Matemáticas, PAU 2025 de Cataluña: el examen de junio (serie 1) resuelto

Planteamiento Teorema de Rouché-Frobenius: calculamos el determinante de la matriz de coeficientes, hallamos los valores críticos de $p$ y estudiamos los rangos en cada caso.

1. Matrices (orden de las incógnitas $x$, $y$, $z$):

   $A$${}= \begin{pmatrix}0&1&-1\\p^2&0&-1\\1&-1&0\end{pmatrix}$$A^*$${}= \left(\begin{array}{ccc|c}0&1&-1&p+3\\p^2&0&-1&5\\1&-1&0&3\end{array}\right)$

2. Determinante:

   $|A|$${}= 0-1+p^2-0-0-0$${}= p^2-1$${}= (p-1)(p+1)$

3. Si $p\ne 1$ y $p\ne -1$: $|A|\ne 0$ y los dos rangos valen 3, igual que el número de incógnitas: compatible determinado.

   $\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=3$

4. Si $p=1$: $\operatorname{rg}(A)=2$ (hay un menor de orden 2 no nulo), pero la matriz ampliada tiene un menor de orden 3 no nulo (columnas $x$, $y$ y términos independientes):

   $\begin{vmatrix}0&1\\1&0\end{vmatrix}$${}= -1$${}\ne 0$$\begin{vmatrix}0&1&4\\1&0&5\\1&-1&3\end{vmatrix}$${}= -2$${}\ne 0$

5. Para $p=1$: $\operatorname{rg}(A)=2\ne\operatorname{rg}(A^*)=3$, sistema incompatible.

6. Si $p=-1$: las ecuaciones son $y-z=2$, $x-z=5$, $x-y=3$, y la segunda es la suma de la primera y la tercera. Hay un menor de orden 2 no nulo:

   $\begin{vmatrix}0&1\\1&0\end{vmatrix}$${}= -1$${}\ne 0$${}\Rightarrow \operatorname{rg}(A)$${}= \operatorname{rg}(A^*)$${}= 2$${}< 3$

7. Para $p=-1$ el sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad.

Planteamiento Para $p=-1$ podemos eliminar la segunda ecuación (es la suma de las otras dos) y dejar una incógnita como parámetro.

1. Sistema equivalente:

   $\begin{cases}y-z=2\\ x-y=3\end{cases}$

2. Tomamos $y=\lambda$:

   $x=3+\lambda$$z=\lambda-2$

Planteamiento Imponemos la condición $xy=10$ a las soluciones del apartado anterior: sale una ecuación de segundo grado en $\lambda$.

1. $(3+\lambda)\lambda=10\ \Longrightarrow\ \lambda^2+3\lambda-10=0$
2. $\lambda=\frac{-3\pm\sqrt{9+40}}{2}=\frac{-3\pm 7}{2}\ \Longrightarrow\ \lambda=2$$\text{o}\ \ \lambda=-5$

3. Soluciones correspondientes:

   $\lambda=2:\ (5,2,0)$$\lambda=-5:\ (-2,-5,-7)$

Planteamiento Hay dos tipos de piezas con probabilidades de defecto distintas: usamos la fórmula de la probabilidad total. Las piezas de hierro defectuosas son el $100-95=5\,\%$.

1. Datos: $F$ = «de hierro», $A$ = «de acero», $D$ = «defectuosa».

   $P(F)=0{,}6$$P(A)=0{,}4$$P(D\mid F)=0{,}05$$P(D\mid A)=0{,}03$

2. Probabilidad total:

   $P(D)$${}= 0{,}6\cdot 0{,}05+0{,}4\cdot 0{,}03$${}= 0{,}03+0{,}012$${}= 0{,}042$

Planteamiento El número $X$ de piezas defectuosas en un paquete de 5 sigue una binomial $B(5,p)$, porque las piezas son independientes y cada una es defectuosa con probabilidad $p$.

1. Hay $\binom{5}{4}=5$ maneras de elegir cuál es la pieza buena, y cada configuración tiene probabilidad $p^4(1-p)$:

   $P(X=4)$${}= \binom{5}{4}p^4(1-p)$${}= 5p^4(1-p)$${}= 5(p^4-p^5)$

Planteamiento Buscamos los puntos críticos de $f$ para $p\ge 0$ y estudiamos el signo de la derivada para saber dónde crece y dónde decrece.

