Probabilidad condicionada, probabilidad total y Bayes

Lo esencial

Define los sucesos antes de operar. En una tabla, las celdas contienen frecuencias conjuntas y los márgenes se obtienen sumando filas o columnas. Condicionar significa restringir el grupo de referencia: el denominador deja de ser toda la muestra y pasa a ser el grupo que cumple la condición.

En un árbol, la primera rama expresa una probabilidad inicial; la segunda, una probabilidad condicionada a la categoría anterior. Para obtener la probabilidad de un camino se multiplican sus ramas. Las ramas que salen de un mismo nodo describen alternativas excluyentes y exhaustivas y sus probabilidades deben sumar uno.

Qué pregunta resuelve cada regla; las categorías Ai forman una partición

Idea	Regla	Condición o interpretación
Condicionada	Regla $P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$	Condición o interpretación $P(B)>0$
Camino del árbol	Regla $P(A_i\cap D)=P(A_i)P(D\mid A_i)$	Condición o interpretaciónMultiplicar a lo largo del camino
Probabilidad total	Regla $P(D)=\sum_iP(A_i)P(D\mid A_i)$	Condición o interpretaciónSumar caminos excluyentes de una partición
Bayes	Regla $P(A_i\mid D)=\frac{P(A_i)P(D\mid A_i)}{P(D)}$	Condición o interpretación $P(D)>0$
Complementario condicionado	Regla $P(\overline{D}\mid A)=1-P(D\mid A)$	Condición o interpretaciónSe mantiene el mismo grupo de referencia
Independencia	Regla $P(A\cap B)=P(A)P(B)$	Condición o interpretaciónDebe estar justificada

Si varias categorías iniciales pueden producir el mismo resultado, suma las probabilidades conjuntas de esos caminos. Esa es la probabilidad total del resultado. Para aplicar Bayes, toma el camino que interesa y divídelo entre esa probabilidad total, que debe ser positiva.

No confundas el orden de la condición. Saber la probabilidad de un defecto dado un proveedor no equivale a saber la probabilidad de ese proveedor dado un defecto: también importa cuánto produce cada proveedor. Tampoco confundas independencia con incompatibilidad; la independencia es una condición adicional, no una propiedad automática.

El complementario conserva la condición: para un mismo grupo, la probabilidad de no obtener un resultado es uno menos la de obtenerlo. Los datos exactos se mantienen como fracciones hasta el final para evitar acumulación de redondeos.

Ejemplos resueltos

En dos grupos, A y B, S indica que se ha completado una actividad y N que no. Frecuencias:

\begin{array}{l|rr} & S & N\\ \hline A & 12 & 18\\ B & 24 & 6\end{array}

Todas las personas tienen la misma probabilidad de ser elegidas. Calcula

P(S|B)

La condición reduce la muestra al grupo situado después de la barra. Cuenta solo sus integrantes para el denominador.
$n(B)=30$
Dentro de ese grupo, cuenta los casos que también cumplen el suceso pedido; después divide.
$P(S\mid B)=\frac{24}{30}=\frac{4}{5}$
Simplifica la fracción sin redondear. El resultado está entre cero y uno porque es una probabilidad.
$P=\frac{4}{5}$

Resultado $P(S|B)=\frac{4}{5}$

Dos líneas, A1 y A2, producen piezas; D indica defecto y noD ausencia de defecto. Las categorías iniciales son excluyentes y exhaustivas.

P(A1)=\frac{3}{4}, P(D\mid A1)=\frac{1}{5}

P(A2)=\frac{1}{4}, P(D\mid A2)=\frac{3}{5}

. noD es el complementario de D. Calcula

P(D)

Multiplica a lo largo de cada camino para obtener su probabilidad conjunta. Suma los caminos excluyentes que llegan al resultado observado.
$P(D)=\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{5}+\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{5}=\frac{3}{10}$
Simplifica la fracción sin redondear. El resultado está entre cero y uno porque es una probabilidad.
$P=\frac{3}{10}$

Resultado $P(D)=\frac{3}{10}$

Dos rutas, A1 y A2, entregan pedidos; D indica retraso y noD ausencia de retraso. Las categorías iniciales son excluyentes y exhaustivas.

