Matemáticas, PAU 2024 de Cataluña: el examen extraordinario resuelto

Planteamiento Usamos el teorema de Rouché-Frobenius: comparamos el rango de la matriz de coeficientes $A$ con el de la matriz ampliada $A^*$. Primero buscamos los valores de $m$ que anulan $|A|$.

1. Matrices del sistema:

   $A$${}= \begin{pmatrix}1&-3&m\\1&m&2\\1&1&2\end{pmatrix}$$A^*$${}= \left(\begin{array}{ccc|c}1&-3&m&-2\\1&m&2&3\\1&1&2&m\end{array}\right)$

2. Determinante de $A$, por la regla de Sarrus:

   $|A|$${}= \begin{vmatrix}1&-3&m\\1&m&2\\1&1&2\end{vmatrix}$${}= 2m-6+m-m^2-2+6$${}= -m^2+3m-2$${}= -(m-1)(m-2)$

3. Se anula para dos valores:

   $-(m-1)(m-2)=0\ \Longleftrightarrow\ m=1$$\text{o}\ \ m=2$

4. Si $m\ne 1$ y $m\ne 2$: $|A|\ne 0$ y el rango de las dos matrices es 3, igual al número de incógnitas: sistema compatible determinado.

   $\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=3$

5. Si $m=1$: la segunda y la tercera ecuación quedan $x+y+2z=3$ y $x+y+2z=1$, que se contradicen. Con rangos, un menor de orden 2 de $A$ y uno de orden 3 de $A^*$ (columnas de $x$, de $y$ y de los términos independientes):

   $\begin{vmatrix}1&-3\\1&1\end{vmatrix}$${}= 4$${}\ne 0$$\begin{vmatrix}1&-3&-2\\1&1&3\\1&1&1\end{vmatrix}$${}= -8$${}\ne 0$

6. Para $m=1$, $\operatorname{rg}(A)=2\ne\operatorname{rg}(A^*)=3$: sistema incompatible.

7. Si $m=2$: escalonamos $A^*$ (restamos la primera fila a la segunda y a la tercera, dividimos la segunda entre $5$ y restamos $4$ veces la segunda a la tercera):

   $\left(\begin{array}{ccc|c}1&-3&2&-2\\1&2&2&3\\1&1&2&2\end{array}\right)$${}\sim \left(\begin{array}{ccc|c}1&-3&2&-2\\0&5&0&5\\0&4&0&4\end{array}\right)$${}\sim \left(\begin{array}{ccc|c}1&-3&2&-2\\0&1&0&1\\0&0&0&0\end{array}\right)$

8. Para $m=2$, $\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=2<3$: sistema compatible indeterminado, con un grado de libertad.

Planteamiento Para $m=0$ el sistema es compatible determinado, con $|A|=-0^2+3\cdot 0-2=-2$. Lo resolvemos por la regla de Cramer.

1. Sistema para $m=0$:

   $\begin{cases}x-3y=-2\\ x+2z=3\\ x+y+2z=0\end{cases}$

2. Incógnita $x$:

   $x$${}= \frac{\begin{vmatrix}-2&-3&0\\3&0&2\\0&1&2\end{vmatrix}}{-2}$${}= \frac{22}{-2}=-11$

3. Incógnita $y$:

   $y$${}= \frac{\begin{vmatrix}1&-2&0\\1&3&2\\1&0&2\end{vmatrix}}{-2}$${}= \frac{6}{-2}=-3$

4. Incógnita $z$:

   $z$${}= \frac{\begin{vmatrix}1&-3&-2\\1&0&3\\1&1&0\end{vmatrix}}{-2}$${}= \frac{-14}{-2}$${}= 7$

5. Comprobación en las tres ecuaciones:

   $-11-3\cdot(-3)=-2$$-11+2\cdot 7=3$$-11-3+2\cdot 7=0$

Planteamiento Para $m=2$ el sistema equivale a las dos ecuaciones de la matriz escalonada del apartado a). Les añadimos la condición $x=5y$.