1. Derivada:

   $f'(p)$${}= 20p^3-25p^4$${}= 5p^3(4-5p)$

2. Puntos críticos:

   $f'(p)=0\ \Longrightarrow\ p=0$$\text{o}\ \ p=\frac{4}{5}$

3. Signo: $f'>0$ en $\left(0,\frac45\right)$ y $f'<0$ para $p>\frac45$. Por tanto $f$ crece hasta $\frac45$ y después decrece: en $p=\frac45$ está el máximo absoluto para $p\ge 0$.

4. Valor máximo:

   $f\left(\frac{4}{5}\right)$${}= 5\left(\frac{4}{5}\right)^4\left(1-\frac{4}{5}\right)$${}= \left(\frac{4}{5}\right)^4$${}= \frac{256}{625}$${}\approx 0{,}41$

Planteamiento Necesitamos el área de cada parte de la vela. Calculamos el área total bajo la parábola entre $x=0$ y $x=5$ y el área de la parte inferior (bajo $y=9$); la superior es la diferencia. Después multiplicamos cada área por su precio.

1. Puntos de corte (con $x\ge 0$):

   $-x^2+25=0\Rightarrow x=5$$-x^2+25=9\Rightarrow x=4$

2. Área total:

   $A_T$${}= \int_0^5(-x^2+25)\,dx$${}= \left[-\frac{x^3}{3}+25x\right]_0^5$${}= -\frac{125}{3}+125$${}= \frac{250}{3}$

3. Parte inferior: un rectángulo $4\times 9$ y, entre $x=4$ y $x=5$, la región bajo la parábola. Con la primitiva $F(x)=-\frac{x^3}{3}+25x$: $F(5)=\frac{250}{3}$ y $F(4)=\frac{236}{3}$.

   $A_{\text{inf}}$${}= \int_0^4 9\,dx$${}+\int_4^5(-x^2+25)\,dx$${}= 36+\left(\frac{250}{3}-\frac{236}{3}\right)$${}= 36+\frac{14}{3}$${}= \frac{122}{3}$

4. Parte superior:

   $A_{\text{sup}}=\frac{250}{3}-\frac{122}{3}=\frac{128}{3}$

5. Coste:

   $\frac{128}{3}\cdot 50+\frac{122}{3}\cdot 70$${}= \frac{6400+8540}{3}$${}= \frac{14940}{3}$${}= 4980$

ResultadoÁrea superior $\frac{128}{3}\ \text{u}^2$, área inferior $\frac{122}{3}\ \text{u}^2$; coste total $4\,980$ €.

La pauta oficial da: $4980\ €$

Planteamiento El plano $\pi'$ contiene la dirección $\overrightarrow{PQ}$ y, como es perpendicular a $\pi$, también contiene la dirección del vector normal de $\pi$. Su vector normal es el producto vectorial de ambas direcciones.

1. Direcciones:

   $\vec n_\pi=(1,1,0)$$\overrightarrow{PQ}=(2,-2,4)\parallel(1,-1,2)$

2. Vector normal de $\pi'$:

   $(1,1,0)\times(1,-1,2)$${}= \begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\1&1&0\\1&-1&2\end{vmatrix}$${}= (2,-2,-2)\parallel(1,-1,-1)$

3. Plano por $P$:

   $x-y-z+D=0$$1+1-2+D=0\Rightarrow D=0$

4. Comprobación con $Q$:

   $3+3-6=0$

Planteamiento Los puntos que equidistan de $P$ y $Q$ forman el plano mediador del segmento $PQ$ (perpendicular a $\overrightarrow{PQ}$ por el punto medio). La recta pedida es la intersección de ese plano con $\pi'$.

1. Punto medio:

   $M=\frac{P+Q}{2}=(2,-2,4)$

2. Plano mediador (normal $(1,-1,2)$):

   $x-y+2z=2+2+8=12$

3. Intersección con $\pi'$:

   $\begin{cases}x-y-z=0\\ x-y+2z=12\end{cases}$${}\Longrightarrow 3z=12$${}\Rightarrow z=4$$x-y=4$

4. Con $y=k$:

   $(x,y,z)$${}= (4+k,\ k,\ 4)$${}= (4,0,4)+k(1,1,0)$$k\in\mathbb{R}$