Matemáticas, PAU 2025 de Cataluña: el examen de junio (serie 4) resuelto

Planteamiento Se pide discutir el sistema según el valor de $a$. Usamos el teorema de Rouché-Frobenius: comparamos el rango de la matriz de coeficientes $M$ con el de la matriz ampliada $M^*$ y con el número de incógnitas, 3.

1. Matriz de coeficientes y matriz ampliada:

   $M$${}= \begin{pmatrix}1&3&a\\-2&-6&2\\a&3&1\end{pmatrix}$$M^*$${}= \left(\begin{array}{ccc|c}1&3&a&1\\-2&-6&2&2a\\a&3&1&3\end{array}\right)$

2. Determinante de $M$ (regla de Sarrus):

   $|M|$${}= (-6+6a-6a)$${}-(-6a^2+6-6)$${}= 6a^2-6$${}= 6\left(a^2-1\right)$

3. $|M|=0$ si y solo si $a=1$ o $a=-1$. Si $a\neq\pm 1$, $\operatorname{rango}M=3=\operatorname{rango}M^*$, que es el número de incógnitas: sistema compatible determinado (una sola solución).

4. Si $a=1$, la primera y la tercera ecuación tienen el mismo primer miembro y un término independiente distinto, así que no se pueden cumplir a la vez:

   $\begin{cases}x+3y+z=1\\ -2x-6y+2z=2\\ x+3y+z=3\end{cases}$

5. En rangos, para $a=1$: el menor de las columnas de $x$ y $z$ de las dos primeras filas no es cero, y al orlarlo con la tercera fila y la columna de los términos independientes tampoco:

   $\begin{vmatrix}1&1\\-2&2\end{vmatrix}$${}= 4$${}\neq 0$$\begin{vmatrix}1&1&1\\-2&2&2\\1&1&3\end{vmatrix}$${}= 8$${}\neq 0$

6. Por tanto, para $a=1$: $\operatorname{rango}M=2\neq\operatorname{rango}M^*=3$, sistema incompatible.

7. Si $a=-1$, la segunda ecuación es la primera multiplicada por $-2$ (también el término independiente, $2a=-2$), así que sobra:

   $\begin{cases}x+3y-z=1\\ -2x-6y+2z=-2\\ -x+3y+z=3\end{cases}$

8. Quedan dos ecuaciones independientes (el menor de las columnas de $y$ y $z$ de la primera y la tercera fila no es cero):

   $\begin{vmatrix}3&-1\\3&1\end{vmatrix}$${}= 6$${}\neq 0$${}\Longrightarrow \operatorname{rango}M$${}= \operatorname{rango}M^*$${}= 2$${}< 3$

9. Para $a=-1$ el sistema es compatible indeterminado, con un grado de libertad.

Planteamiento Se pide cómo son los tres planos entre sí según $a$. Lo leemos de la discusión del apartado a) y de la comparación de los vectores normales de cada plano.

1. Vectores normales:

   $\vec n_1=(1,3,a)$$\vec n_2=(-2,-6,2)$$\vec n_3=(a,3,1)$

2. Si $a\neq\pm 1$, el sistema es compatible determinado: los tres planos se cortan en un solo punto.

3. Si $a=1$: $\pi_1\colon x+3y+z=1$ y $\pi_3\colon x+3y+z=3$ tienen el mismo vector normal, $(1,3,1)$, y términos independientes distintos: son paralelos y distintos. $\vec n_2=(-2,-6,2)$ no es proporcional a $(1,3,1)$, así que $\pi_2$ corta a cada uno de los otros dos en una recta (dos rectas paralelas). Los tres planos no tienen ningún punto común.

4. Si $a=-1$: la ecuación de $\pi_2$ es la de $\pi_1$ multiplicada por $-2$, así que $\pi_1$ y $\pi_2$ son el mismo plano. $\vec n_3=(-1,3,1)$ no es proporcional a $\vec n_1=(1,3,-1)$: $\pi_3$ corta a ese plano en una recta, que es la intersección de los tres.

Planteamiento Se pide si la intersección de los tres planos puede ser una recta y, en ese caso, un punto y un vector director. Por los apartados a) y b), ocurre solo para $a=-1$ (sistema compatible indeterminado); resolvemos el sistema y escribimos las soluciones en forma paramétrica.

