Matemáticas, PAU 2022 de Cataluña: el examen extraordinario resuelto

Planteamiento Es un cociente: el dominio excluye los ceros del denominador, que son también los candidatos a asíntota vertical. Para la monotonía, estudiamos el signo de $f'$ en cada intervalo del dominio.

1. Ceros del denominador:

   $x^2+x-2$${}= (x+2)(x-1)=0$${}\Longrightarrow x=-2,\ x$${}= 1$

2. Dominio:

   $\operatorname{Dom}f$${}= \mathbb{R}\setminus\{-2,1\}$${}= (-\infty,-2)\cup(-2,1)\cup(1,+\infty)$

3. Asíntotas verticales: el numerador vale $9\ne 0$, así que en los dos puntos el límite es infinito (los signos salen del signo de $(x+2)(x-1)$):

   $\lim_{x\to -2^-}f(x)$${}= +\infty,\ \lim_{x\to -2^+}f(x)$${}= -\infty$$\lim_{x\to 1^-}f(x)$${}= -\infty,\ \lim_{x\to 1^+}f(x)$${}= +\infty$

4. Asíntota horizontal (el denominador crece sin límite); por tanto, no hay oblicuas:

   $\lim_{x\to\pm\infty}\frac{9}{x^2+x-2}=0\ \Longrightarrow\ y=0$

5. Derivada:

   $f'(x)$${}= \frac{-9(2x+1)}{(x^2+x-2)^2}=0$${}\Longrightarrow x=-\frac{1}{2}$

6. El denominador de $f'$ es positivo, así que el signo de $f'$ es el de $-(2x+1)$:

   $x<-\tfrac{1}{2}:\ f'>0$$x>-\tfrac{1}{2}:\ f'<0$

7. Valor en el máximo relativo:

   $f\left(-\tfrac{1}{2}\right)$${}= \frac{9}{\frac{1}{4}-\frac{1}{2}-2}$${}= \frac{9}{-\frac{9}{4}}$${}= -4$

Planteamiento La tangente en $x=4$ es $y=f'(4)(x-4)+f(4)$; después la pasamos a la forma general $Ax+By+C=0$. Para el gráfico usamos los resultados del apartado a).

1. Valor y pendiente:

   $f(4)=\frac{9}{16+4-2}=\frac{9}{18}=\frac{1}{2}$$f'(4)=\frac{-9\cdot 9}{18^2}=-\frac{81}{324}=-\frac{1}{4}$

2. Recta tangente:

   $y-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}(x-4)\ \Longrightarrow\ y=-\frac{1}{4}x+\frac{3}{2}$

3. Multiplicando por $4$ y pasándolo todo a un miembro:

   $x+4y-6=0$

4. Gráfico (figura): tres ramas separadas por las asíntotas $x=-2$ y $x=1$; la central, por debajo del eje, con el máximo $\left(-\frac{1}{2},-4\right)$; la de la derecha baja hacia $y=0$ y la tangente la toca en $\left(4,\frac{1}{2}\right)$.

ResultadoRecta tangente: $x+4y-6=0$ (es decir, $y=-\frac{1}{4}x+\frac{3}{2}$).

La pauta oficial da: $y=-\frac{1}{4}x+\frac{3}{2}$

Planteamiento Calculamos $\det A$: donde no se anula el rango es $3$; donde se anula, buscamos un menor de orden 2 no nulo.

1. Determinante (regla de Sarrus):

   $\det A$${}= 45+21a^2+24a^2$${}-105-18a^2$${}-12a^2$${}= 15a^2-60$${}= 15(a-2)(a+2)$

2. Si $a\ne 2$ y $a\ne -2$:

   $\det A\ne 0\ \Longrightarrow\ \operatorname{rg}A=3$

3. Si $a=2$, el menor de las dos primeras filas y columnas es:

   $\begin{vmatrix}1&2\\ 4&5\end{vmatrix}$${}= 5-8$${}= -3$${}\ne 0$${}\Longrightarrow \operatorname{rg}A$${}= 2$

4. Si $a=-2$, el mismo menor es:

   $\begin{vmatrix}1&-2\\ -4&5\end{vmatrix}$${}= 5-8$${}= -3$${}\ne 0$${}\Longrightarrow \operatorname{rg}A$${}= 2$

Planteamiento La matriz del sistema es $A$ para $a=2$, que tiene rango $2$. Es un sistema homogéneo (siempre compatible) con rango $2<3$ incógnitas: compatible indeterminado con un grado de libertad.

