Matemáticas, PAU 2025 de Cataluña: el examen extraordinario resuelto

Planteamiento Teorema de Rouché-Frobenius: calculamos $|A|$, hallamos los valores de $m$ que lo anulan y estudiamos los rangos en cada caso.

1. Matrices:

   $A$${}= \begin{pmatrix}1&3&1\\m&0&2\\0&m&-1\end{pmatrix}$$A^*$${}= \left(\begin{array}{ccc|c}1&3&1&5\\m&0&2&0\\0&m&-1&m\end{array}\right)$

2. Determinante:

   $|A|$${}= 0+0+m^2-0-2m+3m$${}= m^2+m$${}= m(m+1)$

3. Si $m\ne 0$ y $m\ne -1$: los dos rangos valen 3, igual que el número de incógnitas: compatible determinado.

   $\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=3$

4. Si $m=0$: las ecuaciones quedan $x+3y+z=5$, $2z=0$ y $-z=0$; la tercera es proporcional a la segunda. Hay un menor de orden 2 no nulo:

   $\begin{vmatrix}3&1\\0&2\end{vmatrix}$${}= 6$${}\ne 0$${}\Rightarrow \operatorname{rg}(A)$${}= \operatorname{rg}(A^*)$${}= 2$${}< 3$

5. Para $m=0$: compatible indeterminado con un grado de libertad.

6. Si $m=-1$: $\operatorname{rg}(A)=2$ (hay un menor de orden 2 no nulo), pero la matriz ampliada tiene un menor de orden 3 no nulo (columnas $y$, $z$ y términos independientes):

   $\begin{vmatrix}3&1&5\\0&2&0\\-1&-1&-1\end{vmatrix}$${}= 4$${}\ne 0$${}\Rightarrow \operatorname{rg}(A^*)$${}= 3$

7. Para $m=-1$: sistema incompatible.

Planteamiento Para $m=1$ el sistema es compatible determinado. Despejamos $x$ e $y$ en función de $z$ en las dos últimas ecuaciones y sustituimos en la primera.

1. Sistema:

   $\begin{cases}x+3y+z=5\\ x+2z=0\\ y-z=1\end{cases}$${}\Longrightarrow x=-2z$$y=1+z$

2. Sustituimos:

   $-2z+3(1+z)+z$${}= 5$${}\Longrightarrow 2z=2$${}\Longrightarrow z=1$
3. $x=-2$$y=2$

Planteamiento Tiene infinitas soluciones cuando es compatible indeterminado, es decir, para $m=0$.

1. De $2z=0$ sale $z=0$, y la primera ecuación queda:

   $x+3y=5$

2. Con $y=\lambda$:

   $(x,y,z)=(5-3\lambda,\ \lambda,\ 0)$$\lambda\in\mathbb{R}$

Planteamiento La población se divide en dos grupos con probabilidades de lesión distintas: usamos la fórmula de la probabilidad total.

1. Datos: $I$ = «practica deportes de impacto», $S$ = «padece sesamoiditis».

   $P(I)=0{,}45$$P(\overline{I})=0{,}55$$P(S\mid I)=0{,}1$$P(S\mid\overline{I})=0{,}03$

2. Probabilidad total:

   $P(S)$${}= 0{,}45\cdot 0{,}1+0{,}55\cdot 0{,}03$${}= 0{,}045+0{,}0165$${}= 0{,}0615$

Planteamiento Sabemos que tiene la lesión y queremos la probabilidad de que practique deportes de impacto: probabilidad condicionada, que calculamos con la fórmula de Bayes.

1. $P(I\mid S)$${}= \frac{P(S\mid I)\,P(I)}{P(S)}$${}= \frac{0{,}045}{0{,}0615}$${}= \frac{30}{41}$${}\approx 0{,}7317$

Planteamiento Traducimos cada dato a una ecuación: máximo en $x=1$ significa $f'(1)=0$; beneficio de 8 000 € significa $f(1)=8$ (en miles de euros); punto de inflexión en $x=2$ significa $f''(2)=0$. Resolvemos el sistema.

