Matemáticas CCSS, PAU 2024 de Cataluña: el examen de junio (serie 5) resuelto

Planteamiento Se pide el precio sin descuento de cada tipo de maleta. Llamamos $x$, $y$ y $z$ a los precios (en euros) de la maleta pequeña, la mediana y la grande; cada dato del enunciado es una ecuación.

1. La grande cuesta lo mismo que la pequeña y la mediana juntas:

   $z=x+y$

2. El lote de una maleta de cada tamaño:

   $x+y+z=240$

3. El lote de dos pequeñas, una mediana y una grande cuesta $2x+y+z$ sin descuento; con el 10 % de descuento se paga el 90 % de ese total:

   $0{,}9\,(2x+y+z)$${}= 256{,}5$${}\Longrightarrow 2x+y+z$${}= \frac{256{,}5}{0{,}9}$${}= 285$

4. Sistema (orden $x$, $y$, $z$; la primera ecuación pasada a $x+y-z=0$) y método de Gauss con $F_2-F_1$ y $F_3-2F_1$, con el lote de tres maletas en la primera fila:

   $\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&240\\ 1&1&-1&0\\ 2&1&1&285\end{array}\right)$${}\to \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&240\\ 0&0&-2&-240\\ 0&-1&-1&-195\end{array}\right)$

5. De la segunda fila, $-2z=-240$, es decir, $z=120$. De la tercera:

   $-y-120=-195\ \Longrightarrow\ y=75$

6. Y de la primera:

   $x=240-75-120=45$

7. Comprobación: la grande cuesta lo mismo que las otras dos juntas ($45+75=120$) y el segundo lote cuesta

   $0{,}9\cdot(2\cdot 45+75+120)$${}= 0{,}9\cdot 285$${}= 256{,}5$

Planteamiento Se pide el beneficio diario en función de $x$, los euros que sube el precio. Si el precio sube $x$ euros, cada vehículo se alquila a $50+x$ euros y se alquilan $250-2x$ vehículos. El beneficio es lo que se ingresa menos lo que cuesta el mantenimiento de los vehículos alquilados.

1. Ingresos diarios: precio de un alquiler por número de vehículos alquilados:

   $I(x)$${}= (50+x)(250-2x)$${}= 12\,500-100x$${}+250x-2x^2$${}= -2x^2+150x+12\,500$

2. Costes diarios: $1$ € por vehículo alquilado:

   $C(x)=1\cdot(250-2x)=250-2x$

3. Beneficio:

   $B(x)$${}= I(x)-C(x)$${}= -2x^2+150x$${}+12\,500-(250-2x)$${}= -2x^2+152x+12\,250$

4. Comprobación con $x=0$: se alquilan los 250 vehículos a 50 €, y el beneficio es $250\cdot 50-250=12\,250$ €. Además, el número de vehículos alquilados no puede ser negativo: $250-2x\ge 0$, es decir, $0\le x\le 125$.

Planteamiento Se pide el precio que hace máximo el beneficio y el valor de ese beneficio máximo. Buscamos el máximo de $B(x)$ en $[0,125]$ con la derivada, justificamos que es un máximo con el signo de $B'$ y después pasamos de $x$ al precio.

1. Derivamos e igualamos a cero:

   $B'(x)$${}= -4x+152=0$${}\Longrightarrow x=\frac{152}{4}$${}= 38$

2. Signo de la derivada a cada lado de $x=38$:

   $B'(30)=32>0$$B'(40)=-8<0$

3. $B$ crece en $[0,38)$ y decrece en $(38,125]$: en $x=38$ hay un máximo, y es el mayor valor de todo el dominio. Precio del alquiler y vehículos alquilados:

   $50+38=88$$250-2\cdot 38=174$

4. Beneficio máximo:

   $B(38)$${}= -2\cdot 38^2+152\cdot 38$${}+12\,250$${}= -2\,888+5\,776+12\,250$${}= 15\,138$

ResultadoHay que alquilar cada vehículo a $88$ € al día (se alquilan $174$ vehículos). El beneficio máximo es de $15\,138$ € diarios (véase la gráfica).

La pauta oficial da: $B'(x)=-4x+152$; $x=38$; $50+38=88\ \text{€}$; $B(38)=15138\ \text{€}$

Planteamiento Se pide la matriz de ventas del primer mes y lo que se facturó a cada cliente con un producto de matrices. Ponemos los clientes en las filas y los productos ($N$, $P$, $B$) en las columnas; al multiplicar esta matriz por el vector columna de precios, cada fila da lo que pagó un cliente.

1. Matriz de ventas $V$ (filas: $C1$, $C2$, $C3$; columnas: $N$, $P$, $B$). El primer cliente no compró palabras decorativas y el tercero solo compró peonzas:

   $V$${}= \begin{pmatrix}2&0&3\\ 1&2&5\\ 0&0&4\end{pmatrix}$

2. Vector columna de precios ($N$, $P$, $B$), en euros. Una matriz $3\times 3$ por una $3\times 1$ da una $3\times 1$, un importe por cliente:

   $p$${}= \begin{pmatrix}20\\ 18\\ 6\end{pmatrix}$

3. Producto, cada fila por el vector de precios:

   $V\cdot p$${}= \begin{pmatrix}2\cdot 20+0\cdot 18+3\cdot 6\\ 1\cdot 20+2\cdot 18+5\cdot 6\\ 0\cdot 20+0\cdot 18+4\cdot 6\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}58\\ 86\\ 24\end{pmatrix}$

Planteamiento Se pide el precio de cada producto en el segundo mes. Llamamos $x$, $y$ y $z$ a los precios (en euros) de un nombre personalizado, una palabra decorativa y una peonza. Como en el apartado a, la matriz de ventas por el vector de precios da lo que se facturó a cada cliente: eso es un sistema de tres ecuaciones.

