,-0{,}5]$ .

Resultado $f$ es creciente en todo $\mathbb{R}$ (nunca decreciente) y no tiene máximos ni mínimos. La gráfica corta el eje de abscisas exactamente en $1$ punto, que está en $[-1,-0{,}5]$ .

La pauta oficial da: $\text{mai decreix}$ ; $\text{sense màxims ni mínims}$ ; $\text{un únic tall, a }[-1,-0{,}5]$

Gráfica de y=3x¹³+5x³+2 entre x=−1,1 y x=0,6: la curva siempre sube, corta el eje OX una sola vez, en un punto entre x=−1 y x=−0,5 (franja sombreada), y en (0,2) tiene un tramo casi plano (tangente horizontal) sin dejar de subir.

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemáticas 2024, convocatoria extraordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 22 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

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2024Convocatoria extraordinaria · Serie 3 · Ejercicio 5

2,5 puntosCoincide con la pauta

Enunciado oficial del ejercicio 5 de la PAU de Matemáticas de Cataluña de 2024 (convocatoria extraordinaria), en castellano. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Enunciado oficial del ejercicio 5 de la PAU de Matemáticas de Cataluña de 2024 (convocatoria extraordinaria), en catalán. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Para cada punto $(x,y)$ de la curva $y=e^{-2x}$ , con $x>0$ e $y>0$ , considere el rectángulo con vértices en los puntos $(0,0)$ , $(x,0)$ , $(0,y)$ y $(x,y)$ .

a) Compruebe que, de entre todos estos rectángulos, el que tiene $x=\dfrac{1}{2}$ es el de área máxima. ¿Cuál es el valor de esta área?

[1,5 puntos]

b) Calcule la ecuación de la recta tangente a la función $y=e^{-2x}$ en el punto de abscisa $x=0$ , y su punto de corte con el eje de abscisas.

[1 punto]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

a)1,5 puntos

Planteamiento El rectángulo tiene base $x$ y altura $y=e^{-2x}$ . Escribimos el área en función de $x$ y buscamos su máximo en $(0,+\infty)$ con la derivada.

Función área:
$A(x)=x\cdot e^{-2x}$ $x>0$
Derivada, con la regla del producto:
$A'(x)$ ${}= e^{-2x}$ ${}+x\cdot(-2)e^{-2x}$ ${}= e^{-2x}(1-2x)$
Punto crítico ( $e^{-2x}>0$ siempre):
$A'(x)=0\ \Longleftrightarrow\ 1-2x=0\ \Longleftrightarrow\ x=\frac{1}{2}$
Signo de $A'$ : es el de $1-2x$ , positivo para $0<x<\frac{1}{2}$ y negativo para $x>\frac{1}{2}$ . $A$ crece y después decrece: en $x=\frac{1}{2}$ está el máximo absoluto.
Lados del rectángulo:
$x=\frac{1}{2}$ $y=e^{-2\cdot\frac{1}{2}}=e^{-1}=\frac{1}{e}$
Área máxima:
$A\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{e}=\frac{1}{2e}\approx 0{,}184\ \mathrm{u}^2$

ResultadoEl máximo está en $x=\dfrac{1}{2}$ ( $A$ crece antes y decrece después); el área máxima es $\dfrac{1}{2e}\approx 0{,}184\ \mathrm{u}^2$ .

La pauta oficial da: $x=\frac{1}{2}\ \text{(màxim absolut)}$ ; $A\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2e}\ \mathrm{u}^2$

La curva y=e^(−2x) para x≥0 con el rectángulo de área máxima sombreado: vértices (0,0), (1/2,0), (0,1/e) y (1/2,1/e), este último sobre la curva. También está la recta tangente del apartado b), y=−2x+1, discontinua, que corta el eje OX en (1/2,0).

b)1 punto

Planteamiento La recta tangente en $x=0$ es $y-y(0)=y'(0)(x-0)$ . Después buscamos su corte con $y=0$ .

Derivada, con la regla de la cadena:
$y'=-2e^{-2x}$
Punto y pendiente en $x=0$ :
$y(0)=e^{0}=1$ $y'(0)=-2e^{0}=-2$
Recta tangente:
$y-1=-2(x-0)\ \Longrightarrow\ y=-2x+1$
Corte con el eje de abscisas:
$0=-2x+1\ \Longrightarrow\ x=\frac{1}{2}$

Resultado $y=-2x+1$ ; corta el eje de abscisas en $\left(\dfrac{1}{2},0\right)$ .

La pauta oficial da: $y=-2x+1$ ; $\left(\frac{1}{2},0\right)$

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemáticas 2024, convocatoria extraordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 22 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

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2023Convocatoria ordinaria · Serie 1 · Ejercicio 1

2,5 puntosCoincide con la pauta

Enunciado oficial del ejercicio 1 de la PAU de Matemáticas de Cataluña de 2023 (convocatoria ordinaria), en castellano. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Enunciado oficial del ejercicio 1 de la PAU de Matemáticas de Cataluña de 2023 (convocatoria ordinaria), en catalán. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Calcule los coeficientes $a$ , $b$ , $c$ y $d$ de la función $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ si se sabe que la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f$ en el punto de inflexión $(1,0)$ es $y=-3x+3$ y que la función tiene un extremo relativo en el punto de la gráfica de abscisa $x=0$ .

Hazlo en papel y compara paso a paso.

12,5 puntos

Planteamiento Traducimos cada condición del enunciado en una ecuación para los cuatro coeficientes. Necesitamos $f$ , $f'$ y $f''$ .

Derivadas de $f$ :
$f'(x)=3ax^2+2bx+c$ $f''(x)=6ax+2b$
El punto $(1,0)$ es de la gráfica:
$f(1)=0\ \Longrightarrow\ a+b+c+d=0$
Es un punto de inflexión, así que la segunda derivada se anula en él:
$f''(1)=0\ \Longrightarrow\ 6a+2b=0$
La pendiente de la tangente $y=-3x+3$ es $-3$ , y es el valor de la derivada en $x=1$ :
$f'(1)=-3\ \Longrightarrow\ 3a+2b+c=-3$
Hay un extremo relativo en $x=0$ , así que la derivada se anula en él:
$f'(0)=0\ \Longrightarrow\ c=0$
De $6a+2b=0$ sale $b=-3a$ ; lo sustituimos en la tercera ecuación, con $c=0$ :
$3a+2(-3a)$ ${}= -3$ ${}\Longrightarrow -3a$ ${}= -3$ ${}\Longrightarrow a=1$ $b=-3$
Y de la primera ecuación:
$1-3+0+d=0\ \Longrightarrow\ d=2$
Comprobación: $f(x)=x^3-3x^2+2$ cumple las cuatro condiciones.
$f(1)=0$ $f'(1)=3-6=-3$ $f''(1)=6-6=0$ $f'(0)=0$
Además, $f'''(1)=6\ne 0$ confirma que $(1,0)$ es un punto de inflexión, y $f''(0)=-6<0$ dice que en $x=0$ hay un máximo relativo.
$f'''(x)=6$ $f''(0)=-6<0$

Resultado $a=1$ , $b=-3$ , $c=0$ , $d=2$ , es decir, $f(x)=x^3-3x^2+2$ .

La pauta oficial da: $a=1$ , $b=-3$ , $c=0$ , $d=2$

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemáticas 2023, convocatoria ordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 22 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

El examen entero, resuelto Examen en catalán (PDF)Examen en castellano (PDF)Pauta de corrección (PDF)Reutilizado según el aviso legal de la Generalitat

2023Convocatoria ordinaria · Serie 1 · Ejercicio 3

2,5 puntosCoincide con la pautaTambién en Integrales, Límites y continuidad

Enunciado oficial del ejercicio 3 de la PAU de Matemáticas de Cataluña de 2023 (convocatoria ordinaria), en castellano. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Enunciado oficial del ejercicio 3 de la PAU de Matemáticas de Cataluña de 2023 (convocatoria ordinaria), en catalán. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Sea $f'(x)$ ${}= \begin{cases}x-1, & \text{si } x\le 2\\ \dfrac{1}{x-1}, & \text{si } x>2\end{cases}$ la función derivada de una función derivable $f(x)$ que pasa por el punto $A=(0,3)$ .

a) Calcule la función $f(x)$ .

[1,5 puntos]

b) Calcule la ecuación de la recta tangente a la función $f'(x)$ en el punto de abscisa $x=3$ .

[1 punto]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

a)1,5 puntos

Planteamiento Integramos cada trozo de $f'$ . Cada primitiva lleva su constante: la del primer trozo sale del punto $A=(0,3)$ (que pertenece a él porque $0\le 2$ ), y la del segundo, de la continuidad de $f$ en $x=2$ (una función derivable es continua).

Primitiva del primer trozo ( $x\le 2$ ):
$\int (x-1)\,dx=\frac{x^2}{2}-x+k$
Primitiva del segundo trozo ( $x>2$ ); como $x-1>0$ , no hace falta el valor absoluto:
$\int \frac{1}{x-1}\,dx=\ln(x-1)+k'$
$f$ pasa por $A=(0,3)$ , y $x=0$ es del primer trozo:
$f(0)=\frac{0^2}{2}-0+k=3\ \Longrightarrow\ k=3$
Continuidad en $x=2$ : el valor del primer trozo tiene que coincidir con el límite por la derecha:
$\frac{2^2}{2}-2+3$ ${}= \lim_{x\to 2^+}\left(\ln(x-1)+k'\right)$ ${}\Longrightarrow 3=\ln 1+k'$ ${}\Longrightarrow k'=3$
Las dos derivadas laterales en $x=2$ valen $2-1=1$ y $\frac{1}{2-1}=1$ : la función obtenida es derivable en $x=2$ , como dice el enunciado.
$f'(2^-)=f'(2^+)=1$

Resultado $f(x)$ ${}= \begin{cases}\dfrac{x^2}{2}-x+3, & \text{si } x\le 2\\ \ln(x-1)+3, & \text{si } x>2\end{cases}$

La pauta oficial da: $f(x)$ ${}= \begin{cases}\frac{1}{2}x^2-x+3 & \text{si } x\le 2\\ \ln|x-1|+3 & \text{si } x>2\end{cases}$

b)1 punto

Planteamiento Ahora la función de la que buscamos la tangente es $g(x)=f'(x)$ . En $x=3$ se aplica el segundo trozo, $g(x)=\frac{1}{x-1}$ . La recta tangente es $y-g(3)=g'(3)\,(x-3)$ .

