Matemáticas, PAU 2024 de Cataluña: el examen de junio (serie 1) resuelto

Planteamiento Usamos el teorema de Rouché-Frobenius: comparamos el rango de la matriz de coeficientes $A$ con el de la matriz ampliada $A^*$. Primero buscamos los valores de $k$ que anulan $|A|$.

1. Matrices del sistema:

   $A$${}= \begin{pmatrix}4&2&-1\\1&-1&k\\3&3&0\end{pmatrix}$$A^*$${}= \left(\begin{array}{ccc|c}4&2&-1&4\\1&-1&k&3\\3&3&0&1\end{array}\right)$

2. Determinante de $A$, por la regla de Sarrus:

   $|A|$${}= \begin{vmatrix}4&2&-1\\1&-1&k\\3&3&0\end{vmatrix}$${}= 0+6k-3-3-12k-0$${}= -6k-6$

3. Se anula solo para un valor:

   $-6k-6=0\ \Longleftrightarrow\ k=-1$

4. Si $k\ne-1$: $|A|\ne 0$ y el rango de las dos matrices es 3, igual al número de incógnitas: sistema compatible determinado.

   $\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=3$

5. Si $k=-1$: la tercera ecuación es la primera menos la segunda, tanto en los coeficientes como en el término independiente:

   $(4x+2y-z)$${}-(x-y-z)$${}= 3x+3y$$4-3=1$

6. Por tanto, la tercera fila de $A^*$ es combinación de las dos primeras, y hay un menor de orden 2 no nulo:

   $\begin{vmatrix}4&2\\1&-1\end{vmatrix}$${}= -4-2$${}= -6$${}\ne 0$${}\Longrightarrow \operatorname{rg}(A)$${}= \operatorname{rg}(A^*)$${}= 2$${}< 3$

7. Para $k=-1$, el sistema es compatible indeterminado, con un grado de libertad.

8. Para $k=0$ el sistema es compatible determinado, con $|A|=-6\cdot 0-6=-6$. Resolvemos por la regla de Cramer; los determinantes de $x$ y de $y$ se desarrollan por la tercera columna:

   $x$${}= \frac{\begin{vmatrix}4&2&-1\\3&-1&0\\1&3&0\end{vmatrix}}{-6}$${}= \frac{-10}{-6}$${}= \frac{5}{3}$

9. Incógnita $y$:

   $y$${}= \frac{\begin{vmatrix}4&4&-1\\1&3&0\\3&1&0\end{vmatrix}}{-6}$${}= \frac{8}{-6}=-\frac{4}{3}$

10. Incógnita $z$ (regla de Sarrus: $-4+18+12-(-12+36+2)=0$):

    $z$${}= \frac{\begin{vmatrix}4&2&4\\1&-1&3\\3&3&1\end{vmatrix}}{-6}$${}= \frac{0}{-6}=0$

11. Comprobación en las tres ecuaciones:

    $4\cdot\frac{5}{3}+2\cdot\left(-\frac{4}{3}\right)-0=4$$\frac{5}{3}+\frac{4}{3}=3$$3\cdot\frac{5}{3}+3\cdot\left(-\frac{4}{3}\right)=1$

Planteamiento Para $k=-1$ la tercera ecuación es redundante (apartado a). Resolvemos las dos primeras dejando una incógnita como parámetro.

1. Sistema equivalente:

   $\begin{cases}4x+2y-z=4\\ x-y-z=3\end{cases}$

2. Restando la segunda ecuación de la primera se elimina $z$:

   $3x+3y=1\ \Longrightarrow\ y=\frac{1}{3}-x$

3. Tomamos $x=\lambda$:

   $y=\frac{1}{3}-\lambda$

4. De la segunda ecuación, $z=x-y-3$:

   $z=\lambda-\left(\frac{1}{3}-\lambda\right)-3=2\lambda-\frac{10}{3}$

Planteamiento Para $k=-1$, el primer miembro de la tercera ecuación es la diferencia de los de las dos primeras. Si cambiamos solo su término independiente, la diferencia de las dos primeras deja de coincidir con la tercera y las ecuaciones se contradicen.

