Integrales: ejercicios de la PAU de Matemáticas resueltos

Planteamiento Cada trozo es una función continua (exponencial, polinómica y constante) en su intervalo, así que solo hay que imponer la continuidad en los puntos donde cambia la fórmula, $x=0$ y $x=2$: los límites laterales y el valor de la función deben coincidir.

1. En $x=0$:

   $\lim_{x\to 0^-}5e^{2x}=5=f(0)$$\lim_{x\to 0^+}\left((x+m)^2+1\right)$${}= m^2+1$

2. Igualamos los dos valores:

   $m^2+1=5\ \Longrightarrow\ m^2=4\ \Longrightarrow\ m=2$$\text{o}\ \ m=-2$

3. En $x=2$:

   $\lim_{x\to 2^-}\left((x+m)^2+1\right)$${}= (2+m)^2+1$$f(2)=\lim_{x\to 2^+}1=1$

4. Igualamos los dos valores:

   $(2+m)^2+1$${}= 1$${}\Longrightarrow (2+m)^2=0$${}\Longrightarrow m=-2$

5. Las dos condiciones se cumplen a la vez solo para $m=-2$.

Planteamiento Para $m=-2$ la función es positiva en todas partes, de modo que el área es la integral definida de $f$ entre $-1$ y $3$, separada en los tres trozos.

1. Para $m=-2$, la función es:

   $f(x)$${}= \begin{cases}5e^{2x} & x\le 0\\ (x-2)^2+1 & 0<x<2\\ 1 & 2\le x\end{cases}$

2. Esbozo: el primer trozo es una exponencial creciente que tiende a $0$ hacia $-\infty$ y vale $5$ en $x=0$; el segundo es una parábola con vértice en $(2,1)$ que baja de $5$ a $1$; el tercero es la recta horizontal $y=1$. La función es continua y siempre positiva.

3. Planteamos el área:

   $A$${}= \int_{-1}^{0}5e^{2x}\,dx$${}+\int_{0}^{2}\left((x-2)^2+1\right)dx$${}+\int_{2}^{3}1\,dx$

4. Trozo exponencial:

   $\int_{-1}^{0}5e^{2x}\,dx$${}= \left[\frac{5}{2}e^{2x}\right]_{-1}^{0}$${}= \frac{5}{2}-\frac{5}{2e^{2}}$

5. Trozo parabólico:

   $\int_{0}^{2}\left((x-2)^2+1\right)dx$${}= \left[\frac{(x-2)^3}{3}+x\right]_{0}^{2}$${}= 2-\left(-\frac{8}{3}\right)$${}= \frac{14}{3}$

6. Trozo constante:

   $\int_{2}^{3}1\,dx=1$

7. Sumamos:

   $A$${}= \frac{5}{2}-\frac{5}{2e^{2}}+\frac{14}{3}+1$${}= \frac{49}{6}-\frac{5}{2e^{2}}$${}\approx 7{,}83\ \text{u}^2$

Resultado$A=\dfrac{49}{6}-\dfrac{5}{2e^{2}}\approx 7{,}83\ \text{u}^2$

La pauta oficial da: $\frac{5}{2}-\frac{5}{2e^{2}}+\frac{8}{3}+3-2\approx 7{,}83\ \mathrm{u}^2$

Planteamiento Una recta paralela a $y=-2x$ tiene pendiente $-2$, y la pendiente de la tangente es la derivada. Buscamos dónde $f'(x)=-2$.

1. En el primer trozo la derivada es positiva y en el tercero es cero, así que el punto debe estar en el trozo parabólico:

   $(5e^{2x})'=10e^{2x}>0$$(1)'=0$

2. Derivamos el trozo del medio e igualamos a $-2$:

   $f'(x)$${}= 2(x-2)$${}= -2$${}\Longrightarrow x=1\in(0,2)$

3. Calculamos la ordenada:

   $f(1)=(1-2)^2+1=2$

4. Ecuación de la recta tangente:

   $y-2=-2(x-1)\ \Longrightarrow\ y=-2x+4$

Planteamiento Se pide cuántos puntos comunes tienen las dos gráficas y cuáles son. Igualamos $f(x)=g(x)$; como $g$ no está definida en $x=-1$, trabajamos con $x\neq -1$ y podemos multiplicar por $x+1$.