Valor de la función en $x=3$ :
$g(3)=f'(3)=\frac{1}{3-1}=\frac{1}{2}$
Derivada del segundo trozo (es $f''$ ) y pendiente:
$g'(x)$ ${}= f''(x)$ ${}= -\frac{1}{(x-1)^2}$ ${}\Longrightarrow g'(3)$ ${}= -\frac{1}{4}$
Recta tangente:
$y-\frac{1}{2}$ ${}= -\frac{1}{4}(x-3)$ ${}\Longrightarrow y=-\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}+\frac{1}{2}$ ${}= -\frac{1}{4}x+\frac{5}{4}$

Resultado $y=-\dfrac{1}{4}x+\dfrac{5}{4}$ (o bien $x+4y-5=0$ ).

La pauta oficial da: $y=-\frac{1}{4}x+\frac{5}{4}$

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemáticas 2023, convocatoria ordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 22 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

El examen entero, resuelto Examen en catalán (PDF)Examen en castellano (PDF)Pauta de corrección (PDF)Reutilizado según el aviso legal de la Generalitat

2023Convocatoria ordinaria · Serie 1 · Ejercicio 5

2,5 puntosCoincide con la pauta

Enunciado oficial del ejercicio 5 de la PAU de Matemáticas de Cataluña de 2023 (convocatoria ordinaria), en castellano. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Enunciado oficial del ejercicio 5 de la PAU de Matemáticas de Cataluña de 2023 (convocatoria ordinaria), en catalán. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Núria tiene un jardín rectangular y quiere poner un cerco (rectangular o cuadrado) de $8\ \mathrm{m}^2$ para su perro. Piensa colocar el cerco pegado al muro del jardín, tal como se muestra en la figura de la derecha, para así ahorrarse uno de los cuatro lados.

El precio de la valla que quiere usar es de 2,5 €/m.

a) ¿Qué dimensiones debe tener el cerco para que el coste sea mínimo? ¿Cuál es este coste mínimo?

[1,75 puntos]

b) Si mantiene la forma rectangular o cuadrada del cerco y hace que uno de los vértices del jardín coincida con un vértice del cerco, ¿cuántos euros puede ahorrarse? Razone cómo pondría el cerco y justifique con cálculos matemáticos las dimensiones de su propuesta.

[0,75 puntos]

Esquema del jardín: un rectángulo grande con el rótulo «Jardín». Arriba, pegado al muro, un rectángulo de línea discontinua con el rótulo «Cerco para el perro» y el dibujo de un perro. Solo tres lados del cerco son discontinuos; el cuarto es el muro.

Hazlo en papel y compara paso a paso.

a)1,75 puntos

Planteamiento Sean $x$ el lado del cerco paralelo al muro y $y$ cada uno de los dos lados perpendiculares al muro, en metros. El lado que toca el muro no lleva valla, de modo que la valla mide $x+2y$ metros.

El área es de $8\ \mathrm{m}^2$ :
$x\cdot y=8\ \Longrightarrow\ y=\frac{8}{x}$
Coste, a 2,5 €/m, en función de $x$ (con $x>0$ ):
$C(x)$ ${}= 2{,}5\,(x+2y)$ ${}= 2{,}5\left(x+\frac{16}{x}\right)$
Derivamos e igualamos a cero; solo sirve la solución positiva ( $x=-4$ no es una longitud):
$C'(x)$ ${}= 2{,}5\left(1-\frac{16}{x^2}\right)=0$ ${}\Longrightarrow x^2$ ${}= 16$ ${}\Longrightarrow x=4$
La segunda derivada es positiva para $x>0$ , así que $x=4$ es un mínimo:
$C''(x)=2{,}5\cdot\frac{32}{x^3}=\frac{80}{x^3}$ $C''(4)=\frac{80}{64}=\frac{5}{4}>0$
Dimensiones y coste:
$x=4$ $y=\frac{8}{4}=2$ $C(4)=2{,}5\,(4+2\cdot 2)=20$

ResultadoEl cerco debe medir $4$ m de lado paralelo al muro y $2$ m hacia el interior del jardín. El coste mínimo es de $20$ €.

La pauta oficial da: $x=4\ \mathrm{m}$ , $y=2\ \mathrm{m}$ ; $C(4)=20$

b)0,75 puntos

Planteamiento Si un vértice del cerco coincide con un vértice del jardín, ponemos el cerco en la esquina: dos lados quedan pegados a los dos muros y solo hace falta valla en los otros dos, $x+y$ metros.

Coste con $y=\frac{8}{x}$ :
$C(x)=2{,}5\,(x+y)=2{,}5\left(x+\frac{8}{x}\right)$
Derivamos e igualamos a cero (solución positiva):
$C'(x)$ ${}= 2{,}5\left(1-\frac{8}{x^2}\right)=0$ ${}\Longrightarrow x^2$ ${}= 8$ ${}\Longrightarrow x=\sqrt{8}$ ${}= 2\sqrt{2}$
Es un mínimo, porque la segunda derivada es positiva:
$C''(x)=2{,}5\cdot\frac{16}{x^3}=\frac{40}{x^3}>0$
El otro lado también mide $2\sqrt{2}$ m: el cerco es un cuadrado.
$y=\frac{8}{2\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\approx 2{,}83$
Coste mínimo:
$C(2\sqrt{2})$ ${}= 2{,}5\,(2\sqrt{2}+2\sqrt{2})$ ${}= 2{,}5\cdot 4\sqrt{2}$ ${}= 10\sqrt{2}$ ${}\approx 14{,}14$
Ahorro respecto del apartado a):
$20-10\sqrt{2}\approx 20-14{,}14=5{,}86$

ResultadoPonemos el cerco en una esquina del jardín, cuadrado de lado $2\sqrt{2}\approx 2{,}83$ m. Cuesta $10\sqrt{2}\approx 14{,}14$ €, de modo que se ahorran $20-10\sqrt{2}\approx 5{,}86$ €.

La pauta oficial da: $x=y=2\sqrt{2}\approx 2{,}83\ \mathrm{m}$ ; $C=14{,}14$ ; $20-14{,}14=5{,}86$

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemáticas 2023, convocatoria ordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 22 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

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2023Convocatoria ordinaria · Serie 5 · Ejercicio 1

2,5 puntosLa pauta tiene un errorTambién en Integrales

Considere las funciones $f(x)=-x^2+x+6$ y $g(x)=-9x+3x^2$ .

a) Calcule el área de la región delimitada por las dos funciones.

[1,25 puntos]

b) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la función $f(x)$ en el punto $(-2,0)$ . Represente esta recta tangente y las funciones $f(x)$ y $g(x)$ en unos mismos ejes de coordenadas.

[1,25 puntos]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

a)1,25 puntos

Planteamiento La región está limitada por las dos parábolas entre sus puntos de corte. Buscamos los cortes, miramos qué función queda por encima e integramos la diferencia.

Puntos de corte, $f(x)=g(x)$ :
$-x^2+x+6$ ${}= -9x+3x^2$ ${}\Longrightarrow 4x^2-10x-6=0$ ${}\Longrightarrow 2x^2-5x-3=0$
Fórmula de la ecuación de segundo grado:
$x=\frac{5\pm\sqrt{25+24}}{4}=\frac{5\pm 7}{4}\ \Longrightarrow\ x=3$ $x=-\frac{1}{2}$
Cuál queda por encima: probamos un punto del intervalo, $x=0$ . Como $f-g$ solo cambia de signo en los cortes, $f\ge g$ en todo el intervalo $\left[-\frac{1}{2},3\right]$ :
$f(0)=6>0=g(0)$
Área y primitiva de la diferencia:
$A$ ${}= \int_{-1/2}^{3}\left(-4x^2+10x+6\right)dx$ ${}= \left[-\frac{4}{3}x^3+5x^2+6x\right]_{-1/2}^{3}$
Regla de Barrow, con $F(x)=-\frac{4}{3}x^3+5x^2+6x$ :
$F(3)=-36+45+18=27$ $F\!\left(-\tfrac{1}{2}\right)=\frac{1}{6}+\frac{5}{4}-3=-\frac{19}{12}$
Resultado:
$A$ ${}= 27-\left(-\frac{19}{12}\right)$ ${}= \frac{324+19}{12}$ ${}= \frac{343}{12}\ \mathrm{u}^2$ ${}\approx 28{,}58\ \mathrm{u}^2$

Resultado $A=\dfrac{343}{12}\ \mathrm{u}^2\approx 28{,}58\ \mathrm{u}^2$ .

La pauta oficial da: $\frac{343}{12}\ \mathrm{u}^2$

Las parábolas y=−x²+x+6 (hacia abajo) y y=3x²−9x (hacia arriba) se cortan en (−1/2,21/4) y en (3,0). La región sombreada, entre las dos curvas de x=−1/2 a x=3, con f arriba y g abajo, tiene área 343/12.

b)1,25 puntos

Planteamiento El punto $(-2,0)$ es de la gráfica de $f$ , porque $f(-2)=-4-2+6=0$ . La pendiente de la tangente es $f'(-2)$ . Para dibujar las parábolas buscamos su vértice y sus cortes con los ejes.

Derivada y pendiente:
$f'(x)=-2x+1\ \Longrightarrow\ f'(-2)=5$
Recta tangente:
$y-0=5\,(x+2)\ \Longrightarrow\ y=5x+10$
La recta corta los ejes en $(0,10)$ y en $(-2,0)$ :
$x=0\ \Rightarrow\ y=10$ $y=0\ \Rightarrow\ x=-2$
Parábola $f$ : ramas hacia abajo, corta el eje $OX$ en $x=-2$ y $x=3$ y el eje $OY$ en $(0,6)$ ; el vértice está donde $f'(x)=0$ :
$-2x+1=0\ \Longrightarrow\ x=\frac{1}{2}$ $f\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+6=\frac{25}{4}$
Parábola $g$ : ramas hacia arriba, corta el eje $OX$ en $x=0$ y $x=3$ ; el vértice está donde $g'(x)=0$ :
$-9+6x=0\ \Longrightarrow\ x=\frac{3}{2}$ $g\!\left(\tfrac{3}{2}\right)=-\frac{27}{2}+\frac{27}{4}=-\frac{27}{4}$
Las dos parábolas se cortan en los puntos del apartado a), y la recta toca $f$ solo en $(-2,0)$ . La gráfica lo representa todo en los mismos ejes.
$f\!\left(-\tfrac{1}{2}\right)$ ${}= g\!\left(-\tfrac{1}{2}\right)$ ${}= \frac{21}{4}$ $f(3)=g(3)=0$

ResultadoRecta tangente: $y=5x+10$ . Vértices: $\left(\frac{1}{2},\frac{25}{4}\right)$ para $f$ y $\left(\frac{3}{2},-\frac{27}{4}\right)$ para $g$ . La gráfica muestra la recta y las dos parábolas en los mismos ejes.

