Matemáticas CCSS, PAU 2026 de Cataluña: el examen de junio (serie 5) resuelto

Planteamiento Se piden dos probabilidades: la de que un alumno use la T-joven (probabilidad total, con los tres medios de transporte) y la de que llegue en tren sabiendo que usa la T-joven (Bayes). Llamamos $T$, $B$ y $M$ a llegar en tren, en autobús y por medios propios, y $J$ a usar la T-joven.

1. Datos (los medios propios son el resto, $1-0{,}45-0{,}35=0{,}2$):

   $P(T)=0{,}45$$P(B)=0{,}35$$P(M)=0{,}2$$P(J\mid T)=0{,}7$$P(J\mid B)=0{,}6$$P(J\mid M)=0$

2. Probabilidad total:

   $P(J)$${}= P(T)\,P(J\mid T)$${}+P(B)\,P(J\mid B)$${}+P(M)\,P(J\mid M)$${}= 0{,}45\cdot 0{,}7+0{,}35\cdot 0{,}6$${}+0{,}2\cdot 0$${}= 0{,}315+0{,}21$${}= 0{,}525$

3. Bayes:

   $P(T\mid J)$${}= \frac{P(T)\,P(J\mid T)}{P(J)}$${}= \frac{0{,}315}{0{,}525}$${}= \frac{3}{5}=0{,}6$

Planteamiento Se pide un intervalo de confianza del 95 % para el tiempo medio que tarda el alumnado en llegar al campus. La muestra es grande ($n=300$) y la desviación típica que tenemos es la de la muestra, $s=8$, así que usamos la tercera fórmula con $z_\gamma=1{,}96$.

1. Datos:

   $n=300$$\bar x=53$$s=8$$z_\gamma=1{,}96$

2. Error típico y margen de error:

   $\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{8}{\sqrt{300}}\approx 0{,}46188$$z_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}}$${}= 1{,}96\cdot 0{,}46188$${}\approx 0{,}9053$

3. Extremos del intervalo:

   $53-0{,}9053\approx 52{,}09$$53+0{,}9053\approx 53{,}91$

Planteamiento Se pide comprobar la función de asistentes $f(x)$, con $x$ el precio de la entrada en euros, y hallar el precio con el que se llena el local (320 personas) y el precio con el que no acude nadie.

1. La relación es lineal: por cada euro de más se pierden 20 clientes (pendiente $-20$) y con 15 € acuden 180 clientes, así que la recta pasa por $(15,180)$:

   $f(x)$${}= 180-20(x-15)$${}= 180-20x+300$${}= 480-20x$

2. Local lleno, 320 personas:

   $480-20x$${}= 320$${}\Longrightarrow 20x$${}= 160$${}\Longrightarrow x=8$

3. Como $f$ es decreciente, con un precio de 8 € o menos acuden al menos 320 personas y el local se llena. No acude nadie cuando

   $480-20x=0\ \Longrightarrow\ x=\frac{480}{20}=24$

Planteamiento Se pide la función de ingresos según el precio y su valor a 15 € y a 18 €. Los ingresos son el precio de la entrada por el número de asistentes.

1. Ingresos (el modelo vale entre 8 € y 24 €: por debajo de 8 € el aforo limita la asistencia a 320 personas, y por encima de 24 € no acude nadie):

   $I(x)$${}= x\cdot f(x)$${}= x(480-20x)$${}= -20x^2+480x$$8\le x\le 24$

2. Con la entrada a 15 € y a 18 €:

   $I(15)=15\cdot 180=2\,700$$I(18)$${}= 18\cdot(480-360)$${}= 18\cdot 120$${}= 2\,160$

Planteamiento Se pide el precio que hace máximos los ingresos y el valor de esos ingresos. Buscamos el máximo de $I(x)$ en $[8,24]$ con la derivada y justificamos que es un máximo con su signo.

1. Derivamos e igualamos a cero:

   $I'(x)=-40x+480=0\ \Longrightarrow\ x=12$

2. $x=12$ está dentro de $[8,24]$. Signo de la derivada a cada lado:

   $I'(10)=80>0$$I'(14)=-80<0$

3. $I$ crece hasta $x=12$ y decrece después: en $x=12$ hay un máximo, que es el mayor valor en todo $[8,24]$. Ingresos máximos (acuden $f(12)=240$ personas, menos que el aforo):

   $I(12)$${}= 12\cdot(480-240)$${}= 12\cdot 240$${}= 2\,880$

ResultadoLos ingresos son máximos con la entrada a $12$ €, y entonces son de $2\,880$ € (véase la gráfica).

La pauta oficial da: $I'(x)=-40x+480$; $x=12$; $I(12)=2880$

Planteamiento Se pide cuántos paraguas de cada modelo se vendieron. Llamamos $x$ al número de paraguas plegables e $y$ al de paraguas bastón vendidos. Como no quedó ninguno en el almacén, todos los paraguas fabricados con la tela se vendieron: los ingresos y la tela dan dos ecuaciones.

