Matemáticas, PAU 2026 de Cataluña: el examen de junio (serie 1) resuelto

Planteamiento Usamos el teorema de Rouché-Frobenius: comparamos el rango de la matriz de coeficientes $A$ con el de la matriz ampliada $A^*$. Primero buscamos los valores de $m$ que anulan $|A|$.

1. Matrices del sistema:

   $A$${}= \begin{pmatrix}1&m&1\\1&3&1\\m&1&1\end{pmatrix}$$A^*$${}= \left(\begin{array}{ccc|c}1&m&1&4\\1&3&1&5\\m&1&1&4\end{array}\right)$

2. Determinante de $A$:

   $|A|$${}= \begin{vmatrix}1&m&1\\1&3&1\\m&1&1\end{vmatrix}$${}= 3+m^2+1-3m-1-m$${}= m^2-4m+3$${}= (m-1)(m-3)$

3. Si $m\ne 1$ y $m\ne 3$: $|A|\ne 0$ y el rango de las dos matrices es 3, igual al número de incógnitas: sistema compatible determinado.

   $\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=3$

4. Si $m=3$: $\operatorname{rg}(A)=2$, porque hay un menor de orden 2 no nulo. En cambio, la matriz ampliada tiene un menor de orden 3 no nulo:

   $\begin{vmatrix}1&3\\3&1\end{vmatrix}$${}= -8$${}\ne 0$$\begin{vmatrix}1&3&4\\1&3&5\\3&1&4\end{vmatrix}$${}= 8$${}\ne 0$

5. Por tanto, para $m=3$, $\operatorname{rg}(A)=2\ne\operatorname{rg}(A^*)=3$: sistema incompatible.

6. Si $m=1$: la primera y la tercera ecuación son iguales ($x+y+z=4$), y hay un menor de orden 2 no nulo:

   $\begin{vmatrix}1&1\\1&3\end{vmatrix}$${}= 2$${}\ne 0$${}\Rightarrow \operatorname{rg}(A)$${}= \operatorname{rg}(A^*)$${}= 2$${}< 3$

7. Para $m=1$ el sistema es compatible indeterminado, con un grado de libertad.

Planteamiento Cada ecuación es un plano. El tipo de sistema nos dice cuántos puntos comparten los tres planos; para $m=1$ resolvemos y obtenemos una recta.

1. Si $m\ne 1,3$ (compatible determinado): los tres planos se cortan en un único punto.

2. Si $m=3$ (incompatible): no hay ningún punto común. El primer plano y el segundo son paralelos y distintos, y el tercero corta a cada uno de ellos en una recta (las dos rectas son paralelas).

   $x+3y+z=4$$x+3y+z=5$

3. Si $m=1$ (compatible indeterminado): el primer y el tercer plano coinciden, y el segundo los corta en una recta. Resolvemos:

   $\begin{cases}x+y+z=4\\ x+3y+z=5\end{cases}$${}\Longrightarrow 2y=1$${}\Longrightarrow y=\frac{1}{2}$

4. Tomamos $z=\lambda$ como parámetro:

   $x=4-\frac{1}{2}-\lambda=\frac{7}{2}-\lambda$

5. Las soluciones forman la recta:

   $(x,y,z)$${}= \left(\frac{7}{2}-\lambda,\ \frac{1}{2},\ \lambda\right)$${}= \left(\frac{7}{2},\frac{1}{2},0\right)+\lambda(-1,0,1)$$\lambda\in\mathbb{R}$

Planteamiento El punto dado debe ser una de las soluciones del sistema para $m=1$; si lo es, basta con añadir una ecuación que lo cumpla y que haga subir el rango de la matriz de coeficientes a 3.

