¿Cuántos ejercicios de probabilidad han caído en la PAU de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales de Cataluña?

Entre 2024 y 2026, 14 ejercicios en 9 de los 15 exámenes que tenemos resueltos (cada año, la ordinaria y la extraordinaria, y también la serie de incidencias). Ha caído en 2026, 2025 y 2024.

¿Las soluciones son las oficiales?

No: las escribe EducaIA, paso a paso, y cada resultado está contrastado con la pauta oficial de corrección. Cuando la pauta da otra cifra (casi siempre por redondeo), lo ponemos al lado con la explicación.

¿Qué hago si mi resultado no coincide con la pauta?

Mira primero si es el mismo valor escrito de otra forma: una fracción y su decimal, o un intervalo con más o menos decimales. Las pautas puntúan por separado el planteamiento, el cálculo y la respuesta: escribe la fórmula que usas con cada dato en su sitio y termina con una frase que conteste lo que pide el enunciado (qué precio, qué empresa, si el valor queda dentro del intervalo).

¿Puedo imprimir los ejercicios?

Sí. El botón de imprimir prepara una hoja con los enunciados oficiales, con espacio para responder, y las soluciones aparte. Cada ejercicio enlaza también el PDF oficial del examen y de la pauta.

Probabilidad: ejercicios PAU de Matemáticas CCSS resueltos

2026Convocatoria ordinaria · Serie 1 · Ejercicio 3

2,5 puntosCoincide con la pautaTambién en Inferencia estadística

Enunciado oficial del ejercicio 3 de la PAU de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales de Cataluña de 2026 (convocatoria ordinaria), en castellano. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Enunciado oficial del ejercicio 3 de la PAU de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales de Cataluña de 2026 (convocatoria ordinaria), en catalán. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Una empresa de telecomunicaciones considera que una página web es eficiente si su tiempo de carga es inferior a 3 segundos. La empresa afirma que al menos el 50 % de las páginas web que gestiona son eficientes. Para comprobar esta afirmación, se selecciona una muestra aleatoria de $n=2.500$ páginas web gestionadas por esta empresa.

Fórmulas para resolver el ejercicio:

• $Z$ ${}\sim \text{normal}\,(0,1)$ ${}\to P(-1{,}96\le Z\le 1{,}96)$ ${}= 0{,}95$ y $P(-2{,}58\le Z\le 2{,}58)=0{,}99$ • Intervalos de confianza con un nivel de confianza $\gamma\in(0,1)$ — para la proporción (muestras grandes): $\left[\hat p-z_\gamma\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\ \hat p+z_\gamma\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right]$ — para la media (muestras normales con la varianza $\sigma^2$ conocida): $\left[\bar x-z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \bar x+z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]$ — para la media (muestras grandes con la varianza $\sigma^2$ desconocida): $\left[\bar x-z_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}},\ \bar x+z_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}}\right]$

3.1 Se supone que, cada vez que se selecciona una página web para la muestra, esta puede ser eficiente (o no serlo) con una probabilidad $p=0{,}5$ y que el hecho de que una página sea eficiente (o no) es independiente de que el resto de las páginas lo sean (o no). Se considera la variable aleatoria $X$ , que cuenta el número de páginas, de entre las 2.500 de la muestra, que son eficientes.

¿Qué distribución tiene la variable $X$ ? Calcule la probabilidad de que como mucho 1.299 páginas sean eficientes. Para ello, utilice la aproximación por la distribución normal sin hacer la corrección por continuidad.

[1,25 puntos]

3.2 En la muestra de $n=2.500$ páginas web, se ha obtenido una media muestral del tiempo de carga de $\bar x=2{,}95$ segundos y una desviación típica muestral de $s=0{,}38$ segundos. Suponga que el tiempo de carga de las páginas web sigue una distribución normal.

Construya un intervalo de confianza del 95 % para el tiempo medio de carga de las páginas web que gestiona la empresa. A partir del intervalo obtenido, ¿qué se puede decir sobre la afirmación de la empresa de que al menos el 50 % de las páginas web que gestiona son eficientes?

[1,25 puntos]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

3.11,25 puntos

Planteamiento $X$ cuenta los éxitos (páginas eficientes) en $2\,500$ pruebas independientes con la misma probabilidad $p=0{,}5$ : es una binomial. Como $n$ es grande, la aproximamos por una normal con la misma media y la misma varianza, y tipificamos.

Distribución de $X$ :
$X\sim B(n=2\,500,\ p=0{,}5)$
Media y desviación típica de la binomial:
$\mu=np=2\,500\cdot 0{,}5=1\,250$ $\sigma$ ${}= \sqrt{np(1-p)}$ ${}= \sqrt{2\,500\cdot 0{,}5\cdot 0{,}5}$ ${}= \sqrt{625}$ ${}= 25$
Aproximamos $X$ por una normal de media $1\,250$ y desviación típica $25$ (sin corrección por continuidad) y tipificamos:
$P(X\le 1\,299)$ ${}\approx P\left(Z\le \frac{1\,299-1\,250}{25}\right)$ ${}= P(Z\le 1{,}96)$
Del dato $P(-1{,}96\le Z\le 1{,}96)=0{,}95$ , por simetría cada cola deja $\frac{1-0{,}95}{2}=0{,}025$ :
$P(Z\le 1{,}96)=0{,}95+0{,}025=0{,}975$

Resultado $X\sim B(2\,500;\ 0{,}5)$ y $P(X\le 1\,299)\approx 0{,}975$ .

La pauta oficial da: $X\sim B(2500,\ 0{,}5)$ ; $P(X\le 1299)$ ${}\approx P(Z\le 1{,}96)$ ${}= 0{,}975$

3.21,25 puntos

Planteamiento La muestra es grande y no conocemos $\sigma$ , así que usamos la tercera fórmula, con la desviación típica muestral $s$ ; para el 95 %, $z_\gamma=1{,}96$ . Después comparamos el intervalo con los 3 segundos.

Margen de error:
$z_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}}$ ${}= 1{,}96\cdot\frac{0{,}38}{\sqrt{2\,500}}$ ${}= 1{,}96\cdot\frac{0{,}38}{50}$ ${}= 1{,}96\cdot 0{,}0076$ ${}= 0{,}014896$
Extremos del intervalo:
$2{,}95-0{,}014896\approx 2{,}9351$ $2{,}95+0{,}014896\approx 2{,}9649$
Todo el intervalo queda por debajo de 3 segundos, así que, con una confianza del 95 %, el tiempo medio $\mu$ es inferior a 3 segundos.
El tiempo de carga $T$ es normal, y la normal es simétrica respecto de su media: la mitad de las páginas tarda menos que $\mu$ . Si $\mu<3$ :
$P(T<3)>P(T<\mu)=0{,}5$

ResultadoEl intervalo de confianza del 95 % es $[2{,}9351;\ 2{,}9649]$ segundos. Como queda todo por debajo de 3 segundos, los datos son coherentes con la afirmación de la empresa: más de la mitad de las páginas cargan en menos de 3 segundos, es decir, son eficientes.

La pauta oficial da: $[2{,}9351,\ 2{,}9649]$

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 2026, convocatoria ordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 22 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

El examen entero, resuelto Examen en catalán (PDF)Examen en castellano (PDF)Pauta de corrección (PDF)Reutilizado según el aviso legal de la Generalitat

2026Convocatoria ordinaria · Serie 1 · Ejercicio 4

2,5 puntosCoincide con la pautaTambién en Matrices, Sistemas de ecuaciones

Enunciado oficial del ejercicio 4 de la PAU de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales de Cataluña de 2026 (convocatoria ordinaria), en castellano. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Enunciado oficial del ejercicio 4 de la PAU de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales de Cataluña de 2026 (convocatoria ordinaria), en catalán. El texto está en la página. — Enunciado oficial

La siguiente tabla recoge el número de estudiantes de grado (G), máster (M) y doctorado (D) matriculados en las tres facultades —Ciencias (C), Ingeniería (I) y Letras (L)— de una pequeña universidad.

Facultad	Grado (G)	Máster (M)	Doctorado (D)	Total
Ciencias (C)	450	172	41	663
Ingeniería (I)	445	178	45	668
Letras (L)	438	183	48	669
Total	1.333	533	134	2.000

Escoja UNA de las dos opciones (A o B) y responda a las cuestiones que se plantean. Indique en la portada del examen la opción elegida.

OPCIÓN A

4.1 Si se escoge un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea un estudiante de doctorado de la Facultad de Letras?

Si se escoge al azar un estudiante que cursa un máster, ¿cuál es la probabilidad de que estudie en la Facultad de Ingeniería?

[1,25 puntos]

4.2 Exprese la información de la tabla (sin los totales) mediante una matriz $3\times 3$ y calcule, utilizando un producto de matrices, el vector con el número total de estudiantes de grado, máster y doctorado de la universidad.

Se sabe que los estudiantes de grado pagan 1.000 € de matrícula; los de máster, 1.500 €, y los de doctorado, 500 €. Mediante un producto de matrices, calcule el importe total que ingresa la universidad en concepto de matrículas.

[1,25 puntos]

OPCIÓN B

4.1 Si se escoge un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea un estudiante de máster de la Facultad de Ciencias?

Si se escoge al azar un estudiante de la Facultad de Ingeniería, ¿cuál es la probabilidad de que curse un máster?

[1,25 puntos]

4.2 Se sabe que, en total, hay 1.036 estudiantes que disfrutan de una beca. También se sabe que, si se consideran conjuntamente los estudiantes de grado y máster, la mitad están becados, y que hay el mismo número de estudiantes becados de máster que de doctorado.

Determine cuántos estudiantes becados hay de cada nivel educativo (grado, máster y doctorado).

[1,25 puntos]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

Opción A

4.11,25 puntos

Planteamiento Todos los estudiantes tienen la misma probabilidad de ser escogidos, así que aplicamos la regla de Laplace con los recuentos de la tabla. Cuando sabemos que el estudiante hace máster, los casos posibles son solo los $533$ estudiantes de máster (probabilidad condicionada).

Doctorado y Letras: $48$ estudiantes de un total de $2\,000$ :
$P(D\cap L)=\frac{48}{2\,000}=\frac{3}{125}=0{,}024$
Ingeniería sabiendo que hace máster: $178$ de los $533$ estudiantes de máster:
$P(I\mid M)$ ${}= \frac{P(I\cap M)}{P(M)}$ ${}= \frac{178/2\,000}{533/2\,000}$ ${}= \frac{178}{533}$ ${}\approx 0{,}3340$

Resultado $P(D\cap L)=\dfrac{3}{125}=0{,}024$ y $P(I\mid M)=\dfrac{178}{533}\approx 0{,}3340$ .

La pauta oficial da: $P(D\cap L)=\frac{3}{125}=0{,}024$ ; $P(I\mid M)=\frac{178}{533}\approx 0{,}3340$

4.21,25 puntos

Planteamiento Ponemos las facultades en las filas y los niveles en las columnas. Sumar las filas equivale a multiplicar por la izquierda por el vector fila $(1\ 1\ 1)$ ; el importe total es el producto del vector de totales por el vector columna de precios.

