Probabilidad y estadística: ejercicios de la PAU de Matemáticas resueltos

Planteamiento Calculamos qué proporción de seguidores acaba teniendo entrada (por el sorteo o por la web) y, como sabemos que el 16 % son exactamente 24 personas, pasamos de proporción a número de personas.

1. Sucesos: $E_S$ = «obtener entrada en el sorteo», $W$ = «intentar comprarla en la web», $E_W$ = «conseguirla en la web».

   $P(E_S)=0{,}16$

2. Intentan la web seis séptimas partes de los que no han ganado en el sorteo:

   $P(W)$${}= (1-0{,}16)\cdot\frac{6}{7}$${}= 0{,}84\cdot\frac{6}{7}$${}= 0{,}72$

3. De estos, el 25 % la consigue:

   $P(E_W)=0{,}72\cdot 0{,}25=0{,}18$

4. Proporción de seguidores con entrada:

   $P(E)=0{,}16+0{,}18=0{,}34$

5. El 16 % de los seguidores son las 24 personas del sorteo; por tanto, hay 150 seguidores:

   $N=\frac{24}{0{,}16}=150$

6. Personas con entrada:

   $0{,}34\cdot 150=51$

Planteamiento Es una probabilidad condicionada: sabemos que la persona no tiene entrada y queremos la probabilidad de que hubiera probado la web. Aplicamos la fórmula de Bayes.

1. Sea $\overline{E}$ = «no tener entrada». Del apartado anterior:

   $P(\overline{E})=1-0{,}34=0{,}66$

2. Si ha probado la web, no tiene entrada con probabilidad $1-0{,}25$:

   $P(\overline{E}\mid W)=0{,}75$

3. Fórmula de Bayes:

   $P(W\mid\overline{E})$${}= \frac{P(\overline{E}\mid W)\,P(W)}{P(\overline{E})}$${}= \frac{0{,}75\cdot 0{,}72}{0{,}66}$${}= \frac{0{,}54}{0{,}66}$${}= \frac{9}{11}$${}\approx 0{,}82$

Planteamiento Queremos saber si $S(t)$ llega a $100$. Definimos $D(t)=S(t)-100$, que es continua, y aplicamos el teorema de Bolzano; después vamos reduciendo el intervalo hasta tener la precisión de una décima.

1. $D$ es polinómica y, por tanto, continua en $[0,5]$:

   $D(t)$${}= S(t)-100$${}= -t^3+12t^2-30t$${}-10$

2. Valores en los extremos:

   $D(0)=-10<0$$D(5)$${}= -125+300-150-10$${}= 15$${}> 0$

3. Por el teorema de Bolzano existe $c\in(0,5)$ con $D(c)=0$, es decir, $S(c)=100$: los efectos se activan.

4. Antes de eso $S$ no llega a $100$: $S'(t)=-3t^2+24t-30$ se anula en $t=4-\sqrt{6}\approx 1{,}55$; $S$ decrece en $[0;\,1{,}55]$ (donde $S\le 90$) y después crece, así que solo atraviesa el valor $100$ una vez.

5. Acotamos la raíz:

   $D(4)=-2<0$$D(4{,}2)=1{,}592>0\ \Rightarrow\ c\in(4;\,4{,}2)$
6. $D(4{,}1)$${}= -0{,}201$${}< 0$${}\Rightarrow c\in(4{,}1;\,4{,}2)$

7. Para decidir el redondeo a las décimas miramos el punto medio:

   $D(4{,}15)$${}\approx 0{,}70$${}> 0$${}\Rightarrow c\in(4{,}1;\,4{,}15)$${}\Rightarrow c$${}\approx 4{,}1$

ResultadoSí; se activan a los $t\approx 4{,}1$ minutos.

La pauta oficial da: $\text{Sí}$, $t\approx 4{,}1\ \text{min}$

Planteamiento Se pide la probabilidad de que el alumno haga al menos cuatro horas de deporte a la semana. Depende de si lee o no al menos dos libros al mes, que son los dos grupos de la encuesta: usamos el teorema de la probabilidad total.