1. Igualamos el producto a lo facturado:

   $\begin{pmatrix}3&1&2\\ 2&0&4\\ 1&2&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}78\\ 52\\ 62\end{pmatrix}$${}\Longrightarrow \begin{cases}3x+y+2z=78\\ 2x+4z=52\\ x+2y+3z=62\end{cases}$

2. Método de Gauss con la tercera ecuación en la primera fila: $F_2-2F_1$, $F_3-3F_1$ y, después, $4F_3-5F_2$:

   $\left(\begin{array}{ccc|c}1&2&3&62\\ 2&0&4&52\\ 3&1&2&78\end{array}\right)$${}\to \left(\begin{array}{ccc|c}1&2&3&62\\ 0&-4&-2&-72\\ 0&-5&-7&-108\end{array}\right)$${}\to \left(\begin{array}{ccc|c}1&2&3&62\\ 0&-4&-2&-72\\ 0&0&-18&-72\end{array}\right)$

3. De abajo arriba:

   $z=\frac{-72}{-18}=4$$-4y-2\cdot 4=-72\ \Longrightarrow\ y=16$$x=62-2\cdot 16-3\cdot 4=18$

4. Comprobación con el primer cliente:

   $3\cdot 18+16+2\cdot 4=54+16+8=78$

5. Los tres precios son más bajos que los del primer mes ($20$, $18$ y $6$ €), como corresponde al descuento.

Planteamiento Se pide la probabilidad de que un cliente tome café. Llamamos $A_1$ al suceso «el cliente escoge el menú del día», $A_2$ a «escoge un plato combinado» y $B_1$ a «toma café» (las opciones A1, A2 y B1 del enunciado). Como todo cliente escoge una de las dos comidas, la probabilidad de tomar café sale de la fórmula de la probabilidad total.

1. Datos del enunciado:

   $P(A_1)=0{,}6$$P(A_2)=0{,}4$$P(B_1\mid A_1)=0{,}75$$P(B_1\mid A_2)=0{,}5$

2. Probabilidad total (una rama del árbol por cada tipo de comida):

   $P(B_1)$${}= P(A_1)\,P(B_1\mid A_1)$${}+P(A_2)\,P(B_1\mid A_2)$${}= 0{,}6\cdot 0{,}75+0{,}4\cdot 0{,}5$${}= 0{,}45+0{,}2$${}= 0{,}65$

Planteamiento Se pide $P(A_1\mid B_1)$: la probabilidad de haber escogido el menú del día sabiendo que el cliente ha tomado café. Es la condicionada «al revés» de los datos, así que usamos la fórmula de Bayes con $P(B_1)$ del apartado a.

1. Fórmula de Bayes:

   $P(A_1\mid B_1)$${}= \frac{P(A_1\cap B_1)}{P(B_1)}$${}= \frac{P(A_1)\,P(B_1\mid A_1)}{P(B_1)}$${}= \frac{0{,}6\cdot 0{,}75}{0{,}65}$${}= \frac{0{,}45}{0{,}65}$${}= \frac{9}{13}$${}\approx 0{,}6923$

2. Comprobación: la otra comida, sabiendo que ha tomado café, tiene probabilidad $\frac{0{,}4\cdot 0{,}5}{0{,}65}=\frac{4}{13}$, y las dos suman 1:

   $\frac{9}{13}+\frac{4}{13}=1$

Planteamiento Se pide un intervalo de confianza del 95 % para el tiempo medio diario. La muestra es grande ($n=175$) y no conocemos la desviación típica de la población, así que usamos la fórmula de la nota con la desviación típica de la muestra, $s=7$, y $z_\gamma=1{,}96$.

1. Datos:

   $n=175$$\bar x=90$$s=7$$z_\gamma=1{,}96$

2. Error típico de la media:

   $\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{7}{\sqrt{175}}\approx 0{,}52915$

3. Margen de error:

   $z_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}}$${}= 1{,}96\cdot 0{,}52915$${}\approx 1{,}0371$

4. Extremos del intervalo:

   $90-1{,}0371\approx 88{,}96$$90+1{,}0371\approx 91{,}04$

Planteamiento Se pide el intervalo del 99 % y explicar por qué es distinto del anterior y qué dice cada uno. Con los mismos datos, solo cambia $z_\gamma$: para el 99 % es $2{,}58$.

1. Margen de error con $z_\gamma=2{,}58$ (el error típico es el mismo, $0{,}52915$):

   $z_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}}$${}= 2{,}58\cdot 0{,}52915$${}\approx 1{,}3652$

2. Extremos:

   $90-1{,}3652\approx 88{,}63$$90+1{,}3652\approx 91{,}37$

3. Los dos intervalos están centrados en la media de la muestra, $90$ minutos, pero el del 99 % es más ancho: para tener más confianza hay que usar un $z_\gamma$ mayor ($2{,}58$ en lugar de $1{,}96$), y el margen de error crece en la misma proporción:

   $\frac{1{,}3652}{1{,}0371}$${}\approx \frac{2{,}58}{1{,}96}$${}\approx 1{,}32$

4. Cada intervalo es un rango de valores posibles para el tiempo medio diario de todo el alumnado del instituto, no de un estudiante concreto. El del 95 % se ha construido con un método que acierta (es decir, que contiene la media real) en el 95 % de las muestras; el del 99 %, en el 99 %. Se gana confianza a cambio de perder precisión.