La pauta oficial da: $y=5x+10$ ; $V_f=\left(\frac{1}{2},\frac{27}{4}\right)$ ; $V_g=\left(\frac{3}{2},-\frac{27}{4}\right)$

En unos mismos ejes: la parábola f, con vértice (1/2,25/4) y cortes (−2,0) y (3,0); la parábola g, con vértice (3/2,−27/4) y cortes (0,0) y (3,0); y la recta tangente y=5x+10, que toca f en (−2,0) y corta el eje vertical en (0,10).

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemáticas 2023, convocatoria ordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 22 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

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2023Convocatoria ordinaria · Serie 5 · Ejercicio 4

2,5 puntosCoincide con la pauta

Enunciado oficial del ejercicio 4 de la PAU de Matemáticas de Cataluña de 2023 (convocatoria ordinaria), en castellano. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Enunciado oficial del ejercicio 4 de la PAU de Matemáticas de Cataluña de 2023 (convocatoria ordinaria), en catalán. El texto está en la página. — Enunciado oficial

En una carretera principal se encuentra el pueblo $A$ . A 12 km del pueblo $A$ , hay un cruce $O$ con una carretera secundaria que corta perpendicularmente la carretera principal. A 9 km del cruce, en la carretera secundaria, se encuentra el pueblo $B$ . Se quiere construir una torre de comunicaciones $T$ en un punto de la carretera principal situado entre el pueblo $A$ y el cruce $O$ . Esta torre debe estar conectada con cada uno de los dos pueblos en línea recta por cable. Se sabe que instalar el cable entre la torre $T$ y el pueblo $B$ tiene un precio de 250 €/km y, en cambio, instalar el cable entre la torre $T$ y el pueblo $A$ tiene un precio de 125 €/km. Determine a qué distancia del cruce $O$ en la carretera principal hay que situar la torre $T$ para que el precio del cableado sea mínimo y cuál será el valor de este precio mínimo.

Representación gráfica del cruce: el punto O, «Cruce», abajo a la izquierda; una línea vertical, «Carretera secundaria», sube hasta el punto B, «Pueblo B»; una línea horizontal, «Carretera principal», va hacia la derecha hasta el punto A, «Pueblo A». Entre O y A está el punto T, «Torre», unido a B con una línea de puntos.

Hazlo en papel y compara paso a paso.

42,5 puntos

Planteamiento Sea $x$ la distancia, en km, del cruce $O$ a la torre $T$ , con $0\le x\le 12$ . El cable $TA$ mide $12-x$ km, y el cable $TB$ es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos $x$ y $9$ .

Teorema de Pitágoras:
$d(T,B)=\sqrt{9^2+x^2}=\sqrt{81+x^2}$
Precio del cableado, en euros:
$P(x)$ ${}= 125\,(12-x)$ ${}+250\sqrt{81+x^2}$
Derivamos:
$P'(x)$ ${}= -125$ ${}+250\cdot\frac{2x}{2\sqrt{81+x^2}}$ ${}= -125$ ${}+\frac{250x}{\sqrt{81+x^2}}$
Igualamos a cero y elevamos al cuadrado (los dos lados son positivos para $x>0$ ):
$\frac{250x}{\sqrt{81+x^2}}$ ${}= 125$ ${}\Longrightarrow \sqrt{81+x^2}$ ${}= 2x$ ${}\Longrightarrow 81+x^2$ ${}= 4x^2$ ${}\Longrightarrow x^2$ ${}= 27$
Solución positiva:
$x=\sqrt{27}=3\sqrt{3}\approx 5{,}20$
Signo de la derivada a ambos lados: el precio decrece antes y crece después, así que es un mínimo:
$P'(1)=-125+\frac{250}{\sqrt{82}}<0$ $P'(6)=-125+\frac{1\,500}{\sqrt{117}}>0$
Precio mínimo, con $\sqrt{81+27}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}$ :
$P(3\sqrt{3})$ ${}= 125\,(12-3\sqrt{3})$ ${}+250\cdot 6\sqrt{3}$ ${}= 1\,500-375\sqrt{3}$ ${}+1\,500\sqrt{3}$ ${}= 1\,500+1\,125\sqrt{3}$ ${}\approx 3\,449$
En los extremos del intervalo el precio es más alto, así que es el mínimo absoluto:
$P(0)=1\,500+2\,250=3\,750$ $P(12)=250\cdot 15=3\,750$

ResultadoHay que situar la torre a $x=3\sqrt{3}\approx 5{,}20$ km del cruce $O$ . El precio mínimo es de $1\,500+1\,125\sqrt{3}\approx 3\,449$ €.

La pauta oficial da: $x=3\sqrt{3}\ \mathrm{km}\approx 5{,}2\ \mathrm{km}$

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemáticas 2023, convocatoria ordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 22 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

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2023Convocatoria ordinaria · Serie 5 · Ejercicio 6

2,5 puntosCoincide con la pauta

Enunciado oficial del ejercicio 6 de la PAU de Matemáticas de Cataluña de 2023 (convocatoria ordinaria), en castellano. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Enunciado oficial del ejercicio 6 de la PAU de Matemáticas de Cataluña de 2023 (convocatoria ordinaria), en catalán. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Sea la función $f(x)=\dfrac{ax^2+x+b}{x^2+1}$ .

a) Calcule los valores de los parámetros $a$ y $b$ si se sabe que la gráfica de la función $f$ tiene un extremo relativo en $x=-1$ y pasa por el punto $P=\left(-2,\dfrac{13}{5}\right)$ .

[1,25 puntos]

b) Para el caso $a=b$ , calcule y clasifique los extremos relativos de la función.

[1,25 puntos]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

a)1,25 puntos

Planteamiento Derivamos $f$ con la regla del cociente e imponemos las dos condiciones: $f'(-1)=0$ (extremo relativo en un punto donde $f$ es derivable; el denominador no se anula nunca) y $f(-2)=\frac{13}{5}$ .

Derivada:
$f'(x)$ ${}= \frac{(2ax+1)(x^2+1)-(ax^2+x+b)\cdot 2x}{(x^2+1)^2}$ ${}= \frac{-x^2+2(a-b)x+1}{(x^2+1)^2}$
Extremo en $x=-1$ :
$f'(-1)$ ${}= \frac{-1-2(a-b)+1}{4}$ ${}= \frac{-2(a-b)}{4}=0$ ${}\Longrightarrow a=b$
Paso por el punto $P$ :
$f(-2)$ ${}= \frac{4a-2+b}{5}$ ${}= \frac{13}{5}$ ${}\Longrightarrow 4a+b$ ${}= 15$
Con $a=b$ :
$5a=15\ \Longrightarrow\ a=b=3$
Comprobación: con $a=b=3$ la derivada es $f'(x)=\dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$ , que cambia de signo en $x=-1$ , de modo que hay de verdad un extremo:
$f'(-2)=-\frac{3}{25}<0$ $f'(0)=1>0$

Resultado $a=3$ y $b=3$ .

La pauta oficial da: $a=b=3$

b)1,25 puntos

Planteamiento Con $a=b$ la derivada ya no depende de $a$ . El enunciado no dice si $a=b$ significa los valores del apartado a) ( $a=b=3$ ) o cualquier pareja con $a=b$ ; como dónde están los extremos no depende de $a$ , resolvemos el caso general y después damos los valores para $a=b=3$ .

Con $a=b$ :
$f'(x)=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$
Puntos críticos:
$1-x^2=0\ \Longrightarrow\ x=-1$ $x=1$
Signo de $f'$ (el denominador es siempre positivo):
$f'(-2)=-\frac{3}{25}<0$ $f'(0)=1>0$ $f'(2)=-\frac{3}{25}<0$
$f$ decrece en $(-\infty,-1)$ , crece en $(-1,1)$ y decrece en $(1,+\infty)$ : tiene un mínimo relativo en $x=-1$ y un máximo relativo en $x=1$ . Los valores, escribiendo $f(x)=a+\dfrac{x}{x^2+1}$ , son
$f(-1)=\frac{a-1+a}{2}=a-\frac{1}{2}$ $f(1)=\frac{a+1+a}{2}=a+\frac{1}{2}$
Con los valores del apartado a), $a=b=3$ :
$f(-1)=\frac{5}{2}$ $f(1)=\frac{7}{2}$

ResultadoMínimo relativo en $x=-1$ , punto $\left(-1,\,a-\frac{1}{2}\right)$ , y máximo relativo en $x=1$ , punto $\left(1,\,a+\frac{1}{2}\right)$ . Con $a=b=3$ : mínimo $\left(-1,\frac{5}{2}\right)$ y máximo $\left(1,\frac{7}{2}\right)$ .

La pauta oficial da: $f'(x)=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$ ; mínimo relativo en $x=-1$ y máximo relativo en $x=1$

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemáticas 2023, convocatoria ordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 22 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

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2023Convocatoria extraordinaria · Serie 2 · Ejercicio 2

2,5 puntosCoincide con la pauta

Enunciado oficial del ejercicio 2 de la PAU de Matemáticas de Cataluña de 2023 (convocatoria extraordinaria), en castellano. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Enunciado oficial del ejercicio 2 de la PAU de Matemáticas de Cataluña de 2023 (convocatoria extraordinaria), en catalán. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Sea la función $f(x)=\dfrac{1}{x}$ .

a) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f$ en el punto de abscisa $x=2$ .

[0,75 puntos]

b) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f$ en el punto de abscisa $x=k$ , donde $k$ es un número real positivo.

[0,75 puntos]

c) Compruebe que, tal como puede verse en la figura de abajo, la recta del apartado b determina un triángulo de área constante con los semiejes positivos de coordenadas. Calcule esta área.

[1 punto]

Gráfica de f(x)=1/x en el primer cuadrante y la recta tangente en un punto de la curva (marcado con un punto). La tangente y los dos semiejes positivos limitan un triángulo sombreado.

Hazlo en papel y compara paso a paso.

a)0,75 puntos

Planteamiento La recta tangente a la gráfica de $f$ en $x=a$ es $y-f(a)=f'(a)\,(x-a)$ .

Derivada:
$f'(x)=-\frac{1}{x^2}$
Punto y pendiente en $x=2$ :
$f(2)=\frac{1}{2}$ $f'(2)=-\frac{1}{4}$
Recta tangente:
$y-\frac{1}{2}$ ${}= -\frac{1}{4}(x-2)$ ${}\Longrightarrow y=-\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$ ${}= -\frac{1}{4}x+1$

Resultado $y=-\dfrac{1}{4}x+1$ .

