Matemáticas, PAU 2026 de Cataluña: el examen de junio (serie 5) resuelto

Planteamiento Se piden los valores de $k$ para los cuales $\boldsymbol{M}\boldsymbol{N}$ tiene inversa. $\boldsymbol{M}$ es $2\times 3$ y $\boldsymbol{N}$ es $3\times 2$, así que $\boldsymbol{M}\boldsymbol{N}$ es $2\times 2$; es invertible si y solo si su determinante no es cero.

1. Producto, fila por columna:

   $\boldsymbol{M}\boldsymbol{N}$${}= \begin{pmatrix}3&3&0\\k-1&-1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&1\\k-1&0\\0&2\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}9+3(k-1)&3\\3(k-1)-(k-1)&(k-1)-2\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}3k+6&3\\2k-2&k-3\end{pmatrix}$

2. Determinante:

   $|\boldsymbol{M}\boldsymbol{N}|$${}= (3k+6)(k-3)$${}-3(2k-2)$${}= 3k^2-9k-12$${}= 3\left(k^2-3k-4\right)$

3. Se anula cuando:

   $k^2-3k-4=0$${}\Longleftrightarrow k=\frac{3\pm\sqrt{9+16}}{2}$${}= \frac{3\pm 5}{2}$${}\Longleftrightarrow k=4$$\text{o}\ \ \ k=-1$

Planteamiento Se piden los valores de $k$ para los cuales $\boldsymbol{N}\boldsymbol{M}$, que es $3\times 3$, tiene inversa. Calculamos el producto y estudiamos su determinante.

1. Producto, fila por columna:

   $\boldsymbol{N}\boldsymbol{M}$${}= \begin{pmatrix}3&1\\k-1&0\\0&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&3&0\\k-1&-1&-1\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}k+8&8&-1\\3k-3&3k-3&0\\2k-2&-2&-2\end{pmatrix}$

2. Las columnas son linealmente dependientes: la primera es la segunda menos $k$ veces la tercera, para cualquier $k$:

   $\begin{pmatrix}8\\3k-3\\-2\end{pmatrix}$${}-k\begin{pmatrix}-1\\0\\-2\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}k+8\\3k-3\\2k-2\end{pmatrix}$

3. Un determinante con una columna que es combinación lineal de las otras vale cero:

   $|\boldsymbol{N}\boldsymbol{M}|=0\quad\text{para todo }k$

4. Otra forma de verlo: el rango de un producto no supera el de ninguno de los factores, y $\boldsymbol{N}$ solo tiene dos columnas, así que $\operatorname{rango}(\boldsymbol{N}\boldsymbol{M})\le 2<3$.

Planteamiento Se pide para qué $m$, $n$ y $k$ el sistema, de dos ecuaciones y tres incógnitas, tiene infinitas soluciones. Usamos el teorema de Rouché-Frobenius: comparamos el rango de la matriz de coeficientes, $\boldsymbol{M}$, con el de la ampliada, $\boldsymbol{M}^*$, y con el número de incógnitas.

1. Escrito con ecuaciones:

   $\begin{cases}3x+3y=m\\ (k-1)x-y-z=n\end{cases}$

2. El menor de $\boldsymbol{M}$ formado por las columnas de $y$ y $z$ no depende de ningún parámetro y no es cero:

   $\begin{vmatrix}3&0\\-1&-1\end{vmatrix}$${}= -3$${}\neq 0$${}\Longrightarrow \operatorname{rango}\boldsymbol{M}$${}= 2$

3. La matriz ampliada solo tiene 2 filas, así que su rango es como máximo 2; y contiene ese menor, así que también es 2:

   $\operatorname{rango}\boldsymbol{M}^*=2$

4. Los dos rangos son iguales y menores que el número de incógnitas ($2<3$): por el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible indeterminado (con un grado de libertad), sean cuales sean $m$, $n$ y $k$.

Planteamiento Se pide la probabilidad de que el alumno haga al menos cuatro horas de deporte a la semana. Depende de si lee o no al menos dos libros al mes, que son los dos grupos de la encuesta: usamos el teorema de la probabilidad total.

