Matemáticas, PAU 2024 de Cataluña: el examen de junio (serie 5) resuelto

Planteamiento Se pide si $\boldsymbol{P}$ tiene inversa y cuál es. Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante no es cero, y entonces $\boldsymbol{P}^{-1}=\frac{1}{|\boldsymbol{P}|}\left(\operatorname{Adj}\boldsymbol{P}\right)^t$, donde $\operatorname{Adj}\boldsymbol{P}$ es la matriz de los adjuntos.

1. Determinante de $\boldsymbol{P}$ por la regla de Sarrus:

   $|\boldsymbol{P}|$${}= \begin{vmatrix}2&1&-1\\2&1&0\\1&0&1\end{vmatrix}$${}= (2+0+0)-(-1+0+2)$${}= 1$

2. Como $|\boldsymbol{P}|=1\neq 0$, la matriz $\boldsymbol{P}$ es invertible.

3. Adjuntos $A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$, donde $M_{ij}$ es el determinante que queda al quitar la fila $i$ y la columna $j$. Primera fila:

   $A_{11}$${}= \begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}$${}= 1$$A_{12}$${}= -\begin{vmatrix}2&0\\1&1\end{vmatrix}$${}= -2$$A_{13}$${}= \begin{vmatrix}2&1\\1&0\end{vmatrix}$${}= -1$

4. Segunda fila:

   $A_{21}$${}= -\begin{vmatrix}1&-1\\0&1\end{vmatrix}$${}= -1$$A_{22}$${}= \begin{vmatrix}2&-1\\1&1\end{vmatrix}$${}= 3$$A_{23}$${}= -\begin{vmatrix}2&1\\1&0\end{vmatrix}$${}= 1$

5. Tercera fila:

   $A_{31}$${}= \begin{vmatrix}1&-1\\1&0\end{vmatrix}$${}= 1$$A_{32}$${}= -\begin{vmatrix}2&-1\\2&0\end{vmatrix}$${}= -2$$A_{33}$${}= \begin{vmatrix}2&1\\2&1\end{vmatrix}=0$

6. Matriz adjunta e inversa (la traspuesta de la adjunta dividida por $|\boldsymbol{P}|=1$):

   $\operatorname{Adj}\boldsymbol{P}$${}= \begin{pmatrix}1&-2&-1\\-1&3&1\\1&-2&0\end{pmatrix}$${}\Longrightarrow \boldsymbol{P}^{-1}$${}= \frac{1}{1}\left(\operatorname{Adj}\boldsymbol{P}\right)^t$${}= \begin{pmatrix}1&-1&1\\-2&3&-2\\-1&1&0\end{pmatrix}$

7. Comprobación: $\boldsymbol{P}\,\boldsymbol{P}^{-1}=\boldsymbol{I}$. Por ejemplo, la primera fila de $\boldsymbol{P}$, $(2,1,-1)$, por las tres columnas de $\boldsymbol{P}^{-1}$ da $2-2+1=1$, $-2+3-1=0$ y $2-2+0=0$.

Planteamiento Se pide la matriz $\boldsymbol{X}$ de la ecuación $\boldsymbol{P}\boldsymbol{X}+\boldsymbol{Q}=2\boldsymbol{R}$. La despejamos: como $\boldsymbol{P}$ es invertible (apartado a), multiplicamos por $\boldsymbol{P}^{-1}$ por la izquierda, que es el lado donde está $\boldsymbol{P}$ (el producto de matrices no es conmutativo).

1. Pasamos $\boldsymbol{Q}$ al otro miembro y multiplicamos los dos miembros por $\boldsymbol{P}^{-1}$ por la izquierda:

   $\boldsymbol{P}\boldsymbol{X}$${}= 2\boldsymbol{R}-\boldsymbol{Q}$${}\Longrightarrow \boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{P}\boldsymbol{X}$${}= \boldsymbol{P}^{-1}(2\boldsymbol{R}-\boldsymbol{Q})$${}\Longrightarrow \boldsymbol{X}=\boldsymbol{P}^{-1}(2\boldsymbol{R}-\boldsymbol{Q})$

2. Calculamos $2\boldsymbol{R}-\boldsymbol{Q}$ elemento a elemento:

   $2\boldsymbol{R}-\boldsymbol{Q}$${}= \begin{pmatrix}2&4&6\\2&2&2\\6&4&2\end{pmatrix}$${}-\begin{pmatrix}2&2&2\\2&2&2\\2&2&2\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}0&2&4\\0&0&0\\4&2&0\end{pmatrix}$