La pauta oficial da: $y=-\frac{1}{4}x+1$

b)0,75 puntos

Planteamiento El mismo procedimiento, ahora en el punto de abscisa $x=k$ , con $k>0$ .

Punto y pendiente en $x=k$ :
$f(k)=\frac{1}{k}$ $f'(k)=-\frac{1}{k^2}$
Recta tangente:
$y-\frac{1}{k}$ ${}= -\frac{1}{k^2}(x-k)$ ${}\Longrightarrow y=-\frac{x}{k^2}+\frac{1}{k}+\frac{1}{k}$ ${}= -\frac{x}{k^2}+\frac{2}{k}$
Para $k=2$ vuelve a salir la recta del apartado a):
$-\frac{x}{4}+\frac{2}{2}=-\frac{1}{4}x+1$

Resultado $y=-\dfrac{1}{k^2}\,x+\dfrac{2}{k}$ .

La pauta oficial da: $y=-\frac{1}{k^2}x+\frac{2}{k}$

c)1 punto

Planteamiento El triángulo tiene los vértices en el origen y en los dos puntos donde la tangente corta los semiejes positivos. Es rectángulo, y su área es la mitad del producto de los dos catetos.

Corte con el eje de abscisas ( $y=0$ ):
$0=-\frac{x}{k^2}+\frac{2}{k}\ \Longrightarrow\ x=2k\ \Longrightarrow\ (2k,\,0)$
Corte con el eje de ordenadas ( $x=0$ ):
$y=\frac{2}{k}\ \Longrightarrow\ \left(0,\,\frac{2}{k}\right)$
Los dos cortes están en los semiejes positivos porque $k>0$ . Área del triángulo:
$A=\frac{1}{2}\cdot 2k\cdot\frac{2}{k}=2$
El valor no depende de $k$ : el área es la misma sea cual sea el punto de tangencia.
$A=2\ \mathrm{u}^2\quad \forall\, k>0$

ResultadoEl área del triángulo es $2\ \mathrm{u}^2$ para cualquier $k>0$ : es constante.

La pauta oficial da: $(2k,0)$ ; $\left(0,\frac{2}{k}\right)$ ; $2\ \mathrm{u}^2$

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemáticas 2023, convocatoria extraordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 22 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

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2023Convocatoria extraordinaria · Serie 2 · Ejercicio 4

2,5 puntosCoincide con la pautaTambién en Integrales

Enunciado oficial del ejercicio 4 de la PAU de Matemáticas de Cataluña de 2023 (convocatoria extraordinaria), en castellano. El texto está en la página. — Enunciado oficial

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Sea la función $f(x)$ definida por $f(x)=-3x+\mathrm{e}^{2x^3-1}$ .

a) Justifique que $f(x)=2$ tiene una solución en el intervalo $(-1,0)$ .

[1,25 puntos]

b) Sea la función $h(x)=-3x^2+\mathrm{e}^{2x^3-1}$ . Calcule el área de la región comprendida entre las gráficas de las funciones $f(x)$ y $h(x)$ .

[1,25 puntos]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

a)1,25 puntos

Planteamiento La ecuación $f(x)=2$ tiene solución en $(-1,0)$ si la función $g(x)=f(x)-2$ tiene un cero en él. Lo justificamos con el teorema de Bolzano.

Función auxiliar. Es continua en $[-1,0]$ , porque es suma de un polinomio y de una exponencial de un polinomio, que son continuas en todo $\mathbb{R}$ :
$g(x)$ ${}= f(x)-2$ ${}= -3x+\mathrm{e}^{2x^3-1}-2$
Valor en $x=-1$ :
$g(-1)$ ${}= 3+\mathrm{e}^{-3}-2$ ${}= 1+\mathrm{e}^{-3}$ ${}> 0$
Valor en $x=0$ ; como $\mathrm{e}^{-1}<1$ , es negativo:
$g(0)=0+\mathrm{e}^{-1}-2<0$
Por el teorema de Bolzano, existe algún $c\in(-1,0)$ con $g(c)=0$ :
$g(c)=0\ \Longrightarrow\ f(c)=2$

Resultado $g(x)=f(x)-2$ es continua en $[-1,0]$ y cambia de signo: $g(-1)=1+\mathrm{e}^{-3}>0$ y $g(0)=\mathrm{e}^{-1}-2<0$ . Por el teorema de Bolzano, existe $c\in(-1,0)$ con $f(c)=2$ .

La pauta oficial da: $g(-1)=1+\mathrm{e}^{-3}>0$ ; $g(0)=\mathrm{e}^{-1}-2<0$

b)1,25 puntos

Planteamiento Las dos funciones tienen la misma exponencial, que desaparece al restarlas. Buscamos dónde se cortan las gráficas e integramos la diferencia entre los dos cortes.

Puntos de corte, $f(x)=h(x)$ :
$-3x+\mathrm{e}^{2x^3-1}$ ${}= -3x^2+\mathrm{e}^{2x^3-1}$ ${}\Longrightarrow 3x^2-3x=0$ ${}\Longrightarrow 3x(x-1)=0$
Las gráficas se cortan en $x=0$ y $x=1$ . La diferencia es positiva en $(0,1)$ , donde $h$ queda por encima:
$h(x)-f(x)$ ${}= -3x^2+3x$ ${}= 3x(1-x)$
Área, con la regla de Barrow:
$A$ ${}= \int_0^1\left(-3x^2+3x\right)dx$ ${}= \left[-x^3+\frac{3x^2}{2}\right]_0^1$ ${}= -1+\frac{3}{2}-0$ ${}= \frac{1}{2}$

Resultado $A=\dfrac{1}{2}\ \mathrm{u}^2$ .

La pauta oficial da: $x=0$ , $x=1$ ; $\frac{1}{2}\ \mathrm{u}^2$

Las curvas y=−3x+e^(2x³−1) y y=−3x²+e^(2x³−1) entre x=−0,5 y x=1,4. Se cortan en (0,e⁻¹) y en (1,e−3); entre esos dos puntos, la región sombreada tiene h arriba y f abajo, y su área es 1/2.

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemáticas 2023, convocatoria extraordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 22 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

El examen entero, resuelto Examen en catalán (PDF)Examen en castellano (PDF)Pauta de corrección (PDF)Reutilizado según el aviso legal de la Generalitat

2023Convocatoria extraordinaria · Serie 2 · Ejercicio 6

2,5 puntosCoincide con la pauta

Enunciado oficial del ejercicio 6 de la PAU de Matemáticas de Cataluña de 2023 (convocatoria extraordinaria), en castellano. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Enunciado oficial del ejercicio 6 de la PAU de Matemáticas de Cataluña de 2023 (convocatoria extraordinaria), en catalán. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Se quiere construir una pieza metálica que tenga por sección un trapecio isósceles con la base superior tres veces más larga que la base inferior. Los otros lados del trapecio miden 10 mm, tal como puede observar en la siguiente figura:

a) Exprese la altura del trapecio en función de la longitud $x$ de la base inferior.

[0,5 puntos]

b) Calcule la longitud de la base inferior del trapecio de manera que el área de la pieza sea máxima y encuentre el valor de esta área máxima.

[2 puntos]

Trapecio isósceles con la base larga arriba, marcada 3x, y la base corta abajo, marcada x. Los dos lados inclinados están marcados «10 mm».

Hazlo en papel y compara paso a paso.

a)0,5 puntos

Planteamiento La base superior mide $3x$ y la inferior, $x$ . Como el trapecio es isósceles, la base superior sobresale lo mismo por cada lado: $\frac{3x-x}{2}=x$ . Cada lado de 10 mm es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos $x$ y la altura $h$ .

Teorema de Pitágoras:
$x^2+h^2=10^2$
Despejamos $h$ , que es positiva; para que haya trapecio hace falta $0<x<10$ :
$h(x)=\sqrt{100-x^2}$

Resultado $h(x)=\sqrt{100-x^2}$ mm, con $0<x<10$ .

La pauta oficial da: $h=\sqrt{100-x^2}$

b)2 puntos

Planteamiento El área de un trapecio es la semisuma de las bases por la altura. Buscamos su máximo con la derivada en el intervalo $(0,10)$ .

Área en función de $x$ :
$A(x)$ ${}= \frac{x+3x}{2}\cdot\sqrt{100-x^2}$ ${}= 2x\sqrt{100-x^2}$
Derivada (regla del producto y de la cadena):
$A'(x)$ ${}= 2\sqrt{100-x^2}$ ${}+2x\cdot\frac{-2x}{2\sqrt{100-x^2}}$ ${}= \frac{2(100-x^2)-2x^2}{\sqrt{100-x^2}}$ ${}= \frac{4(50-x^2)}{\sqrt{100-x^2}}$
Se anula cuando $x^2=50$ ; en $(0,10)$ solo sirve la solución positiva:
$x=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\approx 7{,}07$
Signo de $A'$ : el numerador $4(50-x^2)$ es positivo antes de $5\sqrt{2}$ y negativo después, así que $A$ crece y después decrece: es un máximo.
$A'(7)=\frac{4\cdot 1}{\sqrt{51}}>0$ $A'(8)$ ${}= \frac{4\cdot(-14)}{\sqrt{36}}$ ${}= -\frac{28}{3}$ ${}< 0$
Área máxima:
$A(5\sqrt{2})$ ${}= 2\cdot 5\sqrt{2}\cdot\sqrt{100-50}$ ${}= 10\sqrt{2}\cdot 5\sqrt{2}$ ${}= 100$

ResultadoLa base inferior debe medir $x=5\sqrt{2}\approx 7{,}07$ mm (y la superior, $15\sqrt{2}\approx 21{,}21$ mm). El área máxima es de $100\ \mathrm{mm}^2$ .

La pauta oficial da: $x=5\sqrt{2}\approx 7{,}07\ \mathrm{mm}$ ; $A=100\ \mathrm{mm}^2$

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemáticas 2023, convocatoria extraordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 22 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

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2022Convocatoria ordinaria · Serie 2 · Ejercicio 1

2,5 puntosCoincide con la pautaTambién en Integrales

Enunciado oficial del ejercicio 1 de la PAU de Matemáticas de Cataluña de 2022 (convocatoria ordinaria), en castellano. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Enunciado oficial del ejercicio 1 de la PAU de Matemáticas de Cataluña de 2022 (convocatoria ordinaria), en catalán. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Sea $f'(x)=3x^2-12x$ la derivada de una función $f(x)$ .

a) Si se sabe que $f(x)$ corta el eje de abscisas en $x=1$ , calcule la expresión de la función $f(x)$ .

[0,75 puntos]

b) Calcule la abscisa del punto de inflexión de $f(x)$ y estudie la concavidad de la función.