P(A1)=\frac{2}{3}, P(D\mid A1)=\frac{1}{4}

P(A2)=\frac{1}{3}, P(D\mid A2)=\frac{1}{2}

. noD es el complementario de D. Calcula

P(A2|D)

Multiplica a lo largo de cada camino para obtener su probabilidad conjunta. Suma los caminos excluyentes que llegan al resultado observado.
$P(D)=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{4}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{3}$
Invierte la condición con Bayes: divide la probabilidad conjunta del origen y lo observado entre la probabilidad total de lo observado.
$P(A2\mid D)=\frac{P(A2)P(D\mid A2)}{P(D)}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{3}}=\frac{1}{2}$
Simplifica la fracción sin redondear. El resultado está entre cero y uno porque es una probabilidad.
$P=\frac{1}{2}$

Resultado $P(A2|D)=\frac{1}{2}$

Ejercicios

De menos a más. «Probar en el comprobador» te lo deja preparado arriba para que lo resuelvas tú y el código lo corrija; la solución está plegada debajo.

Ejercicio 1Nivel 1Comprobado por código
En una actividad, M y T indican turno de mañana y de tarde; S indica participación y N, no participación. Frecuencias: $\begin{array}{l|rr} & S & N\\ \hline M & 24 & 16\\ T & 18 & 42\end{array}$ Todas las personas tienen la misma probabilidad de ser elegidas. Calcula $P(S|M)$ como fracción irreducible y explica qué grupo usas como referencia.
Ver la solución
1. La condición reduce la muestra al grupo situado después de la barra. Cuenta solo sus integrantes para el denominador.
  $n(M)=40$
2. Dentro de ese grupo, cuenta los casos que también cumplen el suceso pedido; después divide.
  $P(S\mid M)=\frac{24}{40}=\frac{3}{5}$
3. Simplifica la fracción sin redondear. El resultado está entre cero y uno porque es una probabilidad.
  $P=\frac{3}{5}$
P(S|M) = 3/5
Ejercicio 2Nivel 1Comprobado por código
Una biblioteca clasifica a sus usuarios como ESO o Bachillerato (B); S indica que han reservado un libro y N que no. Frecuencias: $\begin{array}{l|rr} & S & N\\ \hline \text{ESO} & 15 & 35\\ B & 30 & 20\end{array}$ Todas las personas tienen la misma probabilidad de ser elegidas. Calcula $P(B|S)$ como fracción irreducible y explica qué grupo usas como referencia.
Ver la solución
1. La condición reduce la muestra al grupo situado después de la barra. Cuenta solo sus integrantes para el denominador.
  $n(S)=45$
2. Dentro de ese grupo, cuenta los casos que también cumplen el suceso pedido; después divide.
  $P(B\mid S)=\frac{30}{45}=\frac{2}{3}$
3. Simplifica la fracción sin redondear. El resultado está entre cero y uno porque es una probabilidad.
  $P=\frac{2}{3}$
P(B|S) = 2/3
Ejercicio 3Nivel 1Comprobado por código
Un almacén recibe piezas de dos proveedores, A1 y A2. D significa pieza defectuosa y noD, pieza sin defecto. Las categorías iniciales son excluyentes y exhaustivas. $P(A1)=\frac{2}{5}, P(D\mid A1)=\frac{1}{10}$ . $P(A2)=\frac{3}{5}, P(D\mid A2)=\frac{1}{5}$ . noD es el complementario de D. Calcula $P(D)$ como fracción irreducible y explica qué grupo usas como referencia.
Ver la solución
1. Multiplica a lo largo de cada camino para obtener su probabilidad conjunta. Suma los caminos excluyentes que llegan al resultado observado.
  $P(D)=\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{10}+\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{5}=\frac{4}{25}$
2. Simplifica la fracción sin redondear. El resultado está entre cero y uno porque es una probabilidad.
  $P=\frac{4}{25}$
P(D) = 4/25