1. Sucesos: $L$ = «lee como mínimo dos libros al mes» y $E$ = «hace deporte al menos cuatro horas a la semana». Datos:

   $P(L)=0{,}6$$P(E\mid L)=0{,}7$$P(\overline E\mid\overline L)=0{,}5$

2. Complementarios:

   $P(\overline L)=0{,}4$$P(E\mid\overline L)=1-0{,}5=0{,}5$$P(\overline E\mid L)=1-0{,}7=0{,}3$

3. Teorema de la probabilidad total:

   $P(E)$${}= P(L)\,P(E\mid L)$${}+P(\overline L)\,P(E\mid\overline L)$${}= 0{,}6\cdot 0{,}7+0{,}4\cdot 0{,}5$${}= 0{,}42+0{,}20$${}= 0{,}62$

Planteamiento Sabemos que hace menos de cuatro horas de deporte ($\overline E$) y queremos la probabilidad de que lea al menos dos libros al mes: es $P(L\mid\overline E)$, que calculamos con la fórmula de Bayes.

1. Probabilidad de $\overline E$, con el apartado anterior:

   $P(\overline E)=1-0{,}62=0{,}38$

2. Fórmula de Bayes:

   $P(L\mid\overline E)$${}= \frac{P(\overline E\mid L)\,P(L)}{P(\overline E)}$${}= \frac{0{,}3\cdot 0{,}6}{0{,}38}$${}= \frac{0{,}18}{0{,}38}$${}= \frac{9}{19}$

Planteamiento Se piden el máximo y el mínimo absolutos de $y(x)=7-x+\ln(2x-1)$ en el intervalo $[1,6]$, que es donde varía $x$. Una función continua en un intervalo cerrado tiene en él máximo y mínimo absolutos, y están en un punto crítico del interior o en un extremo del intervalo.

1. Derivada (en $[1,6]$, $2x-1>0$):

   $y'(x)=-1+\frac{2}{2x-1}=\frac{3-2x}{2x-1}$

2. Punto crítico:

   $y'(x)=0\ \Longleftrightarrow\ 3-2x=0\ \Longleftrightarrow\ x=\frac{3}{2}$

3. Signo: el denominador es positivo; $y'>0$ en $\left[1,\frac{3}{2}\right)$ e $y'<0$ en $\left(\frac{3}{2},6\right]$. La función crece y después decrece: en $x=\frac{3}{2}$ está el máximo absoluto.

4. Valores en el punto crítico y en los extremos del intervalo:

   $y(1)=7-1+\ln 1=6$$y\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{11}{2}+\ln 2\approx 6{,}19$$y(6)=1+\ln 11\approx 3{,}40$

5. El valor más grande es $y\left(\frac{3}{2}\right)$ y el más pequeño, $y(6)$: la función decrece de $\frac{3}{2}$ a $6$ e $y(6)$ es menor que $y(1)=6$.

ResultadoSegún el modelo, Alba ha hecho como máximo $\frac{11}{2}+\ln 2\approx 6{,}19$ horas de deporte a la semana (las semanas que leía $1{,}5$ horas) y como mínimo $1+\ln 11\approx 3{,}40$ horas (las que leía $6$ horas).

La pauta oficial da: máximo $\approx 6{,}19$ h; mínimo $\approx 3{,}4$ h

Planteamiento Cada aerogenerador funciona con probabilidad $0{,}9$, independientemente de los demás. El número $X$ de aerogeneradores en marcha sigue una binomial $B(10;\,0{,}9)$. Para llegar a 1 000 MW deben funcionar los diez.

1. $P(X=10)=0{,}9^{10}\approx 0{,}3487$

Planteamiento Superar 150 MW significa que funcionen al menos 2 aerogeneradores ($2\cdot 100=200>150$, mientras que $1\cdot 100=100<150$). Es más fácil calcular lo contrario: que funcionen 0 o 1.