[0,75 puntos]

c) Se sabe que el área del recinto limitado por la curva $y=f''(x)$ , el eje de abscisas y las rectas $x=0$ y $x=a$ , con $a>2$ , es $15\ \mathrm{u}^2$ . Calcule el valor de $a$ .

[1 punto]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

a)0,75 puntos

Planteamiento $f(x)$ es una primitiva de $f'(x)$ : integramos y fijamos la constante con la condición $f(1)=0$ (la gráfica corta el eje $OX$ en $x=1$ ).

Integramos $f'(x)$ :
$f(x)$ ${}= \int (3x^2-12x)\,dx$ ${}= x^3-6x^2+C$
Imponemos $f(1)=0$ :
$f(1)$ ${}= 1^3-6\cdot 1^2+C$ ${}= -5+C=0$ ${}\Longrightarrow C=5$

Resultado $f(x)=x^3-6x^2+5$

La pauta oficial da: $f(x)=x^3-6x^2+5$

b)0,75 puntos

Planteamiento Los puntos de inflexión están donde $f''$ se anula y cambia de signo; el signo de $f''$ da la concavidad.

Derivada segunda:
$f''(x)=6x-12=0\ \Longrightarrow\ x=2$
Signo de $f''$ a cada lado de $x=2$ :
$f''(0)=-12<0$ $f''(3)=6>0$
Ordenada del punto de inflexión:
$f(2)=8-24+5=-11$

ResultadoHay un punto de inflexión en $x=2$ , el punto $(2,-11)$ . La función es cóncava hacia abajo (concavidad negativa) en $(-\infty,2)$ y cóncava hacia arriba (concavidad positiva) en $(2,+\infty)$ .

La pauta oficial da: Inflexión en $x=2$ ; cóncava hacia abajo en $(-\infty,2)$ y hacia arriba en $(2,+\infty)$

c)1 punto

Planteamiento La recta $y=f''(x)=6x-12$ corta el eje $OX$ en $x=2$ : entre $0$ y $2$ queda por debajo del eje y entre $2$ y $a$ , por encima. Por eso el área es la suma de dos integrales, la primera con el signo cambiado.

Planteamiento del área:
$15$ ${}= \int_0^2 (12-6x)\,dx$ ${}+\int_2^a (6x-12)\,dx$
Primer tramo, con la primitiva $12x-3x^2$ y la regla de Barrow:
$\left[12x-3x^2\right]_0^2$ ${}= (24-12)-0$ ${}= 12$
Segundo tramo, con la primitiva $3x^2-12x$ :
$\left[3x^2-12x\right]_2^a$ ${}= (3a^2-12a)$ ${}-(12-24)$ ${}= 3a^2-12a+12$
Igualamos la suma a $15$ :
$12+3a^2-12a+12$ ${}= 15$ ${}\Longrightarrow 3a^2-12a+9=0$ ${}\Longrightarrow a^2-4a+3=0$
Resolvemos la ecuación de segundo grado:
$a=\frac{4\pm\sqrt{16-12}}{2}=\frac{4\pm 2}{2}\ \Longrightarrow\ a=3$ $\text{o}\ \ a=1$
Comprobación, con $a=3$ , con los dos triángulos que forman la recta y el eje (bases $2$ y $1$ , alturas $12$ y $6$ ):
$\frac{2\cdot 12}{2}+\frac{1\cdot 6}{2}=12+3=15$

ResultadoComo $a>2$ , la única solución es $a=3$ .

La pauta oficial da: $a=3$

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemáticas 2022, convocatoria ordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 22 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

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2022Convocatoria ordinaria · Serie 2 · Ejercicio 4

2,5 puntosCoincide con la pautaTambién en Integrales

Enunciado oficial del ejercicio 4 de la PAU de Matemáticas de Cataluña de 2022 (convocatoria ordinaria), en castellano. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Enunciado oficial del ejercicio 4 de la PAU de Matemáticas de Cataluña de 2022 (convocatoria ordinaria), en catalán. El texto está en la página. — Enunciado oficial

a) Encuentre una función polinómica $y=g(x)$ de grado 3 tal que corte el eje de ordenadas en el punto $(0,5)$ , que la recta tangente a $y=g(x)$ en el punto de abscisa $x=1$ sea horizontal y que $g''(x)=2x+1$ .

[1 punto]

b) Compruebe que la función $f(x)=-x^3+6x^2-16$ tiene una raíz en $x=2$ y que es estrictamente creciente en el intervalo $(0,4)$ . Utilice esta información para calcular el área determinada por la función $f(x)$ , el eje de abscisas y las rectas $x=0$ y $x=4$ .

[1,5 puntos]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

a)1 punto

Planteamiento Integramos dos veces $g''$ . Cada integración da una constante: la de $g'$ sale de la tangente horizontal ( $g'(1)=0$ ) y la de $g$ , del punto $(0,5)$ .

Primera integración:
$g'(x)$ ${}= \int (2x+1)\,dx$ ${}= x^2+x+m$
Tangente horizontal en $x=1$ :
$g'(1)=1+1+m=0\ \Longrightarrow\ m=-2$
Segunda integración:
$g(x)$ ${}= \int (x^2+x-2)\,dx$ ${}= \frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}-2x+n$
Pasa por $(0,5)$ :
$g(0)=n=5$

Resultado $g(x)=\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}-2x+5$

La pauta oficial da: $g(x)=\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}-2x+5$

b)1,5 puntos

Planteamiento Si $f$ es estrictamente creciente en $(0,4)$ , solo puede cortar el eje una vez en ese intervalo: en $x=2$ . Entonces $f<0$ en $(0,2)$ y $f>0$ en $(2,4)$ , y el área se calcula en dos tramos.

Raíz en $x=2$ :
$f(2)=-8+24-16=0$
Derivada y signo en $(0,4)$ (los dos factores son positivos):
$f'(x)$ ${}= -3x^2+12x$ ${}= 3x(4-x)$ ${}> 0\quad\text{si }0$ ${}< x$ ${}< 4$
Primitiva de $f$ :
$F(x)=-\frac{x^4}{4}+2x^3-16x$
Valores de la primitiva:
$F(0)=0$ $F(2)=-4+16-32=-20$ $F(4)=-64+128-64=0$
Regla de Barrow en cada tramo (el primero es negativo, porque $f<0$ ):
$\int_0^2 f(x)\,dx$ ${}= F(2)-F(0)$ ${}= -20$ $\int_2^4 f(x)\,dx$ ${}= F(4)-F(2)$ ${}= 20$
Área total:
$A=\left|-20\right|+20=40$

Resultado $A=40\ \mathrm{u}^2$

La pauta oficial da: $A=20+20=40\ \mathrm{u}^2$

Gráfica de f(x)=−x³+6x²−16 entre x=0 y x=4: sube desde (0,−16), corta el eje OX en (2,0) y llega a (4,16). Hay dos regiones sombreadas entre la curva y el eje: una por debajo del eje entre x=0 y x=2 y otra por encima entre x=2 y x=4; las dos tienen área 20.

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemáticas 2022, convocatoria ordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 22 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

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2022Convocatoria ordinaria · Serie 2 · Ejercicio 6

2,5 puntosCoincide con la pauta

Enunciado oficial del ejercicio 6 de la PAU de Matemáticas de Cataluña de 2022 (convocatoria ordinaria), en castellano. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Enunciado oficial del ejercicio 6 de la PAU de Matemáticas de Cataluña de 2022 (convocatoria ordinaria), en catalán. El texto está en la página. — Enunciado oficial

En el patio de una escuela se quiere crear una área de juego de $30\ \mathrm{m}^2$ para los más pequeños en forma de trapecio rectangular, de manera que la base mayor mida el doble que la base menor, como se indica en la figura, y que el lado oblicuo respecto a las bases ( $D$ ) sea tan corto como sea posible.

a) Justifique que se verifican las relaciones siguientes: $h=\dfrac{20}{x}$ y $D(x)=\sqrt{\dfrac{400}{x^2}+x^2}$ .

[1 punto]

b) Encuentre las dimensiones del trapecio para las que la longitud del lado $D$ es mínima.

[1,5 puntos]

Trapecio rectangular: la base de arriba, más corta, marcada con x; la de abajo, marcada con 2x; el lado izquierdo, vertical, marcado con h; y el lado oblicuo de la derecha, marcado con D.

Hazlo en papel y compara paso a paso.

a)1 punto

Planteamiento La base menor es $x$ , la mayor $2x$ y la altura $h$ (el lado perpendicular a las bases). La primera relación sale del área; la segunda, del teorema de Pitágoras.

Área del trapecio igual a $30$ :
$\frac{x+2x}{2}\cdot h=\frac{3xh}{2}=30\ \Longrightarrow\ h=\frac{60}{3x}=\frac{20}{x}$
Si trazamos la altura desde el extremo de la base menor, el trapecio queda dividido en un rectángulo $x\times h$ y un triángulo rectángulo de catetos $2x-x=x$ y $h$ , cuya hipotenusa es $D$ :
$D^2$ ${}= x^2+h^2$ ${}= x^2+\left(\frac{20}{x}\right)^2$ ${}= \frac{400}{x^2}+x^2$
Como $D>0$ :
$D(x)=\sqrt{\frac{400}{x^2}+x^2}$ $x>0$

Resultado $h=\dfrac{20}{x}$ y $D(x)=\sqrt{\dfrac{400}{x^2}+x^2}$ , con $x>0$ .

La pauta oficial da: $h=\frac{20}{x}$ ; $D(x)=\sqrt{\frac{400}{x^2}+x^2}$

b)1,5 puntos

Planteamiento Buscamos el mínimo de $D(x)$ para $x>0$ : derivamos, igualamos a cero y estudiamos el signo de la derivada.

Derivada (regla de la cadena):
$D'(x)$ ${}= \frac{-\frac{800}{x^3}+2x}{2\sqrt{\frac{400}{x^2}+x^2}}$ ${}= \frac{x^4-400}{x^3\sqrt{\frac{400}{x^2}+x^2}}$
Puntos críticos con $x>0$ :
$x^4$ ${}= 400$ ${}\Longrightarrow x^2$ ${}= 20$ ${}\Longrightarrow x=\sqrt{20}$ ${}= 2\sqrt{5}$
Signo de $D'$ : el denominador es positivo y el numerador $x^4-400$ es negativo si $x<2\sqrt5$ y positivo si $x>2\sqrt5$ . Por tanto, $D$ decrece y después crece, y en $x=2\sqrt5$ está el mínimo.
$x<2\sqrt5:\ D'<0$ $x>2\sqrt5:\ D'>0$
Altura y base mayor:
$h=\frac{20}{2\sqrt5}=\frac{10}{\sqrt5}=2\sqrt5$ $2x=4\sqrt5$
Lado oblicuo mínimo:
$D=\sqrt{\frac{400}{20}+20}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$

ResultadoBase menor $x=2\sqrt5\ \mathrm{m}$ , base mayor $2x=4\sqrt5\ \mathrm{m}$ , altura $h=2\sqrt5\ \mathrm{m}$ y lado oblicuo mínimo $D=2\sqrt{10}\ \mathrm{m}$ .