Matriz de la tabla (filas: C, I, L; columnas: G, M, D):
$A$ ${}= \begin{pmatrix}450&172&41\\ 445&178&45\\ 438&183&48\end{pmatrix}$
Totales por nivel:
$T$ ${}= (1\ \ 1\ \ 1)\cdot A$ ${}= (450+445+438\ \ \ 172+178+183\ \ \ 41+45+48)$ ${}= (1\,333\ \ \ 533\ \ \ 134)$
Vector de precios de matrícula (G, M, D), en euros:
$P$ ${}= \begin{pmatrix}1\,000\\ 1\,500\\ 500\end{pmatrix}$
Importe total:
$T\cdot P$ ${}= 1\,333\cdot 1\,000$ ${}+533\cdot 1\,500$ ${}+134\cdot 500$ ${}= 1\,333\,000+799\,500$ ${}+67\,000$ ${}= 2\,199\,500$

ResultadoTotales por nivel: $(1\,333\ \ 533\ \ 134)$ (grado, máster, doctorado). La universidad ingresa $2\,199\,500$ € en matrículas.

La pauta oficial da: $T=(1333\ \ 533\ \ 134)$ ; $T\cdot P=2\,199\,500$

Opción B

4.11,25 puntos

Planteamiento Regla de Laplace con los recuentos de la tabla. Si sabemos que el estudiante es de Ingeniería, los casos posibles son solo los $668$ estudiantes de esa facultad.

Máster y Ciencias: $172$ estudiantes de un total de $2\,000$ :
$P(M\cap C)=\frac{172}{2\,000}=\frac{43}{500}=0{,}086$
Máster sabiendo que es de Ingeniería: $178$ de los $668$ estudiantes de Ingeniería:
$P(M\mid I)=\frac{178}{668}=\frac{89}{334}\approx 0{,}2665$

Resultado $P(M\cap C)=\dfrac{43}{500}=0{,}086$ y $P(M\mid I)=\dfrac{89}{334}\approx 0{,}2665$ .

La pauta oficial da: $P(M\cap C)=\frac{43}{500}=0{,}086$ ; $P(M\mid I)=\frac{89}{334}\approx 0{,}2665$

4.21,25 puntos

Planteamiento Llamamos $x$ , $y$ y $z$ a los becados de grado, de máster y de doctorado. Cada frase del enunciado es una ecuación; los totales de grado y de máster los sacamos de la tabla.

Total de becados:
$x+y+z=1\,036$
La mitad de los estudiantes de grado y máster ( $1\,333$ y $533$ en la tabla) están becados:
$x+y=\frac{1\,333+533}{2}=\frac{1\,866}{2}=933$
Tantos becados de máster como de doctorado:
$y=z$
Gauss (orden $x$ , $y$ , $z$ ): $F_2-F_1$ y después $F_3+F_2$ :
$\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&1\,036\\ 1&1&0&933\\ 0&1&-1&0\end{array}\right)$ ${}\to \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&1\,036\\ 0&0&-1&-103\\ 0&1&-1&0\end{array}\right)$ ${}\to \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&1\,036\\ 0&0&-1&-103\\ 0&1&-2&-103\end{array}\right)$
De la segunda fila, $z=103$ ; de la tercera, $y=2z-103=103$ ; y de la primera:
$x=1\,036-103-103=830$

ResultadoHay $830$ becados de grado, $103$ de máster y $103$ de doctorado.

La pauta oficial da: $x=830$ , $y=103$ , $z=103$

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 2026, convocatoria ordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 22 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

El examen entero, resuelto Examen en catalán (PDF)Examen en castellano (PDF)Pauta de corrección (PDF)Reutilizado según el aviso legal de la Generalitat

2026Convocatoria ordinaria · Serie 5 · Ejercicio 2

2,5 puntosLa pauta redondea distintoTambién en Inferencia estadística

Enunciado oficial del ejercicio 2 de la PAU de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales de Cataluña de 2026 (convocatoria ordinaria), en castellano. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Enunciado oficial del ejercicio 2 de la PAU de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales de Cataluña de 2026 (convocatoria ordinaria), en catalán. El texto está en la página. — Enunciado oficial

En el campus de una universidad, el 45 % del alumnado llega en tren, el 35 % en autobús y el resto utilizando medios propios. Entre los usuarios del tren, el 70 % utiliza la T-joven, mientras que el 30 % restante usa otros tipos de billetes. Entre los usuarios del autobús, el 60 % utiliza la T-joven y el 40 % usa otros tipos de billetes. Entre los que llegan al campus por medios propios, ninguno utiliza la T-joven.

Fórmulas para resolver el ejercicio:

• $Z$ ${}\sim \text{normal}\,(0,1)$ ${}\to P(-1{,}96\le Z\le 1{,}96)$ ${}= 0{,}95$ y $P(-2{,}58\le Z\le 2{,}58)=0{,}99$ • Intervalos de confianza con un nivel de confianza $\gamma\in(0,1)$ — para la proporción (muestras grandes): $\left[\hat p-z_\gamma\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\ \hat p+z_\gamma\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right]$ — para la media (muestras normales con la varianza $\sigma^2$ conocida): $\left[\bar x-z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \bar x+z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]$ — para la media (muestras grandes con la varianza $\sigma^2$ desconocida): $\left[\bar x-z_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}},\ \bar x+z_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}}\right]$

2.1 Si se escoge un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que utilice la T-joven para llegar al campus? Si se sabe que un alumno usa la T-joven para llegar al campus, ¿cuál es la probabilidad de que lo haga en tren?

[1,25 puntos]

2.2 Se quiere realizar un estudio para saber cuánto tiempo tarda el alumnado en llegar al campus de la universidad desde que sale por la puerta de su casa. Por eso se pidió a una muestra de 300 estudiantes que calcularan este dato un día determinado. Se obtuvo que estos 300 estudiantes de media habían tardado 53 minutos en llegar al campus, y que la desviación típica era de 8 minutos.

Encuentre un intervalo de confianza del 95 % para el tiempo que tardan los alumnos en llegar al campus.

[1,25 puntos]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

2.11,25 puntos

Planteamiento Se piden dos probabilidades: la de que un alumno use la T-joven (probabilidad total, con los tres medios de transporte) y la de que llegue en tren sabiendo que usa la T-joven (Bayes). Llamamos $T$ , $B$ y $M$ a llegar en tren, en autobús y por medios propios, y $J$ a usar la T-joven.

Datos (los medios propios son el resto, $1-0{,}45-0{,}35=0{,}2$ ):
$P(T)=0{,}45$ $P(B)=0{,}35$ $P(M)=0{,}2$ $P(J\mid T)=0{,}7$ $P(J\mid B)=0{,}6$ $P(J\mid M)=0$
Probabilidad total:
$P(J)$ ${}= P(T)\,P(J\mid T)$ ${}+P(B)\,P(J\mid B)$ ${}+P(M)\,P(J\mid M)$ ${}= 0{,}45\cdot 0{,}7+0{,}35\cdot 0{,}6$ ${}+0{,}2\cdot 0$ ${}= 0{,}315+0{,}21$ ${}= 0{,}525$
Bayes:
$P(T\mid J)$ ${}= \frac{P(T)\,P(J\mid T)}{P(J)}$ ${}= \frac{0{,}315}{0{,}525}$ ${}= \frac{3}{5}=0{,}6$

ResultadoLa probabilidad de que un alumno escogido al azar use la T-joven es $P(J)=0{,}525$ . Si usa la T-joven, la probabilidad de que llegue en tren es $P(T\mid J)=0{,}6$ .

La pauta oficial da: $P(J)=0{,}525$ ; $P(T\mid J)=\frac{3}{5}=0{,}6$

2.21,25 puntos

Planteamiento Se pide un intervalo de confianza del 95 % para el tiempo medio que tarda el alumnado en llegar al campus. La muestra es grande ( $n=300$ ) y la desviación típica que tenemos es la de la muestra, $s=8$ , así que usamos la tercera fórmula con $z_\gamma=1{,}96$ .

Datos:
$n=300$ $\bar x=53$ $s=8$ $z_\gamma=1{,}96$
Error típico y margen de error:
$\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{8}{\sqrt{300}}\approx 0{,}46188$ $z_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}}$ ${}= 1{,}96\cdot 0{,}46188$ ${}\approx 0{,}9053$
Extremos del intervalo:
$53-0{,}9053\approx 52{,}09$ $53+0{,}9053\approx 53{,}91$

ResultadoEl intervalo de confianza del 95 % para el tiempo medio que tarda el alumnado en llegar al campus es $[52{,}09;\ 53{,}91]$ minutos.

La pauta oficial da: $[52{,}0947;\ 53{,}9053]$

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 2026, convocatoria ordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 30 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

El examen entero, resuelto Examen en catalán (PDF)Examen en castellano (PDF)Pauta de corrección (PDF)Reutilizado según el aviso legal de la Generalitat

2026Convocatoria ordinaria · Serie 5 · Ejercicio 4

2,5 puntosLa pauta redondea distintoTambién en Sistemas de ecuaciones, Funciones y derivadas

Bernat ha sido contratado como gerente de una empresa que fabrica paraguas después de que el anterior gerente fuera despedido por no guardar convenientemente la documentación. Esta empresa fabrica dos modelos de paraguas: paraguas plegables y paraguas bastón.

Escoja UNA de las dos opciones (A o B) y responda a las cuestiones que se plantean. Indique en la portada del examen la opción elegida.

OPCIÓN A

4.1 Haciendo un análisis económico del último ejercicio, Bernat ha descubierto que la empresa tuvo unos ingresos totales de 42.500 € por la venta de paraguas. Aun así, no hay ningún documento que indique cuántos paraguas de cada tipo se vendieron; solo que el precio de venta de cada paraguas plegable era de 25 € y el del paraguas bastón era de 15 €. Revolviendo entre la documentación, también ha encontrado que se usó un total de 2.375 $\mathrm{m}^2$ de tela impermeable. Para fabricar un paraguas plegable, se necesita 1 $\mathrm{m}^2$ de esta tela, mientras que para un paraguas bastón se necesitan 1,5 $\mathrm{m}^2$ .

Sabiendo que no quedó ningún paraguas en el almacén al finalizar la temporada, ¿cuántos paraguas de cada modelo se vendieron?

[1,25 puntos]

4.2 Teniendo en cuenta el coste de fabricar y almacenar los paraguas plegables, la función que determina el beneficio, en miles de euros, que resulta de fabricar este producto es $p(x)=x(3-x)$ , donde $x$ representa el número de paraguas fabricados, en cientos de unidades. Considerando los mismos factores, la función de beneficio de los paraguas bastón es $b(x)=-\dfrac{2}{5}x^2+2x$ .

¿Qué beneficios se obtendrán en total si se fabrican 100 paraguas de cada tipo? Para cada modelo de paraguas, calcule entre qué valores tiene que estar comprendida la variable $x$ para que la empresa no tenga pérdidas.