1. Igualamos las dos funciones y multiplicamos por $x+1$:

   $-x^2+5x$${}= 8-\frac{8}{x+1}$${}\Longrightarrow \left(-x^2+5x\right)(x+1)$${}= 8(x+1)-8$

2. Desarrollamos y lo pasamos todo a un miembro:

   $-x^3+4x^2+5x$${}= 8x$${}\Longrightarrow -x^3+4x^2-3x=0$${}\Longrightarrow -x\left(x^2-4x+3\right)=0$

3. Una solución es $x=0$; las otras salen de la ecuación de segundo grado:

   $x=\frac{4\pm\sqrt{16-12}}{2}=\frac{4\pm 2}{2}\ \Longrightarrow\ x=1$$x=3$

4. Ninguna es $x=-1$, así que las tres son válidas. Ordenadas:

   $f(0)=0$$f(1)=-1+5=4$$f(3)=-9+15=6$

5. Comprobación con la hipérbola: $g(0)=8-8=0$, $g(1)=8-4=4$ y $g(3)=8-2=6$.

Planteamiento Se pide el área entre las dos curvas de $x=1$ a $x=3$. Entre estos dos puntos de corte no hay ningún otro, así que una curva queda siempre por encima de la otra; el área es la integral de la de arriba menos la de abajo.

1. Cuál está por encima: en $x=2$, $f(2)=6$ y $g(2)=8-\frac{8}{3}\approx 5{,}33$; por tanto, en $(1,3)$ la parábola está por encima de la hipérbola:

   $f(x)-g(x)$${}= -x^2+5x-8+\frac{8}{x+1}$

2. Primitiva (la de $\frac{8}{x+1}$ es $8\ln(x+1)$, porque $x+1>0$):

   $A$${}= \int_1^3\left(-x^2+5x-8+\frac{8}{x+1}\right)dx$${}= \left[-\frac{x^3}{3}+\frac{5x^2}{2}-8x+8\ln(x+1)\right]_1^3$

3. Regla de Barrow:

   $A$${}= \left(-9+\frac{45}{2}-24+8\ln 4\right)$${}-\left(-\frac{1}{3}+\frac{5}{2}-8+8\ln 2\right)$${}= -\frac{21}{2}+\frac{35}{6}+8\ln 4-8\ln 2$

4. Como $\ln 4=2\ln 2$:

   $A=-\frac{14}{3}+8\ln 2\approx 0{,}8785$

Resultado$A=8\ln 2-\dfrac{14}{3}\approx 0{,}8785\ \text{u}^2$

La pauta oficial da: $-\frac{26}{3}+4+8\ln 2=0{,}878\ldots\ \text{u}^2$

Planteamiento Se pide comprobar dos propiedades de $f$ (las raíces y la ordenada del vértice) y justificar que ninguna otra parábola las tiene. Para la unicidad, escribimos una parábola cualquiera con esas raíces e imponemos la ordenada del vértice.

1. Raíces:

   $f(0)=-0^2+5\cdot 0=0$$f(5)=-25+25=0$

2. Vértice: es el punto donde se anula la derivada (aquí, el máximo de la parábola):

   $f'(x)=-2x+5=0\ \Longrightarrow\ x=\frac{5}{2}$$f\left(\frac{5}{2}\right)=-\frac{25}{4}+\frac{25}{2}=\frac{25}{4}=6{,}25$

3. Unicidad: una parábola $y=ax^2+bx+c$ ($a\neq 0$) que se anula en $x=0$ y en $x=5$ se factoriza con esas dos raíces:

   $y=ax(x-5)$

4. El vértice está en el punto medio de las raíces, $x=\frac{0+5}{2}=\frac{5}{2}$, porque la parábola es simétrica respecto de la recta vertical que pasa por el vértice. Imponemos que su ordenada sea $6{,}25$:

   $a\cdot\frac{5}{2}\left(\frac{5}{2}-5\right)$${}= -\frac{25}{4}\,a$${}= 6{,}25$${}\Longrightarrow a=-1$

5. El único valor posible es $a=-1$, que da $y=-x(x-5)=-x^2+5x$: es la parábola $y=f(x)$.

Planteamiento Se pide la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto $(-1,-1)$, $y-f(-1)=f'(-1)\,(x+1)$. La pendiente, $f'(-1)$, se lee en la gráfica de $f'$.