1. Sistema equivalente para $m=2$:

   $\begin{cases}x-3y+2z=-2\\ y=1\end{cases}$

2. Con $y=1$, la condición $x=5y$ da:

   $x=5\cdot 1=5$

3. De la primera ecuación:

   $5-3\cdot 1+2z=-2\ \Longrightarrow\ 2z=-4\ \Longrightarrow\ z=-2$

4. Comprobación en las ecuaciones originales con $m=2$:

   $5-3+2\cdot(-2)=-2$$5+2\cdot 1+2\cdot(-2)=3$$5+1+2\cdot(-2)=2$

Planteamiento $A$ es el punto donde la curva de $f$ toca el eje $OX$ (aparte del origen); $D$ es el corte de la curva de $g$ con el eje $OX$ a la derecha, y $B$ el corte de $g$ con el eje $OY$.

1. Cortes de $f$ con el eje $OX$:

   $x^3-4x^2+4x=0$${}\Longrightarrow x(x-2)^2=0$${}\Longrightarrow x=0$$\text{o}\ \ x=2$

2. $x=0$ es el origen; el punto $A$ es el otro:

   $A=(2,0)$

3. Cortes de $g$ con el eje $OX$:

   $-\left(\frac{x-1}{2}\right)^2+4=0$${}\Longrightarrow (x-1)^2$${}= 16$${}\Longrightarrow x-1$${}= \pm 4$${}\Longrightarrow x=5$$\text{o}\ \ x=-3$

4. En la figura $D$ tiene abscisa positiva:

   $D=(5,0)$

5. Corte de $g$ con el eje $OY$:

   $g(0)$${}= -\left(\frac{0-1}{2}\right)^2+4$${}= -\frac{1}{4}+4$${}= \frac{15}{4}$${}\Longrightarrow B=\left(0,\frac{15}{4}\right)$

Planteamiento La zona punteada está limitada arriba por $g$ y abajo por $f$, desde el eje $OY$ ($x=0$) hasta el punto $C$ ($x=3$), donde se cortan las dos curvas. El área es la integral de $g-f$ entre $0$ y $3$.

1. Las dos curvas pasan por $C=(3,3)$:

   $f(3)=27-36+12=3$$g(3)=-1+4=3$

2. Diferencia, desarrollando $g(x)=-\frac{x^2-2x+1}{4}+4$:

   $g(x)-f(x)$${}= -x^3+\frac{15}{4}x^2-\frac{7}{2}x+\frac{15}{4}$

3. Una primitiva:

   $H(x)$${}= -\frac{x^4}{4}+\frac{5x^3}{4}-\frac{7x^2}{4}$${}+\frac{15x}{4}$

4. Valores en los extremos:

   $H(3)$${}= \frac{-81+135-63+45}{4}$${}= \frac{36}{4}=9$$H(0)=0$

5. Regla de Barrow:

   $A_{\text{punteada}}$${}= \int_0^3\left(g(x)-f(x)\right)dx$${}= H(3)-H(0)$${}= 9$

6. Como el área total del logotipo se da en $\mathrm{m}^2$, las unidades de los ejes son metros y esta área es de $9\ \mathrm{m}^2$.

Planteamiento El logotipo está formado por la zona punteada y la rayada. El área rayada es la total menos la punteada.

1. Comprobación del área total: es el área bajo $g$ entre $x=0$ y $x=5$, con $g(x)=\frac{-x^2+2x+15}{4}$:

   $\int_0^5 g(x)\,dx$${}= \frac{1}{4}\left[-\frac{x^3}{3}+x^2+15x\right]_0^5$${}= \frac{1}{4}\left(-\frac{125}{3}+25+75\right)$${}= \frac{175}{12}$

2. Área rayada, con la punteada del apartado b):

   $\frac{175}{12}-9=\frac{175-108}{12}=\frac{67}{12}=5{,}58\overline{3}$

3. Comparamos:

   $9>\frac{67}{12}$

ResultadoNecesitarán más pintura azul: la zona punteada mide $9\ \mathrm{m}^2$ y la rayada $\dfrac{67}{12}=5{,}58\overline{3}\ \mathrm{m}^2$.

