Matemáticas CCSS, PAU 2025 de Cataluña: el examen de junio (serie 1) resuelto

Planteamiento El valor inicial es $f(0)$ y el beneficio, $f(24)-f(0)$. Para el máximo en un intervalo cerrado, buscamos los extremos relativos con la derivada y los comparamos con los valores en los extremos del intervalo.

1. Valor inicial y final:

   $f(0)=250$$f(24)$${}= \frac{24^3}{3}-\frac{35\cdot 24^2}{2}$${}+300\cdot 24+250$${}= 4\,608-10\,080$${}+7\,200+250$${}= 1\,978$

2. Beneficio al cabo de 24 horas:

   $1\,978-250=1\,728$

3. Derivada y puntos críticos:

   $f'(x)$${}= x^2-35x+300$${}= (x-15)(x-20)=0$${}\Longrightarrow x=15$$\text{o}\ \ x=20$

4. Signo de la derivada en un punto de cada tramo:

   $f'(10)=50>0$$f'(17)=-6<0$$f'(22)=14>0$

5. $f$ crece en $[0,15)$, decrece en $(15,20)$ y crece en $(20,24]$: máximo relativo en $x=15$ y mínimo relativo en $x=20$. El máximo absoluto está en $x=15$ o en $x=24$:

   $f(15)$${}= 1\,125-3\,937{,}5$${}+4\,500+250$${}= 1\,937{,}5$${}< f(24)$${}= 1\,978$

ResultadoValor inicial $250$ €; al cabo de 24 horas ha ganado $1\,728$ €. El valor máximo se alcanza al final del día, $x=24$, y es de $1\,978$ €.

La pauta oficial da: $f(0)=250$; $1978-250=1728$; $f(15)=1937{,}5$; $\max f(24)=1978$

Planteamiento Por el crecimiento del apartado a, el mínimo absoluto solo puede estar al principio, $x=0$, o en el mínimo relativo, $x=20$. Si el mínimo es positivo, la inversión nunca es negativa.

1. Valor en el mínimo relativo:

   $f(20)$${}= \frac{8\,000}{3}-7\,000+6\,000$${}+250$${}= \frac{5\,750}{3}$${}\approx 1\,916{,}7$

2. Comparamos con el valor inicial:

   $f(0)=250<\frac{5\,750}{3}$

Planteamiento Si $X$ es el peso, $X\sim N(580,\,25)$ (media y desviación típica). Tipificamos con $Z=\frac{X-580}{25}$ y usamos el valor de $Z$ que da el enunciado.

1. Tipificamos los dos extremos:

   $\frac{531-580}{25}=\frac{-49}{25}=-1{,}96$$\frac{629-580}{25}=\frac{49}{25}=1{,}96$

2. Por tanto:

   $P(531\le X\le 629)$${}= P(-1{,}96\le Z\le 1{,}96)$${}= 0{,}95$

Planteamiento La población es normal con $\sigma=25$ conocida, así que usamos la segunda fórmula con $z_\gamma=1{,}96$. Si el intervalo contiene 580 kg, los datos no permiten decir que la media haya cambiado.

1. Media de la muestra:

   $\bar x$${}= \frac{569+575+611+581+583+614+589+555+566+571}{10}$${}= \frac{5\,814}{10}$${}= 581{,}4$

2. Margen de error:

   $z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$${}= 1{,}96\cdot\frac{25}{\sqrt{10}}$${}= \frac{49}{\sqrt{10}}$${}\approx 15{,}50$

3. Extremos del intervalo:

   $581{,}4-\frac{49}{\sqrt{10}}\approx 565{,}90$$581{,}4+\frac{49}{\sqrt{10}}\approx 596{,}90$

4. El valor de antes, $580$, está dentro del intervalo:

   $565{,}90<580<596{,}90$

Planteamiento Llamamos $U$, $S$ e $I$ a los tres niveles (universidad, secundaria, infantil y primaria) y $A$ a «ser mujer». La probabilidad de ser mujer sale del teorema de la probabilidad total, y la de ser de secundaria sabiendo que es mujer, del teorema de Bayes.