1. En la gráfica, la curva de $f'$ pasa por el punto $(-1,2)$:

   $f'(-1)=2$

2. Recta tangente por el punto $(-1,-1)$ con pendiente $2$:

   $y-(-1)$${}= 2\left(x-(-1)\right)$${}\Longrightarrow y+1$${}= 2(x+1)$${}\Longrightarrow y=2x+1$

Planteamiento Se piden los puntos críticos de $f$ (donde $f'=0$) y su clasificación. Los leemos en la gráfica de $f'$: son los puntos donde la curva toca el eje de abscisas. Los clasificamos con el signo de $f'$ a cada lado y, si no cambia, con el crecimiento de $f'$ (que es el signo de $f''$).

1. La gráfica de $f'$ toca el eje $OX$ en tres puntos:

   $f'(-2)=0$$f'(0)=0$$f'(1)=0$

2. $x=-2$: antes, $f'<0$ ($f$ decrece) y después, $f'>0$ ($f$ crece). Es un mínimo relativo de $f$.

3. $x=1$: antes, $f'>0$ ($f$ crece) y después, $f'<0$ ($f$ decrece). Es un máximo relativo de $f$.

4. $x=0$: $f'$ es positiva a ambos lados, así que $f$ crece antes y después y no hay extremo. En cambio, $f'$ tiene ahí un mínimo: decrece justo antes de $0$ ($f''<0$, $f$ cóncava hacia abajo) y crece justo después ($f''>0$, $f$ cóncava hacia arriba). La concavidad cambia: es un punto de inflexión de $f$, con tangente horizontal.

Planteamiento Se pide el área entre la gráfica de $f'$ y el eje $OX$ entre $x=-1$ y $x=0$. Como $f$ es una primitiva de $f'$, la regla de Barrow permite calcular la integral con los valores $f(0)$ y $f(-1)$, sin conocer la expresión de $f'$.

1. En $[-1,0]$ la gráfica de $f'$ está por encima del eje ($f'\ge 0$; solo se anula en $x=0$): el área es la integral, sin valor absoluto.

2. Regla de Barrow, con $f(0)=-0{,}2$ y $f(-1)=-1$ (el punto de la gráfica de $f$ del enunciado):

   $A$${}= \int_{-1}^{0}f'(x)\,dx$${}= \big[f(x)\big]_{-1}^{0}$${}= f(0)-f(-1)$${}= -0{,}2-(-1)$${}= 0{,}8$

3. Observación: la gráfica dibujada y el dato $f(0)=-0{,}2$ no encajan del todo. Si se mide el área sobre la cuadrícula, sale algo menos de $0{,}8$ (unas $0{,}72$ unidades cuadradas). El enunciado da $f(0)$ para que el área se calcule con la regla de Barrow, y con ese dato el área es $0{,}8$.

Planteamiento El sensor va en línea recta de $A$ a $B$: la distancia recorrida es la longitud del segmento $AB$, el módulo del vector $\overrightarrow{AB}$.

1. Vector entre los dos puntos (final menos inicial):

   $\overrightarrow{AB}$${}= B-A$${}= (5-1,\ 3-2,\ 7-3)$${}= (4,1,4)$

2. Módulo:

   $d(A,B)$${}= \left|\overrightarrow{AB}\right|$${}= \sqrt{4^2+1^2+4^2}$${}= \sqrt{33}$${}\approx 5{,}74\ \text{cm}$

Planteamiento Se pide la distancia del punto final, $B$, al plano $\pi$. Pasamos el plano a la ecuación general y usamos la fórmula de la distancia de un punto a un plano.