1. El punto es de la recta de soluciones (para $\lambda=\frac{1}{2}$):

   $\left(\frac{7}{2}-\frac{1}{2},\ \frac{1}{2},\ \frac{1}{2}\right)=\left(3,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$

2. Añadimos, por ejemplo, la ecuación $x=3$, que este punto cumple. La nueva matriz de coeficientes tiene rango 3:

   $\begin{vmatrix}1&1&1\\1&3&1\\1&0&0\end{vmatrix}$${}= 1\cdot(1\cdot 1-1\cdot 3)$${}= -2$${}\ne 0$

3. El sistema de cuatro ecuaciones es compatible (el punto cumple todas las ecuaciones) y el rango es 3, igual al número de incógnitas: es compatible determinado y su única solución es el punto dado.

Planteamiento Calculamos qué proporción de seguidores acaba teniendo entrada (por el sorteo o por la web) y, como sabemos que el 16 % son exactamente 24 personas, pasamos de proporción a número de personas.

1. Sucesos: $E_S$ = «obtener entrada en el sorteo», $W$ = «intentar comprarla en la web», $E_W$ = «conseguirla en la web».

   $P(E_S)=0{,}16$

2. Intentan la web seis séptimas partes de los que no han ganado en el sorteo:

   $P(W)$${}= (1-0{,}16)\cdot\frac{6}{7}$${}= 0{,}84\cdot\frac{6}{7}$${}= 0{,}72$

3. De estos, el 25 % la consigue:

   $P(E_W)=0{,}72\cdot 0{,}25=0{,}18$

4. Proporción de seguidores con entrada:

   $P(E)=0{,}16+0{,}18=0{,}34$

5. El 16 % de los seguidores son las 24 personas del sorteo; por tanto, hay 150 seguidores:

   $N=\frac{24}{0{,}16}=150$

6. Personas con entrada:

   $0{,}34\cdot 150=51$

Planteamiento Es una probabilidad condicionada: sabemos que la persona no tiene entrada y queremos la probabilidad de que hubiera probado la web. Aplicamos la fórmula de Bayes.

1. Sea $\overline{E}$ = «no tener entrada». Del apartado anterior:

   $P(\overline{E})=1-0{,}34=0{,}66$

2. Si ha probado la web, no tiene entrada con probabilidad $1-0{,}25$:

   $P(\overline{E}\mid W)=0{,}75$

3. Fórmula de Bayes:

   $P(W\mid\overline{E})$${}= \frac{P(\overline{E}\mid W)\,P(W)}{P(\overline{E})}$${}= \frac{0{,}75\cdot 0{,}72}{0{,}66}$${}= \frac{0{,}54}{0{,}66}$${}= \frac{9}{11}$${}\approx 0{,}82$

Planteamiento Queremos saber si $S(t)$ llega a $100$. Definimos $D(t)=S(t)-100$, que es continua, y aplicamos el teorema de Bolzano; después vamos reduciendo el intervalo hasta tener la precisión de una décima.

1. $D$ es polinómica y, por tanto, continua en $[0,5]$:

   $D(t)$${}= S(t)-100$${}= -t^3+12t^2-30t$${}-10$

2. Valores en los extremos:

   $D(0)=-10<0$$D(5)$${}= -125+300-150-10$${}= 15$${}> 0$

3. Por el teorema de Bolzano existe $c\in(0,5)$ con $D(c)=0$, es decir, $S(c)=100$: los efectos se activan.

4. Antes de eso $S$ no llega a $100$: $S'(t)=-3t^2+24t-30$ se anula en $t=4-\sqrt{6}\approx 1{,}55$; $S$ decrece en $[0;\,1{,}55]$ (donde $S\le 90$) y después crece, así que solo atraviesa el valor $100$ una vez.

5. Acotamos la raíz:

   $D(4)=-2<0$$D(4{,}2)=1{,}592>0\ \Rightarrow\ c\in(4;\,4{,}2)$
6. $D(4{,}1)$${}= -0{,}201$${}< 0$${}\Rightarrow c\in(4{,}1;\,4{,}2)$

7. Para decidir el redondeo a las décimas miramos el punto medio:

   $D(4{,}15)$${}\approx 0{,}70$${}> 0$${}\Rightarrow c\in(4{,}1;\,4{,}15)$${}\Rightarrow c$${}\approx 4{,}1$

ResultadoSí; se activan a los $t\approx 4{,}1$ minutos.