La pauta oficial da: $x=h=\sqrt{20}=2\sqrt5\ \mathrm{m}$ ; $D=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\ \mathrm{m}$

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemáticas 2022, convocatoria ordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 22 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

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2022Convocatoria ordinaria · Serie 5 · Ejercicio 2

2,5 puntosCoincide con la pautaTambién en Integrales

Enunciado oficial del ejercicio 2 de la PAU de Matemáticas de Cataluña de 2022 (convocatoria ordinaria), en castellano. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Enunciado oficial del ejercicio 2 de la PAU de Matemáticas de Cataluña de 2022 (convocatoria ordinaria), en catalán. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Considere la función $f(x)=x^3$ y sea $a$ un número real estrictamente positivo.

a) Calcule la ecuación de la recta $t$ tangente a la gráfica de la función $f$ en el punto de abscisa $x=a$ . Encuentre el punto de corte de la recta $t$ con el eje de abscisas (en función de $a$ ).

[1,25 puntos]

b) Haga un esbozo de la gráfica de la función $f$ y la recta $t$ . Calcule el valor de $a$ para que el área en el primer cuadrante limitada por la función $f$ , la recta $t$ y el eje de abscisas sea $108\ \mathrm{u}^2$ .

[1,25 puntos]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

a)1,25 puntos

Planteamiento La recta tangente en $x=a$ es $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ . El corte con el eje de abscisas es donde $y=0$ .

Valor y pendiente en $x=a$ :
$f(a)=a^3$ $f'(x)=3x^2\ \Rightarrow\ f'(a)=3a^2$
Recta tangente:
$t:\ y$ ${}= 3a^2(x-a)+a^3$ ${}= 3a^2x-2a^3$
Corte con $y=0$ (como $a>0$ , podemos dividir por $3a^2$ ):
$3a^2x-2a^3=0\ \Longrightarrow\ x=\frac{2a^3}{3a^2}=\frac{2a}{3}$

Resultado $t:\ y=3a^2x-2a^3$ , que corta el eje de abscisas en el punto $\left(\dfrac{2a}{3},0\right)$ .

La pauta oficial da: $t:\ y=3a^2x-2a^3$ ; $\left(\frac{2}{3}a,0\right)$

b)1,25 puntos

Planteamiento Para $x>0$ , $f''(x)=6x>0$ : la curva es cóncava hacia arriba y la tangente queda por debajo. La región del primer cuadrante es la que hay bajo la curva entre $0$ y $a$ menos el triángulo que la tangente forma con el eje entre $\frac{2a}{3}$ y $a$ .

Esbozo: la gráfica de $f$ pasa por el origen y es creciente; la tangente toca la curva en $(a,a^3)$ y corta el eje en $\left(\frac{2a}{3},0\right)$ (vea la figura, hecha con el valor final $a=6$ ).
Área bajo la curva entre $0$ y $a$ :
$\int_0^a x^3\,dx$ ${}= \left[\frac{x^4}{4}\right]_0^a$ ${}= \frac{a^4}{4}$
Triángulo de base $a-\frac{2a}{3}=\frac{a}{3}$ y altura $a^3$ :
$\frac{1}{2}\cdot\frac{a}{3}\cdot a^3=\frac{a^4}{6}$
Área de la región:
$\frac{a^4}{4}-\frac{a^4}{6}=\frac{3a^4-2a^4}{12}=\frac{a^4}{12}$
Imponemos que valga $108$ :
$\frac{a^4}{12}$ ${}= 108$ ${}\Longrightarrow a^4$ ${}= 1\,296$ ${}\Longrightarrow a=6\quad(a>0)$

Resultado $a=6$

La pauta oficial da: $\frac{a^4}{12}=108\Rightarrow a=6$

Esbozo de f(x)=x³ en el primer cuadrante con la recta tangente en x=a, dibujado para a=6: la tangente y=108x−432 toca la curva en (6,216) y corta el eje OX en (4,0). La región sombreada es la limitada por la curva, la tangente y el eje entre x=0 y x=6.

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemáticas 2022, convocatoria ordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 22 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

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2022Convocatoria ordinaria · Serie 5 · Ejercicio 4

2,5 puntosCoincide con la pauta

En $\mathbb{R}^2$ , considere los triángulos rectángulos que tienen los vértices en los puntos $O=(0,0)$ , $A=(x,0)$ y $B=(0,y)$ , con $x>0$ e $y>0$ , y en que la suma de los catetos es 10.

a) Exprese el área del triángulo $AOB$ en función de $x$ . ¿Para qué valor de $x$ el área del triángulo $AOB$ es lo más grande posible? ¿Qué valor tiene esta área máxima?

[1,25 puntos]

b) Exprese la hipotenusa del triángulo $AOB$ en función de $x$ . ¿Para qué valor de $x$ la hipotenusa del triángulo $AOB$ es lo más pequeña posible? ¿Cuál es ese valor mínimo?

[1,25 puntos]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

a)1,25 puntos

Planteamiento Los catetos miden $x$ e $y$ , con $x+y=10$ ; por tanto, $y=10-x$ y $0<x<10$ .

Área en función de $x$ :
$A(x)=\frac{x(10-x)}{2}=\frac{10x-x^2}{2}$
Derivada y punto crítico:
$A'(x)=\frac{10-2x}{2}=5-x=0\ \Longrightarrow\ x=5$
Segunda derivada:
$A''(x)=-1<0\ \Longrightarrow\ \text{máximo}$
Valor máximo (entonces $y=5$ ):
$A(5)=\frac{5\cdot 5}{2}=\frac{25}{2}$

Resultado $A(x)=\dfrac{10x-x^2}{2}$ ; el área es máxima para $x=5$ y vale $\dfrac{25}{2}\ \mathrm{u}^2$ .

La pauta oficial da: $A(x)=\frac{10x-x^2}{2}$ ; $x=5$ ; $A(5)=\frac{25}{2}$

b)1,25 puntos

Planteamiento La hipotenusa sale del teorema de Pitágoras. Buscamos el mínimo derivando y estudiando el signo de la derivada.

Hipotenusa en función de $x$ :
$H(x)$ ${}= \sqrt{x^2+(10-x)^2}$ ${}= \sqrt{2x^2-20x+100}$
Derivada:
$H'(x)$ ${}= \frac{4x-20}{2\sqrt{2x^2-20x+100}}$ ${}= \frac{2x-10}{\sqrt{2x^2-20x+100}}$
$H'(x)=0$ cuando el numerador es cero; el denominador siempre es positivo, así que $H'<0$ si $x<5$ y $H'>0$ si $x>5$ : hay un mínimo.
$2x-10=0\ \Longrightarrow\ x=5$
Valor mínimo:
$H(5)$ ${}= \sqrt{50-100+100}$ ${}= \sqrt{50}$ ${}= 5\sqrt2$

Resultado $H(x)=\sqrt{2x^2-20x+100}$ ; la hipotenusa es mínima para $x=5$ y vale $5\sqrt2$ u.

La pauta oficial da: $H(x)=\sqrt{2x^2-20x+100}$ ; $x=5$ ; $H(5)=5\sqrt2$

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemáticas 2022, convocatoria ordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 22 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

El examen entero, resuelto Examen en catalán (PDF)Examen en castellano (PDF)Pauta de corrección (PDF)Reutilizado según el aviso legal de la Generalitat

2022Convocatoria ordinaria · Serie 5 · Ejercicio 6

2,5 puntosEl examen trae una errata

La columna de la izquierda de la siguiente tabla muestra el esquema de un programa informático que se ha elaborado para encontrar soluciones aproximadas de una ecuación $f(x)=0$ en un intervalo $(a,b)$ , sabiendo que $f(a)\cdot f(b)<0$ . La columna de la derecha recoge un ejemplo de funcionamiento del programa donde puede verse cómo actuaría para encontrar una solución de la ecuación $x+\ln(x)=0$ entre los valores $a=0{,}5$ y $b=2$ .

Esquema del programa	Ejemplo
1. Escribir «Introduzca un valor $a$ »	El usuario introduce $a=0{,}5$
2. Escribir «Introduzca un valor $b$ »	El usuario introduce $b=2$
3. Escribir «Introduzca una función $f(x)$ »	El usuario introduce $f(x)=x+\ln(x)$
4. Calcular $c=(a+b)/2$	El programa calcula la media entre $a$ y $b$ y le asigna el nombre $c=(0{,}5+2)/2=1{,}25$
5. Si $f(a)*f(c)<0$ , entonces reasignar $b=c$ ; en caso contrario, reasignar $a=c$	El programa comprueba que $f(0{,}5)f(1{,}25)$ ${}= (0{,}5+\ln(0{,}5))(1{,}25+\ln(1{,}25))$ ${}< 0$ , por lo tanto, reasigna $b=1{,}25$
6. Repetir los pasos 4 y 5 tantas veces como haga falta hasta que $f(a)-f(b)<0{,}00000001$	El programa va repitiendo la comprobación anterior, cambiando cada vez los valores de $a$ o de $b$ :
7. Cuando $f(a)-f(b)<0{,}00000001$ , escribir: «La solución de la ecuación es $c$ » y parar el programa	Después de unas 30 iteraciones, el programa escribe: «La solución de la ecuación es $0{,}56714329$ »

	$a$	$b$
inicio	$0{,}5$	$2$
iteración 1	$0{,}5$	$1{,}25$
iteración 2	$0{,}5$	$0{,}875$
iteración 3	$0{,}5$	$0{,}6875$
iteración 4	$0{,}5$	$0{,}59375$
iteración 5	$0{,}546875$	$0{,}59375$
iteración 6	$0{,}546875$	$0{,}5703125$
iteración 7	$0{,}55859375$	$0{,}5703125$
[…]

a) Explique por qué este programa es capaz de encontrar una solución aproximada de la ecuación $x+\ln(x)=0$ entre los valores $a=0{,}5$ y $b=2$ .

[1,25 puntos]

b) Se quiere aplicar este programa para encontrar las tres raíces de $f(x)=x^3-3x^2+1$ con valores de $a$ y $b$ diferentes. Encuentre justificadamente entre qué valores $a$ y $b$ , para cada raíz, se debe aplicar el programa para encontrar aproximaciones de cada una de las tres raíces de la función.

