Matemáticas CCSS, PAU 2026 de Cataluña: el examen de junio (serie 1) resuelto

Planteamiento Llamamos $x$, $y$ y $z$ a los precios (en euros) de una caja de fresas, de albaricoques y de cerezas. Los dos pedidos dan un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas; lo resolvemos dejando $z$ como parámetro.

1. Sistema:

   $\begin{cases}5x+3y+4z=120\\ 2x+y+3z=56\end{cases}$

2. Método de Gauss: a la segunda fila le hacemos $5F_2-2F_1$:

   $\left(\begin{array}{ccc|c}5&3&4&120\\ 2&1&3&56\end{array}\right)$${}\to \left(\begin{array}{ccc|c}5&3&4&120\\ 0&-1&7&40\end{array}\right)$

3. De la segunda ecuación:

   $-y+7z=40\ \Longrightarrow\ y=7z-40$

4. Sustituimos en la primera:

   $5x$${}= 120-3(7z-40)-4z$${}= 240-25z$${}\Longrightarrow x=48-5z$

5. Precio del nuevo pedido:

   $6x+4y+2z$${}= 6(48-5z)$${}+4(7z-40)+2z$${}= 288-30z+28z$${}-160+2z$${}= 128$

6. El término en $z$ se anula ($-30z+28z+2z=0$), así que el precio de este pedido no depende del precio de las cerezas.

Planteamiento Si conocemos $y$, la expresión $y=7z-40$ del apartado anterior da $z$, y con $z$ obtenemos $x$.

1. Con $y=12{,}5$:

   $7z-40=12{,}5\ \Longrightarrow\ z=\frac{52{,}5}{7}=7{,}5$

2. Precio de las fresas:

   $x=48-5\cdot 7{,}5=48-37{,}5=10{,}5$

3. Comprobación con los dos pedidos:

   $5\cdot 10{,}5+3\cdot 12{,}5+4\cdot 7{,}5=120$$2\cdot 10{,}5+12{,}5+3\cdot 7{,}5=56$

Planteamiento $X$ cuenta los éxitos (páginas eficientes) en $2\,500$ pruebas independientes con la misma probabilidad $p=0{,}5$: es una binomial. Como $n$ es grande, la aproximamos por una normal con la misma media y la misma varianza, y tipificamos.

1. Distribución de $X$:

   $X\sim B(n=2\,500,\ p=0{,}5)$

2. Media y desviación típica de la binomial:

   $\mu=np=2\,500\cdot 0{,}5=1\,250$$\sigma$${}= \sqrt{np(1-p)}$${}= \sqrt{2\,500\cdot 0{,}5\cdot 0{,}5}$${}= \sqrt{625}$${}= 25$

3. Aproximamos $X$ por una normal de media $1\,250$ y desviación típica $25$ (sin corrección por continuidad) y tipificamos:

   $P(X\le 1\,299)$${}\approx P\left(Z\le \frac{1\,299-1\,250}{25}\right)$${}= P(Z\le 1{,}96)$

4. Del dato $P(-1{,}96\le Z\le 1{,}96)=0{,}95$, por simetría cada cola deja $\frac{1-0{,}95}{2}=0{,}025$:

   $P(Z\le 1{,}96)=0{,}95+0{,}025=0{,}975$

Planteamiento La muestra es grande y no conocemos $\sigma$, así que usamos la tercera fórmula, con la desviación típica muestral $s$; para el 95 %, $z_\gamma=1{,}96$. Después comparamos el intervalo con los 3 segundos.

1. Margen de error:

   $z_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}}$${}= 1{,}96\cdot\frac{0{,}38}{\sqrt{2\,500}}$${}= 1{,}96\cdot\frac{0{,}38}{50}$${}= 1{,}96\cdot 0{,}0076$${}= 0{,}014896$

2. Extremos del intervalo:

   $2{,}95-0{,}014896\approx 2{,}9351$$2{,}95+0{,}014896\approx 2{,}9649$

3. Todo el intervalo queda por debajo de 3 segundos, así que, con una confianza del 95 %, el tiempo medio $\mu$ es inferior a 3 segundos.