1. Datos (el resto, $1-0{,}1-0{,}5$, es infantil y primaria):

   $P(U)=0{,}1,\ P(S)=0{,}5,\ P(I)=0{,}4$$P(A\mid U)$${}= 0{,}4,\ P(A\mid S)$${}= 0{,}52,\ P(A\mid I)$${}= 0{,}65$

2. Probabilidad total:

   $P(A)$${}= 0{,}1\cdot 0{,}4+0{,}5\cdot 0{,}52$${}+0{,}4\cdot 0{,}65$${}= 0{,}04+0{,}26+0{,}26$${}= 0{,}56$

3. Bayes:

   $P(S\mid A)$${}= \frac{P(S)P(A\mid S)}{P(A)}$${}= \frac{0{,}26}{0{,}56}$${}= \frac{13}{28}$${}\approx 0{,}4643$

Planteamiento Llamamos $x$, $y$ y $z$ a los inscritos de universidad, de secundaria y de infantil y primaria. Los porcentajes de cada nivel y el número de mujeres dan tres ecuaciones.

1. El 10 % del total es de universidad y el 50 %, de secundaria:

   $x=0{,}1(x+y+z)\Rightarrow -9x+y+z=0$$y=0{,}5(x+y+z)\Rightarrow x-y+z=0$

2. Las mujeres son 476:

   $0{,}4x+0{,}52y+0{,}65z$${}= 476$${}\Rightarrow 40x+52y+65z$${}= 47\,600$

3. Gauss con $F_1:\ x-y+z=0$. Hacemos $F_2+9F_1$ y $F_3-40F_1$:

   $\left(\begin{array}{ccc|c}1&-1&1&0\\ -9&1&1&0\\ 40&52&65&47\,600\end{array}\right)$${}\to \left(\begin{array}{ccc|c}1&-1&1&0\\ 0&-8&10&0\\ 0&92&25&47\,600\end{array}\right)$

4. De la segunda fila, $y=\frac{5}{4}z$. En la tercera:

   $92\cdot\frac{5}{4}z+25z$${}= 115z+25z$${}= 140z$${}= 47\,600$${}\Rightarrow z=340$

5. Las otras incógnitas:

   $y=\frac{5}{4}\cdot 340=425$$x=y-z=425-340=85$

6. Comprobación por otro camino: $P(A)=0{,}56$ es la fracción de mujeres, así que el total de inscritos es

   $\frac{476}{0{,}56}=850$$0{,}1\cdot 850=85$$0{,}5\cdot 850=425$$0{,}4\cdot 850=340$

Planteamiento Con $1\,000$ personas y los mismos porcentajes, el pedido es el vector fila de detalles de cada tipo. Multiplicado por la matriz de precios, cada componente da el coste total en una empresa.

1. Pedido: el 10 %, el 50 % y el 40 % de $1\,000$:

   $(x,y,z)=(100,\ 500,\ 400)$

2. Producto:

   $(100\ \ 500\ \ 400)\begin{pmatrix}1{,}25&1&1{,}25\\ 0{,}75&1&1{,}15\\ 1&0{,}85&0{,}80\end{pmatrix}$${}= (125+375+400\ \ \ 100+500+340\ \ \ 125+575+320)$${}= (900\ \ \ 940\ \ \ 1\,020)$

Planteamiento Si se aplica $x$ veces el descuento, el precio es $80-x$ y las reservas, $100+2x$; los ingresos son el producto. Buscamos el máximo de esta parábola con la derivada.

1. Función de ingresos:

   $I(x)$${}= (80-x)(100+2x)$${}= -2x^2+60x+8\,000$

2. Derivada:

   $I'(x)=-4x+60=0\ \Longrightarrow\ x=15$

3. Para $x<15$, $I'(x)>0$, y para $x>15$, $I'(x)<0$: es un máximo. Precio e ingresos:

   $80-15=65$$I(15)=65\cdot 130=8\,450$