[1,25 puntos]

OPCIÓN B

4.1 Teniendo en cuenta el coste de fabricar y almacenar los paraguas plegables, la función que expresa el beneficio, en miles de euros, que resulta de fabricar este producto es $p(x)=x(3-x)$ , donde $x$ representa el número de paraguas fabricados, en cientos de unidades. Considerando los mismos factores, la función de beneficio de los paraguas bastón es $b(x)=-\dfrac{2}{5}x^2+2x$ . La empresa fabricará el número de paraguas de cada tipo que maximice su función de beneficios.

¿Con cuál de los dos productos se necesita una menor cantidad de paraguas para lograr el máximo de beneficios? ¿Con cuál de los dos productos se obtienen mayores beneficios?

[1,25 puntos]

4.2 Un día llegan a la empresa dos lotes de paraguas bastón que había encargado el anterior gerente para analizar dos formas diferentes de tratar la tela impermeable: mediante la impregnación con un nuevo producto químico o mediante un recubrimiento de teflón. Entre los dos lotes, hay 60 paraguas con la tela recubierta de teflón y 80 paraguas impermeabilizados con el método de impregnación. Se sabe que un 98 % de los paraguas con recubrimiento de teflón aguantan bien la lluvia, pero solo el 95 % de los que han recibido el tratamiento de impregnación la aguantan bien.

Al salir del trabajo, cae un aguacero repentino y Bernat coge uno de los nuevos paraguas, pero tiene la mala suerte de que es uno de los defectuosos y queda completamente empapado. ¿Cuál es la probabilidad de que el paraguas que ha cogido sea de los que están recubiertos de teflón?

[1,25 puntos]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

Opción A

4.11,25 puntos

Planteamiento Se pide cuántos paraguas de cada modelo se vendieron. Llamamos $x$ al número de paraguas plegables e $y$ al de paraguas bastón vendidos. Como no quedó ninguno en el almacén, todos los paraguas fabricados con la tela se vendieron: los ingresos y la tela dan dos ecuaciones.

Ingresos (25 € cada plegable y 15 € cada bastón) y tela (1 $\mathrm{m}^2$ cada plegable y 1,5 $\mathrm{m}^2$ cada bastón):
$\begin{cases}25x+15y=42\,500\\ x+1{,}5y=2\,375\end{cases}$
Despejamos $x$ de la segunda ecuación y sustituimos en la primera:
$x$ ${}= 2\,375-1{,}5y$ ${}\Longrightarrow 25(2\,375-1{,}5y)+15y$ ${}= 42\,500$ ${}\Longrightarrow 59\,375-22{,}5y$ ${}= 42\,500$
Resolvemos:
$22{,}5y=16\,875\ \Longrightarrow\ y=750$ $x=2\,375-1{,}5\cdot 750=1\,250$
Comprobación:
$25\cdot 1\,250+15\cdot 750$ ${}= 31\,250+11\,250$ ${}= 42\,500$ $1\,250+1{,}5\cdot 750=2\,375$

ResultadoSe vendieron $1\,250$ paraguas plegables y $750$ paraguas bastón.

La pauta oficial da: $1250$ plegables y $750$ bastón

4.21,25 puntos

Planteamiento Se pide el beneficio total de fabricar 100 paraguas de cada tipo y, para cada modelo, los valores de $x$ sin pérdidas. Como $x$ va en cientos de unidades, 100 paraguas son $x=1$ , y las funciones dan miles de euros. No hay pérdidas cuando el beneficio es mayor o igual que 0.

Beneficios con $x=1$ :
$p(1)=1\cdot(3-1)=2$ $b(1)=-\frac{2}{5}+2=\frac{8}{5}=1{,}6$
En total, en miles de euros ( $2\,000$ € de los plegables y $1\,600$ € de los paraguas bastón):
$p(1)+b(1)=2+1{,}6=3{,}6$
Plegables: con $x\ge 0$ , el signo de $p(x)=x(3-x)$ es el de $3-x$ :
$p(x)\ge 0\ \Longleftrightarrow\ 3-x\ge 0\ \Longleftrightarrow\ 0\le x\le 3$
Bastón: sacamos $x$ factor común, $b(x)=x\left(2-\frac{2}{5}x\right)$ , y con $x\ge 0$ el signo es el del paréntesis:
$b(x)\ge 0\ \Longleftrightarrow\ 2-\frac{2}{5}x\ge 0\ \Longleftrightarrow\ 0\le x\le 5$

ResultadoFabricando 100 paraguas de cada tipo se obtienen $3{,}6$ miles de euros, es decir, $3\,600$ €. No hay pérdidas con los plegables si $0\le x\le 3$ (hasta 300 paraguas) ni con los paraguas bastón si $0\le x\le 5$ (hasta 500 paraguas); véase la gráfica.

La pauta oficial da: $p(1)=2$ , $b(1)=\frac{8}{5}$ ; $3600\ \text{€}$ ; $0\le x\le 3$ ; $0\le x\le 5$

Las dos funciones de beneficio para x entre 0 y 6: la parábola p(x)=x(3−x), que es positiva entre 0 y 3 y negativa después de 3, y la parábola b(x)=−2/5x²+2x, positiva entre 0 y 5. Los tramos donde cada una es positiva o cero, 0≤x≤3 y 0≤x≤5, son los valores sin pérdidas; en x=1 están los puntos (1, 2) y (1; 1,6).

Opción B

4.11,25 puntos

Planteamiento Se pide con cuál de los dos modelos se necesitan menos paraguas para llegar al beneficio máximo y con cuál se gana más. Buscamos el máximo de cada función con su derivada ( $x$ en cientos de paraguas, beneficios en miles de euros).

Derivadas, igualadas a cero:
$p'(x)=3-2x=0\ \Longrightarrow\ x=1{,}5$ $b'(x)=-\frac{4}{5}x+2=0\ \Longrightarrow\ x=2{,}5$
Signo de cada derivada a los dos lados: las dos funciones pasan de crecer a decrecer, así que los dos puntos son máximos:
$p'(1)=1>0$ $p'(2)=-1<0$ $b'(2)=0{,}4>0$ $b'(3)=-0{,}4<0$
Beneficios máximos:
$p(1{,}5)=1{,}5\cdot 1{,}5=2{,}25$ $b(2{,}5)$ ${}= -\frac{2}{5}\cdot 6{,}25+5$ ${}= -2{,}5+5$ ${}= 2{,}5$

ResultadoCon los paraguas plegables se necesitan menos unidades: el beneficio máximo se alcanza con $150$ paraguas plegables, frente a $250$ paraguas bastón. Con los paraguas bastón se gana más: $2\,500$ € como máximo, frente a $2\,250$ € con los plegables (véase la gráfica).

La pauta oficial da: $x=1{,}5$ , $x=2{,}5$ ; $p(1{,}5)=2{,}25$ , $b(2{,}5)=2{,}5$

Las dos funciones de beneficio para x entre 0 y 5: la parábola p(x)=x(3−x) tiene el máximo en (1,5; 2,25) y la parábola b(x)=−2/5x²+2x, en (2,5; 2,5). El máximo de p llega antes (menos paraguas) y el de b es más alto (más beneficio).

4.21,25 puntos

Planteamiento Se pide la probabilidad de que el paraguas sea de teflón sabiendo que es defectuoso. Es la condicionada «al revés» de los datos, así que usamos la probabilidad total y la fórmula de Bayes. Llamamos $T$ a «recubierto de teflón», $I$ a «impregnado» y $D$ a «defectuoso» (no aguanta la lluvia).

Entre los dos lotes hay $60+80=140$ paraguas, así que:
$P(T)=\frac{60}{140}=\frac{3}{7}$ $P(I)=\frac{80}{140}=\frac{4}{7}$
Si aguanta bien el 98 % de los de teflón, falla el 2 %; de los impregnados falla el 5 %:
$P(D\mid T)=0{,}02$ $P(D\mid I)=0{,}05$
Probabilidad total de que sea defectuoso:
$P(D)$ ${}= \frac{3}{7}\cdot 0{,}02+\frac{4}{7}\cdot 0{,}05$ ${}= \frac{0{,}06+0{,}2}{7}$ ${}= \frac{0{,}26}{7}$ ${}= \frac{13}{350}$ ${}\approx 0{,}0371$
Bayes:
$P(T\mid D)$ ${}= \frac{P(T)\,P(D\mid T)}{P(D)}$ ${}= \frac{0{,}06/7}{0{,}26/7}$ ${}= \frac{0{,}06}{0{,}26}$ ${}= \frac{3}{13}$ ${}\approx 0{,}2308$

ResultadoLa probabilidad de que el paraguas defectuoso sea de los recubiertos de teflón es $P(T\mid D)=\dfrac{3}{13}\approx 0{,}2308$ .

La pauta oficial da: $P(D)=0{,}0371$ ; $P(T\mid D)=0{,}2310$

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 2026, convocatoria ordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 30 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

El examen entero, resuelto Examen en catalán (PDF)Examen en castellano (PDF)Pauta de corrección (PDF)Reutilizado según el aviso legal de la Generalitat

2026Convocatoria extraordinaria · Serie 2 · Ejercicio 3

2,5 puntosCoincide con la pautaTambién en Inferencia estadística

Enunciado oficial del ejercicio 3 de la PAU de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales de Cataluña de 2026 (convocatoria extraordinaria), en castellano. El texto está en la página. — Enunciado oficial

En una asignatura de un máster de dos años, el 70 % de los estudiantes son de primer curso y el resto son de segundo curso. Según datos de cursos anteriores, la probabilidad de aprobar la asignatura es del 60 % para los estudiantes de primer curso y del 85 % para los de segundo curso.

Fórmulas para resolver el ejercicio:

• $Z$ ${}\sim \text{normal}\,(0,1)$ ${}\to P(-1{,}96\le Z\le 1{,}96)$ ${}= 0{,}95$ y $P(-2{,}58\le Z\le 2{,}58)=0{,}99$ • Intervalos de confianza con un nivel de confianza $\gamma\in(0,1)$ — para la proporción (muestras grandes): $\left[\hat p-z_\gamma\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\ \hat p+z_\gamma\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right]$ — para la media (muestras normales con la varianza $\sigma^2$ conocida): $\left[\bar x-z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \bar x+z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]$ — para la media (muestras grandes con la varianza $\sigma^2$ desconocida): $\left[\bar x-z_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}},\ \bar x+z_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}}\right]$

3.1 Si se elige un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que apruebe la asignatura? Si se sabe que un estudiante ha aprobado la asignatura, ¿cuál es la probabilidad de que sea de primer curso?

[1,25 puntos]

3.2 El profesor quiere estimar la nueva proporción de estudiantes que aprueban la asignatura después de introducir un nuevo método de enseñanza. Para ello, selecciona una muestra aleatoria de $n=80$ estudiantes y observa que 55 de ellos han aprobado.

Encuentre un intervalo de confianza del 95 % para la proporción $p$ de aprobados con el nuevo método. ¿El intervalo obtenido permite afirmar que el nuevo método ha mejorado la tasa de aprobados respecto de la situación anterior? Razone la respuesta.

[1,25 puntos]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

3.11,25 puntos

Planteamiento Llamamos $P_1$ y $P_2$ a «ser de primer» y «ser de segundo» curso, y $A$ a «aprobar». La probabilidad de aprobar sale del teorema de la probabilidad total, y la de ser de primero sabiendo que ha aprobado, del teorema de Bayes.