1. Cambiamos la tercera ecuación por esta (mismos coeficientes, otro término independiente):

   $3x+3y=2$

2. Restando las dos primeras ecuaciones siempre se obtiene $3x+3y=1$. Tendríamos a la vez $3x+3y=1$ y $3x+3y=2$:

   $1=2\quad\text{(imposible)}$

3. Con rangos: la matriz de coeficientes no cambia, $\operatorname{rg}(A)=2$, pero la ampliada tiene un menor de orden 3 no nulo (columnas de $y$, de $z$ y de los términos independientes):

   $\begin{vmatrix}2&-1&4\\-1&-1&3\\3&0&2\end{vmatrix}$${}= -3$${}\ne 0$${}\Longrightarrow \operatorname{rg}(A^*)$${}= 3$

4. Como $\operatorname{rg}(A)=2\ne\operatorname{rg}(A^*)=3$, el sistema es incompatible. Sirve cualquier ecuación $3x+3y=c$ con $c\ne 1$.

Planteamiento En la figura, $P$ y $Q$ están a la vez sobre la curva y sobre la recta horizontal $y=5$, que también pasa por $(0,5)$. Sus abscisas son, por tanto, las soluciones de $f(x)=5$. El punto $R$ está en el eje $OX$, debajo de $Q$.

1. Planteamos $f(x)=5$:

   $-x^3+7x^2-6x+5$${}= 5$${}\Longrightarrow -x\left(x^2-7x+6\right)=0$

2. Soluciones:

   $x=0$$\text{o}\ \quad x$${}= \frac{7\pm\sqrt{49-24}}{2}$${}= \frac{7\pm 5}{2}$${}= \begin{cases}1\\6\end{cases}$

3. $x=0$ corresponde al punto $(0,5)$. En la figura, $P$ es el de la izquierda y $Q$ el de la derecha:

   $P=(1,5)$$Q=(6,5)$

4. $R$ está en el eje $OX$ con la misma abscisa que $Q$:

   $R=(6,0)$

5. Pendiente de la recta $PR$:

   $m=\frac{0-5}{6-1}=-1$

6. Recta de pendiente $-1$ que pasa por $R=(6,0)$:

   $y-0=-1\cdot(x-6)\ \Longrightarrow\ y=-x+6$

Planteamiento El terreno es la región entre la curva (arriba) y la recta $PR$ (abajo), desde $x=1$ hasta $x=6$. Su área es la integral definida de la diferencia entre las dos funciones.

1. Entre $x=1$ y $x=6$ la curva está por encima de la recta, como muestra la figura (por ejemplo, en $x=2$):

   $f(2)$${}= -8+28-12+5$${}= 13$${}> 4=-2+6$

2. Planteamos el área:

   $A$${}= \int_{1}^{6}\left(f(x)-(-x+6)\right)dx$${}= \int_{1}^{6}\left(-x^3+7x^2-5x-1\right)dx$

3. Una primitiva del integrando:

   $F(x)=-\frac{x^4}{4}+\frac{7x^3}{3}-\frac{5x^2}{2}-x$

4. Valores de la primitiva en los extremos:

   $F(6)=-324+504-90-6=84$$F(1)=-\frac{1}{4}+\frac{7}{3}-\frac{5}{2}-1=-\frac{17}{12}$

5. Regla de Barrow:

   $A$${}= F(6)-F(1)$${}= 84+\frac{17}{12}$${}= \frac{1025}{12}$${}= 85{,}41\overline{6}\ \mathrm{u}^2$

Resultado$A=\dfrac{1025}{12}=85{,}41\overline{6}\ \mathrm{u}^2$

La pauta oficial da: $\frac{1025}{12}=85{,}416\ldots\ \mathrm{u}^2$

Planteamiento En la bolsa hay $9$ bolas: dos A, dos S y una de cada de B, Y, E, F y N. Sin reemplazo, la probabilidad de la segunda extracción depende de lo que ha salido en la primera (probabilidad condicionada).

