Matemáticas CCSS, PAU 2025 de Cataluña: el examen de junio (serie 4) resuelto

Planteamiento Se piden dos probabilidades: la de que una bicicleta necesite revisión posventa (probabilidad total) y la de que sea eléctrica sabiendo que la ha necesitado (Bayes). Llamamos $C$ a «es convencional», $E$ a «es eléctrica» y $R$ a «ha necesitado una revisión posventa».

1. Datos:

   $P(C)=0{,}25$$P(E)=0{,}75$$P(R\mid C)=0{,}05$$P(R\mid E)=0{,}15$

2. Probabilidad total:

   $P(R)$${}= P(C)\,P(R\mid C)$${}+P(E)\,P(R\mid E)$${}= 0{,}25\cdot 0{,}05+0{,}75\cdot 0{,}15$${}= 0{,}0125+0{,}1125$${}= 0{,}125$

3. Bayes:

   $P(E\mid R)$${}= \frac{P(E)\,P(R\mid E)}{P(R)}$${}= \frac{0{,}1125}{0{,}125}$${}= 0{,}9$

Planteamiento Se pide un intervalo de confianza del 95 % para la proporción de bicicletas eléctricas que necesitan revisión, y decidir si ha bajado del 15 %. La muestra es grande ($n=100$), así que usamos la fórmula de la proporción con $z_\gamma=1{,}96$.

1. Proporción de la muestra:

   $\hat p=\frac{8}{100}=0{,}08$

2. Error típico:

   $\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}$${}= \sqrt{\frac{0{,}08\cdot 0{,}92}{100}}$${}= \sqrt{0{,}000736}$${}\approx 0{,}027129$

3. Margen de error:

   $z_\gamma\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}$${}= 1{,}96\cdot 0{,}027129$${}\approx 0{,}053173$

4. Extremos:

   $0{,}08-0{,}053173\approx 0{,}0268$$0{,}08+0{,}053173\approx 0{,}1332$

5. El valor de antes, $0{,}15$, queda fuera del intervalo, por encima de su extremo superior:

   $0{,}1332<0{,}15$

Planteamiento Se piden tres cosas: la constante $k$, el número máximo de microorganismos y el instante en el que se alcanza. La función está en decenas: los 50 microorganismos del inicio ($x=0$) son $5$ decenas. El máximo se busca con la derivada, para $x\ge 0$.

1. Al inicio, $x=0$:

   $f(0)=\frac{15\cdot 0}{9+0^2}+k=k=5$

2. Derivada del cociente (la constante $k$ desaparece al derivar):

   $f'(x)$${}= \frac{15(9+x^2)-15x\cdot 2x}{(9+x^2)^2}$${}= \frac{135-15x^2}{(9+x^2)^2}$${}= \frac{15(9-x^2)}{(9+x^2)^2}$

3. El denominador siempre es positivo, así que $f'(x)=0$ cuando $9-x^2=0$, es decir, $x=3$ o $x=-3$; solo $x=3$ es un tiempo válido. Signo de $f'$ a cada lado:

   $f'(1)=\frac{15\cdot 8}{100}=1{,}2>0$$f'(4)=\frac{15\cdot(-7)}{625}=-0{,}168<0$

4. La función crece hasta $x=3$ y decrece a partir de ahí: en $x=3$ hay un máximo, y es el mayor valor para todo $x\ge 0$. Su valor:

   $f(3)$${}= \frac{15\cdot 3}{9+9}+5$${}= \frac{45}{18}+5$${}= 2{,}5+5$${}= 7{,}5$

Planteamiento Se pide el valor al que tiende el número de microorganismos cuando pasa mucho tiempo: el límite de $f(x)$ cuando $x\to+\infty$.

1. En el cociente, el denominador es de grado 2 y el numerador de grado 1, así que el cociente tiende a 0:

   $\lim_{x\to+\infty}\frac{15x}{9+x^2}=0$

2. Por tanto:

   $\lim_{x\to+\infty}f(x)=0+5=5$

ResultadoA largo plazo, el número de microorganismos se estabiliza en $5$ decenas, es decir, en $50$ microorganismos, los mismos que al inicio (véase la gráfica).

La pauta oficial da: $\lim_{x\to+\infty}f(x)=5\ (50)$

Planteamiento Se pide escribir los datos en forma de matrices y calcular con un producto el coste del pedido en cada proveedor. Ponemos los proveedores en las filas y los productos (aceite, harina, sal) en las columnas de la matriz de precios; el pedido es un vector columna con los productos en el mismo orden.