Datos:
$P(P_1)=0{,}70$ $P(P_2)=1-0{,}70=0{,}30$ $P(A\mid P_1)=0{,}60$ $P(A\mid P_2)=0{,}85$
Probabilidad total:
$P(A)$ ${}= P(P_1)P(A\mid P_1)$ ${}+P(P_2)P(A\mid P_2)$ ${}= 0{,}70\cdot 0{,}60+0{,}30\cdot 0{,}85$ ${}= 0{,}42+0{,}255$ ${}= 0{,}675$
Bayes:
$P(P_1\mid A)$ ${}= \frac{P(P_1)P(A\mid P_1)}{P(A)}$ ${}= \frac{0{,}42}{0{,}675}$ ${}= \frac{28}{45}$ ${}\approx 0{,}6222$

Resultado $P(A)=0{,}675$ y $P(P_1\mid A)=\dfrac{28}{45}\approx 0{,}6222$ .

La pauta oficial da: $P(A)=0{,}675$ ; $P(P_1\mid A)=\frac{28}{45}\approx 0{,}6222$

3.21,25 puntos

Planteamiento La muestra es grande, así que usamos la fórmula del intervalo para la proporción con $z_\gamma=1{,}96$ . Después miramos si la proporción de antes, $0{,}675$ (apartado 3.1), queda dentro del intervalo.

Proporción muestral:
$\hat p=\frac{55}{80}=0{,}6875$
Error típico:
$\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}$ ${}= \sqrt{\frac{0{,}6875\cdot 0{,}3125}{80}}$ ${}= \frac{\sqrt{11}}{64}$ ${}\approx 0{,}05182$
Margen de error:
$1{,}96\cdot 0{,}05182\approx 0{,}1016$
Extremos:
$0{,}6875-0{,}1016=0{,}5859$ $0{,}6875+0{,}1016=0{,}7891$
La proporción de aprobados de antes, $0{,}675$ , está dentro del intervalo:
$0{,}5859<0{,}675<0{,}7891$

ResultadoEl intervalo de confianza del 95 % es $[0{,}5859;\ 0{,}7891]$ . Como contiene el valor anterior, $0{,}675$ , no podemos afirmar con una confianza del 95 % que el nuevo método haya mejorado la tasa de aprobados.

La pauta oficial da: $[0{,}5859;\ 0{,}7891]$

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 2026, convocatoria extraordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 22 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

El examen entero, resuelto Examen en catalán (PDF)Examen en castellano (PDF)Pauta de corrección (PDF)Reutilizado según el aviso legal de la Generalitat

2026Convocatoria extraordinaria · Serie 2 · Ejercicio 4

2,5 puntosLa pauta redondea distintoTambién en Sistemas de ecuaciones, Funciones y derivadas, Matrices

Enunciado oficial del ejercicio 4 de la PAU de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales de Cataluña de 2026 (convocatoria extraordinaria), en castellano. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Tres amigos —Carme, Saïd y Martí— crearon hace unos años una pequeña asociación dedicada a la divulgación de las matemáticas. En esta asociación, organizan talleres para familias, visitan escuelas e institutos de todo el país, e imparten seminarios en línea.

El curso pasado llevaron a cabo un total de 240 actividades, repartidas en 96 talleres familiares, 84 charlas en escuelas o institutos y 60 seminarios en línea. Los dos primeros tipos de actividades son presenciales, mientras que los seminarios en línea, evidentemente, no lo son.

Escoja UNA de las dos opciones (A o B) y responda a las cuestiones que se plantean. Indique en la portada del examen la opción elegida.

OPCIÓN A

4.1 Este curso, durante una semana concreta, el formulario de inscripción del web de la asociación recibe 15 inscripciones independientes, cada una de las cuales corresponde a uno de los tres tipos de actividades.

Suponiendo que la distribución de las inscripciones se mantiene como el curso pasado, calcule la probabilidad de que exactamente 10 de las 15 inscripciones sean para actividades presenciales.

Determine el número esperado de inscripciones a actividades presenciales de esa semana.

[1,5 puntos]

4.2 El curso pasado, para llevar a cabo las 240 actividades, los tres amigos decidieron organizarse de forma que cada actividad fuera realizada por una sola persona; es decir, no había actividades desarrolladas por más de uno de ellos. Si se sabe que Carme participó en 30 actividades más que Martí y que Saïd participó en 18 actividades más que Martí, ¿de cuántas actividades se encargó cada uno de los tres amigos?

[1 punto]

OPCIÓN B

4.1 Para estudiar el efecto de una campaña de promoción de los talleres familiares de este curso, los tres amigos modelizan el número de familias inscritas mediante la función $f(t)=\dfrac{100t}{t^2+4}$ , en la que $t$ representa el número de días desde el inicio de la campaña y $f(t)$ corresponde al número de familias inscritas ese día.

¿Hay algún día en que el número de familias inscritas sea exactamente 20? En caso afirmativo, indique cuál.

¿En qué día se logra el número máximo de familias inscritas? ¿Cuál es este número máximo?

[1,5 puntos]

4.2 Los tres amigos también quieren analizar cómo se reparten entre ellos el trabajo de preparación de las actividades. Para ello, revisan cómo se han organizado durante una semana concreta. En total, en este período han dedicado 24 horas a la preparación de talleres familiares, 21 horas a la preparación de charlas en centros educativos y 15 horas a la preparación de seminarios en línea.

La distribución del trabajo de preparación de cada uno de los tres tipos de actividades es la siguiente:

— Carme se encarga del 50 % de la preparación de los talleres familiares, del 30 % de la preparación de las charlas en centros educativos y del 20 % de la preparación de los seminarios en línea; — Saïd se encarga del 30 % de la preparación de los talleres familiares, del 50 % de la preparación de las charlas en centros educativos y del 20 % de la preparación de los seminarios en línea; — Martí se encarga del 20 % de la preparación de los talleres familiares, del 20 % de la preparación de las charlas en centros educativos y del 60 % de la preparación de los seminarios en línea.

Se agrupa esta información en las siguientes matrices:

$\boldsymbol{R}$ ${}= \begin{pmatrix}0{,}50&0{,}30&0{,}20\\ 0{,}30&0{,}50&0{,}20\\ 0{,}20&0{,}20&0{,}60\end{pmatrix}$ , $\boldsymbol{h}$ ${}= \begin{pmatrix}24\\ 21\\ 15\end{pmatrix}$ ,

que corresponden a la matriz de reparto porcentual y al vector de horas totales dedicadas a la preparación de cada tipo de actividad, respectivamente.

Calcule el vector $\boldsymbol{R}\cdot\boldsymbol{h}$ e interprete su significado.

¿Cuál de los tres amigos ha dedicado más horas a la preparación de actividades?

[1 punto]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

Opción A

4.11,5 puntos

Planteamiento Cada inscripción es presencial con la proporción del curso pasado, y las 15 son independientes: el número $X$ de inscripciones presenciales es una binomial. Calculamos $P(X=10)$ con la fórmula de la binomial y la esperanza con $E(X)=np$ .

Actividades presenciales del curso pasado: $96+84=180$ de $240$ :
$p=\frac{180}{240}=0{,}75$ $1-p=0{,}25$
Distribución:
$X\sim B(15;\ 0{,}75)$
Fórmula de la binomial, con $\binom{15}{10}=3\,003$ :
$P(X=10)$ ${}= \binom{15}{10}\,0{,}75^{10}\,0{,}25^{5}$ ${}= 3\,003\cdot\frac{3^{10}}{4^{15}}$ ${}\approx 0{,}1651$
Esperanza:
$E(X)=np=15\cdot 0{,}75=11{,}25$
La esperanza es una media: no tiene por qué ser un número entero. Quiere decir que, de media, unas 11 de cada 15 inscripciones son presenciales.

Resultado $P(X=10)\approx 0{,}1651$ ; el número esperado de inscripciones presenciales es $E(X)=11{,}25$ .

La pauta oficial da: $P(X=10)\approx 0{,}1651$ ; $E(X)=11{,}25\ (\approx 11)$

4.21 punto

Planteamiento Llamamos $x$ , $y$ y $z$ a las actividades de Carme, Saïd y Martí. Los tres datos dan un sistema de tres ecuaciones, que resolvemos por Gauss.

Sistema:
$\begin{cases}x-z=30\\ y-z=18\\ x+y+z=240\end{cases}$
Gauss: $F_3-F_1$ y después $F_3-F_2$ :
$\left(\begin{array}{ccc|c}1&0&-1&30\\ 0&1&-1&18\\ 1&1&1&240\end{array}\right)$ ${}\to \left(\begin{array}{ccc|c}1&0&-1&30\\ 0&1&-1&18\\ 0&1&2&210\end{array}\right)$ ${}\to \left(\begin{array}{ccc|c}1&0&-1&30\\ 0&1&-1&18\\ 0&0&3&192\end{array}\right)$
Resolvemos:
$z=\frac{192}{3}=64$ $y=64+18=82$ $x=64+30=94$

ResultadoCarme se encargó de $94$ actividades, Saïd de $82$ y Martí de $64$ .

La pauta oficial da: $x=94$ , $y=82$ , $z=64$

Opción B

4.11,5 puntos

Planteamiento Para saber si algún día hay 20 familias, resolvemos $f(t)=20$ . Para el máximo, derivamos $f$ , buscamos dónde se anula para $t\ge 0$ y comprobamos el cambio de signo.

Ecuación $f(t)=20$ :
$\frac{100t}{t^2+4}$ ${}= 20$ ${}\Longrightarrow 100t$ ${}= 20t^2+80$ ${}\Longrightarrow t^2-5t+4=0$ ${}\Longrightarrow t=1$ $\text{o}\ \ t=4$
Derivada (regla del cociente):
$f'(t)$ ${}= \frac{100(t^2+4)-100t\cdot 2t}{(t^2+4)^2}$ ${}= \frac{100(4-t^2)}{(t^2+4)^2}$
$f'(t)=0$ para $t=\pm 2$ ; solo tiene sentido $t=2$ . El denominador es positivo, así que el signo es el de $4-t^2$ :
$0<t<2:\ f'(t)>0$ $t>2:\ f'(t)<0$
Por tanto, $t=2$ es el máximo. Valor:
$f(2)=\frac{100\cdot 2}{2^2+4}=\frac{200}{8}=25$

ResultadoSí: hay exactamente 20 familias inscritas los días $t=1$ y $t=4$ . El máximo se alcanza el día $t=2$ , con $25$ familias.

La pauta oficial da: $t=1$ , $t=4$ ; $t=2$ , $f(2)=25$

Gráfica de f(t)=100t/(t²+4) para t≥0: sube desde el origen hasta el máximo (2,25) y después baja lentamente. La recta horizontal y=20 corta la curva en t=1 y en t=4.

4.21 punto

Planteamiento Cada fila de $\boldsymbol{R}$ dice qué parte de cada tipo de preparación hace una persona. Multiplicarla por las horas de cada tipo y sumar da las horas de preparación de esa persona.