La pauta oficial da: $\text{Sí}$, $t\approx 4{,}1\ \text{min}$

Planteamiento Llamamos $x$ a la longitud de barandilla del círculo; el resto, $10-x$, es el perímetro del cuadrado. Escribimos la suma de las dos áreas en función de $x$ y buscamos su mínimo en $[0,10]$.

1. Círculo de perímetro $x$:

   $r=\frac{x}{2\pi}$$A_1=\pi r^2=\frac{x^2}{4\pi}$

2. Cuadrado de perímetro $10-x$:

   $c=\frac{10-x}{4}$$A_2=\frac{(10-x)^2}{16}$

3. Función a minimizar:

   $A(x)=\frac{x^2}{4\pi}+\frac{(10-x)^2}{16}$$0\le x\le 10$

4. Derivamos e igualamos a cero:

   $A'(x)$${}= \frac{x}{2\pi}-\frac{10-x}{8}=0$${}\Longrightarrow 4x=\pi(10-x)$${}\Longrightarrow x=\frac{10\pi}{4+\pi}$${}\approx 4{,}4$

5. Es un mínimo, porque la segunda derivada es positiva:

   $A''(x)=\frac{1}{2\pi}+\frac{1}{8}>0$

6. Barandilla del cuadrado:

   $10-\frac{10\pi}{4+\pi}=\frac{40}{4+\pi}\approx 5{,}6$

7. Superficie mínima (también es menor que en los extremos, $A(0)=6{,}25$ y $A(10)\approx 7{,}96$):

   $A\left(\frac{10\pi}{4+\pi}\right)=\frac{25}{4+\pi}\approx 3{,}5$

Planteamiento Dos vectores del plano, $\overrightarrow{PQ}$ y $\overrightarrow{PR}$, dan el vector normal con el producto vectorial; después imponemos que el plano pase por $P$.

1. Vectores:

   $\overrightarrow{PQ}=(2,-2,1)$$\overrightarrow{PR}=(0,1,2)$

2. Vector normal:

   $\vec n$${}= \overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}$${}= \begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\2&-2&1\\0&1&2\end{vmatrix}$${}= (-5,-4,2)$

3. El plano es $5x+4y-2z+D=0$ (normal $(5,4,-2)$). Pasa por $P$:

   $5\cdot 1+4\cdot 0-2\cdot(-1)$${}+D=0$${}\Longrightarrow D=-7$

4. Comprobación con $Q$ y $R$:

   $15-8-0-7=0$$5+4-2-7=0$

Planteamiento El área de un triángulo es la mitad del módulo del producto vectorial de dos de sus lados, que ya hemos calculado.

1. $A_{PQR}$${}= \frac{1}{2}\left|\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}\right|$${}= \frac{1}{2}\sqrt{(-5)^2+(-4)^2+2^2}$${}= \frac{\sqrt{45}}{2}$${}= \frac{3\sqrt{5}}{2}$

Planteamiento La altura del tetraedro es la distancia de $S$ al plano $\pi$ del triángulo. Imponemos que el volumen valga 1 y resolvemos la ecuación con valor absoluto.

1. Distancia de $S=(x,y,z)$ al plano $\pi$:

   $d(S,\pi)$${}= \frac{|5x+4y-2z-7|}{\sqrt{5^2+4^2+(-2)^2}}$${}= \frac{|5x+4y-2z-7|}{3\sqrt{5}}$

2. Volumen igual a 1:

   $\frac{1}{3}\cdot\frac{3\sqrt{5}}{2}\cdot\frac{|5x+4y-2z-7|}{3\sqrt{5}}$${}= \frac{|5x+4y-2z-7|}{6}$${}= 1$

3. Valor absoluto:

   $5x+4y-2z-7=6$$\text{o}\ \quad 5x+4y-2z-7=-6$