Ejercicio 4Nivel 1Comprobado por código
En dos grupos de un taller, A1 y A2, D indica que un participante solicita material adicional y noD, que no lo solicita. Las categorías iniciales son excluyentes y exhaustivas. $P(A1)=\frac{1}{3}, P(D\mid A1)=\frac{1}{4}$ . $P(A2)=\frac{2}{3}, P(D\mid A2)=\frac{1}{8}$ . noD es el complementario de D. Calcula $P(D|A2)$ como fracción irreducible y explica qué grupo usas como referencia.
Ver la solución
1. La pregunta fija la categoría inicial; usa la probabilidad de su rama, sin volver a multiplicar por la probabilidad inicial.
  $P(D\mid A2)=\frac{1}{8}$
2. Simplifica la fracción sin redondear. El resultado está entre cero y uno porque es una probabilidad.
  $P=\frac{1}{8}$
P(D|A2) = 1/8
Ejercicio 5Nivel 2Comprobado por código
Dos impresoras, A1 y A2, producen las hojas de una tirada. D indica una hoja con una mancha y noD una hoja sin ella. Las categorías iniciales son excluyentes y exhaustivas. $P(A1)=\frac{3}{5}, P(D\mid A1)=\frac{1}{4}$ . $P(A2)=\frac{2}{5}, P(D\mid A2)=\frac{1}{2}$ . noD es el complementario de D. Calcula $P(A1|D)$ como fracción irreducible y explica qué grupo usas como referencia.
Ver la solución
1. Multiplica a lo largo de cada camino para obtener su probabilidad conjunta. Suma los caminos excluyentes que llegan al resultado observado.
  $P(D)=\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{4}+\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{2}=\frac{7}{20}$
2. Invierte la condición con Bayes: divide la probabilidad conjunta del origen y lo observado entre la probabilidad total de lo observado.
  $P(A1\mid D)=\frac{P(A1)P(D\mid A1)}{P(D)}=\frac{\frac{3}{20}}{\frac{7}{20}}=\frac{3}{7}$
3. Simplifica la fracción sin redondear. El resultado está entre cero y uno porque es una probabilidad.
  $P=\frac{3}{7}$
P(A1|D) = 3/7
Ejercicio 6Nivel 2Comprobado por código
Un centro registra el turno, mañana (M) o tarde (T), y el transporte utilizado: Bus, Bici o Moto. Frecuencias: $\begin{array}{l|rrr} & \text{Bus} & \text{Bici} & \text{Moto}\\ \hline M & 18 & 12 & 10\\ T & 12 & 8 & 40\end{array}$ Todas las personas tienen la misma probabilidad de ser elegidas. Calcula $P(T|Bici)$ como fracción irreducible y explica qué grupo usas como referencia.
Ver la solución
1. La condición reduce la muestra al grupo situado después de la barra. Cuenta solo sus integrantes para el denominador.
  $n(Bici)=20$
2. Dentro de ese grupo, cuenta los casos que también cumplen el suceso pedido; después divide.
  $P(T\mid Bici)=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}$
3. Simplifica la fracción sin redondear. El resultado está entre cero y uno porque es una probabilidad.
  $P=\frac{2}{5}$
P(T|Bici) = 2/5
Ejercicio 7Nivel 2Comprobado por código
Un servicio reparte sus pedidos entre tres rutas, A1, A2 y A3. D indica entrega antes del plazo y noD, entrega fuera de él. Las categorías iniciales son excluyentes y exhaustivas. $P(A1)=\frac{1}{2}, P(D\mid A1)=\frac{1}{5}$ . $P(A2)=\frac{1}{3}, P(D\mid A2)=\frac{1}{2}$ . $P(A3)=\frac{1}{6}, P(D\mid A3)=\frac{3}{5}$ . noD es el complementario de D. Calcula $P(D)$ como fracción irreducible y explica qué grupo usas como referencia.
Ver la solución
1. Multiplica a lo largo de cada camino para obtener su probabilidad conjunta. Suma los caminos excluyentes que llegan al resultado observado.
  $P(D)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{5}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\cdot\frac{3}{5}=\frac{11}{30}$