La pauta oficial da: $\frac{175}{12}-9=5{,}583\ldots\ \mathrm{u}^2$; $\text{més pintura blava}$

Planteamiento Llamamos $A$ al suceso «padecer arritmia», con $P(A)=0{,}2$. Si las personas se escogen al azar y de forma independiente, el número $N$ de personas con arritmia de entre $4$ sigue una binomial $B(4;\ 0{,}2)$. Pasamos al complementario: «al menos una» es lo contrario de «ninguna».

1. Distribución:

   $N\sim B(4;\ 0{,}2)$

2. Probabilidad de que ninguna de las cuatro padezca arritmia:

   $P(N=0)$${}= (1-0{,}2)^4$${}= 0{,}8^4$${}= 0{,}4096$

3. Complementario:

   $P(N\ge 1)=1-0{,}4096=0{,}5904$

Planteamiento Llamamos $H$ al suceso «diagnóstico positivo». Conocemos $P(H\mid A)$ y $P(H\mid\overline{A})$, y usamos la fórmula de la probabilidad total.

1. Datos del enunciado:

   $P(A)=0{,}2$$P(\overline{A})=0{,}8$$P(H\mid A)=0{,}95$$P(H\mid\overline{A})=0{,}005$

2. Probabilidad total:

   $P(H)$${}= P(H\mid A)\,P(A)$${}+P(H\mid\overline{A})\,P(\overline{A})$${}= 0{,}95\cdot 0{,}2+0{,}005\cdot 0{,}8$${}= 0{,}19+0{,}004$${}= 0{,}194$

Planteamiento Queremos $P(A\mid\overline{H})$: sabemos que el resultado es negativo y queremos la probabilidad de que la persona tenga arritmia. Usamos la fórmula de Bayes.

1. Probabilidad de negativo si tiene arritmia:

   $P(\overline{H}\mid A)=1-0{,}95=0{,}05$

2. Probabilidad de negativo, con el apartado b):

   $P(\overline{H})$${}= 1-P(H)$${}= 1-0{,}194$${}= 0{,}806$

3. Fórmula de Bayes:

   $P(A\mid\overline{H})$${}= \frac{P(\overline{H}\mid A)\,P(A)}{P(\overline{H})}$${}= \frac{0{,}05\cdot 0{,}2}{0{,}806}$${}= \frac{0{,}01}{0{,}806}$${}= \frac{5}{403}$${}\approx 0{,}0124$

Planteamiento El rectángulo tiene base $x$ y altura $y=e^{-2x}$. Escribimos el área en función de $x$ y buscamos su máximo en $(0,+\infty)$ con la derivada.

1. Función área:

   $A(x)=x\cdot e^{-2x}$$x>0$

2. Derivada, con la regla del producto:

   $A'(x)$${}= e^{-2x}$${}+x\cdot(-2)e^{-2x}$${}= e^{-2x}(1-2x)$

3. Punto crítico ($e^{-2x}>0$ siempre):

   $A'(x)=0\ \Longleftrightarrow\ 1-2x=0\ \Longleftrightarrow\ x=\frac{1}{2}$

4. Signo de $A'$: es el de $1-2x$, positivo para $0<x<\frac{1}{2}$ y negativo para $x>\frac{1}{2}$. $A$ crece y después decrece: en $x=\frac{1}{2}$ está el máximo absoluto.

5. Lados del rectángulo:

   $x=\frac{1}{2}$$y=e^{-2\cdot\frac{1}{2}}=e^{-1}=\frac{1}{e}$

6. Área máxima:

   $A\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{e}=\frac{1}{2e}\approx 0{,}184\ \mathrm{u}^2$

ResultadoEl máximo está en $x=\dfrac{1}{2}$ ($A$ crece antes y decrece después); el área máxima es $\dfrac{1}{2e}\approx 0{,}184\ \mathrm{u}^2$.