1. Vector normal del plano, producto vectorial de sus dos vectores directores:

   $\vec n$${}= (1,1,0)\times(0,0,1)$${}= \begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\1&1&0\\0&0&1\end{vmatrix}$${}= (1,-1,0)$

2. Ecuación general, con el punto $(6,1,1)$ del plano:

   $1\cdot(x-6)$${}-1\cdot(y-1)$${}+0\cdot(z-1)=0$${}\Longrightarrow \pi\colon\ x-y-5=0$

3. Distancia de $B=(5,3,7)$ al plano:

   $d(B,\pi)$${}= \frac{|5-3-5|}{\sqrt{1^2+(-1)^2+0^2}}$${}= \frac{3}{\sqrt{2}}$${}= \frac{3\sqrt{2}}{2}$${}\approx 2{,}12\ \text{cm}$

Planteamiento Se pide dónde la recta $AB$, recorrida en el sentido de $A$ hacia $B$, corta el plano $\pi$. Escribimos la recta en forma paramétrica y la sustituimos en la ecuación del plano.

1. Recta que pasa por $A$ con vector director $\overrightarrow{AB}$:

   $(x,y,z)$${}= (1,2,3)+\lambda(4,1,4)$${}= (1+4\lambda,\ 2+\lambda,\ 3+4\lambda)$

2. Sustituimos en $\pi\colon x-y-5=0$:

   $(1+4\lambda)-(2+\lambda)-5=0$${}\Longrightarrow 3\lambda-6=0$${}\Longrightarrow \lambda=2$

3. $\lambda=0$ es $A$ y $\lambda=1$ es $B$; $\lambda=2$ está más allá de $B$, en el mismo sentido del movimiento, como dice el enunciado. Punto de choque:

   $(1,2,3)+2\,(4,1,4)=(9,4,11)$

4. Comprobación: $9-4-5=0$, el punto está en el plano.

Planteamiento Cada aerogenerador funciona con probabilidad $0{,}9$, independientemente de los demás. El número $X$ de aerogeneradores en marcha sigue una binomial $B(10;\,0{,}9)$. Para llegar a 1 000 MW deben funcionar los diez.

1. $P(X=10)=0{,}9^{10}\approx 0{,}3487$

Planteamiento Superar 150 MW significa que funcionen al menos 2 aerogeneradores ($2\cdot 100=200>150$, mientras que $1\cdot 100=100<150$). Es más fácil calcular lo contrario: que funcionen 0 o 1.

1. Ninguno en marcha (todos parados):

   $P(X=0)=0{,}1^{10}=10^{-10}$

2. Exactamente uno en marcha:

   $P(X=1)$${}= \binom{10}{1}\,0{,}9\cdot 0{,}1^{9}$${}= 9\cdot 10^{-9}$

3. Complementario:

   $P(X\ge 2)$${}= 1-10^{-10}-9\cdot 10^{-9}$${}= 1-9{,}1\cdot 10^{-9}$

Planteamiento La parte sombreada es la región cerrada entre $g(x)=8x$ y $f(x)=2x^3$. Buscamos los puntos de corte e integramos la diferencia de las funciones en cada trozo.

1. Puntos de corte:

   $2x^3$${}= 8x$${}\Longrightarrow 2x(x^2-4)=0$${}\Longrightarrow x=-2,\ 0,\ 2$

2. En $(0,2)$ la recta queda por encima ($8x>2x^3$); en $(-2,0)$, por debajo. Las dos hojas son simétricas respecto del origen (ambas funciones son impares):

   $\int_{0}^{2}(8x-2x^3)\,dx$${}= \left[4x^2-\frac{x^4}{2}\right]_0^2$${}= 16-8$${}= 8$
3. $\int_{-2}^{0}(2x^3-8x)\,dx$${}= \left[\frac{x^4}{2}-4x^2\right]_{-2}^{0}$${}= 0-(8-16)$${}= 8$

4. Área total sombreada:

   $A=8+8=16$

Resultado$A=16\ \text{m}^2$ (dos hojas de $8\ \text{m}^2$ cada una).

La pauta oficial da: $16\ \mathrm{m}^2$

Planteamiento Necesitamos el área de cada parte de la vela. Calculamos el área total bajo la parábola entre $x=0$ y $x=5$ y el área de la parte inferior (bajo $y=9$); la superior es la diferencia. Después multiplicamos cada área por su precio.