1. Ingresos (25 € cada plegable y 15 € cada bastón) y tela (1 $\mathrm{m}^2$ cada plegable y 1,5 $\mathrm{m}^2$ cada bastón):

   $\begin{cases}25x+15y=42\,500\\ x+1{,}5y=2\,375\end{cases}$

2. Despejamos $x$ de la segunda ecuación y sustituimos en la primera:

   $x$${}= 2\,375-1{,}5y$${}\Longrightarrow 25(2\,375-1{,}5y)+15y$${}= 42\,500$${}\Longrightarrow 59\,375-22{,}5y$${}= 42\,500$

3. Resolvemos:

   $22{,}5y=16\,875\ \Longrightarrow\ y=750$$x=2\,375-1{,}5\cdot 750=1\,250$

4. Comprobación:

   $25\cdot 1\,250+15\cdot 750$${}= 31\,250+11\,250$${}= 42\,500$$1\,250+1{,}5\cdot 750=2\,375$

Planteamiento Se pide el beneficio total de fabricar 100 paraguas de cada tipo y, para cada modelo, los valores de $x$ sin pérdidas. Como $x$ va en cientos de unidades, 100 paraguas son $x=1$, y las funciones dan miles de euros. No hay pérdidas cuando el beneficio es mayor o igual que 0.

1. Beneficios con $x=1$:

   $p(1)=1\cdot(3-1)=2$$b(1)=-\frac{2}{5}+2=\frac{8}{5}=1{,}6$

2. En total, en miles de euros ($2\,000$ € de los plegables y $1\,600$ € de los paraguas bastón):

   $p(1)+b(1)=2+1{,}6=3{,}6$

3. Plegables: con $x\ge 0$, el signo de $p(x)=x(3-x)$ es el de $3-x$:

   $p(x)\ge 0\ \Longleftrightarrow\ 3-x\ge 0\ \Longleftrightarrow\ 0\le x\le 3$

4. Bastón: sacamos $x$ factor común, $b(x)=x\left(2-\frac{2}{5}x\right)$, y con $x\ge 0$ el signo es el del paréntesis:

   $b(x)\ge 0\ \Longleftrightarrow\ 2-\frac{2}{5}x\ge 0\ \Longleftrightarrow\ 0\le x\le 5$

ResultadoFabricando 100 paraguas de cada tipo se obtienen $3{,}6$ miles de euros, es decir, $3\,600$ €. No hay pérdidas con los plegables si $0\le x\le 3$ (hasta 300 paraguas) ni con los paraguas bastón si $0\le x\le 5$ (hasta 500 paraguas); véase la gráfica.

La pauta oficial da: $p(1)=2$, $b(1)=\frac{8}{5}$; $3600\ \text{€}$; $0\le x\le 3$; $0\le x\le 5$

Planteamiento Se pide con cuál de los dos modelos se necesitan menos paraguas para llegar al beneficio máximo y con cuál se gana más. Buscamos el máximo de cada función con su derivada ($x$ en cientos de paraguas, beneficios en miles de euros).

1. Derivadas, igualadas a cero:

   $p'(x)=3-2x=0\ \Longrightarrow\ x=1{,}5$$b'(x)=-\frac{4}{5}x+2=0\ \Longrightarrow\ x=2{,}5$

2. Signo de cada derivada a los dos lados: las dos funciones pasan de crecer a decrecer, así que los dos puntos son máximos:

   $p'(1)=1>0$$p'(2)=-1<0$$b'(2)=0{,}4>0$$b'(3)=-0{,}4<0$

3. Beneficios máximos:

   $p(1{,}5)=1{,}5\cdot 1{,}5=2{,}25$$b(2{,}5)$${}= -\frac{2}{5}\cdot 6{,}25+5$${}= -2{,}5+5$${}= 2{,}5$

ResultadoCon los paraguas plegables se necesitan menos unidades: el beneficio máximo se alcanza con $150$ paraguas plegables, frente a $250$ paraguas bastón. Con los paraguas bastón se gana más: $2\,500$ € como máximo, frente a $2\,250$ € con los plegables (véase la gráfica).

La pauta oficial da: $x=1{,}5$, $x=2{,}5$; $p(1{,}5)=2{,}25$, $b(2{,}5)=2{,}5$

Planteamiento Se pide la probabilidad de que el paraguas sea de teflón sabiendo que es defectuoso. Es la condicionada «al revés» de los datos, así que usamos la probabilidad total y la fórmula de Bayes. Llamamos $T$ a «recubierto de teflón», $I$ a «impregnado» y $D$ a «defectuoso» (no aguanta la lluvia).

1. Entre los dos lotes hay $60+80=140$ paraguas, así que:

   $P(T)=\frac{60}{140}=\frac{3}{7}$$P(I)=\frac{80}{140}=\frac{4}{7}$

2. Si aguanta bien el 98 % de los de teflón, falla el 2 %; de los impregnados falla el 5 %:

   $P(D\mid T)=0{,}02$$P(D\mid I)=0{,}05$

3. Probabilidad total de que sea defectuoso:

   $P(D)$${}= \frac{3}{7}\cdot 0{,}02+\frac{4}{7}\cdot 0{,}05$${}= \frac{0{,}06+0{,}2}{7}$${}= \frac{0{,}26}{7}$${}= \frac{13}{350}$${}\approx 0{,}0371$

4. Bayes:

   $P(T\mid D)$${}= \frac{P(T)\,P(D\mid T)}{P(D)}$${}= \frac{0{,}06/7}{0{,}26/7}$${}= \frac{0{,}06}{0{,}26}$${}= \frac{3}{13}$${}\approx 0{,}2308$