3. Multiplicamos, fila por columna, la inversa del apartado a) por esta matriz:

   $\boldsymbol{X}$${}= \begin{pmatrix}1&-1&1\\-2&3&-2\\-1&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&2&4\\0&0&0\\4&2&0\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}4&4&4\\-8&-8&-8\\0&-2&-4\end{pmatrix}$

4. Por ejemplo, el elemento de la fila 2 y la columna 2 es $(-2)\cdot 2+3\cdot 0+(-2)\cdot 2=-8$.

5. Comprobación: $\boldsymbol{P}\boldsymbol{X}$ debe ser $2\boldsymbol{R}-\boldsymbol{Q}$. Por ejemplo, la primera fila de $\boldsymbol{P}$ por la primera columna de $\boldsymbol{X}$ da $2\cdot 4+1\cdot(-8)+(-1)\cdot 0=0$, que es el elemento que corresponde.

Planteamiento Se pide el valor de $a$ para que la tangente en $x=1$ pase por $(2,13)$. Escribimos la tangente en función de $a$ con $y-f_a(1)=f_a'(1)(x-1)$ e imponemos el punto.

1. Punto de tangencia: la ordenada no depende de $a$, así que es $(1,7)$ para cualquier $a$:

   $f_a(1)=a+2+5-a=7$

2. Pendiente:

   $f_a'(x)=2ax+2$$f_a'(1)=2a+2$

3. Recta tangente en función de $a$:

   $y-7=(2a+2)(x-1)$

4. Imponemos que pase por $(2,13)$:

   $13-7$${}= (2a+2)(2-1)$${}\Longrightarrow 6=2a+2$${}\Longrightarrow a=2$

5. Comprobación: para $a=2$ la tangente es $y-7=6(x-1)$, es decir, $y=6x+1$, y en $x=2$ da $y=13$.

Planteamiento Se piden los puntos comunes de $y=f_1(x)$ e $y=f_3(x)$: igualamos las dos expresiones y resolvemos la ecuación.

1. Las dos parábolas, con $a=1$ y con $a=3$:

   $f_1(x)=x^2+2x+4$$f_3(x)=3x^2+2x+2$

2. Igualamos:

   $x^2+2x+4$${}= 3x^2+2x+2$${}\Longrightarrow 2x^2-2=0$${}\Longrightarrow x^2$${}= 1$${}\Longrightarrow x=\pm 1$

3. Ordenadas:

   $f_1(1)=1+2+4=7$$f_1(-1)=1-2+4=3$

4. Comprobamos con la otra parábola: $f_3(1)=3+2+2=7$ y $f_3(-1)=3-2+2=3$.

Planteamiento Se pide el área encerrada entre las dos parábolas. Es la integral, entre los puntos de corte $x=-1$ y $x=1$ (apartado b), de la función de arriba menos la de abajo.

1. Cuál está por encima: en $(-1,1)$ la diferencia es positiva (por ejemplo, en $x=0$ vale $2$), así que $f_1$ queda por encima de $f_3$:

   $f_1(x)-f_3(x)=-2x^2+2$

2. Área, con la regla de Barrow:

   $A$${}= \int_{-1}^{1}\left(-2x^2+2\right)dx$${}= \left[-\frac{2x^3}{3}+2x\right]_{-1}^{1}$

3. Sustituimos los límites de integración:

   $A$${}= \left(-\frac{2}{3}+2\right)-\left(\frac{2}{3}-2\right)$${}= \frac{4}{3}+\frac{4}{3}$${}= \frac{8}{3}$

Resultado$A=\dfrac{8}{3}\ \text{u}^2\approx 2{,}67\ \text{u}^2$

La pauta oficial da: $\frac{8}{3}\ \text{u}^2$

Planteamiento Se pide la probabilidad de que una solución sea correcta. Depende de quién la ha hecho (Rut o Internet), y eso lo decide el dado: usamos el teorema de la probabilidad total.

1. Sucesos: $R$ = «la resuelve Rut» (dado 1, 2, 3 o 4), $I$ = «la copia de Internet» (dado 5 o 6) y $C$ = «la solución es correcta». Con un dado equilibrado:

   $P(R)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$$P(I)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

2. Probabilidades condicionadas del enunciado:

   $P(C\mid R)=0{,}75$$P(C\mid I)=0{,}4$

3. Teorema de la probabilidad total:

   $P(C)$${}= P(C\mid R)\,P(R)$${}+P(C\mid I)\,P(I)$${}= 0{,}75\cdot\frac{2}{3}+0{,}4\cdot\frac{1}{3}$${}= 0{,}5+\frac{2}{15}$${}= \frac{19}{30}$

Planteamiento Sabemos que la solución es correcta y queremos la probabilidad de que la haya resuelto Rut: es $P(R\mid C)$, que calculamos con la fórmula de Bayes.