1. Ninguno en marcha (todos parados):

   $P(X=0)=0{,}1^{10}=10^{-10}$

2. Exactamente uno en marcha:

   $P(X=1)$${}= \binom{10}{1}\,0{,}9\cdot 0{,}1^{9}$${}= 9\cdot 10^{-9}$

3. Complementario:

   $P(X\ge 2)$${}= 1-10^{-10}-9\cdot 10^{-9}$${}= 1-9{,}1\cdot 10^{-9}$

Planteamiento La parte sombreada es la región cerrada entre $g(x)=8x$ y $f(x)=2x^3$. Buscamos los puntos de corte e integramos la diferencia de las funciones en cada trozo.

1. Puntos de corte:

   $2x^3$${}= 8x$${}\Longrightarrow 2x(x^2-4)=0$${}\Longrightarrow x=-2,\ 0,\ 2$

2. En $(0,2)$ la recta queda por encima ($8x>2x^3$); en $(-2,0)$, por debajo. Las dos hojas son simétricas respecto del origen (ambas funciones son impares):

   $\int_{0}^{2}(8x-2x^3)\,dx$${}= \left[4x^2-\frac{x^4}{2}\right]_0^2$${}= 16-8$${}= 8$
3. $\int_{-2}^{0}(2x^3-8x)\,dx$${}= \left[\frac{x^4}{2}-4x^2\right]_{-2}^{0}$${}= 0-(8-16)$${}= 8$

4. Área total sombreada:

   $A=8+8=16$

Resultado$A=16\ \text{m}^2$ (dos hojas de $8\ \text{m}^2$ cada una).

La pauta oficial da: $16\ \mathrm{m}^2$

Planteamiento Hay dos tipos de piezas con probabilidades de defecto distintas: usamos la fórmula de la probabilidad total. Las piezas de hierro defectuosas son el $100-95=5\,\%$.

1. Datos: $F$ = «de hierro», $A$ = «de acero», $D$ = «defectuosa».

   $P(F)=0{,}6$$P(A)=0{,}4$$P(D\mid F)=0{,}05$$P(D\mid A)=0{,}03$

2. Probabilidad total:

   $P(D)$${}= 0{,}6\cdot 0{,}05+0{,}4\cdot 0{,}03$${}= 0{,}03+0{,}012$${}= 0{,}042$

Planteamiento El número $X$ de piezas defectuosas en un paquete de 5 sigue una binomial $B(5,p)$, porque las piezas son independientes y cada una es defectuosa con probabilidad $p$.

1. Hay $\binom{5}{4}=5$ maneras de elegir cuál es la pieza buena, y cada configuración tiene probabilidad $p^4(1-p)$:

   $P(X=4)$${}= \binom{5}{4}p^4(1-p)$${}= 5p^4(1-p)$${}= 5(p^4-p^5)$

Planteamiento Buscamos los puntos críticos de $f$ para $p\ge 0$ y estudiamos el signo de la derivada para saber dónde crece y dónde decrece.

1. Derivada:

   $f'(p)$${}= 20p^3-25p^4$${}= 5p^3(4-5p)$

2. Puntos críticos:

   $f'(p)=0\ \Longrightarrow\ p=0$$\text{o}\ \ p=\frac{4}{5}$

3. Signo: $f'>0$ en $\left(0,\frac45\right)$ y $f'<0$ para $p>\frac45$. Por tanto $f$ crece hasta $\frac45$ y después decrece: en $p=\frac45$ está el máximo absoluto para $p\ge 0$.

4. Valor máximo:

   $f\left(\frac{4}{5}\right)$${}= 5\left(\frac{4}{5}\right)^4\left(1-\frac{4}{5}\right)$${}= \left(\frac{4}{5}\right)^4$${}= \frac{256}{625}$${}\approx 0{,}41$

Planteamiento Se pide la probabilidad de que el filtro envíe un mensaje a la carpeta de basura. Puede llegar un mensaje basura o uno bueno: usamos el teorema de la probabilidad total.