1. Sistema:

   $\begin{cases} x+2y+3z=0\\ 4x+5y+6z=0\\ 7x+8y+9z=0\end{cases}$

2. Nos quedamos con las dos primeras ecuaciones (el menor $\begin{vmatrix}1&2\\ 4&5\end{vmatrix}$${}\ne 0$). Segunda menos $4$ veces la primera:

   $-3y-6z=0\ \Longrightarrow\ y=-2z$

3. De la primera ecuación:

   $x=-2y-3z=4z-3z=z$

4. Comprobación en la tercera, con $z=t$:

   $7t+8(-2t)+9t=0$

Planteamiento Cada tramo es continuo y derivable en su intervalo ($\ln x$ lo es en $(0,+\infty)$ y $ax+b$, en todo $\mathbb{R}$). Solo hay que imponer la continuidad y la derivabilidad en el punto de unión, $x=\mathrm{e}$.

1. Continuidad en $x=\mathrm{e}$ (límite por la izquierda igual al valor $f(\mathrm{e})$):

   $\lim_{x\to \mathrm{e}^-}\ln x=\ln \mathrm{e}=1$$f(\mathrm{e})=a\mathrm{e}+b\ \Longrightarrow\ a\mathrm{e}+b=1$

2. Derivadas laterales en $x=\mathrm{e}$:

   $f'(\mathrm{e}^-)=\frac{1}{\mathrm{e}}$$f'(\mathrm{e}^+)=a\ \Longrightarrow\ a=\frac{1}{\mathrm{e}}$

3. Sustituimos en la condición de continuidad:

   $\frac{1}{\mathrm{e}}\cdot \mathrm{e}+b=1\ \Longrightarrow\ b=0$

Planteamiento $g$ es una primitiva de $g'$. La derivada del denominador, $9x^4+1$, es $36x^3$, que es el numerador $x^3$ salvo una constante: la integral es un logaritmo. La constante sale de $g(0)=-1$.

1. Multiplicamos y dividimos por $36$:

   $\int\frac{x^3}{9x^4+1}\,dx$${}= \frac{1}{36}\int\frac{36x^3}{9x^4+1}\,dx$${}= \frac{1}{36}\ln(9x^4+1)+k$

2. No hace falta valor absoluto, porque $9x^4+1>0$. Imponemos $g(0)=-1$:

   $g(0)=\frac{1}{36}\ln 1+k=k=-1$

3. Comprobación derivando:

   $g'(x)=\frac{1}{36}\cdot\frac{36x^3}{9x^4+1}=\frac{x^3}{9x^4+1}$

Planteamiento Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante no es cero.

1. Regla de Sarrus (los productos con un $0$ desaparecen):

   $|A|$${}= a(a+1)(-a-3)$${}+a(a-1)(2a+1)$${}-a\cdot 2\cdot(-a-3)$

2. Sacamos factor común $a$ y operamos:

   $|A|$${}= a\left[(-a^2-4a-3)+(2a^2-a-1)+(2a+6)\right]$${}= a(a^2-3a+2)$

3. Ceros del determinante:

   $a(a^2-3a+2)$${}= a(a-1)(a-2)=0$${}\Longrightarrow a=0,\ a$${}= 1,\ a=2$

Planteamiento Para $a=3$, $A$ es invertible (apartado a), así que $X=A^{-1}(B-3I)$. Como $B-3I=I$, la solución es la inversa de $A$.