1. Fórmula de Bayes, con $P(C)=\frac{19}{30}$ del apartado a):

   $P(R\mid C)$${}= \frac{P(C\mid R)\,P(R)}{P(C)}$${}= \frac{0{,}75\cdot\frac{2}{3}}{\frac{19}{30}}$${}= \frac{0{,}5}{\frac{19}{30}}$${}= \frac{15}{19}$

Planteamiento Se pide la probabilidad de al menos 4 problemas correctos de 5. Suponemos que cada problema se hace de manera independiente (un dado para cada problema): cada uno es correcto con probabilidad $p=P(C)=\frac{19}{30}$ y el número $X$ de problemas correctos sigue una binomial $B(5,p)$. Queremos $P(X\ge 4)=P(X=4)+P(X=5)$.

1. Probabilidad de éxito y de fracaso:

   $p=\frac{19}{30}\approx 0{,}6333$$q=1-p=\frac{11}{30}\approx 0{,}3667$

2. Fórmula de la binomial, $P(X=k)=\binom{5}{k}p^k q^{5-k}$, para 4 correctos:

   $P(X=4)$${}= \binom{5}{4}p^4q$${}= 5\cdot 0{,}1609\cdot 0{,}3667$${}\approx 0{,}2950$

3. Para 5 correctos:

   $P(X=5)=\binom{5}{5}p^5\approx 0{,}1019$

4. Sumamos las dos probabilidades:

   $P(X\ge 4)$${}= 0{,}2950+0{,}1019$${}= 0{,}3969$

Planteamiento Se piden el perímetro y el área del decorado en función de $x$ e $y$. En la figura, $x$ es el radio del semicírculo superior e $y$ el del semicírculo de la derecha; por tanto, el rectángulo mide $2x$ de ancho y $2y$ de alto.

1. El contorno lo forman el lado inferior ($2x$), el izquierdo ($2y$), la semicircunferencia superior (la mitad de $2\pi x$) y la de la derecha (la mitad de $2\pi y$):

   $P(x,y)$${}= 2x+2y+\pi x+\pi y$${}= (2+\pi)(x+y)$

2. El área es la del rectángulo más la de los dos semicírculos:

   $A(x,y)$${}= 2x\cdot 2y+\frac{\pi x^2}{2}+\frac{\pi y^2}{2}$${}= 4xy+\frac{\pi}{2}\left(x^2+y^2\right)$

Planteamiento Se piden las medidas y el área del decorado de área máxima con un perímetro de $10$ m. Con la condición del perímetro escribimos $y$ en función de $x$, de modo que el área depende de una sola variable; la derivamos y buscamos el máximo.

1. Condición del perímetro (en metros):

   $(2+\pi)(x+y)=10\ \Longrightarrow\ y=\frac{10}{2+\pi}-x$

2. Llamamos $s=\frac{10}{2+\pi}\approx 1{,}945$ m, de modo que $y=s-x$, con $0\le x\le s$. El área en función solo de $x$:

   $A(x)$${}= 4x(s-x)$${}+\frac{\pi}{2}\left(x^2+(s-x)^2\right)$

3. Derivamos:

   $A'(x)$${}= 4s-8x$${}+\frac{\pi}{2}\left(2x-2(s-x)\right)$${}= (2\pi-8)x+(4-\pi)s$

4. Punto crítico:

   $A'(x)=0$${}\Longleftrightarrow (8-2\pi)x$${}= (4-\pi)s$${}\Longleftrightarrow x=\frac{(4-\pi)s}{2(4-\pi)}$${}= \frac{s}{2}$

5. Derivada segunda, negativa para cualquier $x$ porque $2\pi\approx 6{,}28<8$: el punto crítico es un máximo, y es el máximo absoluto en $[0,s]$ porque $A'$ es decreciente en él.

   $A''(x)=2\pi-8<0$

6. Medidas: $x$ e $y$ son iguales.

   $x=y=\frac{s}{2}=\frac{5}{2+\pi}\approx 0{,}9725\ \text{m}$

7. El rectángulo es, por tanto, un cuadrado de lado $2x=\frac{10}{2+\pi}\approx 1{,}945$ m, y los dos semicírculos tienen el mismo radio, $\approx 0{,}9725$ m.