1. Sucesos: $L$ = «lee como mínimo dos libros al mes» y $E$ = «hace deporte al menos cuatro horas a la semana». Datos:

   $P(L)=0{,}6$$P(E\mid L)=0{,}7$$P(\overline E\mid\overline L)=0{,}5$

2. Complementarios:

   $P(\overline L)=0{,}4$$P(E\mid\overline L)=1-0{,}5=0{,}5$$P(\overline E\mid L)=1-0{,}7=0{,}3$

3. Teorema de la probabilidad total:

   $P(E)$${}= P(L)\,P(E\mid L)$${}+P(\overline L)\,P(E\mid\overline L)$${}= 0{,}6\cdot 0{,}7+0{,}4\cdot 0{,}5$${}= 0{,}42+0{,}20$${}= 0{,}62$

Planteamiento Sabemos que hace menos de cuatro horas de deporte ($\overline E$) y queremos la probabilidad de que lea al menos dos libros al mes: es $P(L\mid\overline E)$, que calculamos con la fórmula de Bayes.

1. Probabilidad de $\overline E$, con el apartado anterior:

   $P(\overline E)=1-0{,}62=0{,}38$

2. Fórmula de Bayes:

   $P(L\mid\overline E)$${}= \frac{P(\overline E\mid L)\,P(L)}{P(\overline E)}$${}= \frac{0{,}3\cdot 0{,}6}{0{,}38}$${}= \frac{0{,}18}{0{,}38}$${}= \frac{9}{19}$

Planteamiento Se piden el máximo y el mínimo absolutos de $y(x)=7-x+\ln(2x-1)$ en el intervalo $[1,6]$, que es donde varía $x$. Una función continua en un intervalo cerrado tiene en él máximo y mínimo absolutos, y están en un punto crítico del interior o en un extremo del intervalo.

1. Derivada (en $[1,6]$, $2x-1>0$):

   $y'(x)=-1+\frac{2}{2x-1}=\frac{3-2x}{2x-1}$

2. Punto crítico:

   $y'(x)=0\ \Longleftrightarrow\ 3-2x=0\ \Longleftrightarrow\ x=\frac{3}{2}$

3. Signo: el denominador es positivo; $y'>0$ en $\left[1,\frac{3}{2}\right)$ e $y'<0$ en $\left(\frac{3}{2},6\right]$. La función crece y después decrece: en $x=\frac{3}{2}$ está el máximo absoluto.

4. Valores en el punto crítico y en los extremos del intervalo:

   $y(1)=7-1+\ln 1=6$$y\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{11}{2}+\ln 2\approx 6{,}19$$y(6)=1+\ln 11\approx 3{,}40$

5. El valor más grande es $y\left(\frac{3}{2}\right)$ y el más pequeño, $y(6)$: la función decrece de $\frac{3}{2}$ a $6$ e $y(6)$ es menor que $y(1)=6$.

ResultadoSegún el modelo, Alba ha hecho como máximo $\frac{11}{2}+\ln 2\approx 6{,}19$ horas de deporte a la semana (las semanas que leía $1{,}5$ horas) y como mínimo $1+\ln 11\approx 3{,}40$ horas (las que leía $6$ horas).

La pauta oficial da: máximo $\approx 6{,}19$ h; mínimo $\approx 3{,}4$ h

Planteamiento Se pide la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto $(-1,-1)$, $y-f(-1)=f'(-1)\,(x+1)$. La pendiente, $f'(-1)$, se lee en la gráfica de $f'$.

1. En la gráfica, la curva de $f'$ pasa por el punto $(-1,2)$:

   $f'(-1)=2$

2. Recta tangente por el punto $(-1,-1)$ con pendiente $2$:

   $y-(-1)$${}= 2\left(x-(-1)\right)$${}\Longrightarrow y+1$${}= 2(x+1)$${}\Longrightarrow y=2x+1$

Planteamiento Se piden los puntos críticos de $f$ (donde $f'=0$) y su clasificación. Los leemos en la gráfica de $f'$: son los puntos donde la curva toca el eje de abscisas. Los clasificamos con el signo de $f'$ a cada lado y, si no cambia, con el crecimiento de $f'$ (que es el signo de $f''$).

1. La gráfica de $f'$ toca el eje $OX$ en tres puntos:

   $f'(-2)=0$$f'(0)=0$$f'(1)=0$

2. $x=-2$: antes, $f'<0$ ($f$ decrece) y después, $f'>0$ ($f$ crece). Es un mínimo relativo de $f$.

3. $x=1$: antes, $f'>0$ ($f$ crece) y después, $f'<0$ ($f$ decrece). Es un máximo relativo de $f$.

