Matemáticas CCSS, PAU 2024 de Cataluña: el examen de junio (serie 1) resuelto

Planteamiento Llamamos $x$, $y$ y $z$ a los sofás que produjeron la primera, la segunda y la tercera fábrica. Los dos datos del enunciado son dos ecuaciones con tres incógnitas; vemos con el método de Gauss qué tipo de sistema es.

1. Total de sofás y producción de la segunda fábrica:

   $\begin{cases}x+y+z=1\,260\\ y=x+z\end{cases}$${}\Longrightarrow \begin{cases}x+y+z=1\,260\\ x-y+z=0\end{cases}$

2. Gauss con las incógnitas en el orden $x$, $y$, $z$ ($F_2-F_1$):

   $\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&1\,260\\ 1&-1&1&0\end{array}\right)$${}\to \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&1\,260\\ 0&-2&0&-1\,260\end{array}\right)$

3. Quedan dos ecuaciones independientes para tres incógnitas: el sistema es compatible indeterminado (rango $2<3$ incógnitas). No se pueden saber $x$ y $z$ por separado, solo su suma. La segunda fila, en cambio, solo contiene $y$:

   $-2y=-1\,260\ \Longrightarrow\ y=630$

4. Y entonces las otras dos fábricas suman

   $x+z=1\,260-630=630$

Planteamiento El nuevo dato da una tercera ecuación: el 10 % de $x$, más el 30 % de $y$, más el 20 % de $z$ son los 284 sofás grises. Resolvemos el sistema de tres ecuaciones.

1. Sistema (la tercera ecuación, multiplicada por 10):

   $\begin{cases}x+y+z=1\,260\\ x-y+z=0\\ 0{,}1x+0{,}3y+0{,}2z=284\end{cases}$${}\Longrightarrow \begin{cases}x+y+z=1\,260\\ x-y+z=0\\ x+3y+2z=2\,840\end{cases}$

2. Gauss ($F_2-F_1$ y $F_3-F_1$):

   $\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&1\,260\\ 1&-1&1&0\\ 1&3&2&2\,840\end{array}\right)$${}\to \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&1\,260\\ 0&-2&0&-1\,260\\ 0&2&1&1\,580\end{array}\right)$

3. $F_3+F_2$:

   $\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&1\,260\\ 0&-2&0&-1\,260\\ 0&0&1&320\end{array}\right)$

4. El sistema es compatible determinado. Resolvemos de abajo arriba:

   $z=320$$y=\frac{-1\,260}{-2}=630$$x=1\,260-630-320=310$

5. Comprobación de los sofás grises:

   $0{,}1\cdot 310+0{,}3\cdot 630$${}+0{,}2\cdot 320$${}= 31+189+64$${}= 284$

Planteamiento A velocidad constante $x$, el viaje dura $\frac{300}{x}$ horas. El coste es el gasóleo (litros por hora × horas × precio del litro) más el sueldo del conductor (horas × 14,70 €).

1. Tiempo a 40 km/h:

   $t=\frac{300}{40}=7{,}5\ \mathrm{h}$

2. Consumo por hora a 40 km/h:

   $G(40)$${}= 5+\frac{1\,600}{98}$${}= 5+\frac{800}{49}$${}= \frac{1\,045}{49}\ \mathrm{L/h}$

3. Coste del gasóleo y del conductor:

   $\frac{1\,045}{49}\cdot 7{,}5\cdot 1{,}96$${}= 1\,045\cdot 0{,}3$${}= 313{,}5$$7{,}5\cdot 14{,}70=110{,}25$

4. Coste total a 40 km/h:

   $313{,}5+110{,}25=423{,}75$

5. Para una velocidad cualquiera $x$, con $1{,}96\cdot 300=588$, $\frac{588}{98}=6$ y $14{,}70\cdot 300=4\,410$:

   $C(x)$${}= \left(5+\frac{x^2}{98}\right)\cdot\frac{300}{x}\cdot 1{,}96$${}+\frac{300}{x}\cdot 14{,}70$${}= \frac{2\,940}{x}+6x+\frac{4\,410}{x}$${}= \frac{7\,350}{x}+6x$

6. Comprobación con el valor de antes:

   $C(40)$${}= \frac{7\,350}{40}+6\cdot 40$${}= 183{,}75+240$${}= 423{,}75$

Planteamiento Buscamos el mínimo de $C(x)$ para $x>0$ (y como máximo 40 km/h): puntos donde se anula la derivada y signo de la derivada a ambos lados.

1. Derivada:

   $C'(x)=-\frac{7\,350}{x^2}+6$

2. Igualamos a cero:

   $6$${}= \frac{7\,350}{x^2}$${}\Longrightarrow x^2$${}= \frac{7\,350}{6}$${}= 1\,225$${}\Longrightarrow x=\pm 35$

3. Una velocidad negativa no tiene sentido; nos quedamos con $x=35$ km/h, que no supera los 40 km/h. Signo de $C'$ a ambos lados: $C$ decrece antes de 35 y crece después, así que es un mínimo.