8. Área máxima, con $x=y=\frac{5}{2+\pi}$:

   $A$${}= 4x^2+\pi x^2$${}= (4+\pi)\cdot\frac{25}{(2+\pi)^2}$${}= \frac{25(4+\pi)}{(2+\pi)^2}$${}\approx 6{,}754\ \text{m}^2$

Planteamiento Se pide la posición relativa de $r$ y $s$ y un plano por el origen paralelo a ambas. Comparamos los vectores directores; como no son proporcionales, miramos con un determinante si las rectas están en un mismo plano. El plano tiene como vector normal el producto vectorial de los dos vectores directores.

1. Un punto y un vector director de cada recta:

   $P_r=(5,4,3),\ \vec u=(4,3,-1)$$P_s=(4,3,-1),\ \vec v=(2,1,0)$

2. $\vec u$ y $\vec v$ no son proporcionales ($\frac{4}{2}\neq\frac{3}{1}$): las rectas no son paralelas, así que se cortan o se cruzan.

3. Determinante formado por $\overrightarrow{P_rP_s}=(-1,-1,-4)$, $\vec u$ y $\vec v$ (regla de Sarrus):

   $\begin{vmatrix}-1&-1&-4\\4&3&-1\\2&1&0\end{vmatrix}$${}= (0+2-16)$${}-(-24+1+0)$${}= 9$${}\neq 0$

4. Los tres vectores no son coplanarios: las rectas no están en un mismo plano, es decir, se cruzan.

5. Un plano paralelo a las dos rectas contiene las direcciones $\vec u$ y $\vec v$; su vector normal es el producto vectorial:

   $\vec n$${}= \vec u\times\vec v$${}= \begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\4&3&-1\\2&1&0\end{vmatrix}$${}= (1,-2,-2)$

6. El plano pasa por el origen $(0,0,0)$, así que el término independiente es $0$:

   $\pi\colon\ x-2y-2z=0$

7. Observación: el punto $P_s=(4,3,-1)$ cumple la ecuación ($4-6+2=0$), así que la recta $s$ está contenida en este plano; la recta $r$ es paralela a él sin tocarlo ($P_r$ da $5-8-6=-9\neq 0$). Es el único plano por el origen que contiene las dos direcciones. Si «paralelo» se entendiera en sentido estricto (sin ningún punto en común), no habría ningún plano que cumpliera el enunciado.

Planteamiento Se pide la recta $t$ que corta $r$ y $s$ formando ángulo recto con ambas (la perpendicular común). Tomamos un punto genérico de cada recta e imponemos que el vector que los une sea perpendicular a $\vec u$ y a $\vec v$ (dos productos escalares nulos).

1. Puntos genéricos de $r$ (parámetro $\lambda$) y de $s$ (parámetro $\mu$):

   $R=(5+4\lambda,\ 4+3\lambda,\ 3-\lambda)$$S=(4+2\mu,\ 3+\mu,\ -1)$

2. Vector que los une:

   $\overrightarrow{RS}$${}= (-1-4\lambda+2\mu,\ -1-3\lambda+\mu,\ -4+\lambda)$

3. Perpendicular a $\vec u=(4,3,-1)$:

   $4(-1-4\lambda+2\mu)$${}+3(-1-3\lambda+\mu)$${}-(-4+\lambda)$${}= -26\lambda+11\mu-3=0$

4. Perpendicular a $\vec v=(2,1,0)$:

   $2(-1-4\lambda+2\mu)$${}+(-1-3\lambda+\mu)$${}= -11\lambda+5\mu-3=0$

5. De la segunda ecuación, $\mu=\frac{3+11\lambda}{5}$; sustituyendo en la primera y multiplicando por $5$, $-130\lambda+33+121\lambda-15=0$, es decir, $18-9\lambda=0$:

   $\lambda=2$$\mu=\frac{3+22}{5}=5$

6. Los puntos donde $t$ corta cada recta:

   $R=(13,10,1)\in r$$S=(14,8,-1)\in s$$\overrightarrow{RS}=(1,-2,-2)$

7. $\overrightarrow{RS}$ es el vector $\vec u\times\vec v$ del apartado a), perpendicular a las dos rectas, como debía ser. La recta $t$ pasa por $R$ con esta dirección:

   $t\colon\ \frac{x-13}{1}=\frac{y-10}{-2}=\frac{z-1}{-2}$