Sistemas de ecuaciones: ejercicios de la PAU de Matemáticas CCSS resueltos

Planteamiento Llamamos $x$, $y$ y $z$ a los precios (en euros) de una caja de fresas, de albaricoques y de cerezas. Los dos pedidos dan un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas; lo resolvemos dejando $z$ como parámetro.

1. Sistema:

   $\begin{cases}5x+3y+4z=120\\ 2x+y+3z=56\end{cases}$

2. Método de Gauss: a la segunda fila le hacemos $5F_2-2F_1$:

   $\left(\begin{array}{ccc|c}5&3&4&120\\ 2&1&3&56\end{array}\right)$${}\to \left(\begin{array}{ccc|c}5&3&4&120\\ 0&-1&7&40\end{array}\right)$

3. De la segunda ecuación:

   $-y+7z=40\ \Longrightarrow\ y=7z-40$

4. Sustituimos en la primera:

   $5x$${}= 120-3(7z-40)-4z$${}= 240-25z$${}\Longrightarrow x=48-5z$

5. Precio del nuevo pedido:

   $6x+4y+2z$${}= 6(48-5z)$${}+4(7z-40)+2z$${}= 288-30z+28z$${}-160+2z$${}= 128$

6. El término en $z$ se anula ($-30z+28z+2z=0$), así que el precio de este pedido no depende del precio de las cerezas.

Planteamiento Si conocemos $y$, la expresión $y=7z-40$ del apartado anterior da $z$, y con $z$ obtenemos $x$.

1. Con $y=12{,}5$:

   $7z-40=12{,}5\ \Longrightarrow\ z=\frac{52{,}5}{7}=7{,}5$

2. Precio de las fresas:

   $x=48-5\cdot 7{,}5=48-37{,}5=10{,}5$

3. Comprobación con los dos pedidos:

   $5\cdot 10{,}5+3\cdot 12{,}5+4\cdot 7{,}5=120$$2\cdot 10{,}5+12{,}5+3\cdot 7{,}5=56$

Planteamiento Todos los estudiantes tienen la misma probabilidad de ser escogidos, así que aplicamos la regla de Laplace con los recuentos de la tabla. Cuando sabemos que el estudiante hace máster, los casos posibles son solo los $533$ estudiantes de máster (probabilidad condicionada).

1. Doctorado y Letras: $48$ estudiantes de un total de $2\,000$:

   $P(D\cap L)=\frac{48}{2\,000}=\frac{3}{125}=0{,}024$

2. Ingeniería sabiendo que hace máster: $178$ de los $533$ estudiantes de máster:

   $P(I\mid M)$${}= \frac{P(I\cap M)}{P(M)}$${}= \frac{178/2\,000}{533/2\,000}$${}= \frac{178}{533}$${}\approx 0{,}3340$

Planteamiento Ponemos las facultades en las filas y los niveles en las columnas. Sumar las filas equivale a multiplicar por la izquierda por el vector fila $(1\ 1\ 1)$; el importe total es el producto del vector de totales por el vector columna de precios.

1. Matriz de la tabla (filas: C, I, L; columnas: G, M, D):

   $A$${}= \begin{pmatrix}450&172&41\\ 445&178&45\\ 438&183&48\end{pmatrix}$

2. Totales por nivel:

   $T$${}= (1\ \ 1\ \ 1)\cdot A$${}= (450+445+438\ \ \ 172+178+183\ \ \ 41+45+48)$${}= (1\,333\ \ \ 533\ \ \ 134)$

3. Vector de precios de matrícula (G, M, D), en euros:

   $P$${}= \begin{pmatrix}1\,000\\ 1\,500\\ 500\end{pmatrix}$

4. Importe total:

   $T\cdot P$${}= 1\,333\cdot 1\,000$${}+533\cdot 1\,500$${}+134\cdot 500$${}= 1\,333\,000+799\,500$${}+67\,000$${}= 2\,199\,500$

Planteamiento Regla de Laplace con los recuentos de la tabla. Si sabemos que el estudiante es de Ingeniería, los casos posibles son solo los $668$ estudiantes de esa facultad.