   $C'(30)=-\frac{7\,350}{900}+6=-\frac{13}{6}<0$$C'(40)=-\frac{7\,350}{1\,600}+6=\frac{45}{32}>0$

4. Coste mínimo:

   $C(35)$${}= \frac{7\,350}{35}+6\cdot 35$${}= 210+210$${}= 420$

ResultadoEl coste es mínimo si el tractor va a $35$ km/h, y entonces el viaje cuesta $420$ €.

La pauta oficial da: $x=35$; $C(35)=420$

Planteamiento Multiplicamos cada matriz por su número, sumamos elemento a elemento y después sumamos cada fila y cada columna del resultado.

1. Productos por un número:

   $10\boldsymbol{A}$${}= \begin{pmatrix}10&-10&0\\ -10&0&10\\ 0&10&-10\end{pmatrix}$$3\boldsymbol{B}$${}= \begin{pmatrix}0&-3&3\\ 3&0&-3\\ -3&3&0\end{pmatrix}$$18\boldsymbol{C}$${}= \begin{pmatrix}0&54&0\\ 18&18&18\\ 36&-18&36\end{pmatrix}$

2. Suma:

   $10\boldsymbol{A}+3\boldsymbol{B}+18\boldsymbol{C}$${}= \begin{pmatrix}10&41&3\\ 11&18&25\\ 33&-5&26\end{pmatrix}$

3. Sumas de las filas:

   $10+41+3=54$$11+18+25=54$$33-5+26=54$

4. Sumas de las columnas:

   $10+11+33=54$$41+18-5=54$$3+25+26=54$

Planteamiento Ahora el día es 8 y el mes, 9 (septiembre); la edad del padre es la incógnita, $x$. Calculamos $8\boldsymbol{A}+9\boldsymbol{B}+x\boldsymbol{C}$ e imponemos que una fila sume 153.

1. Matriz del padre:

   $8\boldsymbol{A}+9\boldsymbol{B}+x\boldsymbol{C}$${}= \begin{pmatrix}8&-17+3x&9\\ 1+x&x&-1+x\\ -9+2x&17-x&-8+2x\end{pmatrix}$

2. La primera fila debe sumar 153:

   $8+(-17+3x)+9$${}= 153$${}\Longrightarrow 3x=153$${}\Longrightarrow x=51$

3. Comprobación con la segunda fila y la primera columna:

   $(1+51)+51+(-1+51)=153$$8+(1+51)+(-9+102)=153$

Planteamiento Llamamos $G$ a «Guiu la ha visto» y $R$ a «Roc la ha visto». «Al menos uno de los dos» es la unión $G\cup R$; «Roc sí y Guiu no» es $R\cap\overline{G}$.

1. Datos:

   $P(G)=0{,}5$$P(R)=0{,}6$$P(G\cap R)=0{,}25$

2. Probabilidad de la unión:

   $P(G\cup R)$${}= P(G)+P(R)-P(G\cap R)$${}= 0{,}5+0{,}6-0{,}25$${}= 0{,}85$

3. Las películas que ha visto Roc, menos las que han visto los dos:

   $P(R\cap\overline{G})$${}= P(R)-P(G\cap R)$${}= 0{,}6-0{,}25$${}= 0{,}35$

Planteamiento Es una probabilidad condicionada a $G\cup R$. Si Guiu la ha visto, seguro que al menos uno de los dos la ha visto: $G\cap(G\cup R)=G$.

1. Definición de probabilidad condicionada:

   $P(G\mid G\cup R)$${}= \frac{P\big(G\cap(G\cup R)\big)}{P(G\cup R)}$${}= \frac{P(G)}{P(G\cup R)}$

2. Sustituimos (la unión se ha calculado en el apartado a):

   $\frac{0{,}5}{0{,}85}=\frac{10}{17}\approx 0{,}5882$

Planteamiento La estimación puntual de la proporción de la población es la proporción de la muestra, $\hat p=\frac{\text{favorables}}{n}$.

1. Proporción muestral, con $n=350$:

   $\hat p=\frac{218}{350}=\frac{109}{175}\approx 0{,}6229$

2. En porcentaje:

   $0{,}6229\cdot 100\approx 62{,}29\ \%$

Planteamiento La muestra es grande ($n=350$), así que usamos la fórmula de la nota con $z_\gamma=1{,}96$ (confianza del 95 %). Para no arrastrar errores, usamos $\hat p$ sin redondear y redondeamos solo los extremos.

1. Error típico:

   $\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}$${}= \sqrt{\frac{\frac{109}{175}\cdot\frac{66}{175}}{350}}$${}\approx 0{,}025907$

2. Margen de error:

   $z_\gamma\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}$${}= 1{,}96\cdot 0{,}025907$${}\approx 0{,}05078$

3. Extremos del intervalo ($\hat p\approx 0{,}62286$):

   $0{,}62286-0{,}05078\approx 0{,}5721$$0{,}62286+0{,}05078\approx 0{,}6736$