1. Primera bola A o E: hay $3$ bolas favorables (dos A y una E) de $9$:

   $P(\text{A o E})=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$

2. Las dos bolas solo pueden ser iguales si son dos A o dos S. Para dos A: la primera es A con probabilidad $\frac{2}{9}$ y, si lo es, quedan $8$ con una sola A:

   $P(AA)=\frac{2}{9}\cdot\frac{1}{8}=\frac{1}{36}$

3. Igual para dos S:

   $P(SS)=\frac{2}{9}\cdot\frac{1}{8}=\frac{1}{36}$

4. Por el complementario:

   $P(\text{diferentes})$${}= 1-\left(\frac{1}{36}+\frac{1}{36}\right)$${}= 1-\frac{1}{18}$${}= \frac{17}{18}$${}\approx 0{,}944$

Planteamiento Con reemplazo, las cinco extracciones son independientes y en cada una sale A con probabilidad $\frac{2}{9}$. El número $X$ de A extraídas sigue una distribución binomial $B\left(5,\frac{2}{9}\right)$.

1. Distribución de $X$:

   $X\sim B\left(5,\frac{2}{9}\right)$$P(X=k)$${}= \binom{5}{k}\left(\frac{2}{9}\right)^{k}\left(\frac{7}{9}\right)^{5-k}$

2. Ninguna A ($k=0$):

   $P(X=0)$${}= \left(\frac{7}{9}\right)^{5}$${}= \frac{16807}{59049}$${}\approx 0{,}2846$

3. Exactamente una A ($k=1$), con $\left(\frac{7}{9}\right)^4=\frac{2401}{6561}$:

   $P(X=1)$${}= \binom{5}{1}\cdot\frac{2}{9}\cdot\frac{2401}{6561}$${}= \frac{24010}{59049}$

4. Al menos dos A, por el complementario:

   $P(X\ge 2)$${}= 1-P(X=0)-P(X=1)$${}= 1-\frac{16807}{59049}-\frac{24010}{59049}$${}= \frac{18232}{59049}$${}\approx 0{,}3088$

Planteamiento Llamamos $x$ a la profundidad, $3x$ a la anchura y $h$ a la altura, en metros. Escribimos el coste con estas variables y eliminamos $h$ con la condición del volumen.

1. Volumen de $6\ \mathrm{m}^3$:

   $3x\cdot x\cdot h=6\ \Longrightarrow\ h=\frac{6}{3x^2}=\frac{2}{x^2}$

2. Paredes que hay que construir: la frontal, de $3x$ por $h$, y las dos laterales, de $x$ por $h$ (la del fondo es la de la casa):

   $S_{\text{paredes}}$${}= 3xh+xh+xh$${}= 5xh$

3. Techo, de $3x$ por $x$:

   $S_{\text{techo}}=3x\cdot x=3x^2$

4. Coste: paredes a $30$ € el $\mathrm{m}^2$, techo a $50$ € el $\mathrm{m}^2$ y puerta a $35$ €:

   $C$${}= 30\cdot 5xh+50\cdot 3x^2$${}+35$${}= 150xh+150x^2+35$

5. Sustituimos $h=\frac{2}{x^2}$:

   $C(x)$${}= 150x\cdot\frac{2}{x^2}+150x^2$${}+35$${}= \frac{300}{x}+150x^2+35$

Planteamiento Buscamos el mínimo de $C(x)$ en el intervalo $(0,+\infty)$: derivamos, igualamos a cero y comprobamos que el punto encontrado es un mínimo.

1. Derivada:

   $C'(x)$${}= -\frac{300}{x^2}+300x$${}= \frac{300\left(x^3-1\right)}{x^2}$

2. Punto crítico:

   $C'(x)=0\ \Longleftrightarrow\ x^3=1\ \Longleftrightarrow\ x=1$

3. Derivada segunda:

   $C''(x)=\frac{600}{x^3}+300$$C''(1)=600+300=900>0$

4. Es un mínimo. Además, $C'(x)<0$ para $0<x<1$ y $C'(x)>0$ para $x>1$, así que es el mínimo absoluto en $(0,+\infty)$.

5. Dimensiones, con $h=\frac{2}{x^2}$ del apartado a):

   $x=1\ \mathrm{m}$$3x=3\ \mathrm{m}$$h=\frac{2}{1^2}=2\ \mathrm{m}$

6. Coste mínimo, en euros:

   $C(1)$${}= \frac{300}{1}+150\cdot 1^2+35$${}= 485$

Planteamiento Un plano perpendicular a la recta $AB$ tiene como vector normal el vector director $\overrightarrow{AB}$. Le imponemos que pase por el punto medio $M$ del segmento $AB$.