Producto fila por columna:
$\boldsymbol{R}\cdot\boldsymbol{h}$ ${}= \begin{pmatrix}0{,}50\cdot 24+0{,}30\cdot 21+0{,}20\cdot 15\\ 0{,}30\cdot 24+0{,}50\cdot 21+0{,}20\cdot 15\\ 0{,}20\cdot 24+0{,}20\cdot 21+0{,}60\cdot 15\end{pmatrix}$ ${}= \begin{pmatrix}12+6{,}3+3\\ 7{,}2+10{,}5+3\\ 4{,}8+4{,}2+9\end{pmatrix}$ ${}= \begin{pmatrix}21{,}3\\ 20{,}7\\ 18\end{pmatrix}$
Comprobación: cada columna de $\boldsymbol{R}$ suma $1$ (cada preparación se reparte entera), y el total de horas se conserva:
$21{,}3+20{,}7+18=60=24+21+15$

Resultado $\boldsymbol{R}\cdot\boldsymbol{h}$ ${}= \begin{pmatrix}21{,}3\\ 20{,}7\\ 18\end{pmatrix}$ : son las horas de preparación de Carme, Saïd y Martí. Quien más ha dedicado es Carme, con $21{,}3$ horas.

La pauta oficial da: $(21{,}3;\ 20{,}7;\ 18)$

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 2026, convocatoria extraordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 22 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

El examen entero, resuelto Examen en catalán (PDF)Examen en castellano (PDF)Pauta de corrección (PDF)Reutilizado según el aviso legal de la Generalitat

2025Convocatoria ordinaria · Serie 1 · Ejercicio 3

2,5 puntosLa pauta redondea distintoTambién en Inferencia estadística

Enunciado oficial del ejercicio 3 de la PAU de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales de Cataluña de 2025 (convocatoria ordinaria), en castellano. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Enunciado oficial del ejercicio 3 de la PAU de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales de Cataluña de 2025 (convocatoria ordinaria), en catalán. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Hace unos años una granja de vacas frisonas dedicada a la producción de leche realizó un estudio sobre el peso de sus vacas y llegó a la conclusión de que esta variable seguía una distribución normal con una media de 580 kg y una desviación típica de 25 kg.

Fórmulas para resolver el ejercicio:

• $Z$ ${}\sim \text{normal}\,(0,1)$ ${}\to P(-1{,}96\le Z\le 1{,}96)$ ${}= 0{,}95$ y $P(-2{,}58\le Z\le 2{,}58)=0{,}99$ • Intervalos de confianza con un nivel de confianza $\gamma\in(0,1)$ — para la proporción (muestras grandes): $\left[\hat p-z_\gamma\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\ \hat p+z_\gamma\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right]$ — para la media (muestras normales con la varianza $\sigma^2$ conocida): $\left[\bar x-z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \bar x+z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]$ — para la media (muestras grandes con la varianza $\sigma^2$ desconocida): $\left[\bar x-z_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}},\ \bar x+z_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}}\right]$

a) Calcule, de forma razonada, la probabilidad de que si se coge al azar una vaca frisona de esta granja, su peso esté entre 531 y 629 kg.

[1 punto]

b) Se cree que un cambio en el tipo de forraje que se da a las vacas ha modificado la media de su peso. Para comprobarlo, se ha obtenido el peso de una muestra de 10 vacas de la granja escogidas al azar:

569, 575, 611, 581, 583, 614, 589, 555, 566, 571.

Encuentre un intervalo de confianza del 95 % para la media del peso de las vacas, suponiendo que este peso sigue una distribución normal con una desviación típica de 25 kg. A partir del resultado obtenido, ¿se puede afirmar que la media del peso de las vacas ha cambiado? Justifique la respuesta.

[1,5 puntos]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

a)1 punto

Planteamiento Si $X$ es el peso, $X\sim N(580,\,25)$ (media y desviación típica). Tipificamos con $Z=\frac{X-580}{25}$ y usamos el valor de $Z$ que da el enunciado.

Tipificamos los dos extremos:
$\frac{531-580}{25}=\frac{-49}{25}=-1{,}96$ $\frac{629-580}{25}=\frac{49}{25}=1{,}96$
Por tanto:
$P(531\le X\le 629)$ ${}= P(-1{,}96\le Z\le 1{,}96)$ ${}= 0{,}95$

Resultado $P(531\le X\le 629)=0{,}95$ .

La pauta oficial da: $P(-1{,}96\le Z\le 1{,}96)=0{,}95$

b)1,5 puntos

Planteamiento La población es normal con $\sigma=25$ conocida, así que usamos la segunda fórmula con $z_\gamma=1{,}96$ . Si el intervalo contiene 580 kg, los datos no permiten decir que la media haya cambiado.

Media de la muestra:
$\bar x$ ${}= \frac{569+575+611+581+583+614+589+555+566+571}{10}$ ${}= \frac{5\,814}{10}$ ${}= 581{,}4$
Margen de error:
$z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ ${}= 1{,}96\cdot\frac{25}{\sqrt{10}}$ ${}= \frac{49}{\sqrt{10}}$ ${}\approx 15{,}50$
Extremos del intervalo:
$581{,}4-\frac{49}{\sqrt{10}}\approx 565{,}90$ $581{,}4+\frac{49}{\sqrt{10}}\approx 596{,}90$
El valor de antes, $580$ , está dentro del intervalo:
$565{,}90<580<596{,}90$

ResultadoEl intervalo de confianza del 95 % es $[565{,}90;\ 596{,}90]$ kg. Como contiene $580$ kg, con una confianza del 95 % no podemos afirmar que la media del peso haya cambiado.

La pauta oficial da: $\bar x=581{,}4$ ; $[565{,}9048,\ 596{,}8952]$

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 2025, convocatoria ordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 22 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

El examen entero, resuelto Examen en catalán (PDF)Examen en castellano (PDF)Pauta de corrección (PDF)Reutilizado según el aviso legal de la Generalitat

2025Convocatoria ordinaria · Serie 1 · Ejercicio 4

2,5 puntosCoincide con la pautaTambién en Sistemas de ecuaciones, Matrices, Funciones y derivadas

Enunciado oficial del ejercicio 4 de la PAU de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales de Cataluña de 2025 (convocatoria ordinaria), en castellano. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Enunciado oficial del ejercicio 4 de la PAU de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales de Cataluña de 2025 (convocatoria ordinaria), en catalán. El texto está en la página. — Enunciado oficial

En el Congreso Catalán de Educación Matemática (C2EM), que se celebrará en Lleida el próximo mes de julio, asistirán docentes de universidad, de educación secundaria y de educación infantil y primaria.

A estas alturas, un 10 % de los docentes inscritos son de universidad, un 50 % son de secundaria y el resto son de infantil y primaria. Por otro lado, un 40 % de los docentes inscritos de universidad, un 52 % de los docentes inscritos de secundaria y un 65 % de los docentes inscritos de infantil y primaria son mujeres.

Escoja UNA de las dos opciones (A o B) y responda a las cuestiones que se plantean.

OPCIÓN A

a) Calcule la probabilidad de que una persona escogida al azar de entre todos los inscritos sea una mujer. Si de entre todas las mujeres inscritas se escoge una al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea docente de secundaria?

[1,25 puntos]

b) Calcule el número de docentes que se han inscrito en el Congreso de cada nivel educativo si se sabe que en total hay 476 mujeres inscritas.

[1,25 puntos]

OPCIÓN B

a) La organización del Congreso quiere dar un detalle diferente a cada grupo de docentes: el detalle de tipo $D1$ para el grupo de docentes universitarios, el detalle de tipo $D2$ para el grupo de docentes de secundaria y el detalle de tipo $D3$ para el grupo de docentes de infantil y primaria. Ha pedido presupuesto a tres empresas diferentes, que se denominarán $E1$ , $E2$ y $E3$ . La siguiente matriz da los precios unitarios, en euros, de cada detalle de tipo $D1$ , $D2$ y $D3$ (filas) según las empresas $E1$ , $E2$ y $E3$ (columnas):

$\begin{pmatrix}1{,}25&1&1{,}25\\ 0{,}75&1&1{,}15\\ 1&0{,}85&0{,}80\end{pmatrix}$

El pedido de la organización se puede representar como un vector fila $(x,y,z)$ , donde $x$ representa la cantidad de detalles de tipo $D1$ , $y$ es la cantidad de detalles de tipo $D2$ y $z$ corresponde a la cantidad de detalles de tipo $D3$ que hay que comprar.

La organización trabaja con la previsión de que en el Congreso asistirán 1.000 personas en total y que los porcentajes de cada grupo de docentes respecto al total serán los mismos que los que hay en este momento de la inscripción.

Calcule mediante un producto de matrices qué empresa ofrece el mejor precio y cuál es ese precio.

[1,25 puntos]

b) Un hotel situado cerca del espacio donde se celebrará el Congreso ha realizado un estudio de mercado. Inicialmente se planteaban ofrecer la habitación doble a un precio de 80 € la noche y con este precio estimaban que tendrían 100 reservas de habitaciones dobles. Pero el estudio muestra que la relación entre el precio de la habitación doble y el número de reservas es lineal, de forma que por cada euro de descuento sobre el precio de la habitación consiguen dos reservas más.

Si se denomina $x$ al número de veces que se aplica el descuento de un euro, escriba la función que da los ingresos del hotel en función de $x$ . ¿Cuál tiene que ser el precio de la habitación doble para maximizar los ingresos?

[1,25 puntos]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

Opción A

a)1,25 puntos

Planteamiento Llamamos $U$ , $S$ e $I$ a los tres niveles (universidad, secundaria, infantil y primaria) y $A$ a «ser mujer». La probabilidad de ser mujer sale del teorema de la probabilidad total, y la de ser de secundaria sabiendo que es mujer, del teorema de Bayes.

Datos (el resto, $1-0{,}1-0{,}5$ , es infantil y primaria):
$P(U)=0{,}1,\ P(S)=0{,}5,\ P(I)=0{,}4$ $P(A\mid U)$ ${}= 0{,}4,\ P(A\mid S)$ ${}= 0{,}52,\ P(A\mid I)$ ${}= 0{,}65$
Probabilidad total:
$P(A)$ ${}= 0{,}1\cdot 0{,}4+0{,}5\cdot 0{,}52$ ${}+0{,}4\cdot 0{,}65$ ${}= 0{,}04+0{,}26+0{,}26$ ${}= 0{,}56$
Bayes:
$P(S\mid A)$ ${}= \frac{P(S)P(A\mid S)}{P(A)}$ ${}= \frac{0{,}26}{0{,}56}$ ${}= \frac{13}{28}$ ${}\approx 0{,}4643$

Resultado $P(A)=0{,}56$ y $P(S\mid A)=\dfrac{13}{28}\approx 0{,}4643$ .

La pauta oficial da: $P(A)=0{,}56$ ; $P(S\mid A)=0{,}4643$

b)1,25 puntos

Planteamiento Llamamos $x$ , $y$ y $z$ a los inscritos de universidad, de secundaria y de infantil y primaria. Los porcentajes de cada nivel y el número de mujeres dan tres ecuaciones.

