Matemáticas CCSS, PAU 2025 de Cataluña: el examen extraordinario resuelto

Planteamiento Llamamos $x$, $y$ y $z$ a los pares vendidos a precio original, con el 20 % y con el 50 % de descuento. El total de pares, la relación entre $y$ y $z$ y los ingresos dan un sistema de tres ecuaciones.

1. Precios rebajados:

   $0{,}8\cdot 90=72$$0{,}5\cdot 90=45$

2. Sistema (la tercera ecuación, dividida entre 9):

   $\begin{cases}x+y+z=820\,000\\ y=2z\\ 90x+72y+45z=63\,837\,000\end{cases}$${}\Longrightarrow \begin{cases}x+y+z=820\,000\\ y-2z=0\\ 10x+8y+5z=7\,093\,000\end{cases}$

3. Gauss: $F_3-10F_1$ y después $F_3+2F_2$:

   $\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&820\,000\\ 0&1&-2&0\\ 10&8&5&7\,093\,000\end{array}\right)$${}\to \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&820\,000\\ 0&1&-2&0\\ 0&-2&-5&-1\,107\,000\end{array}\right)$${}\to \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&820\,000\\ 0&1&-2&0\\ 0&0&-9&-1\,107\,000\end{array}\right)$

4. Resolvemos de abajo arriba:

   $z=\frac{1\,107\,000}{9}=123\,000$$y=2z=246\,000$$x$${}= 820\,000-246\,000$${}-123\,000$${}= 451\,000$

5. Comprobación de los ingresos:

   $90\cdot 451\,000$${}+72\cdot 246\,000$${}+45\cdot 123\,000$${}= 40\,590\,000$${}+17\,712\,000$${}+5\,535\,000$${}= 63\,837\,000$

Planteamiento Llamamos $C$, $B$ y $P$ al acceso en coche, en bicicleta y a pie, y $R$ a «hacer la ruta guiada». La probabilidad de hacer la ruta sale del teorema de la probabilidad total, y la de haber venido en coche sabiendo que la ha hecho, del teorema de Bayes.

1. Datos:

   $P(C)$${}= 0{,}6,\ P(B)$${}= 0{,}15,\ P(P)$${}= 0{,}25$$P(R\mid C)$${}= 0{,}8,\ P(R\mid B)$${}= 0{,}6,\ P(R\mid P)$${}= 0{,}3$

2. Probabilidad total:

   $P(R)$${}= 0{,}6\cdot 0{,}8+0{,}15\cdot 0{,}6$${}+0{,}25\cdot 0{,}3$${}= 0{,}48+0{,}09+0{,}075$${}= 0{,}645$

3. Bayes:

   $P(C\mid R)$${}= \frac{P(C)P(R\mid C)}{P(R)}$${}= \frac{0{,}48}{0{,}645}$${}= \frac{32}{43}$${}\approx 0{,}7442$

Planteamiento La muestra es grande ($n=100$) y no conocemos $\sigma$: usamos la tercera fórmula, con la desviación típica de la muestra $s=32$ y $z_\gamma=1{,}96$.

1. Margen de error:

   $z_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}}$${}= 1{,}96\cdot\frac{32}{\sqrt{100}}$${}= 1{,}96\cdot 3{,}2$${}= 6{,}272$

2. Extremos del intervalo:

   $231-6{,}272\approx 224{,}73$$231+6{,}272\approx 237{,}27$

Planteamiento Los ingresos de cada línea son el número de coches eléctricos por $40\,000$ más el de coches de combustión por $30\,000$: es el producto de la matriz de la tabla por el vector columna de precios. Para la probabilidad, llamamos $E$, $C$ y $D$ a «eléctrico», «combustión» y «defectuoso», y usamos el teorema de Bayes.

1. Producto (filas: $L1$, $L2$, $L3$):

   $\begin{pmatrix}20&80\\ 30&100\\ 40&110\end{pmatrix}\begin{pmatrix}40\,000\\ 30\,000\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}800\,000+2\,400\,000\\ 1\,200\,000+3\,000\,000\\ 1\,600\,000+3\,300\,000\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}3\,200\,000\\ 4\,200\,000\\ 4\,900\,000\end{pmatrix}$

2. En la fábrica hay $20+30+40=90$ coches eléctricos y $80+100+110=290$ de combustión, $380$ en total:

   $P(E)=\frac{90}{380}$$P(C)=\frac{290}{380}$$P(D\mid E)=0{,}01$$P(D\mid C)=0{,}02$

3. Bayes (el factor $\frac{1}{380}$ se simplifica):

   $P(C\mid D)$${}= \frac{0{,}02\cdot 290}{0{,}02\cdot 290+0{,}01\cdot 90}$${}= \frac{5{,}8}{5{,}8+0{,}9}$${}= \frac{58}{67}$${}\approx 0{,}8657$

Planteamiento El gasto acumulado es el precio de compra más el coste por kilómetro ($\frac{1}{100}$ € o $\frac{6}{100}$ € por km) multiplicado por los kilómetros. Igualamos las dos funciones para encontrar dónde se cruzan.

1. Funciones de gasto (en euros, con $x$ en km):

   $D_E(x)=40\,000+\frac{x}{100}$$D_C(x)=30\,000+\frac{6x}{100}$

2. Igualamos:

   $40\,000+0{,}01x$${}= 30\,000+0{,}06x$${}\Longrightarrow 10\,000$${}= 0{,}05x$${}\Longrightarrow x=200\,000\ \mathrm{km}$

3. Para $x>200\,000$ km, $D_E(x)<D_C(x)$ (la pendiente de $D_E$ es menor). Con $20\,000$ km al año:

   $\frac{200\,000}{20\,000}=10$

Resultado$D_E(x)=40\,000+\dfrac{x}{100}$ y $D_C(x)=30\,000+\dfrac{6x}{100}$. A los $10$ años ($200\,000$ km) los gastos se igualan; a partir de entonces sale más a cuenta el coche eléctrico.

La pauta oficial da: $D_E(x)=40000+\frac{1}{100}x$, $D_T(x)=30000+\frac{6}{100}x$; $x=200\,000$; $10$

Planteamiento Si $x$ es el número real de eléctricos en $L2$, los ingresos de la línea son $40\,000x+100\cdot 30\,000$. Después aplicamos Bayes solo con los vehículos de $L2$.

1. Ecuación:

   $40\,000x+3\,000\,000$${}= 3\,720\,000$${}\Longrightarrow 40\,000x$${}= 720\,000$${}\Longrightarrow x=18$

2. En $L2$ hay $18$ eléctricos y $100$ de combustión ($118$ en total):

   $P(E)=\frac{18}{118}$$P(C)=\frac{100}{118}$

3. Bayes (el factor $\frac{1}{118}$ se simplifica):

   $P(E\mid D)$${}= \frac{0{,}01\cdot 18}{0{,}01\cdot 18+0{,}02\cdot 100}$${}= \frac{0{,}18}{2{,}18}$${}= \frac{9}{109}$${}\approx 0{,}0826$

Planteamiento Usamos las funciones de gasto: igualamos la de combustión a $36\,000$ € para encontrar los kilómetros y los sustituimos en la del eléctrico.

1. Combustión:

   $30\,000+\frac{6x}{100}$${}= 36\,000$${}\Longrightarrow \frac{6x}{100}$${}= 6\,000$${}\Longrightarrow x=100\,000\ \mathrm{km}$

2. Eléctrico con los mismos kilómetros:

   $D_E(100\,000)$${}= 40\,000+\frac{100\,000}{100}$${}= 41\,000$