[1,25 puntos]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

a)1,25 puntos

Planteamiento El programa es el método de la bisección, que se basa en el teorema de Bolzano: si $f$ es continua en $[a,b]$ y $f(a)\cdot f(b)<0$ , hay al menos una raíz en $(a,b)$ .

$f(x)=x+\ln(x)$ es continua en $[0{,}5;\ 2]$ , porque es la suma de un polinomio y del logaritmo, que es continuo en $(0,+\infty)$ . Los signos en los extremos son distintos:
$f(0{,}5)$ ${}= 0{,}5+\ln 0{,}5$ ${}\approx 0{,}5-0{,}6931$ ${}= -0{,}1931$ ${}< 0$ $f(2)=2+\ln 2\approx 2{,}6931>0$
Por el teorema de Bolzano hay una raíz en $(0{,}5;\ 2)$ . Además, es la única, porque $f$ es estrictamente creciente:
$f'(x)=1+\frac{1}{x}>0\quad\text{si }x>0$
En cada paso el programa toma el punto medio $c$ y se queda con la mitad $[a,c]$ o $[c,b]$ donde la función cambia de signo. El nuevo intervalo vuelve a cumplir Bolzano y mide la mitad; después de $n$ pasos la anchura es:
$b_n-a_n$ ${}= \frac{2-0{,}5}{2^n}$ ${}= \frac{1{,}5}{2^n}$
Así $a$ y $b$ se acercan tanto como queramos a la raíz, que queda siempre entre ambos. Por eso el programa da una aproximación de ella, $x\approx 0{,}5671$ .
$a_n<x^*<b_n$ $b_n-a_n\to 0$
Un detalle del enunciado: la condición de parada está escrita como $f(a)-f(b)<0{,}00000001$ , sin valor absoluto. Como aquí $f(a)<0<f(b)$ en todo momento, $f(a)-f(b)$ siempre es negativo y, leída literalmente, la condición pararía el programa enseguida. Hay que entenderla como $|f(a)-f(b)|<0{,}00000001$ (o bien $b-a$ muy pequeño), que es lo que hace que hagan falta unas treinta iteraciones.
$|f(a)-f(b)|<0{,}00000001$

ResultadoEl programa aplica el teorema de Bolzano: $f(x)=x+\ln(x)$ es continua en $[0{,}5;\ 2]$ y $f(0{,}5)<0<f(2)$ , de modo que hay una raíz (única, porque $f$ es creciente). Cada paso divide el intervalo por la mitad y conserva el cambio de signo, y así el intervalo se encoge alrededor de la raíz, $x\approx 0{,}5671$ .

La pauta oficial da: Teorema de Bolzano: $f$ continua en $[0{,}5;\ 2]$ y $f(0{,}5)\cdot f(2)<0$ ; cada paso divide el intervalo por la mitad

b)1,25 puntos

Planteamiento Para aplicar el programa hace falta, para cada raíz, un intervalo en el que $f$ sea continua, cambie de signo y (para que la raíz sea única) sea monótona. Los intervalos de monotonía salen de los ceros de $f'$ .

Derivada:
$f'(x)$ ${}= 3x^2-6x$ ${}= 3x(x-2)=0$ ${}\Longrightarrow x=0,\ x$ ${}= 2$
$f$ crece en $(-\infty,0)$ , decrece en $(0,2)$ y crece en $(2,+\infty)$ . Valores en los extremos relativos:
$f(0)=1>0$ $f(2)=8-12+1=-3<0$
Buscamos un valor antes de $0$ y uno después de $2$ con el signo contrario:
$f(-1)=-1-3+1=-3<0$ $f(3)=27-27+1=1>0$
En cada intervalo $f$ es continua (es un polinomio), cambia de signo y es monótona, y por tanto hay exactamente una raíz:
$f(-1)\cdot f(0)=-3<0$ $f(0)\cdot f(2)=-3<0$ $f(2)\cdot f(3)=-3<0$

ResultadoHay que aplicar el programa con $a=-1$ , $b=0$ ; con $a=0$ , $b=2$ ; y con $a=2$ , $b=3$ . En cada intervalo hay exactamente una de las tres raíces.

La pauta oficial da: $[-1,0]$ ; $[0,2]$ ; $[2,3]$

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemáticas 2022, convocatoria ordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 22 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

El examen entero, resuelto Examen en catalán (PDF)Examen en castellano (PDF)Pauta de corrección (PDF)Reutilizado según el aviso legal de la Generalitat

2022Convocatoria extraordinaria · Serie 3 · Ejercicio 2

2,5 puntosLa pauta tiene un errorTambién en Límites y continuidad

Enunciado oficial del ejercicio 2 de la PAU de Matemáticas de Cataluña de 2022 (convocatoria extraordinaria), en castellano. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Enunciado oficial del ejercicio 2 de la PAU de Matemáticas de Cataluña de 2022 (convocatoria extraordinaria), en catalán. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Considere la función $f(x)=\dfrac{9}{x^2+x-2}$ .

a) Determine el dominio, las posibles asíntotas, los extremos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.

[1,25 puntos]

b) Calcule la ecuación general de la recta tangente a la función $f(x)$ en el punto de abscisa $x=4$ . Represente en un mismo gráfico la función $f(x)$ y la recta tangente.

[1,25 puntos]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

a)1,25 puntos

Planteamiento Es un cociente: el dominio excluye los ceros del denominador, que son también los candidatos a asíntota vertical. Para la monotonía, estudiamos el signo de $f'$ en cada intervalo del dominio.

Ceros del denominador:
$x^2+x-2$ ${}= (x+2)(x-1)=0$ ${}\Longrightarrow x=-2,\ x$ ${}= 1$
Dominio:
$\operatorname{Dom}f$ ${}= \mathbb{R}\setminus\{-2,1\}$ ${}= (-\infty,-2)\cup(-2,1)\cup(1,+\infty)$
Asíntotas verticales: el numerador vale $9\ne 0$ , así que en los dos puntos el límite es infinito (los signos salen del signo de $(x+2)(x-1)$ ):
$\lim_{x\to -2^-}f(x)$ ${}= +\infty,\ \lim_{x\to -2^+}f(x)$ ${}= -\infty$ $\lim_{x\to 1^-}f(x)$ ${}= -\infty,\ \lim_{x\to 1^+}f(x)$ ${}= +\infty$
Asíntota horizontal (el denominador crece sin límite); por tanto, no hay oblicuas:
$\lim_{x\to\pm\infty}\frac{9}{x^2+x-2}=0\ \Longrightarrow\ y=0$
Derivada:
$f'(x)$ ${}= \frac{-9(2x+1)}{(x^2+x-2)^2}=0$ ${}\Longrightarrow x=-\frac{1}{2}$
El denominador de $f'$ es positivo, así que el signo de $f'$ es el de $-(2x+1)$ :
$x<-\tfrac{1}{2}:\ f'>0$ $x>-\tfrac{1}{2}:\ f'<0$
Valor en el máximo relativo:
$f\left(-\tfrac{1}{2}\right)$ ${}= \frac{9}{\frac{1}{4}-\frac{1}{2}-2}$ ${}= \frac{9}{-\frac{9}{4}}$ ${}= -4$

ResultadoDominio $\mathbb{R}\setminus\{-2,1\}$ . Asíntotas verticales $x=-2$ y $x=1$ ; asíntota horizontal $y=0$ ; ninguna oblicua. Creciente en $(-\infty,-2)\cup\left(-2,-\frac{1}{2}\right)$ y decreciente en $\left(-\frac{1}{2},1\right)\cup(1,+\infty)$ . Máximo relativo en $\left(-\frac{1}{2},-4\right)$ ; no hay mínimos relativos.

La pauta oficial da: Dominio $(-\infty,-2)\cup(-2,1)\cup(1,+\infty)$ ; AV $x=-2$ , $x=1$ ; AH « $x=0$ »; máximo en $x=-\frac{1}{2}$ ; creciente en $(-\infty,-2)\cup\left(-2,-\frac{1}{2}\right)$ , decreciente en $\left(-\frac{1}{2},1\right)\cup(1,+\infty)$

b)1,25 puntos

Planteamiento La tangente en $x=4$ es $y=f'(4)(x-4)+f(4)$ ; después la pasamos a la forma general $Ax+By+C=0$ . Para el gráfico usamos los resultados del apartado a).

Valor y pendiente:
$f(4)=\frac{9}{16+4-2}=\frac{9}{18}=\frac{1}{2}$ $f'(4)=\frac{-9\cdot 9}{18^2}=-\frac{81}{324}=-\frac{1}{4}$
Recta tangente:
$y-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}(x-4)\ \Longrightarrow\ y=-\frac{1}{4}x+\frac{3}{2}$
Multiplicando por $4$ y pasándolo todo a un miembro:
$x+4y-6=0$
Gráfico (figura): tres ramas separadas por las asíntotas $x=-2$ y $x=1$ ; la central, por debajo del eje, con el máximo $\left(-\frac{1}{2},-4\right)$ ; la de la derecha baja hacia $y=0$ y la tangente la toca en $\left(4,\frac{1}{2}\right)$ .

ResultadoRecta tangente: $x+4y-6=0$ (es decir, $y=-\frac{1}{4}x+\frac{3}{2}$ ).

La pauta oficial da: $y=-\frac{1}{4}x+\frac{3}{2}$

Gráfica de f(x)=9/(x²+x−2) con las asíntotas verticales x=−2 y x=1 y la asíntota horizontal y=0, discontinuas. La rama de la izquierda está por encima del eje y sube hacia +∞ junto a x=−2; la central está por debajo del eje, con el máximo relativo en (−1/2,−4); la de la derecha baja desde +∞ hacia el eje. La recta tangente x+4y−6=0 toca esta última rama en (4,1/2).

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemáticas 2022, convocatoria extraordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 22 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

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2022Convocatoria extraordinaria · Serie 3 · Ejercicio 4

2,5 puntosCoincide con la pautaTambién en Límites y continuidad, Integrales

Enunciado oficial del ejercicio 4 de la PAU de Matemáticas de Cataluña de 2022 (convocatoria extraordinaria), en castellano. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Enunciado oficial del ejercicio 4 de la PAU de Matemáticas de Cataluña de 2022 (convocatoria extraordinaria), en catalán. El texto está en la página. — Enunciado oficial

a) Considere la función $f(x)$ ${}= \begin{cases}\ln(x), & \text{si } x\in(0,\mathrm{e})\\ ax+b, & \text{si } x\in[\mathrm{e},4)\end{cases}$ , donde $a$ y $b$ son números reales. Encuentre el valor de $a$ y de $b$ para que la función sea continua y derivable en el intervalo $(0,4)$ .