El 10 % del total es de universidad y el 50 %, de secundaria:
$x=0{,}1(x+y+z)\Rightarrow -9x+y+z=0$ $y=0{,}5(x+y+z)\Rightarrow x-y+z=0$
Las mujeres son 476:
$0{,}4x+0{,}52y+0{,}65z$ ${}= 476$ ${}\Rightarrow 40x+52y+65z$ ${}= 47\,600$
Gauss con $F_1:\ x-y+z=0$ . Hacemos $F_2+9F_1$ y $F_3-40F_1$ :
$\left(\begin{array}{ccc|c}1&-1&1&0\\ -9&1&1&0\\ 40&52&65&47\,600\end{array}\right)$ ${}\to \left(\begin{array}{ccc|c}1&-1&1&0\\ 0&-8&10&0\\ 0&92&25&47\,600\end{array}\right)$
De la segunda fila, $y=\frac{5}{4}z$ . En la tercera:
$92\cdot\frac{5}{4}z+25z$ ${}= 115z+25z$ ${}= 140z$ ${}= 47\,600$ ${}\Rightarrow z=340$
Las otras incógnitas:
$y=\frac{5}{4}\cdot 340=425$ $x=y-z=425-340=85$
Comprobación por otro camino: $P(A)=0{,}56$ es la fracción de mujeres, así que el total de inscritos es
$\frac{476}{0{,}56}=850$ $0{,}1\cdot 850=85$ $0{,}5\cdot 850=425$ $0{,}4\cdot 850=340$

ResultadoHay $85$ docentes de universidad, $425$ de secundaria y $340$ de infantil y primaria.

La pauta oficial da: $x=85$ , $y=425$ , $z=340$

Opción B

a)1,25 puntos

Planteamiento Con $1\,000$ personas y los mismos porcentajes, el pedido es el vector fila de detalles de cada tipo. Multiplicado por la matriz de precios, cada componente da el coste total en una empresa.

Pedido: el 10 %, el 50 % y el 40 % de $1\,000$ :
$(x,y,z)=(100,\ 500,\ 400)$
Producto:
$(100\ \ 500\ \ 400)\begin{pmatrix}1{,}25&1&1{,}25\\ 0{,}75&1&1{,}15\\ 1&0{,}85&0{,}80\end{pmatrix}$ ${}= (125+375+400\ \ \ 100+500+340\ \ \ 125+575+320)$ ${}= (900\ \ \ 940\ \ \ 1\,020)$

ResultadoCostaría $900$ € en $E1$ , $940$ € en $E2$ y $1\,020$ € en $E3$ . El mejor precio es el de la empresa $E1$ : $900$ €.

La pauta oficial da: $(900\ \ 940\ \ 1020)$ ; $E1$ , $900\ \text{€}$

b)1,25 puntos

Planteamiento Si se aplica $x$ veces el descuento, el precio es $80-x$ y las reservas, $100+2x$ ; los ingresos son el producto. Buscamos el máximo de esta parábola con la derivada.

Función de ingresos:
$I(x)$ ${}= (80-x)(100+2x)$ ${}= -2x^2+60x+8\,000$
Derivada:
$I'(x)=-4x+60=0\ \Longrightarrow\ x=15$
Para $x<15$ , $I'(x)>0$ , y para $x>15$ , $I'(x)<0$ : es un máximo. Precio e ingresos:
$80-15=65$ $I(15)=65\cdot 130=8\,450$

Resultado $I(x)$ ${}= (80-x)(100+2x)$ ${}= -2x^2+60x+8\,000$ . Los ingresos son máximos con un precio de $65$ € por habitación doble (130 reservas y $8\,450$ € de ingresos).

La pauta oficial da: $I(x)=-2x^2+60x+8000$ ; $65\ \text{€}$

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 2025, convocatoria ordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 22 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

El examen entero, resuelto Examen en catalán (PDF)Examen en castellano (PDF)Pauta de corrección (PDF)Reutilizado según el aviso legal de la Generalitat

2025Convocatoria ordinaria · Serie 4 · Ejercicio 2

2,5 puntosLa pauta redondea distintoTambién en Inferencia estadística

Enunciado oficial del ejercicio 2 de la PAU de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales de Cataluña de 2025 (convocatoria ordinaria), en castellano. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Enunciado oficial del ejercicio 2 de la PAU de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales de Cataluña de 2025 (convocatoria ordinaria), en catalán. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Una empresa fabrica bicicletas convencionales y eléctricas. El responsable de calidad de la empresa ha mirado el historial de ventas y ha calculado que el 5 % de las bicicletas convencionales habían tenido algún tipo de problema que había requerido una revisión posventa. En el caso de las bicicletas eléctricas, este porcentaje era del 15 %. Actualmente, el 25 % de la producción es de bicicletas convencionales y el 75 %, de bicicletas eléctricas.

Fórmulas para resolver el ejercicio:

• $Z$ ${}\sim \text{normal}\,(0,1)$ ${}\to P(-1{,}96\le Z\le 1{,}96)$ ${}= 0{,}95$ y $P(-2{,}58\le Z\le 2{,}58)=0{,}99$ • Intervalos de confianza con un nivel de confianza $\gamma\in(0,1)$ — para la proporción (muestras grandes): $\left[\hat p-z_\gamma\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\ \hat p+z_\gamma\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right]$ — para la media (muestras normales con la varianza $\sigma^2$ conocida): $\left[\bar x-z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \bar x+z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]$ — para la media (muestras grandes con la varianza $\sigma^2$ desconocida): $\left[\bar x-z_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}},\ \bar x+z_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}}\right]$

a) Si se escoge una bicicleta al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tenga algún tipo de problema que requiera una revisión posventa? Si la bicicleta escogida al azar presenta algún tipo de problema que requiere una revisión posventa, ¿cuál es la probabilidad de que sea eléctrica?

[1,25 puntos]

b) El responsable de calidad cree que el dato según el cual un 15 % de bicicletas eléctricas tienen algún problema que requiere el servicio posventa ha quedado desfasado. Considera que actualmente tanto la tecnología como los controles de calidad previos han mejorado mucho y esta proporción ha disminuido. Para comprobarlo, toma una muestra de 100 bicicletas eléctricas que ha vendido en los últimos meses y observa que solo 8 han requerido una revisión posventa.

A partir de estos datos, encuentre un intervalo de confianza del 95 % para la proporción de bicicletas eléctricas que tienen algún problema y requieren una revisión posventa. A partir del resultado obtenido, ¿se puede afirmar que esta proporción ha disminuido?

[1,25 puntos]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

a)1,25 puntos

Planteamiento Se piden dos probabilidades: la de que una bicicleta necesite revisión posventa (probabilidad total) y la de que sea eléctrica sabiendo que la ha necesitado (Bayes). Llamamos $C$ a «es convencional», $E$ a «es eléctrica» y $R$ a «ha necesitado una revisión posventa».

Datos:
$P(C)=0{,}25$ $P(E)=0{,}75$ $P(R\mid C)=0{,}05$ $P(R\mid E)=0{,}15$
Probabilidad total:
$P(R)$ ${}= P(C)\,P(R\mid C)$ ${}+P(E)\,P(R\mid E)$ ${}= 0{,}25\cdot 0{,}05+0{,}75\cdot 0{,}15$ ${}= 0{,}0125+0{,}1125$ ${}= 0{,}125$
Bayes:
$P(E\mid R)$ ${}= \frac{P(E)\,P(R\mid E)}{P(R)}$ ${}= \frac{0{,}1125}{0{,}125}$ ${}= 0{,}9$

ResultadoLa probabilidad de que una bicicleta escogida al azar necesite revisión posventa es $P(R)=0{,}125$ . Si la ha necesitado, la probabilidad de que sea eléctrica es $P(E\mid R)=0{,}9$ .

La pauta oficial da: $P(R)=0{,}125$ ; $P(E\mid R)=0{,}9$

b)1,25 puntos

Planteamiento Se pide un intervalo de confianza del 95 % para la proporción de bicicletas eléctricas que necesitan revisión, y decidir si ha bajado del 15 %. La muestra es grande ( $n=100$ ), así que usamos la fórmula de la proporción con $z_\gamma=1{,}96$ .

Proporción de la muestra:
$\hat p=\frac{8}{100}=0{,}08$
Error típico:
$\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}$ ${}= \sqrt{\frac{0{,}08\cdot 0{,}92}{100}}$ ${}= \sqrt{0{,}000736}$ ${}\approx 0{,}027129$
Margen de error:
$z_\gamma\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}$ ${}= 1{,}96\cdot 0{,}027129$ ${}\approx 0{,}053173$
Extremos:
$0{,}08-0{,}053173\approx 0{,}0268$ $0{,}08+0{,}053173\approx 0{,}1332$
El valor de antes, $0{,}15$ , queda fuera del intervalo, por encima de su extremo superior:
$0{,}1332<0{,}15$

ResultadoEl intervalo de confianza del 95 % para la proporción es $[0{,}0268;\ 0{,}1332]$ , es decir, entre un $2{,}68\ \%$ y un $13{,}32\ \%$ . Como todo el intervalo queda por debajo de $0{,}15$ , con una confianza del 95 % sí se puede afirmar que la proporción ha disminuido.

La pauta oficial da: $\hat p=0{,}08$ ; $[0{,}0268;\ 0{,}1332]$ (entre el $2{,}6\ \%$ y el $13{,}3\ \%$ )

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 2025, convocatoria ordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 30 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

El examen entero, resuelto Examen en catalán (PDF)Examen en castellano (PDF)Pauta de corrección (PDF)Reutilizado según el aviso legal de la Generalitat

2025Convocatoria extraordinaria · Serie 3 · Ejercicio 3

2,5 puntosLa pauta tiene un errorTambién en Inferencia estadística

Enunciado oficial del ejercicio 3 de la PAU de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales de Cataluña de 2025 (convocatoria extraordinaria), en castellano. El texto está en la página. — Enunciado oficial

En un parque natural, los visitantes pueden acceder en coche, en bicicleta o a pie. Una vez dentro del parque, los visitantes pueden hacer una ruta guiada o bien visitarlo por su cuenta.

Fórmulas para resolver el ejercicio:

• $Z$ ${}\sim \text{normal}\,(0,1)$ ${}\to P(-1{,}96\le Z\le 1{,}96)$ ${}= 0{,}95$ y $P(-2{,}58\le Z\le 2{,}58)=0{,}99$ • Intervalos de confianza con un nivel de confianza $\gamma\in(0,1)$ — para la proporción (muestras grandes): $\left[\hat p-z_\gamma\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\ \hat p+z_\gamma\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right]$ — para la media (muestras normales con la varianza $\sigma^2$ conocida): $\left[\bar x-z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \bar x+z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]$ — para la media (muestras grandes con la varianza $\sigma^2$ desconocida): $\left[\bar x-z_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}},\ \bar x+z_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}}\right]$

a) Se sabe que el 60 % de los visitantes acceden al parque en coche, el 15 % en bicicleta y el 25 % restante a pie. También se sabe que de los que llegan en coche el 80 % hacen la ruta guiada, mientras que de los que llegan en bicicleta la hacen el 60 % y de los que llegan a pie solo la hacen el 30 %.