1. Para $a=-1$ quedan dos ecuaciones independientes, la primera y la tercera:

   $\begin{cases}x+3y-z=1\\ -x+3y+z=3\end{cases}$

2. Las sumamos, y se eliminan $x$ y $z$:

   $6y=4\ \Longrightarrow\ y=\frac{2}{3}$

3. Sustituimos en la primera: $x+2-z=1$, es decir, $x=z-1$. Tomando $z=\lambda$ como parámetro:

   $(x,y,z)$${}= \left(\lambda-1,\ \frac{2}{3},\ \lambda\right)$${}= \left(-1,\ \frac{2}{3},\ 0\right)+\lambda\,(1,0,1)$

4. Comprobación del vector director: el producto vectorial de los vectores normales de $\pi_1$ y $\pi_3$ tiene que ser proporcional a él:

   $\vec n_1\times\vec n_3$${}= (1,3,-1)\times(-1,3,1)$${}= (6,0,6)$${}= 6\,(1,0,1)$

Planteamiento Se pide la probabilidad de que el filtro envíe un mensaje a la carpeta de basura. Puede llegar un mensaje basura o uno bueno: usamos el teorema de la probabilidad total.

1. Sucesos: $B$ = «el mensaje es basura» y $C$ = «el filtro lo envía a la carpeta de basura». Datos del enunciado:

   $P(B)=0{,}25$$P(\overline B)=0{,}75$$P(C\mid B)=0{,}95$$P(\overline C\mid\overline B)=0{,}90$

2. De los mensajes buenos, el filtro envía a la carpeta de basura el resto:

   $P(C\mid\overline B)=1-0{,}90=0{,}10$

3. Teorema de la probabilidad total:

   $P(C)$${}= P(C\mid B)\,P(B)$${}+P(C\mid\overline B)\,P(\overline B)$${}= 0{,}95\cdot 0{,}25+0{,}10\cdot 0{,}75$${}= 0{,}2375+0{,}075$${}= 0{,}3125$

Planteamiento En la carpeta de basura están los mensajes que el filtro ha enviado allí. Se pide qué proporción de esos mensajes no son basura: es $P(\overline B\mid C)$, que calculamos con la fórmula de Bayes.

1. Fórmula de Bayes, con $P(C)=0{,}3125$ del apartado a):

   $P(\overline B\mid C)$${}= \frac{P(C\mid\overline B)\,P(\overline B)}{P(C)}$${}= \frac{0{,}10\cdot 0{,}75}{0{,}3125}$${}= \frac{0{,}075}{0{,}3125}$${}= 0{,}24$

Planteamiento Se pide el valor de la constante $A$. Calculamos la integral que define $F(t)$ con una primitiva (regla de Barrow) e imponemos que $F(2)=1-e^{-1}$.

1. Una primitiva de $Ae^{-0{,}5x}$ es $\frac{A}{-0{,}5}e^{-0{,}5x}=-2Ae^{-0{,}5x}$:

   $F(t)$${}= \int_0^t Ae^{-0{,}5x}\,dx$${}= \left[-2Ae^{-0{,}5x}\right]_0^t$${}= -2Ae^{-0{,}5t}+2A$${}= 2A\left(1-e^{-0{,}5t}\right)$

2. Imponemos el valor de la probabilidad para $t=2$ minutos:

   $F(2)$${}= 2A\left(1-e^{-1}\right)$${}= 1-e^{-1}$

3. Como $1-e^{-1}\neq 0$, podemos dividir los dos miembros entre él:

   $2A=1\ \Longrightarrow\ A=\frac{1}{2}=0{,}5$

4. Con este valor, $F(t)=1-e^{-0{,}5t}$.

Planteamiento Se pide comprobar la fórmula de la superficie. La botella tiene tres partes de cristal: la base del cilindro (un círculo), la superficie lateral del cilindro y la media esfera. La condición de volumen relaciona la altura $h$ del cilindro con el radio $r$.

1. La parte cilíndrica, de radio $r$ y altura $h$ (en cm), tiene una capacidad de $100\ \text{cm}^3$:

   $\pi r^2h=100\ \Longrightarrow\ h=\frac{100}{\pi r^2}$

2. Superficies: la base, $\pi r^2$; la lateral del cilindro, $2\pi rh$; la media esfera, la mitad de $4\pi r^2$. La cara superior del cilindro es la base de la media esfera y no forma parte de la superficie exterior de la botella:

   $S$${}= \pi r^2+2\pi rh+\frac{4\pi r^2}{2}$${}= 3\pi r^2+2\pi rh$

3. Sustituimos $h$:

   $S(r)$${}= 3\pi r^2+2\pi r\cdot\frac{100}{\pi r^2}$${}= 3\pi r^2+\frac{200}{r}$

Planteamiento Se piden las dimensiones de la botella (el radio $r$ y la altura $h$ del cilindro) que hacen mínima la superficie, y el valor de esa superficie. Derivamos $S(r)$ para $r>0$, buscamos el punto crítico y comprobamos que es un mínimo.