1. Vector director de la recta $AB$ (y normal del plano):

   $\overrightarrow{AB}$${}= (-3,-2,3)-(1,2,3)$${}= (-4,-4,0)\parallel(1,1,0)$

2. Punto medio:

   $M$${}= \frac{A+B}{2}$${}= \left(\frac{1-3}{2},\frac{2-2}{2},\frac{3+3}{2}\right)$${}= (-1,0,3)$

3. El plano es $x+y+D=0$; imponemos que pase por $M$:

   $-1+0+D=0\ \Longrightarrow\ D=1\ \Longrightarrow\ \pi:\ x+y+1=0$

4. Puntos equidistantes: como las dos distancias son positivas, $d(P,A)=d(P,B)$ equivale a la igualdad de los cuadrados:

   $(x-1)^2$${}+(y-2)^2$${}+(z-3)^2$${}= (x+3)^2$${}+(y+2)^2$${}+(z-3)^2$

5. Desarrollamos; los términos $x^2$, $y^2$ y $(z-3)^2$ se cancelan:

   $-2x+1-4y+4$${}= 6x+9+4y+4$${}\Longrightarrow -8x-8y-8=0$

6. Dividiendo entre $-8$ se obtiene exactamente la ecuación de $\pi$: el plano $\pi$ es el plano mediador del segmento $AB$.

   $x+y+1=0$

Planteamiento Usamos la fórmula de la distancia de un punto $(x_0,y_0,z_0)$ al plano $ax+by+cz+d=0$: $\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$.

1. Distancia de $A=(1,2,3)$:

   $d(A,\pi)$${}= \frac{|1+2+1|}{\sqrt{1^2+1^2+0^2}}$${}= \frac{4}{\sqrt{2}}$${}= 2\sqrt{2}$

2. Distancia de $B=(-3,-2,3)$:

   $d(B,\pi)$${}= \frac{|-3-2+1|}{\sqrt{2}}$${}= \frac{4}{\sqrt{2}}$${}= 2\sqrt{2}$

3. No es casualidad: $\pi$ es perpendicular a $AB$ y pasa por el punto medio $M$, así que la proyección ortogonal de $A$ y de $B$ sobre $\pi$ es el mismo punto $M$. Las dos distancias valen $d(A,M)=d(B,M)$, la mitad de la longitud de $AB$:

   $d(A,M)$${}= \sqrt{(1+1)^2+(2-0)^2+(3-3)^2}$${}= \sqrt{8}=2\sqrt{2}$

Planteamiento Si $C$ está en el plano $\pi$, por el apartado a) equidista de $A$ y de $B$ y el triángulo es isósceles. La altura sobre la base $AB$ va de $C$ al punto medio $M$.

1. $C=(-7,6,3)$ cumple la ecuación de $\pi$:

   $-7+6+1=0\ \Longrightarrow\ C\in\pi$

2. Por tanto, $d(C,A)=d(C,B)$. Lo comprobamos:

   $d(C,A)$${}= \sqrt{(-8)^2+4^2+0^2}$${}= \sqrt{80}$${}= 4\sqrt{5}$$d(C,B)$${}= \sqrt{(-4)^2+8^2+0^2}$${}= \sqrt{80}$${}= 4\sqrt{5}$

3. Base $AB$, con $\overrightarrow{AB}=(-4,-4,0)$:

   $d(A,B)$${}= \sqrt{(-4)^2+(-4)^2+0^2}$${}= \sqrt{32}$${}= 4\sqrt{2}$

4. En un triángulo isósceles, el pie de la altura sobre la base es el punto medio $M=(-1,0,3)$:

   $h$${}= d(C,M)$${}= \sqrt{(-6)^2+6^2+0^2}$${}= \sqrt{72}$${}= 6\sqrt{2}$

5. Área:

   $\text{Área}$${}= \frac{4\sqrt{2}\cdot 6\sqrt{2}}{2}$${}= \frac{48}{2}=24\ \mathrm{u}^2$