Si se escoge un visitante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haga la ruta guiada? Si se sabe que ha hecho la ruta guiada, ¿cuál es la probabilidad de que haya accedido al parque en coche?

[1,25 puntos]

b) Se quiere realizar un estudio del tiempo que pasan de media los visitantes dentro del parque. Se ha preguntado a 100 visitantes cuánto rato han permanecido dentro del parque y se ha obtenido una media de 231 minutos con una desviación típica de 32 minutos.

Construya un intervalo de confianza del 95 % para el tiempo medio que pasan los visitantes dentro del parque.

[1,25 puntos]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

a)1,25 puntos

Planteamiento Llamamos $C$ , $B$ y $P$ al acceso en coche, en bicicleta y a pie, y $R$ a «hacer la ruta guiada». La probabilidad de hacer la ruta sale del teorema de la probabilidad total, y la de haber venido en coche sabiendo que la ha hecho, del teorema de Bayes.

Datos:
$P(C)$ ${}= 0{,}6,\ P(B)$ ${}= 0{,}15,\ P(P)$ ${}= 0{,}25$ $P(R\mid C)$ ${}= 0{,}8,\ P(R\mid B)$ ${}= 0{,}6,\ P(R\mid P)$ ${}= 0{,}3$
Probabilidad total:
$P(R)$ ${}= 0{,}6\cdot 0{,}8+0{,}15\cdot 0{,}6$ ${}+0{,}25\cdot 0{,}3$ ${}= 0{,}48+0{,}09+0{,}075$ ${}= 0{,}645$
Bayes:
$P(C\mid R)$ ${}= \frac{P(C)P(R\mid C)}{P(R)}$ ${}= \frac{0{,}48}{0{,}645}$ ${}= \frac{32}{43}$ ${}\approx 0{,}7442$

Resultado $P(R)=0{,}645$ y $P(C\mid R)=\dfrac{32}{43}\approx 0{,}7442$ .

La pauta oficial da: $P(R)=0{,}645$ ; $P(C\mid R)=0{,}7442$

b)1,25 puntos

Planteamiento La muestra es grande ( $n=100$ ) y no conocemos $\sigma$ : usamos la tercera fórmula, con la desviación típica de la muestra $s=32$ y $z_\gamma=1{,}96$ .

Margen de error:
$z_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}}$ ${}= 1{,}96\cdot\frac{32}{\sqrt{100}}$ ${}= 1{,}96\cdot 3{,}2$ ${}= 6{,}272$
Extremos del intervalo:
$231-6{,}272\approx 224{,}73$ $231+6{,}272\approx 237{,}27$

ResultadoEl intervalo de confianza del 95 % para el tiempo medio es $[224{,}73;\ 237{,}27]$ minutos.

La pauta oficial da: $[224{,}728;\ 237{,}272]$

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 2025, convocatoria extraordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 22 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

El examen entero, resuelto Examen en catalán (PDF)Examen en castellano (PDF)Pauta de corrección (PDF)Reutilizado según el aviso legal de la Generalitat

2025Convocatoria extraordinaria · Serie 3 · Ejercicio 4

2,5 puntosLa pauta redondea distintoTambién en Matrices, Funciones y derivadas

Enunciado oficial del ejercicio 4 de la PAU de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales de Cataluña de 2025 (convocatoria extraordinaria), en castellano. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Una empresa fabrica coches eléctricos y coches de motor de combustión. La empresa tiene tres líneas de fabricación: $L1$ , $L2$ y $L3$ . La siguiente tabla muestra el número de vehículos de cada tipo que hay en este momento en cada línea. Por otro lado, sabemos que el precio de venta de los vehículos eléctricos es de 40.000 € y el precio de venta de los vehículos de motor de combustión es de 30.000 €.

	Coches eléctricos	Coches de motor de combustión
$L1$	20	80
$L2$	30	100
$L3$	40	110

El coste medio de mantenimiento y consumo por cada 100 km es de 1 € para los vehículos eléctricos y de 6 € para los de motor de combustión.

El 2 % de la producción de vehículos de motor de combustión sale de la empresa con algún defecto, mientras que solo el 1 % de los vehículos eléctricos sale con alguna tara.

Escoja UNA de las dos opciones (A o B) y responda a las cuestiones que se plantean.

OPCIÓN A

a) Obtenga, mediante un producto de matrices, la matriz que expresa los ingresos por cada línea una vez que se hayan vendido todos los coches.

Si se escoge al azar uno de los vehículos que hay ahora en la fábrica, ¿cuál es la probabilidad de que sea de motor de combustión, si se sabe que ha salido defectuoso?

[1,5 puntos]

b) El coche eléctrico sale más caro de compra, pero los gastos por kilómetros recorridos son menores que los de uno de combustión. Determine la función que representa el gasto acumulado, entre la compra y los kilómetros recorridos, por cada tipo de vehículo en función del número de kilómetros recorridos, $x$ . Si un conductor hace 20.000 km al año, ¿a partir de cuántos años le saldrá más a cuenta el coche eléctrico que el de combustión?

[1 punto]

OPCIÓN B

a) Ha habido un error en el recuento de vehículos eléctricos de la $L2$ . El valor 30 de la tabla del enunciado es erróneo, pero se sabe que si se vendieran todos los vehículos de la $L2$ , los ingresos de esta línea serían de 3.720.000 €. ¿Cuántos coches eléctricos hay realmente en la $L2$ ?

Si se escoge al azar uno de los vehículos que hay ahora en la $L2$ , ¿cuál es la probabilidad de que sea de motor eléctrico, si se sabe que ha salido defectuoso?

[1,5 puntos]

b) Si se sabe que el gasto acumulado entre la compra y los kilómetros recorridos de un vehículo de combustión es de 36.000 €, ¿cuántos kilómetros lleva recorridos? ¿Qué gasto acumulado tendría un vehículo eléctrico que hubiera recorrido este mismo número de kilómetros?

[1 punto]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

Opción A

a)1,5 puntos

Planteamiento Los ingresos de cada línea son el número de coches eléctricos por $40\,000$ más el de coches de combustión por $30\,000$ : es el producto de la matriz de la tabla por el vector columna de precios. Para la probabilidad, llamamos $E$ , $C$ y $D$ a «eléctrico», «combustión» y «defectuoso», y usamos el teorema de Bayes.

Producto (filas: $L1$ , $L2$ , $L3$ ):
$\begin{pmatrix}20&80\\ 30&100\\ 40&110\end{pmatrix}\begin{pmatrix}40\,000\\ 30\,000\end{pmatrix}$ ${}= \begin{pmatrix}800\,000+2\,400\,000\\ 1\,200\,000+3\,000\,000\\ 1\,600\,000+3\,300\,000\end{pmatrix}$ ${}= \begin{pmatrix}3\,200\,000\\ 4\,200\,000\\ 4\,900\,000\end{pmatrix}$
En la fábrica hay $20+30+40=90$ coches eléctricos y $80+100+110=290$ de combustión, $380$ en total:
$P(E)=\frac{90}{380}$ $P(C)=\frac{290}{380}$ $P(D\mid E)=0{,}01$ $P(D\mid C)=0{,}02$
Bayes (el factor $\frac{1}{380}$ se simplifica):
$P(C\mid D)$ ${}= \frac{0{,}02\cdot 290}{0{,}02\cdot 290+0{,}01\cdot 90}$ ${}= \frac{5{,}8}{5{,}8+0{,}9}$ ${}= \frac{58}{67}$ ${}\approx 0{,}8657$

ResultadoIngresos por línea: $\begin{pmatrix}3\,200\,000\\ 4\,200\,000\\ 4\,900\,000\end{pmatrix}$ € ( $L1$ , $L2$ , $L3$ ). $P(C\mid D)=\dfrac{58}{67}\approx 0{,}8657$ .

La pauta oficial da: $(3\,200\,000;\ 4\,200\,000;\ 4\,900\,000)$ ; $P(C\mid D)=0{,}8657$

b)1 punto

Planteamiento El gasto acumulado es el precio de compra más el coste por kilómetro ( $\frac{1}{100}$ € o $\frac{6}{100}$ € por km) multiplicado por los kilómetros. Igualamos las dos funciones para encontrar dónde se cruzan.

Funciones de gasto (en euros, con $x$ en km):
$D_E(x)=40\,000+\frac{x}{100}$ $D_C(x)=30\,000+\frac{6x}{100}$
Igualamos:
$40\,000+0{,}01x$ ${}= 30\,000+0{,}06x$ ${}\Longrightarrow 10\,000$ ${}= 0{,}05x$ ${}\Longrightarrow x=200\,000\ \mathrm{km}$
Para $x>200\,000$ km, $D_E(x)<D_C(x)$ (la pendiente de $D_E$ es menor). Con $20\,000$ km al año:
$\frac{200\,000}{20\,000}=10$

Resultado $D_E(x)=40\,000+\dfrac{x}{100}$ y $D_C(x)=30\,000+\dfrac{6x}{100}$ . A los $10$ años ( $200\,000$ km) los gastos se igualan; a partir de entonces sale más a cuenta el coche eléctrico.

La pauta oficial da: $D_E(x)=40000+\frac{1}{100}x$ , $D_T(x)=30000+\frac{6}{100}x$ ; $x=200\,000$ ; $10$

Las dos rectas de gasto en función de los kilómetros: DE(x)=40 000+x/100 empieza más arriba pero crece más despacio que DC(x)=30 000+6x/100. Se cortan en el punto (200 000; 42 000); a la derecha de ese punto la recta del eléctrico queda por debajo.

Opción B

a)1,5 puntos

Planteamiento Si $x$ es el número real de eléctricos en $L2$ , los ingresos de la línea son $40\,000x+100\cdot 30\,000$ . Después aplicamos Bayes solo con los vehículos de $L2$ .

Ecuación:
$40\,000x+3\,000\,000$ ${}= 3\,720\,000$ ${}\Longrightarrow 40\,000x$ ${}= 720\,000$ ${}\Longrightarrow x=18$
En $L2$ hay $18$ eléctricos y $100$ de combustión ( $118$ en total):
$P(E)=\frac{18}{118}$ $P(C)=\frac{100}{118}$
Bayes (el factor $\frac{1}{118}$ se simplifica):
$P(E\mid D)$ ${}= \frac{0{,}01\cdot 18}{0{,}01\cdot 18+0{,}02\cdot 100}$ ${}= \frac{0{,}18}{2{,}18}$ ${}= \frac{9}{109}$ ${}\approx 0{,}0826$

ResultadoEn $L2$ hay realmente $18$ coches eléctricos. $P(E\mid D)=\dfrac{9}{109}\approx 0{,}0826$ .

La pauta oficial da: $x=18$ ; $P(E\mid D)=0{,}0825$

b)1 punto

Planteamiento Usamos las funciones de gasto: igualamos la de combustión a $36\,000$ € para encontrar los kilómetros y los sustituimos en la del eléctrico.