1. Matrices para $a=3$:

   $A$${}= \begin{pmatrix}3&3&0\\ 2&4&2\\ 7&0&-6\end{pmatrix}$$B-3I$${}= \begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\end{pmatrix}$${}= I$

2. Determinante, con la fórmula del apartado a):

   $|A|=3\cdot(3-1)\cdot(3-2)=6$

3. Adjuntos de $A$ (fila por fila):

   $\begin{array}{lll} A_{11}=-24, & A_{12}=26, & A_{13}=-28\\ A_{21}=18, & A_{22}=-18, & A_{23}=21\\ A_{31}=6, & A_{32}=-6, & A_{33}=6\end{array}$

4. La inversa es la traspuesta de la matriz de adjuntos dividida por $|A|$:

   $A^{-1}$${}= \frac{1}{6}\begin{pmatrix}-24&18&6\\ 26&-18&-6\\ -28&21&6\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}-4&3&1\\ \frac{13}{3}&-3&-1\\ -\frac{14}{3}&\frac{7}{2}&1\end{pmatrix}$

5. Comprobación de la primera fila de $A\cdot A^{-1}$:

   $3\cdot(-4)+3\cdot\frac{13}{3}=1$$3\cdot 3+3\cdot(-3)=0$$3\cdot 1+3\cdot(-1)=0$

Planteamiento El cable va en línea recta de $A$ a $C$ y de $C$ a $B$; la longitud total es la suma de las dos distancias.

1. Distancia de $A=(2,0,2)$ a $C=(0,0,h)$:

   $d(A,C)$${}= \sqrt{2^2+0^2+(2-h)^2}$${}= \sqrt{4+4-4h+h^2}$${}= \sqrt{h^2-4h+8}$

2. Distancia de $B=(0,2,1)$ a $C$:

   $d(B,C)$${}= \sqrt{0^2+2^2+(1-h)^2}$${}= \sqrt{4+1-2h+h^2}$${}= \sqrt{h^2-2h+5}$

3. Suma:

   $L(h)$${}= d(A,C)+d(C,B)$${}= \sqrt{h^2-4h+8}$${}+\sqrt{h^2-2h+5}$

Planteamiento Derivamos $L$, igualamos a cero y resolvemos elevando al cuadrado. Como elevar al cuadrado puede añadir soluciones falsas, comprobamos la solución en la ecuación original y con el signo de $L'$.

1. Derivada:

   $L'(h)$${}= \frac{2h-4}{2\sqrt{h^2-4h+8}}$${}+\frac{2h-2}{2\sqrt{h^2-2h+5}}$${}= \frac{h-2}{\sqrt{h^2-4h+8}}$${}+\frac{h-1}{\sqrt{h^2-2h+5}}$

2. $L'(h)=0$:

   $(h-2)\sqrt{h^2-2h+5}$${}= -(h-1)\sqrt{h^2-4h+8}$

3. Elevamos al cuadrado y desarrollamos los dos miembros:

   $(h^2-4h+4)(h^2-2h+5)$${}= (h^2-2h+1)(h^2-4h+8)$

4. Los dos lados tienen $h^4-6h^3+17h^2$; queda:

   $-28h+20$${}= -20h+8$${}\Longrightarrow 8h=12$${}\Longrightarrow h=\frac{3}{2}$

5. Comprobación en la ecuación sin elevar (los dos miembros valen lo mismo):

   $\left(-\frac{1}{2}\right)\sqrt{\frac{17}{4}}=-\left(\frac{1}{2}\right)\sqrt{\frac{17}{4}}$

6. Signo de $L'$ antes y después de $h=\frac{3}{2}$: decrece y después crece, así que es un mínimo:

   $L'(1)=\frac{-1}{\sqrt5}<0$$L'(2)=\frac{1}{\sqrt5}>0$

7. Longitud mínima (los dos tramos miden lo mismo):

   $L\left(\frac{3}{2}\right)$${}= \sqrt{\frac{9}{4}-6+8}+\sqrt{\frac{9}{4}-3+5}$${}= \sqrt{\frac{17}{4}}+\sqrt{\frac{17}{4}}$${}= 2\cdot\frac{\sqrt{17}}{2}$${}= \sqrt{17}$