1. Puntos de corte (con $x\ge 0$):

   $-x^2+25=0\Rightarrow x=5$$-x^2+25=9\Rightarrow x=4$

2. Área total:

   $A_T$${}= \int_0^5(-x^2+25)\,dx$${}= \left[-\frac{x^3}{3}+25x\right]_0^5$${}= -\frac{125}{3}+125$${}= \frac{250}{3}$

3. Parte inferior: un rectángulo $4\times 9$ y, entre $x=4$ y $x=5$, la región bajo la parábola. Con la primitiva $F(x)=-\frac{x^3}{3}+25x$: $F(5)=\frac{250}{3}$ y $F(4)=\frac{236}{3}$.

   $A_{\text{inf}}$${}= \int_0^4 9\,dx$${}+\int_4^5(-x^2+25)\,dx$${}= 36+\left(\frac{250}{3}-\frac{236}{3}\right)$${}= 36+\frac{14}{3}$${}= \frac{122}{3}$

4. Parte superior:

   $A_{\text{sup}}=\frac{250}{3}-\frac{122}{3}=\frac{128}{3}$

5. Coste:

   $\frac{128}{3}\cdot 50+\frac{122}{3}\cdot 70$${}= \frac{6400+8540}{3}$${}= \frac{14940}{3}$${}= 4980$

ResultadoÁrea superior $\frac{128}{3}\ \text{u}^2$, área inferior $\frac{122}{3}\ \text{u}^2$; coste total $4\,980$ €.

La pauta oficial da: $4980\ €$

Planteamiento El plano $\pi'$ contiene la dirección $\overrightarrow{PQ}$ y, como es perpendicular a $\pi$, también contiene la dirección del vector normal de $\pi$. Su vector normal es el producto vectorial de ambas direcciones.

1. Direcciones:

   $\vec n_\pi=(1,1,0)$$\overrightarrow{PQ}=(2,-2,4)\parallel(1,-1,2)$

2. Vector normal de $\pi'$:

   $(1,1,0)\times(1,-1,2)$${}= \begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\1&1&0\\1&-1&2\end{vmatrix}$${}= (2,-2,-2)\parallel(1,-1,-1)$

3. Plano por $P$:

   $x-y-z+D=0$$1+1-2+D=0\Rightarrow D=0$

4. Comprobación con $Q$:

   $3+3-6=0$

Planteamiento Los puntos que equidistan de $P$ y $Q$ forman el plano mediador del segmento $PQ$ (perpendicular a $\overrightarrow{PQ}$ por el punto medio). La recta pedida es la intersección de ese plano con $\pi'$.

1. Punto medio:

   $M=\frac{P+Q}{2}=(2,-2,4)$

2. Plano mediador (normal $(1,-1,2)$):

   $x-y+2z=2+2+8=12$

3. Intersección con $\pi'$:

   $\begin{cases}x-y-z=0\\ x-y+2z=12\end{cases}$${}\Longrightarrow 3z=12$${}\Rightarrow z=4$$x-y=4$

4. Con $y=k$:

   $(x,y,z)$${}= (4+k,\ k,\ 4)$${}= (4,0,4)+k(1,1,0)$$k\in\mathbb{R}$

Planteamiento Se pide la probabilidad de que el filtro envíe un mensaje a la carpeta de basura. Puede llegar un mensaje basura o uno bueno: usamos el teorema de la probabilidad total.

1. Sucesos: $B$ = «el mensaje es basura» y $C$ = «el filtro lo envía a la carpeta de basura». Datos del enunciado:

   $P(B)=0{,}25$$P(\overline B)=0{,}75$$P(C\mid B)=0{,}95$$P(\overline C\mid\overline B)=0{,}90$

2. De los mensajes buenos, el filtro envía a la carpeta de basura el resto:

   $P(C\mid\overline B)=1-0{,}90=0{,}10$

3. Teorema de la probabilidad total:

   $P(C)$${}= P(C\mid B)\,P(B)$${}+P(C\mid\overline B)\,P(\overline B)$${}= 0{,}95\cdot 0{,}25+0{,}10\cdot 0{,}75$${}= 0{,}2375+0{,}075$${}= 0{,}3125$

Planteamiento En la carpeta de basura están los mensajes que el filtro ha enviado allí. Se pide qué proporción de esos mensajes no son basura: es $P(\overline B\mid C)$, que calculamos con la fórmula de Bayes.