1. Matriz de precios $P$ (filas: proveedores 1.º, 2.º y 3.º; columnas: aceite en €/L, harina y sal en €/kg):

   $P$${}= \begin{pmatrix}3&0{,}6&1\\ 3{,}5&1&0{,}7\\ 2{,}5&0{,}8&0{,}9\end{pmatrix}$

2. Vector columna del pedido $Q$ (litros de aceite, kg de harina, kg de sal). Una matriz $3\times 3$ por una $3\times 1$ da una $3\times 1$, un coste por proveedor:

   $Q$${}= \begin{pmatrix}300\\ 700\\ 25\end{pmatrix}$

3. Producto, cada fila por el pedido:

   $P\cdot Q$${}= \begin{pmatrix}3\cdot 300+0{,}6\cdot 700+1\cdot 25\\ 3{,}5\cdot 300+1\cdot 700+0{,}7\cdot 25\\ 2{,}5\cdot 300+0{,}8\cdot 700+0{,}9\cdot 25\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}900+420+25\\ 1\,050+700+17{,}5\\ 750+560+22{,}5\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}1\,345\\ 1\,767{,}5\\ 1\,332{,}5\end{pmatrix}$

Planteamiento Se pide el beneficio diario en función de $x$, el precio de venta que lo hace máximo y ese beneficio. Si el precio sube $x$ veces 0,01 €, el paquete se vende a $1{,}1+0{,}01x$ euros y se venden $1\,000-10x$ paquetes; cada paquete deja de beneficio su precio menos los $0{,}5$ € que cuesta producirlo.

1. Beneficio por paquete:

   $1{,}1+0{,}01x-0{,}5=0{,}6+0{,}01x$

2. Beneficio diario: beneficio por paquete por paquetes vendidos (con $0\le x\le 100$, para que el número de paquetes no sea negativo):

   $B(x)$${}= (0{,}6+0{,}01x)(1\,000-10x)$${}= 600-6x+10x-0{,}1x^2$${}= -0{,}1x^2+4x+600$

3. Derivamos e igualamos a cero:

   $B'(x)$${}= -0{,}2x+4=0$${}\Longrightarrow x=\frac{4}{0{,}2}$${}= 20$

4. Signo de la derivada a cada lado: $B$ crece antes de $x=20$ y decrece después, así que en $x=20$ hay un máximo:

   $B'(10)=2>0$$B'(30)=-2<0$

5. Precio de venta y beneficio máximo:

   $1{,}1+0{,}01\cdot 20=1{,}3$$B(20)$${}= (0{,}6+0{,}2)(1\,000-200)$${}= 0{,}8\cdot 800$${}= 640$

Planteamiento Se pide cuánto aceite, harina y sal se ha comprado al primer proveedor (aceite a 3 €/L, harina a 0,6 €/kg y sal a 1 €/kg). Llamamos $x$ a los litros de aceite, $y$ a los kilos de harina y $z$ a los kilos de sal; cada dato es una ecuación.

1. Gasto total:

   $3x+0{,}6y+z=1\,320$

2. El triple de harina que de sal:

   $y=3z$

3. Lo gastado en harina, $0{,}6y$, es el 30 % de lo gastado en aceite, $3x$:

   $0{,}6y$${}= 0{,}3\cdot 3x$${}\Longrightarrow 0{,}6y$${}= 0{,}9x$${}\Longrightarrow y=1{,}5x$

4. De las dos últimas ecuaciones, $z=\frac{y}{3}=0{,}5x$. Sustituimos $y$ y $z$ en la primera:

   $3x+0{,}6\cdot 1{,}5x+0{,}5x$${}= 1\,320$${}\Longrightarrow 4{,}4x$${}= 1\,320$${}\Longrightarrow x=300$

5. Las otras dos cantidades:

   $y=1{,}5\cdot 300=450$$z=0{,}5\cdot 300=150$

6. Comprobación del gasto total:

   $3\cdot 300+0{,}6\cdot 450+150$${}= 900+270+150$${}= 1\,320$

Planteamiento Se pide un intervalo de confianza del 95 % para el peso medio de los paquetes y decidir si la etiqueta de 500 g es incorrecta. El peso es normal con desviación típica conocida, $\sigma=4$ g, así que usamos la fórmula de la media con $\sigma$ conocida y $z_\gamma=1{,}96$.

1. Media de la muestra ($n=9$):

   $\bar x$${}= \frac{501+506+497+495+503+491+512+505+499}{9}$${}= \frac{4\,509}{9}$${}= 501$

2. Margen de error:

   $z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$${}= 1{,}96\cdot\frac{4}{\sqrt{9}}$${}= 1{,}96\cdot\frac{4}{3}$${}\approx 2{,}6133$

3. Extremos del intervalo:

   $501-2{,}6133\approx 498{,}39$$501+2{,}6133\approx 503{,}61$

4. El peso de la etiqueta, $500$ g, está dentro del intervalo:

   $498{,}39<500<503{,}61$