1. Sucesos: $B$ = «el mensaje es basura» y $C$ = «el filtro lo envía a la carpeta de basura». Datos del enunciado:

   $P(B)=0{,}25$$P(\overline B)=0{,}75$$P(C\mid B)=0{,}95$$P(\overline C\mid\overline B)=0{,}90$

2. De los mensajes buenos, el filtro envía a la carpeta de basura el resto:

   $P(C\mid\overline B)=1-0{,}90=0{,}10$

3. Teorema de la probabilidad total:

   $P(C)$${}= P(C\mid B)\,P(B)$${}+P(C\mid\overline B)\,P(\overline B)$${}= 0{,}95\cdot 0{,}25+0{,}10\cdot 0{,}75$${}= 0{,}2375+0{,}075$${}= 0{,}3125$

Planteamiento En la carpeta de basura están los mensajes que el filtro ha enviado allí. Se pide qué proporción de esos mensajes no son basura: es $P(\overline B\mid C)$, que calculamos con la fórmula de Bayes.

1. Fórmula de Bayes, con $P(C)=0{,}3125$ del apartado a):

   $P(\overline B\mid C)$${}= \frac{P(C\mid\overline B)\,P(\overline B)}{P(C)}$${}= \frac{0{,}10\cdot 0{,}75}{0{,}3125}$${}= \frac{0{,}075}{0{,}3125}$${}= 0{,}24$

Planteamiento Se pide el valor de la constante $A$. Calculamos la integral que define $F(t)$ con una primitiva (regla de Barrow) e imponemos que $F(2)=1-e^{-1}$.

1. Una primitiva de $Ae^{-0{,}5x}$ es $\frac{A}{-0{,}5}e^{-0{,}5x}=-2Ae^{-0{,}5x}$:

   $F(t)$${}= \int_0^t Ae^{-0{,}5x}\,dx$${}= \left[-2Ae^{-0{,}5x}\right]_0^t$${}= -2Ae^{-0{,}5t}+2A$${}= 2A\left(1-e^{-0{,}5t}\right)$

2. Imponemos el valor de la probabilidad para $t=2$ minutos:

   $F(2)$${}= 2A\left(1-e^{-1}\right)$${}= 1-e^{-1}$

3. Como $1-e^{-1}\neq 0$, podemos dividir los dos miembros entre él:

   $2A=1\ \Longrightarrow\ A=\frac{1}{2}=0{,}5$

4. Con este valor, $F(t)=1-e^{-0{,}5t}$.

Planteamiento La población se divide en dos grupos con probabilidades de lesión distintas: usamos la fórmula de la probabilidad total.

1. Datos: $I$ = «practica deportes de impacto», $S$ = «padece sesamoiditis».

   $P(I)=0{,}45$$P(\overline{I})=0{,}55$$P(S\mid I)=0{,}1$$P(S\mid\overline{I})=0{,}03$

2. Probabilidad total:

   $P(S)$${}= 0{,}45\cdot 0{,}1+0{,}55\cdot 0{,}03$${}= 0{,}045+0{,}0165$${}= 0{,}0615$

Planteamiento Sabemos que tiene la lesión y queremos la probabilidad de que practique deportes de impacto: probabilidad condicionada, que calculamos con la fórmula de Bayes.

1. $P(I\mid S)$${}= \frac{P(S\mid I)\,P(I)}{P(S)}$${}= \frac{0{,}045}{0{,}0615}$${}= \frac{30}{41}$${}\approx 0{,}7317$

Planteamiento Traducimos cada dato a una ecuación: máximo en $x=1$ significa $f'(1)=0$; beneficio de 8 000 € significa $f(1)=8$ (en miles de euros); punto de inflexión en $x=2$ significa $f''(2)=0$. Resolvemos el sistema.