4. $x=0$: $f'$ es positiva a ambos lados, así que $f$ crece antes y después y no hay extremo. En cambio, $f'$ tiene ahí un mínimo: decrece justo antes de $0$ ($f''<0$, $f$ cóncava hacia abajo) y crece justo después ($f''>0$, $f$ cóncava hacia arriba). La concavidad cambia: es un punto de inflexión de $f$, con tangente horizontal.

Planteamiento Se pide el área entre la gráfica de $f'$ y el eje $OX$ entre $x=-1$ y $x=0$. Como $f$ es una primitiva de $f'$, la regla de Barrow permite calcular la integral con los valores $f(0)$ y $f(-1)$, sin conocer la expresión de $f'$.

1. En $[-1,0]$ la gráfica de $f'$ está por encima del eje ($f'\ge 0$; solo se anula en $x=0$): el área es la integral, sin valor absoluto.

2. Regla de Barrow, con $f(0)=-0{,}2$ y $f(-1)=-1$ (el punto de la gráfica de $f$ del enunciado):

   $A$${}= \int_{-1}^{0}f'(x)\,dx$${}= \big[f(x)\big]_{-1}^{0}$${}= f(0)-f(-1)$${}= -0{,}2-(-1)$${}= 0{,}8$

3. Observación: la gráfica dibujada y el dato $f(0)=-0{,}2$ no encajan del todo. Si se mide el área sobre la cuadrícula, sale algo menos de $0{,}8$ (unas $0{,}72$ unidades cuadradas). El enunciado da $f(0)$ para que el área se calcule con la regla de Barrow, y con ese dato el área es $0{,}8$.

Planteamiento El sensor va en línea recta de $A$ a $B$: la distancia recorrida es la longitud del segmento $AB$, el módulo del vector $\overrightarrow{AB}$.

1. Vector entre los dos puntos (final menos inicial):

   $\overrightarrow{AB}$${}= B-A$${}= (5-1,\ 3-2,\ 7-3)$${}= (4,1,4)$

2. Módulo:

   $d(A,B)$${}= \left|\overrightarrow{AB}\right|$${}= \sqrt{4^2+1^2+4^2}$${}= \sqrt{33}$${}\approx 5{,}74\ \text{cm}$

Planteamiento Se pide la distancia del punto final, $B$, al plano $\pi$. Pasamos el plano a la ecuación general y usamos la fórmula de la distancia de un punto a un plano.

1. Vector normal del plano, producto vectorial de sus dos vectores directores:

   $\vec n$${}= (1,1,0)\times(0,0,1)$${}= \begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\1&1&0\\0&0&1\end{vmatrix}$${}= (1,-1,0)$

2. Ecuación general, con el punto $(6,1,1)$ del plano:

   $1\cdot(x-6)$${}-1\cdot(y-1)$${}+0\cdot(z-1)=0$${}\Longrightarrow \pi\colon\ x-y-5=0$

3. Distancia de $B=(5,3,7)$ al plano:

   $d(B,\pi)$${}= \frac{|5-3-5|}{\sqrt{1^2+(-1)^2+0^2}}$${}= \frac{3}{\sqrt{2}}$${}= \frac{3\sqrt{2}}{2}$${}\approx 2{,}12\ \text{cm}$

Planteamiento Se pide dónde la recta $AB$, recorrida en el sentido de $A$ hacia $B$, corta el plano $\pi$. Escribimos la recta en forma paramétrica y la sustituimos en la ecuación del plano.

1. Recta que pasa por $A$ con vector director $\overrightarrow{AB}$:

   $(x,y,z)$${}= (1,2,3)+\lambda(4,1,4)$${}= (1+4\lambda,\ 2+\lambda,\ 3+4\lambda)$

2. Sustituimos en $\pi\colon x-y-5=0$:

   $(1+4\lambda)-(2+\lambda)-5=0$${}\Longrightarrow 3\lambda-6=0$${}\Longrightarrow \lambda=2$

3. $\lambda=0$ es $A$ y $\lambda=1$ es $B$; $\lambda=2$ está más allá de $B$, en el mismo sentido del movimiento, como dice el enunciado. Punto de choque:

   $(1,2,3)+2\,(4,1,4)=(9,4,11)$

4. Comprobación: $9-4-5=0$, el punto está en el plano.