1. Derivada:

   $S'(r)=6\pi r-\frac{200}{r^2}$

2. Punto crítico:

   $S'(r)=0$${}\Longleftrightarrow 6\pi r^3$${}= 200$${}\Longleftrightarrow r^3$${}= \frac{100}{3\pi}$${}\Longleftrightarrow r=\sqrt[3]{\frac{100}{3\pi}}$${}\approx 2{,}197\ \text{cm}$

3. Derivada segunda, positiva para todo $r>0$: es un mínimo, y es el mínimo absoluto porque $S'$ es negativa antes de este punto y positiva después:

   $S''(r)=6\pi+\frac{400}{r^3}>0$

4. Altura del cilindro: como $100=3\pi r^3$, queda $h=3r$:

   $h=\frac{100}{\pi r^2}=\frac{3\pi r^3}{\pi r^2}=3r\approx 6{,}592\ \text{cm}$

5. Superficie mínima: como $\frac{200}{r}=\frac{6\pi r^3}{r}=6\pi r^2$,

   $S$${}= 3\pi r^2+6\pi r^2$${}= 9\pi r^2$${}\approx 136{,}5\ \text{cm}^2$

Planteamiento Se piden los valores de $a$ para los cuales $\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}=\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}$. Calculamos los dos productos e igualamos elemento a elemento.

1. Producto $\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}$:

   $\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}$${}= \begin{pmatrix}a&0\\1&a^2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&0\\1&4\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}2a&0\\2+a^2&4a^2\end{pmatrix}$

2. Producto $\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}$:

   $\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}$${}= \begin{pmatrix}2&0\\1&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&0\\1&a^2\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}2a&0\\a+4&4a^2\end{pmatrix}$

3. Solo puede fallar el elemento de la fila 2 y la columna 1:

   $2+a^2$${}= a+4$${}\Longleftrightarrow a^2-a-2=0$${}\Longleftrightarrow a=\frac{1\pm\sqrt{1+8}}{2}$${}= \frac{1\pm 3}{2}$

4. Para $a=2$, $\boldsymbol{A}$ es la misma matriz $\boldsymbol{B}$; para $a=-1$, $\boldsymbol{A}$${}= \begin{pmatrix}-1&0\\1&1\end{pmatrix}$.

Planteamiento Se piden los valores de $a$ para los cuales $\boldsymbol{A}$ tiene inversa: una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante no es cero.

1. Determinante:

   $|\boldsymbol{A}|$${}= \begin{vmatrix}a&0\\1&a^2\end{vmatrix}$${}= a\cdot a^2-0\cdot 1$${}= a^3$

2. $a^3=0$ solo si $a=0$.

Planteamiento Se piden los valores de $a$ para los cuales la inversa de $\boldsymbol{A}$ es la propia $\boldsymbol{A}$. Multiplicando por $\boldsymbol{A}$, la condición equivale a $\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{I}$: calculamos $\boldsymbol{A}^2$ y la igualamos a la identidad.

1. Cuadrado de $\boldsymbol{A}$:

   $\boldsymbol{A}^2$${}= \begin{pmatrix}a&0\\1&a^2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&0\\1&a^2\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}a^2&0\\a+a^2&a^4\end{pmatrix}$

2. Igualamos a $\boldsymbol{I}$${}= \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ elemento a elemento:

   $a^2=1$$a+a^2=0$$a^4=1$

3. $a^2=1$ da $a=1$ o $a=-1$ (y entonces $a^4=1$ también se cumple). $a+a^2=a(1+a)=0$ da $a=0$ o $a=-1$. El único valor que cumple las tres condiciones es $a=-1$.

4. Comprobación:

   $\boldsymbol{A}$${}= \begin{pmatrix}-1&0\\1&1\end{pmatrix}$$\boldsymbol{A}^2$${}= \begin{pmatrix}1&0\\-1+1&1\end{pmatrix}$${}= \boldsymbol{I}$