1. Derivadas:

   $f'(x)=3ax^2+2bx+c$$f''(x)=6ax+2b$

2. Condiciones:

   $\begin{cases}f'(1)=0:& 3a+2b+c=0\\ f(1)=8:& a+b+c=8\\ f''(2)=0:& 12a+2b=0\end{cases}$

3. Restando las dos primeras:

   $2a+b=-8$

4. De la tercera, $b=-6a$; sustituyendo:

   $2a-6a=-8\ \Longrightarrow\ a=2$$b=-12$$c=8-2+12=18$

5. Comprobamos que es un máximo y que hay inflexión: $f''(1)=12-24=-12<0$ y $f'''(x)=12\ne 0$.

   $f(x)=2x^3-12x^2+18x$

Planteamiento En la bolsa hay $9$ bolas: dos A, dos S y una de cada de B, Y, E, F y N. Sin reemplazo, la probabilidad de la segunda extracción depende de lo que ha salido en la primera (probabilidad condicionada).

1. Primera bola A o E: hay $3$ bolas favorables (dos A y una E) de $9$:

   $P(\text{A o E})=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$

2. Las dos bolas solo pueden ser iguales si son dos A o dos S. Para dos A: la primera es A con probabilidad $\frac{2}{9}$ y, si lo es, quedan $8$ con una sola A:

   $P(AA)=\frac{2}{9}\cdot\frac{1}{8}=\frac{1}{36}$

3. Igual para dos S:

   $P(SS)=\frac{2}{9}\cdot\frac{1}{8}=\frac{1}{36}$

4. Por el complementario:

   $P(\text{diferentes})$${}= 1-\left(\frac{1}{36}+\frac{1}{36}\right)$${}= 1-\frac{1}{18}$${}= \frac{17}{18}$${}\approx 0{,}944$

Planteamiento Con reemplazo, las cinco extracciones son independientes y en cada una sale A con probabilidad $\frac{2}{9}$. El número $X$ de A extraídas sigue una distribución binomial $B\left(5,\frac{2}{9}\right)$.

1. Distribución de $X$:

   $X\sim B\left(5,\frac{2}{9}\right)$$P(X=k)$${}= \binom{5}{k}\left(\frac{2}{9}\right)^{k}\left(\frac{7}{9}\right)^{5-k}$

2. Ninguna A ($k=0$):

   $P(X=0)$${}= \left(\frac{7}{9}\right)^{5}$${}= \frac{16807}{59049}$${}\approx 0{,}2846$

3. Exactamente una A ($k=1$), con $\left(\frac{7}{9}\right)^4=\frac{2401}{6561}$:

   $P(X=1)$${}= \binom{5}{1}\cdot\frac{2}{9}\cdot\frac{2401}{6561}$${}= \frac{24010}{59049}$

4. Al menos dos A, por el complementario:

   $P(X\ge 2)$${}= 1-P(X=0)-P(X=1)$${}= 1-\frac{16807}{59049}-\frac{24010}{59049}$${}= \frac{18232}{59049}$${}\approx 0{,}3088$

Planteamiento Se pide la probabilidad de que una solución sea correcta. Depende de quién la ha hecho (Rut o Internet), y eso lo decide el dado: usamos el teorema de la probabilidad total.

1. Sucesos: $R$ = «la resuelve Rut» (dado 1, 2, 3 o 4), $I$ = «la copia de Internet» (dado 5 o 6) y $C$ = «la solución es correcta». Con un dado equilibrado:

   $P(R)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$$P(I)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

2. Probabilidades condicionadas del enunciado:

   $P(C\mid R)=0{,}75$$P(C\mid I)=0{,}4$

3. Teorema de la probabilidad total:

   $P(C)$${}= P(C\mid R)\,P(R)$${}+P(C\mid I)\,P(I)$${}= 0{,}75\cdot\frac{2}{3}+0{,}4\cdot\frac{1}{3}$${}= 0{,}5+\frac{2}{15}$${}= \frac{19}{30}$

Planteamiento Sabemos que la solución es correcta y queremos la probabilidad de que la haya resuelto Rut: es $P(R\mid C)$, que calculamos con la fórmula de Bayes.