Combustión:
$30\,000+\frac{6x}{100}$ ${}= 36\,000$ ${}\Longrightarrow \frac{6x}{100}$ ${}= 6\,000$ ${}\Longrightarrow x=100\,000\ \mathrm{km}$
Eléctrico con los mismos kilómetros:
$D_E(100\,000)$ ${}= 40\,000+\frac{100\,000}{100}$ ${}= 41\,000$

ResultadoHa recorrido $100\,000$ km. Un coche eléctrico con los mismos kilómetros tendría un gasto acumulado de $41\,000$ €.

La pauta oficial da: $x=100\,000$ ; $41\,000$

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 2025, convocatoria extraordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 22 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

El examen entero, resuelto Examen en catalán (PDF)Examen en castellano (PDF)Pauta de corrección (PDF)Reutilizado según el aviso legal de la Generalitat

2024Convocatoria ordinaria · Serie 1 · Ejercicio 5

2,5 puntosCoincide con la pauta

Enunciado oficial del ejercicio 5 de la PAU de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales de Cataluña de 2024 (convocatoria ordinaria), en castellano. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Enunciado oficial del ejercicio 5 de la PAU de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales de Cataluña de 2024 (convocatoria ordinaria), en catalán. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Guiu y Roc son unos grandes aficionados al cine y ven muchas películas de la plataforma a la que están subscritos. Les gusta tanto que, si se elige una película de la plataforma al azar, la probabilidad de que Guiu la haya visto es de 0,5, la probabilidad de que Roc la haya visto es de 0,6 y la probabilidad de que ambos la hayan visto es de 0,25.

a) Si se elige una película al azar, calcule la probabilidad de que al menos uno de los dos la haya visto. Calcule también la probabilidad de que la haya visto Roc pero no Guiu.

[1,5 puntos]

b) Si se escoge una película al azar, calcule la probabilidad de que Guiu la haya visto si se sabe que al menos uno de los dos la ha visto.

[1 punto]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

a)1,5 puntos

Planteamiento Llamamos $G$ a «Guiu la ha visto» y $R$ a «Roc la ha visto». «Al menos uno de los dos» es la unión $G\cup R$ ; «Roc sí y Guiu no» es $R\cap\overline{G}$ .

Datos:
$P(G)=0{,}5$ $P(R)=0{,}6$ $P(G\cap R)=0{,}25$
Probabilidad de la unión:
$P(G\cup R)$ ${}= P(G)+P(R)-P(G\cap R)$ ${}= 0{,}5+0{,}6-0{,}25$ ${}= 0{,}85$
Las películas que ha visto Roc, menos las que han visto los dos:
$P(R\cap\overline{G})$ ${}= P(R)-P(G\cap R)$ ${}= 0{,}6-0{,}25$ ${}= 0{,}35$

Resultado $P(G\cup R)=0{,}85$ y $P(R\cap\overline{G})=0{,}35$ .

La pauta oficial da: $P(G\cup R)=0{,}85$ ; $P(R\cap\overline{G})=0{,}35$

b)1 punto

Planteamiento Es una probabilidad condicionada a $G\cup R$ . Si Guiu la ha visto, seguro que al menos uno de los dos la ha visto: $G\cap(G\cup R)=G$ .

Definición de probabilidad condicionada:
$P(G\mid G\cup R)$ ${}= \frac{P\big(G\cap(G\cup R)\big)}{P(G\cup R)}$ ${}= \frac{P(G)}{P(G\cup R)}$
Sustituimos (la unión se ha calculado en el apartado a):
$\frac{0{,}5}{0{,}85}=\frac{10}{17}\approx 0{,}5882$

Resultado $P(G\mid G\cup R)=\dfrac{10}{17}\approx 0{,}5882$ .

La pauta oficial da: $P(G\mid G\cup R)=0{,}5882$

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 2024, convocatoria ordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 22 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

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2024Convocatoria ordinaria · Serie 5 · Ejercicio 5

2,5 puntosCoincide con la pauta

En una cafetería, al mediodía, ofrecen la posibilidad de escoger entre el menú del día (opción A1) o un plato combinado (opción A2). Algunos clientes también toman café (opción B1) y otros no (opción B2). Si se selecciona a un cliente de la cafetería al azar, la probabilidad de que escoja el menú del día es de 0,6 y la probabilidad de que escoja un plato combinado es de 0,4. Por otro lado, la probabilidad de que tome café si escoge el menú del día es de 0,75, mientras que la probabilidad de que tome café si escoge un plato combinado es de 0,5.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente tome café?

[1,25 puntos]

b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya escogido el menú del día si se sabe que ha tomado café?

[1,25 puntos]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

a)1,25 puntos

Planteamiento Se pide la probabilidad de que un cliente tome café. Llamamos $A_1$ al suceso «el cliente escoge el menú del día», $A_2$ a «escoge un plato combinado» y $B_1$ a «toma café» (las opciones A1, A2 y B1 del enunciado). Como todo cliente escoge una de las dos comidas, la probabilidad de tomar café sale de la fórmula de la probabilidad total.

Datos del enunciado:
$P(A_1)=0{,}6$ $P(A_2)=0{,}4$ $P(B_1\mid A_1)=0{,}75$ $P(B_1\mid A_2)=0{,}5$
Probabilidad total (una rama del árbol por cada tipo de comida):
$P(B_1)$ ${}= P(A_1)\,P(B_1\mid A_1)$ ${}+P(A_2)\,P(B_1\mid A_2)$ ${}= 0{,}6\cdot 0{,}75+0{,}4\cdot 0{,}5$ ${}= 0{,}45+0{,}2$ ${}= 0{,}65$

ResultadoLa probabilidad de que el cliente tome café es $P(B_1)=0{,}65$ .

La pauta oficial da: $P(B_1)=0{,}65$

b)1,25 puntos

Planteamiento Se pide $P(A_1\mid B_1)$ : la probabilidad de haber escogido el menú del día sabiendo que el cliente ha tomado café. Es la condicionada «al revés» de los datos, así que usamos la fórmula de Bayes con $P(B_1)$ del apartado a.

Fórmula de Bayes:
$P(A_1\mid B_1)$ ${}= \frac{P(A_1\cap B_1)}{P(B_1)}$ ${}= \frac{P(A_1)\,P(B_1\mid A_1)}{P(B_1)}$ ${}= \frac{0{,}6\cdot 0{,}75}{0{,}65}$ ${}= \frac{0{,}45}{0{,}65}$ ${}= \frac{9}{13}$ ${}\approx 0{,}6923$
Comprobación: la otra comida, sabiendo que ha tomado café, tiene probabilidad $\frac{0{,}4\cdot 0{,}5}{0{,}65}=\frac{4}{13}$ , y las dos suman 1:
$\frac{9}{13}+\frac{4}{13}=1$

ResultadoSabiendo que ha tomado café, la probabilidad de que haya escogido el menú del día es $P(A_1\mid B_1)=\dfrac{9}{13}\approx 0{,}6923$ .

La pauta oficial da: $P(A_1\mid B_1)=0{,}6923$

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 2024, convocatoria ordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 30 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

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2024Convocatoria extraordinaria · Serie 3 · Ejercicio 5

2,5 puntosCoincide con la pauta

Enunciado oficial del ejercicio 5 de la PAU de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales de Cataluña de 2024 (convocatoria extraordinaria), en castellano. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Un centro deportivo tiene dos zonas: la zona de la piscina ( $A1$ ) y la zona del gimnasio ( $A2$ ). Los abonados deben escoger a cuál de las dos zonas (solo una) quieren acceder y también si desean ir al centro deportivo en horario de mañana (opción $B1$ ) o en horario de tarde (opción $B2$ ).

Si se selecciona a un abonado del centro al azar, se sabe que la probabilidad de que utilice la zona de la piscina es de 0,4 y la probabilidad de que utilice el gimnasio es de 0,6. Por otro lado, la probabilidad de que esté abonado en horario de mañana, si se sabe que utiliza la zona de la piscina, es de 0,55, mientras que la probabilidad de que esté abonado en horario de mañana, si se sabe que utiliza el gimnasio, es de 0,45.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el individuo esté abonado en horario de mañana?

[1,25 puntos]

b) Si se sabe que está abonado en horario de mañana, ¿cuál es la probabilidad de que utilice la zona de piscina?

[1,25 puntos]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

a)1,25 puntos

Planteamiento Cada abonado usa una sola zona, así que $A1$ y $A2$ se reparten todos los casos. La probabilidad de horario de mañana, $B1$ , se obtiene con el teorema de la probabilidad total.

Datos:
$P(A1)=0{,}4$ $P(A2)=0{,}6$ $P(B1\mid A1)=0{,}55$ $P(B1\mid A2)=0{,}45$
Probabilidad total:
$P(B1)$ ${}= P(A1)\,P(B1\mid A1)$ ${}+P(A2)\,P(B1\mid A2)$ ${}= 0{,}4\cdot 0{,}55+0{,}6\cdot 0{,}45$ ${}= 0{,}22+0{,}27$ ${}= 0{,}49$

Resultado $P(B1)=0{,}49$ .

La pauta oficial da: $P(B1)=0{,}49$

b)1,25 puntos

Planteamiento Se pide $P(A1\mid B1)$ : el teorema de Bayes, con el denominador del apartado a.

Teorema de Bayes:
$P(A1\mid B1)$ ${}= \frac{P(A1)\,P(B1\mid A1)}{P(B1)}$ ${}= \frac{0{,}22}{0{,}49}$ ${}= \frac{22}{49}$ ${}\approx 0{,}4490$

Resultado $P(A1\mid B1)=\dfrac{22}{49}\approx 0{,}4490$ .

La pauta oficial da: $P(A1\mid B1)=0{,}4490$

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 2024, convocatoria extraordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 22 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

El examen entero, resuelto Examen en catalán (PDF)Examen en castellano (PDF)Pauta de corrección (PDF)Reutilizado según el aviso legal de la Generalitat

Lo que más se ha repetido en los exámenes

Probabilidad total y Bayes con un árbol de sucesos

Calcular probabilidades con una tabla de recuentos (Laplace y condicionada)

Tipificar una normal (o aproximar una binomial por una normal) y calcular la probabilidad

Probabilidad de «al menos uno», de «uno sí y el otro no» y condicionada con datos sueltos

Los ejercicios, del más reciente al más antiguo

3.11,25 puntos

3.21,25 puntos

4.11,25 puntos

4.21,25 puntos

4.11,25 puntos

4.21,25 puntos

2.11,25 puntos

2.21,25 puntos

4.11,25 puntos

4.21,25 puntos

4.11,25 puntos

4.21,25 puntos

3.11,25 puntos

3.21,25 puntos

4.11,5 puntos

4.21 punto

4.11,5 puntos

4.21 punto

a)1 punto

b)1,5 puntos

a)1,25 puntos

b)1,25 puntos

a)1,25 puntos

b)1,25 puntos

a)1,25 puntos

b)1,25 puntos

a)1,25 puntos

b)1,25 puntos

a)1,5 puntos

b)1 punto

a)1,5 puntos

b)1 punto

a)1,5 puntos

b)1 punto

a)1,25 puntos

b)1,25 puntos

a)1,25 puntos

b)1,25 puntos

Errores típicos que penaliza la pauta

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