2. Simplifica la fracción sin redondear. El resultado está entre cero y uno porque es una probabilidad.
  $P=\frac{11}{30}$
P(D) = 11/30
Ejercicio 8Nivel 2Comprobado por código
Usa el modelo de las tres rutas: D significa entrega antes del plazo y noD, entrega fuera de él. Las categorías iniciales son excluyentes y exhaustivas. $P(A1)=\frac{1}{2}, P(D\mid A1)=\frac{1}{5}$ . $P(A2)=\frac{1}{3}, P(D\mid A2)=\frac{1}{2}$ . $P(A3)=\frac{1}{6}, P(D\mid A3)=\frac{3}{5}$ . noD es el complementario de D. Calcula $P(A2|D)$ como fracción irreducible y explica qué grupo usas como referencia.
Ver la solución
1. Multiplica a lo largo de cada camino para obtener su probabilidad conjunta. Suma los caminos excluyentes que llegan al resultado observado.
  $P(D)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{5}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\cdot\frac{3}{5}=\frac{11}{30}$
2. Invierte la condición con Bayes: divide la probabilidad conjunta del origen y lo observado entre la probabilidad total de lo observado.
  $P(A2\mid D)=\frac{P(A2)P(D\mid A2)}{P(D)}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{11}{30}}=\frac{5}{11}$
3. Simplifica la fracción sin redondear. El resultado está entre cero y uno porque es una probabilidad.
  $P=\frac{5}{11}$
P(A2|D) = 5/11
Ejercicio 9Nivel 3Comprobado por código
Una empresa asigna reservas a tres canales, A1, A2 y A3. D indica cancelación y noD que la reserva se mantiene. Las categorías iniciales son excluyentes y exhaustivas. $P(A1)=\frac{1}{4}, P(D\mid A1)=\frac{1}{10}$ . $P(A2)=\frac{1}{4}, P(D\mid A2)=\frac{1}{5}$ . $P(A3)=\frac{1}{2}, P(D\mid A3)=\frac{2}{5}$ . noD es el complementario de D. Calcula $P(A3|noD)$ como fracción irreducible y explica qué grupo usas como referencia.
Ver la solución
1. Multiplica a lo largo de cada camino para obtener su probabilidad conjunta. Suma los caminos excluyentes que llegan al resultado observado.
  $P(noD)=\frac{1}{4}\cdot\frac{9}{10}+\frac{1}{4}\cdot\frac{4}{5}+\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{5}=\frac{29}{40}$
2. Invierte la condición con Bayes: divide la probabilidad conjunta del origen y lo observado entre la probabilidad total de lo observado.
  $P(A3\mid noD)=\frac{P(A3)P(noD\mid A3)}{P(noD)}=\frac{\frac{3}{10}}{\frac{29}{40}}=\frac{12}{29}$
3. Simplifica la fracción sin redondear. El resultado está entre cero y uno porque es una probabilidad.
  $P=\frac{12}{29}$
P(A3|noD) = 12/29
Ejercicio 10Nivel 3Comprobado por código
En tres talleres, CAD, Robot y Pintura, se registra S si el proyecto está entregado, R si necesita revisión y N si no está entregado. Frecuencias: $\begin{array}{l|rrr} & S & R & N\\ \hline \text{CAD} & 12 & 8 & 10\\ \text{Robot} & 9 & 21 & 10\\ \text{Pintura} & 15 & 5 & 10\end{array}$ Todas las personas tienen la misma probabilidad de ser elegidas. Calcula $P(Robot|S)$ como fracción irreducible y explica qué grupo usas como referencia.
Ver la solución
1. La condición reduce la muestra al grupo situado después de la barra. Cuenta solo sus integrantes para el denominador.
  $n(S)=36$
2. Dentro de ese grupo, cuenta los casos que también cumplen el suceso pedido; después divide.
  $P(Robot\mid S)=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}$
3. Simplifica la fracción sin redondear. El resultado está entre cero y uno porque es una probabilidad.
  $P=\frac{1}{4}$
P(Robot|S) = 1/4