La pauta oficial da: $x=\frac{1}{2}\ \text{(màxim absolut)}$; $A\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2e}\ \mathrm{u}^2$

Planteamiento La recta tangente en $x=0$ es $y-y(0)=y'(0)(x-0)$. Después buscamos su corte con $y=0$.

1. Derivada, con la regla de la cadena:

   $y'=-2e^{-2x}$

2. Punto y pendiente en $x=0$:

   $y(0)=e^{0}=1$$y'(0)=-2e^{0}=-2$

3. Recta tangente:

   $y-1=-2(x-0)\ \Longrightarrow\ y=-2x+1$

4. Corte con el eje de abscisas:

   $0=-2x+1\ \Longrightarrow\ x=\frac{1}{2}$

Planteamiento Una recta perpendicular a $\pi$ tiene como vector director el vector normal del plano, $\vec{n}=(1,2,-2)$. Escribimos $r$ en forma paramétrica y la sustituimos en la ecuación de $\pi$.

1. Recta $r$, que pasa por $P=(1,3,0)$ con dirección $\vec{n}$:

   $r:\ (x,y,z)$${}= (1,3,0)+\lambda(1,2,-2)$${}= (1+\lambda,\ 3+2\lambda,\ -2\lambda)$

2. Sustituimos en la ecuación de $\pi$:

   $(1+\lambda)+2(3+2\lambda)$${}-2(-2\lambda)$${}= -7$${}\Longrightarrow 7+9\lambda$${}= -7$${}\Longrightarrow \lambda=-\frac{14}{9}$

3. Punto de intersección, con $\lambda=-\frac{14}{9}$:

   $Q$${}= \left(1-\frac{14}{9},\ 3-\frac{28}{9},\ \frac{28}{9}\right)$${}= \left(-\frac{5}{9},-\frac{1}{9},\frac{28}{9}\right)$

4. Comprobación:

   $-\frac{5}{9}+2\cdot\left(-\frac{1}{9}\right)-2\cdot\frac{28}{9}$${}= \frac{-5-2-56}{9}$${}= -7$

Planteamiento Usamos la fórmula de la distancia de un punto a un plano, con el plano escrito como $x+2y-2z+7=0$. Coincide con $d(P,Q)$, porque $Q$ es la proyección ortogonal de $P$ sobre $\pi$.

1. Fórmula de la distancia punto-plano:

   $d(P,\pi)$${}= \frac{|1+2\cdot 3-2\cdot 0+7|}{\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}}$${}= \frac{14}{\sqrt{9}}$${}= \frac{14}{3}$

2. Comprobación con $Q$ del apartado a):

   $d(P,Q)$${}= \sqrt{\left(\frac{14}{9}\right)^2+\left(\frac{28}{9}\right)^2+\left(\frac{28}{9}\right)^2}$${}= \frac{\sqrt{1764}}{9}$${}= \frac{42}{9}=\frac{14}{3}$

Planteamiento Un plano paralelo a $\pi$ tiene el mismo vector normal: $x+2y-2z=D$. Imponemos que su distancia a $P$ sea $\frac{14}{3}$; una de las soluciones será el propio $\pi$.

1. Distancia de $P=(1,3,0)$ al plano $x+2y-2z-D=0$:

   $\frac{|1+2\cdot 3-2\cdot 0-D|}{\sqrt{9}}$${}= \frac{|7-D|}{3}$${}= \frac{14}{3}$

2. Resolvemos el valor absoluto:

   $|7-D|=14\ \Longrightarrow\ 7-D=\pm 14\ \Longrightarrow\ D=-7$$\text{o}\ \ D=21$

3. $D=-7$ es el plano $\pi$; el otro es el que buscamos:

   $\pi':\ x+2y-2z=21$