4. El tiempo de carga $T$ es normal, y la normal es simétrica respecto de su media: la mitad de las páginas tarda menos que $\mu$. Si $\mu<3$:

   $P(T<3)>P(T<\mu)=0{,}5$

Planteamiento Todos los estudiantes tienen la misma probabilidad de ser escogidos, así que aplicamos la regla de Laplace con los recuentos de la tabla. Cuando sabemos que el estudiante hace máster, los casos posibles son solo los $533$ estudiantes de máster (probabilidad condicionada).

1. Doctorado y Letras: $48$ estudiantes de un total de $2\,000$:

   $P(D\cap L)=\frac{48}{2\,000}=\frac{3}{125}=0{,}024$

2. Ingeniería sabiendo que hace máster: $178$ de los $533$ estudiantes de máster:

   $P(I\mid M)$${}= \frac{P(I\cap M)}{P(M)}$${}= \frac{178/2\,000}{533/2\,000}$${}= \frac{178}{533}$${}\approx 0{,}3340$

Planteamiento Ponemos las facultades en las filas y los niveles en las columnas. Sumar las filas equivale a multiplicar por la izquierda por el vector fila $(1\ 1\ 1)$; el importe total es el producto del vector de totales por el vector columna de precios.

1. Matriz de la tabla (filas: C, I, L; columnas: G, M, D):

   $A$${}= \begin{pmatrix}450&172&41\\ 445&178&45\\ 438&183&48\end{pmatrix}$

2. Totales por nivel:

   $T$${}= (1\ \ 1\ \ 1)\cdot A$${}= (450+445+438\ \ \ 172+178+183\ \ \ 41+45+48)$${}= (1\,333\ \ \ 533\ \ \ 134)$

3. Vector de precios de matrícula (G, M, D), en euros:

   $P$${}= \begin{pmatrix}1\,000\\ 1\,500\\ 500\end{pmatrix}$

4. Importe total:

   $T\cdot P$${}= 1\,333\cdot 1\,000$${}+533\cdot 1\,500$${}+134\cdot 500$${}= 1\,333\,000+799\,500$${}+67\,000$${}= 2\,199\,500$

Planteamiento Regla de Laplace con los recuentos de la tabla. Si sabemos que el estudiante es de Ingeniería, los casos posibles son solo los $668$ estudiantes de esa facultad.

1. Máster y Ciencias: $172$ estudiantes de un total de $2\,000$:

   $P(M\cap C)=\frac{172}{2\,000}=\frac{43}{500}=0{,}086$

2. Máster sabiendo que es de Ingeniería: $178$ de los $668$ estudiantes de Ingeniería:

   $P(M\mid I)=\frac{178}{668}=\frac{89}{334}\approx 0{,}2665$

Planteamiento Llamamos $x$, $y$ y $z$ a los becados de grado, de máster y de doctorado. Cada frase del enunciado es una ecuación; los totales de grado y de máster los sacamos de la tabla.

1. Total de becados:

   $x+y+z=1\,036$

2. La mitad de los estudiantes de grado y máster ($1\,333$ y $533$ en la tabla) están becados:

   $x+y=\frac{1\,333+533}{2}=\frac{1\,866}{2}=933$

3. Tantos becados de máster como de doctorado:

   $y=z$

4. Gauss (orden $x$, $y$, $z$): $F_2-F_1$ y después $F_3+F_2$:

   $\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&1\,036\\ 1&1&0&933\\ 0&1&-1&0\end{array}\right)$${}\to \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&1\,036\\ 0&0&-1&-103\\ 0&1&-1&0\end{array}\right)$${}\to \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&1\,036\\ 0&0&-1&-103\\ 0&1&-2&-103\end{array}\right)$

5. De la segunda fila, $z=103$; de la tercera, $y=2z-103=103$; y de la primera:

   $x=1\,036-103-103=830$