Así cae en la PAU

Los ejercicios oficiales de la PAU sobre este tema, resueltos paso a paso en EducaIA:

Los ejercicios oficiales de Matemáticas de la PAU de Cataluña de este tema, resueltos paso a paso Los de Matemáticas CCSS, también resueltos paso a paso

Más preguntas reales de exámenes oficiales sobre este tema. Te contamos de qué van; el enunciado está en el examen.

Madrid 2024 convocatoria ordinaria · pregunta 10
Reunir tres orígenes de una piscifactoría mediante probabilidad total y deducir el origen condicionado al complementario.
Abrir el examen (p. 2)
Madrid 2025 convocatoria ordinaria · pregunta 4.2
Calcular la probabilidad total de lectura y el grupo de edad sabiendo que no hay lectura habitual.
Abrir el examen (p. 2)
Madrid 2025 convocatoria extraordinaria · pregunta 4.2
Combinar días lluviosos y secos y hallar la probabilidad del tiempo sabiendo que hubo una caída.
Abrir el examen (p. 2)

Errores típicos

Presentar solo un decimal sin plantear la probabilidad: la rúbrica puntúa por separado planteamiento y cálculo.
Criterio de corrección
Usar la probabilidad del suceso en lugar de la de su complementario al condicionar por un resultado negativo.
Criterio de corrección
Intercambiar el origen y la observación en Bayes sin incluir las probabilidades iniciales.
Criterio de corrección
Dividir por toda la muestra de una tabla cuando la pregunta fija un grupo concreto.
Suponer independencia porque no se conocen las probabilidades conjuntas.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se calcula la probabilidad condicionada en una tabla?

Localiza el grupo que se da por conocido y calcula su total. Divide los casos que cumplen ambos sucesos entre ese total, no entre el tamaño completo de la muestra.

¿Cuándo uso probabilidad total y cuándo Bayes?

Usa probabilidad total para obtener un resultado que puede llegar por varios caminos. Usa Bayes si ya conoces ese resultado y quieres averiguar de qué categoría inicial puede proceder.

¿Por qué no son iguales las dos probabilidades condicionadas?

Cambiar el orden cambia el grupo de referencia y, por tanto, el denominador. Pueden coincidir en algún caso, pero no se puede suponer esa igualdad.

¿En un árbol se suman o se multiplican las probabilidades?

Se multiplican las probabilidades de las ramas de un mismo camino. Se suman caminos excluyentes cuando representan las alternativas del resultado que buscas.

¿Se puede condicionar por un suceso imposible?

La fórmula elemental de probabilidad condicionada requiere que la condición tenga probabilidad positiva. Si es cero, la probabilidad condicionada no está definida y el comprobador de esta página no da ninguna cifra.

Fuentes

Las tablas y árboles sirven de introducción en ESO. Los teoremas de probabilidad total y Bayes se desarrollan aquí al nivel de Bachillerato. El comprobador de esta página trabaja con tablas de hasta tres filas y tres columnas y con árboles de dos niveles; no con distribuciones continuas ni con procesos de longitud arbitraria.

RD 243/2022, anexo II: Matemáticas II, E.1, y Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, D.1; condicionada, árboles, tablas, total y Bayes. Abrir
RD 217/2022, anexo II: Matemáticas A y B de cuarto, sentido estocástico, incertidumbre; árboles y tablas en experimentos compuestos. Abrir
EvAU Madrid, Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, ordinaria 2024: ejercicio 10, enunciado p. 2, criterios p. 5 y solución p. 8. Abrir
PAU Madrid, Matemáticas II, ordinaria 2025: 4.2, enunciado p. 2, criterios p. 3 y solución p. 5. Abrir
PAU Madrid, Matemáticas II, extraordinaria 2025: 4.2, enunciado p. 2, criterios p. 4 y solución p. 6. Abrir

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Cómo hacemos los apuntes y los ejercicios