1. Máster y Ciencias: $172$ estudiantes de un total de $2\,000$:

   $P(M\cap C)=\frac{172}{2\,000}=\frac{43}{500}=0{,}086$

2. Máster sabiendo que es de Ingeniería: $178$ de los $668$ estudiantes de Ingeniería:

   $P(M\mid I)=\frac{178}{668}=\frac{89}{334}\approx 0{,}2665$

Planteamiento Llamamos $x$, $y$ y $z$ a los becados de grado, de máster y de doctorado. Cada frase del enunciado es una ecuación; los totales de grado y de máster los sacamos de la tabla.

1. Total de becados:

   $x+y+z=1\,036$

2. La mitad de los estudiantes de grado y máster ($1\,333$ y $533$ en la tabla) están becados:

   $x+y=\frac{1\,333+533}{2}=\frac{1\,866}{2}=933$

3. Tantos becados de máster como de doctorado:

   $y=z$

4. Gauss (orden $x$, $y$, $z$): $F_2-F_1$ y después $F_3+F_2$:

   $\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&1\,036\\ 1&1&0&933\\ 0&1&-1&0\end{array}\right)$${}\to \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&1\,036\\ 0&0&-1&-103\\ 0&1&-1&0\end{array}\right)$${}\to \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&1\,036\\ 0&0&-1&-103\\ 0&1&-2&-103\end{array}\right)$

5. De la segunda fila, $z=103$; de la tercera, $y=2z-103=103$; y de la primera:

   $x=1\,036-103-103=830$

Planteamiento Se pregunta si los datos bastan para saber el agua de cada embalse y cuánta hay en la Baells. Llamamos $x$, $y$ y $z$ a los $\mathrm{hm}^3$ de agua de Darnius Boadella, Sau y la Baells. Los dos datos dan dos ecuaciones con tres incógnitas.

1. Total de agua, y la Baells igual a los otros dos juntos:

   $\begin{cases}x+y+z=112\\ z=x+y\end{cases}$${}\Longrightarrow \begin{cases}x+y+z=112\\ x+y-z=0\end{cases}$

2. Gauss, $F_2-F_1$:

   $\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&112\\ 1&1&-1&0\end{array}\right)$${}\to \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&112\\ 0&0&-2&-112\end{array}\right)$

3. La segunda fila da $z$:

   $-2z=-112\ \Longrightarrow\ z=56$

4. La primera queda $x+y=112-56=56$: una sola ecuación para dos incógnitas. La matriz de coeficientes y la ampliada tienen rango 2, menos que las 3 incógnitas: el sistema es compatible indeterminado. Con $y=\lambda$, las soluciones son

   $x=56-\lambda$$y=\lambda$$z=56$$0\le\lambda\le 56$

Planteamiento Se pide el agua de cada embalse con el dato nuevo, que es una tercera ecuación. Con $z=56$ del apartado 1.1, queda un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

1. El dato nuevo, multiplicado por 10 para quitar los decimales:

   $0{,}1x+0{,}2y+0{,}3z$${}= 27{,}2$${}\Longrightarrow x+2y+3z$${}= 272$

2. Sustituimos $z=56$ en esta ecuación y en $x+y+z=112$:

   $\begin{cases}x+y=56\\ x+2y=272-168=104\end{cases}$

3. Restamos la primera ecuación de la segunda:

   $y=104-56=48$$x=56-48=8$

4. Comprobación del dato nuevo:

   $0{,}1\cdot 8+0{,}2\cdot 48+0{,}3\cdot 56$${}= 0{,}8+9{,}6+16{,}8$${}= 27{,}2$

Planteamiento Se pide cuántos paraguas de cada modelo se vendieron. Llamamos $x$ al número de paraguas plegables e $y$ al de paraguas bastón vendidos. Como no quedó ninguno en el almacén, todos los paraguas fabricados con la tela se vendieron: los ingresos y la tela dan dos ecuaciones.