1. Derivadas:

   $f'(x)=3ax^2+2bx+c$$f''(x)=6ax+2b$

2. Condiciones:

   $\begin{cases}f'(1)=0:& 3a+2b+c=0\\ f(1)=8:& a+b+c=8\\ f''(2)=0:& 12a+2b=0\end{cases}$

3. Restando las dos primeras:

   $2a+b=-8$

4. De la tercera, $b=-6a$; sustituyendo:

   $2a-6a=-8\ \Longrightarrow\ a=2$$b=-12$$c=8-2+12=18$

5. Comprobamos que es un máximo y que hay inflexión: $f''(1)=12-24=-12<0$ y $f'''(x)=12\ne 0$.

   $f(x)=2x^3-12x^2+18x$

Planteamiento Miramos el valor de cada función en $x=0$: la que vale $0$ pasa por el origen $A$; la que vale $3$ empieza en $B$. El punto $C$ es el primer corte de las dos curvas para $x>0$.

1. $3\sin(0)=0$$3\cos(0)=3$

2. La curva que pasa por $A$ (creciente) es $y=3\sin(x/4)$; la que pasa por $B$ (decreciente) es $y=3\cos(x/4)$, y $B=(0,3)$.

3. Punto $C$:

   $3\sin\frac{x}{4}=3\cos\frac{x}{4}\ \Longrightarrow\ \tan\frac{x}{4}=1\ \Longrightarrow\ \frac{x}{4}=\frac{\pi}{4}\ \Longrightarrow\ x=\pi$
4. $y=3\sin\frac{\pi}{4}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$

Planteamiento El área del vitral es la integral de la diferencia entre la curva de arriba (coseno) y la de abajo (seno) entre $x=0$ y $x=\pi$. El precio es el área por 750 €/$\text{m}^2$. Multiplicamos con el valor exacto del área para no arrastrar error de redondeo.

1. Primitivas (cuidado con el factor $\frac14$ de dentro):

   $\int 3\cos\frac{x}{4}\,dx=12\sin\frac{x}{4}$$\int 3\sin\frac{x}{4}\,dx=-12\cos\frac{x}{4}$

2. Área:

   $A$${}= \int_0^{\pi}\left(3\cos\frac{x}{4}-3\sin\frac{x}{4}\right)dx$${}= \left[12\sin\frac{x}{4}+12\cos\frac{x}{4}\right]_0^{\pi}$
3. $A$${}= 12\left(\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\right)$${}-12(0+1)$${}= 12\left(\sqrt{2}-1\right)$${}\approx 4{,}97$

4. Precio:

   $750\cdot 12\left(\sqrt2-1\right)$${}= 9000\left(\sqrt2-1\right)$${}\approx 3728$

ResultadoÁrea $12(\sqrt2-1)\approx 4{,}97\ \text{m}^2$; precio $9\,000(\sqrt2-1)\approx 3\,728$ €.

La pauta oficial da: $12(\sqrt2-1)\simeq 4{,}97\ \mathrm{m}^2$; $4{,}97\cdot 750=3.725{,}5\ €$

Planteamiento Fórmula de la distancia de un punto a un plano.

1. $d(P,\pi)$${}= \frac{|2\cdot 0-1+3-5|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+1^2}}$${}= \frac{3}{\sqrt6}=\frac{3\sqrt6}{6}$${}= \frac{\sqrt6}{2}$

Planteamiento Un plano paralelo a $\pi$ tiene el mismo vector normal: $2x-y+z=D$. Imponemos que pase por $P$. La distancia entre dos planos paralelos es la distancia de cualquier punto de uno al otro.

1. $2\cdot 0-1+3$${}= D$${}\Longrightarrow D=2$${}\Longrightarrow \pi_1:\ 2x-y+z$${}= 2$

2. Como $P\in\pi_1$:

   $d(\pi_1,\pi)=d(P,\pi)=\frac{\sqrt6}{2}$

Planteamiento Buscamos todos los planos $2x-y+z=D$ a distancia $\frac{\sqrt6}{2}$ de $\pi$. Para dos planos paralelos con el mismo vector normal, la distancia es $\frac{|D-5|}{\sqrt6}$. Salen dos planos, uno a cada lado de $\pi$: uno es $\pi_1$.

1. $\frac{|D-5|}{\sqrt6}=\frac{\sqrt6}{2}\ \Longrightarrow\ |D-5|=3\ \Longrightarrow\ D=2$$\text{o}\ \ D=8$

2. $D=2$ es $\pi_1$; el otro es $D=8$. (También: es el plano paralelo que pasa por el simétrico de $P$ respecto de $\pi$, $P'=(2,0,4)$.)

   $\pi_2:\ 2x-y+z=8$