[1,25 puntos]

b) Calcule la función $g(x)$ que satisface $g'(x)=\dfrac{x^3}{9x^4+1}$ y que pasa por el punto $(0,-1)$ .

[1,25 puntos]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

a)1,25 puntos

Planteamiento Cada tramo es continuo y derivable en su intervalo ( $\ln x$ lo es en $(0,+\infty)$ y $ax+b$ , en todo $\mathbb{R}$ ). Solo hay que imponer la continuidad y la derivabilidad en el punto de unión, $x=\mathrm{e}$ .

Continuidad en $x=\mathrm{e}$ (límite por la izquierda igual al valor $f(\mathrm{e})$ ):
$\lim_{x\to \mathrm{e}^-}\ln x=\ln \mathrm{e}=1$ $f(\mathrm{e})=a\mathrm{e}+b\ \Longrightarrow\ a\mathrm{e}+b=1$
Derivadas laterales en $x=\mathrm{e}$ :
$f'(\mathrm{e}^-)=\frac{1}{\mathrm{e}}$ $f'(\mathrm{e}^+)=a\ \Longrightarrow\ a=\frac{1}{\mathrm{e}}$
Sustituimos en la condición de continuidad:
$\frac{1}{\mathrm{e}}\cdot \mathrm{e}+b=1\ \Longrightarrow\ b=0$

Resultado $a=\dfrac{1}{\mathrm{e}}$ y $b=0$ ; es decir, $f(x)=\dfrac{x}{\mathrm{e}}$ en $[\mathrm{e},4)$ .

La pauta oficial da: $a=\frac{1}{\mathrm{e}}$ ; $b=0$

b)1,25 puntos

Planteamiento $g$ es una primitiva de $g'$ . La derivada del denominador, $9x^4+1$ , es $36x^3$ , que es el numerador $x^3$ salvo una constante: la integral es un logaritmo. La constante sale de $g(0)=-1$ .

Multiplicamos y dividimos por $36$ :
$\int\frac{x^3}{9x^4+1}\,dx$ ${}= \frac{1}{36}\int\frac{36x^3}{9x^4+1}\,dx$ ${}= \frac{1}{36}\ln(9x^4+1)+k$
No hace falta valor absoluto, porque $9x^4+1>0$ . Imponemos $g(0)=-1$ :
$g(0)=\frac{1}{36}\ln 1+k=k=-1$
Comprobación derivando:
$g'(x)=\frac{1}{36}\cdot\frac{36x^3}{9x^4+1}=\frac{x^3}{9x^4+1}$

Resultado $g(x)=\dfrac{1}{36}\ln(9x^4+1)-1$

La pauta oficial da: $g(x)=\frac{1}{36}\ln(9x^4+1)-1$

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemáticas 2022, convocatoria extraordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 22 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

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2022Convocatoria extraordinaria · Serie 3 · Ejercicio 6

2,5 puntosCoincide con la pautaTambién en Geometría en el espacio

Enunciado oficial del ejercicio 6 de la PAU de Matemáticas de Cataluña de 2022 (convocatoria extraordinaria), en castellano. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Enunciado oficial del ejercicio 6 de la PAU de Matemáticas de Cataluña de 2022 (convocatoria extraordinaria), en catalán. El texto está en la página. — Enunciado oficial

La siguiente imagen muestra dos paredes perpendiculares de una sala representadas en unos ejes de coordenadas, de manera que una pared está en el plano $y=0$ y la otra está en el plano $x=0$ .

En el punto $A=(2,0,2)$ se quiere fijar un altavoz que debe estar conectado a un equipo de sonido, el cual está situado en la otra pared, en el punto $B=(0,2,1)$ . La conexión entre $A$ y $B$ se hará mediante un cable que pase por el punto $C=(0,0,h)$ , situado en la recta vertical de intersección de las dos paredes. Dado que la calidad del sonido depende, entre otros factores, de la longitud del cable que une a los dos aparatos, se quiere realizar una instalación con el mínimo de cable posible.

a) Compruebe que la longitud total del cable necesario, en función de la altura $h$ por donde debe pasar el cable en el eje vertical $OZ$ , viene dada por la expresión $L(h)$ ${}= \sqrt{h^2-4h+8}$ ${}+\sqrt{h^2-2h+5}$ .

[0,75 puntos]

b) Calcule las coordenadas del punto $C$ por donde debe pasar el cable para que la longitud del cable sea mínima. Calcule esta longitud mínima del cable.

[1,75 puntos]

Dibujo en perspectiva de dos paredes grises perpendiculares sobre un suelo gris, con los ejes x, y y z numerados. Sobre el eje vertical z, en la línea donde se juntan las paredes, está el punto C; el punto A está en la pared de la izquierda y el punto B, en la de la derecha. Dos segmentos unen A con C y C con B: es el cable.

Hazlo en papel y compara paso a paso.

a)0,75 puntos

Planteamiento El cable va en línea recta de $A$ a $C$ y de $C$ a $B$ ; la longitud total es la suma de las dos distancias.

Distancia de $A=(2,0,2)$ a $C=(0,0,h)$ :
$d(A,C)$ ${}= \sqrt{2^2+0^2+(2-h)^2}$ ${}= \sqrt{4+4-4h+h^2}$ ${}= \sqrt{h^2-4h+8}$
Distancia de $B=(0,2,1)$ a $C$ :
$d(B,C)$ ${}= \sqrt{0^2+2^2+(1-h)^2}$ ${}= \sqrt{4+1-2h+h^2}$ ${}= \sqrt{h^2-2h+5}$
Suma:
$L(h)$ ${}= d(A,C)+d(C,B)$ ${}= \sqrt{h^2-4h+8}$ ${}+\sqrt{h^2-2h+5}$

Resultado $L(h)$ ${}= \sqrt{h^2-4h+8}$ ${}+\sqrt{h^2-2h+5}$ , como queríamos comprobar.

La pauta oficial da: $L(h)$ ${}= \sqrt{h^2-4h+8}$ ${}+\sqrt{h^2-2h+5}$

b)1,75 puntos

Planteamiento Derivamos $L$ , igualamos a cero y resolvemos elevando al cuadrado. Como elevar al cuadrado puede añadir soluciones falsas, comprobamos la solución en la ecuación original y con el signo de $L'$ .

Derivada:
$L'(h)$ ${}= \frac{2h-4}{2\sqrt{h^2-4h+8}}$ ${}+\frac{2h-2}{2\sqrt{h^2-2h+5}}$ ${}= \frac{h-2}{\sqrt{h^2-4h+8}}$ ${}+\frac{h-1}{\sqrt{h^2-2h+5}}$
$L'(h)=0$ :
$(h-2)\sqrt{h^2-2h+5}$ ${}= -(h-1)\sqrt{h^2-4h+8}$
Elevamos al cuadrado y desarrollamos los dos miembros:
$(h^2-4h+4)(h^2-2h+5)$ ${}= (h^2-2h+1)(h^2-4h+8)$
Los dos lados tienen $h^4-6h^3+17h^2$ ; queda:
$-28h+20$ ${}= -20h+8$ ${}\Longrightarrow 8h=12$ ${}\Longrightarrow h=\frac{3}{2}$
Comprobación en la ecuación sin elevar (los dos miembros valen lo mismo):
$\left(-\frac{1}{2}\right)\sqrt{\frac{17}{4}}=-\left(\frac{1}{2}\right)\sqrt{\frac{17}{4}}$
Signo de $L'$ antes y después de $h=\frac{3}{2}$ : decrece y después crece, así que es un mínimo:
$L'(1)=\frac{-1}{\sqrt5}<0$ $L'(2)=\frac{1}{\sqrt5}>0$
Longitud mínima (los dos tramos miden lo mismo):
$L\left(\frac{3}{2}\right)$ ${}= \sqrt{\frac{9}{4}-6+8}+\sqrt{\frac{9}{4}-3+5}$ ${}= \sqrt{\frac{17}{4}}+\sqrt{\frac{17}{4}}$ ${}= 2\cdot\frac{\sqrt{17}}{2}$ ${}= \sqrt{17}$

ResultadoEl cable debe pasar por $C=\left(0,0,\dfrac{3}{2}\right)$ , y la longitud mínima es $\sqrt{17}$ unidades de longitud.

La pauta oficial da: $C=\left(0,0,\frac{3}{2}\right)$ ; $L=\sqrt{17}$

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemáticas 2022, convocatoria extraordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 22 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

El examen entero, resuelto Examen en catalán (PDF)Examen en castellano (PDF)Pauta de corrección (PDF)Reutilizado según el aviso legal de la Generalitat

Lo que más se ha repetido en los exámenes

Optimización: máximo o mínimo de una magnitud con una restricción

Crecimiento, extremos e inflexión con la primera y la segunda derivada

Recta tangente y recta normal a una curva

Probar que una función tiene una raíz y cuántas tiene (Bolzano y monotonía)

Los ejercicios, del más reciente al más antiguo

1.11 punto

1.21 punto

1.30,5 puntos

3.10,75 puntos

3.20,75 puntos

3.31 punto

2,5 puntos

4.10,75 puntos

4.20,75 puntos

4.31 punto

1.10,75 puntos

1.21 punto

1.30,75 puntos

3.10,75 puntos

3.20,75 puntos

3.31 punto

4.11 punto

4.21 punto

4.30,5 puntos

4.10,5 puntos

4.21 punto

4.31 punto

1.11 punto

1.20,75 puntos

1.30,75 puntos

4.11 punto

4.21,5 puntos

4.11 punto

4.21,5 puntos

a)1 punto

b)1 punto

c)0,5 puntos

a)0,75 puntos

b)0,75 puntos

c)1 punto

a)0,5 puntos

b)1 punto

c)1 punto

a)1 punto

b)1,5 puntos

a)0,75 puntos

b)0,75 puntos

c)1 punto

a)1 punto

b)1,5 puntos

a)0,75 puntos

b)0,75 puntos

c)1 punto

a)1 punto

b)1 punto

c)0,5 puntos

a)1,25 puntos

b)1,25 puntos

a)0,75 puntos

b)1 punto

c)0,75 puntos

a)1 punto

b)0,5 puntos

c)1 punto

a)1 punto

b)1,5 puntos

a)1,25 puntos

b)1,25 puntos

a)1,5 puntos

b)1 punto

12,5 puntos

a)1,5 puntos

b)1 punto

a)1,75 puntos

b)0,75 puntos

a)1,25 puntos

b)1,25 puntos

42,5 puntos

a)1,25 puntos