1. Fórmula de Bayes, con $P(C)=\frac{19}{30}$ del apartado a):

   $P(R\mid C)$${}= \frac{P(C\mid R)\,P(R)}{P(C)}$${}= \frac{0{,}75\cdot\frac{2}{3}}{\frac{19}{30}}$${}= \frac{0{,}5}{\frac{19}{30}}$${}= \frac{15}{19}$

Planteamiento Se pide la probabilidad de al menos 4 problemas correctos de 5. Suponemos que cada problema se hace de manera independiente (un dado para cada problema): cada uno es correcto con probabilidad $p=P(C)=\frac{19}{30}$ y el número $X$ de problemas correctos sigue una binomial $B(5,p)$. Queremos $P(X\ge 4)=P(X=4)+P(X=5)$.

1. Probabilidad de éxito y de fracaso:

   $p=\frac{19}{30}\approx 0{,}6333$$q=1-p=\frac{11}{30}\approx 0{,}3667$

2. Fórmula de la binomial, $P(X=k)=\binom{5}{k}p^k q^{5-k}$, para 4 correctos:

   $P(X=4)$${}= \binom{5}{4}p^4q$${}= 5\cdot 0{,}1609\cdot 0{,}3667$${}\approx 0{,}2950$

3. Para 5 correctos:

   $P(X=5)=\binom{5}{5}p^5\approx 0{,}1019$

4. Sumamos las dos probabilidades:

   $P(X\ge 4)$${}= 0{,}2950+0{,}1019$${}= 0{,}3969$

Planteamiento Llamamos $A$ al suceso «padecer arritmia», con $P(A)=0{,}2$. Si las personas se escogen al azar y de forma independiente, el número $N$ de personas con arritmia de entre $4$ sigue una binomial $B(4;\ 0{,}2)$. Pasamos al complementario: «al menos una» es lo contrario de «ninguna».

1. Distribución:

   $N\sim B(4;\ 0{,}2)$

2. Probabilidad de que ninguna de las cuatro padezca arritmia:

   $P(N=0)$${}= (1-0{,}2)^4$${}= 0{,}8^4$${}= 0{,}4096$

3. Complementario:

   $P(N\ge 1)=1-0{,}4096=0{,}5904$

Planteamiento Llamamos $H$ al suceso «diagnóstico positivo». Conocemos $P(H\mid A)$ y $P(H\mid\overline{A})$, y usamos la fórmula de la probabilidad total.

1. Datos del enunciado:

   $P(A)=0{,}2$$P(\overline{A})=0{,}8$$P(H\mid A)=0{,}95$$P(H\mid\overline{A})=0{,}005$

2. Probabilidad total:

   $P(H)$${}= P(H\mid A)\,P(A)$${}+P(H\mid\overline{A})\,P(\overline{A})$${}= 0{,}95\cdot 0{,}2+0{,}005\cdot 0{,}8$${}= 0{,}19+0{,}004$${}= 0{,}194$

Planteamiento Queremos $P(A\mid\overline{H})$: sabemos que el resultado es negativo y queremos la probabilidad de que la persona tenga arritmia. Usamos la fórmula de Bayes.

1. Probabilidad de negativo si tiene arritmia:

   $P(\overline{H}\mid A)=1-0{,}95=0{,}05$

2. Probabilidad de negativo, con el apartado b):

   $P(\overline{H})$${}= 1-P(H)$${}= 1-0{,}194$${}= 0{,}806$

3. Fórmula de Bayes:

   $P(A\mid\overline{H})$${}= \frac{P(\overline{H}\mid A)\,P(A)}{P(\overline{H})}$${}= \frac{0{,}05\cdot 0{,}2}{0{,}806}$${}= \frac{0{,}01}{0{,}806}$${}= \frac{5}{403}$${}\approx 0{,}0124$