1. Ingresos (25 € cada plegable y 15 € cada bastón) y tela (1 $\mathrm{m}^2$ cada plegable y 1,5 $\mathrm{m}^2$ cada bastón):

   $\begin{cases}25x+15y=42\,500\\ x+1{,}5y=2\,375\end{cases}$

2. Despejamos $x$ de la segunda ecuación y sustituimos en la primera:

   $x$${}= 2\,375-1{,}5y$${}\Longrightarrow 25(2\,375-1{,}5y)+15y$${}= 42\,500$${}\Longrightarrow 59\,375-22{,}5y$${}= 42\,500$

3. Resolvemos:

   $22{,}5y=16\,875\ \Longrightarrow\ y=750$$x=2\,375-1{,}5\cdot 750=1\,250$

4. Comprobación:

   $25\cdot 1\,250+15\cdot 750$${}= 31\,250+11\,250$${}= 42\,500$$1\,250+1{,}5\cdot 750=2\,375$

Planteamiento Se pide el beneficio total de fabricar 100 paraguas de cada tipo y, para cada modelo, los valores de $x$ sin pérdidas. Como $x$ va en cientos de unidades, 100 paraguas son $x=1$, y las funciones dan miles de euros. No hay pérdidas cuando el beneficio es mayor o igual que 0.

1. Beneficios con $x=1$:

   $p(1)=1\cdot(3-1)=2$$b(1)=-\frac{2}{5}+2=\frac{8}{5}=1{,}6$

2. En total, en miles de euros ($2\,000$ € de los plegables y $1\,600$ € de los paraguas bastón):

   $p(1)+b(1)=2+1{,}6=3{,}6$

3. Plegables: con $x\ge 0$, el signo de $p(x)=x(3-x)$ es el de $3-x$:

   $p(x)\ge 0\ \Longleftrightarrow\ 3-x\ge 0\ \Longleftrightarrow\ 0\le x\le 3$

4. Bastón: sacamos $x$ factor común, $b(x)=x\left(2-\frac{2}{5}x\right)$, y con $x\ge 0$ el signo es el del paréntesis:

   $b(x)\ge 0\ \Longleftrightarrow\ 2-\frac{2}{5}x\ge 0\ \Longleftrightarrow\ 0\le x\le 5$

ResultadoFabricando 100 paraguas de cada tipo se obtienen $3{,}6$ miles de euros, es decir, $3\,600$ €. No hay pérdidas con los plegables si $0\le x\le 3$ (hasta 300 paraguas) ni con los paraguas bastón si $0\le x\le 5$ (hasta 500 paraguas); véase la gráfica.

La pauta oficial da: $p(1)=2$, $b(1)=\frac{8}{5}$; $3600\ \text{€}$; $0\le x\le 3$; $0\le x\le 5$

Planteamiento Se pide con cuál de los dos modelos se necesitan menos paraguas para llegar al beneficio máximo y con cuál se gana más. Buscamos el máximo de cada función con su derivada ($x$ en cientos de paraguas, beneficios en miles de euros).

1. Derivadas, igualadas a cero:

   $p'(x)=3-2x=0\ \Longrightarrow\ x=1{,}5$$b'(x)=-\frac{4}{5}x+2=0\ \Longrightarrow\ x=2{,}5$

2. Signo de cada derivada a los dos lados: las dos funciones pasan de crecer a decrecer, así que los dos puntos son máximos:

   $p'(1)=1>0$$p'(2)=-1<0$$b'(2)=0{,}4>0$$b'(3)=-0{,}4<0$

3. Beneficios máximos:

   $p(1{,}5)=1{,}5\cdot 1{,}5=2{,}25$$b(2{,}5)$${}= -\frac{2}{5}\cdot 6{,}25+5$${}= -2{,}5+5$${}= 2{,}5$

ResultadoCon los paraguas plegables se necesitan menos unidades: el beneficio máximo se alcanza con $150$ paraguas plegables, frente a $250$ paraguas bastón. Con los paraguas bastón se gana más: $2\,500$ € como máximo, frente a $2\,250$ € con los plegables (véase la gráfica).

La pauta oficial da: $x=1{,}5$, $x=2{,}5$; $p(1{,}5)=2{,}25$, $b(2{,}5)=2{,}5$

Planteamiento Se pide la probabilidad de que el paraguas sea de teflón sabiendo que es defectuoso. Es la condicionada «al revés» de los datos, así que usamos la probabilidad total y la fórmula de Bayes. Llamamos $T$ a «recubierto de teflón», $I$ a «impregnado» y $D$ a «defectuoso» (no aguanta la lluvia).

1. Entre los dos lotes hay $60+80=140$ paraguas, así que:

   $P(T)=\frac{60}{140}=\frac{3}{7}$$P(I)=\frac{80}{140}=\frac{4}{7}$

2. Si aguanta bien el 98 % de los de teflón, falla el 2 %; de los impregnados falla el 5 %:

   $P(D\mid T)=0{,}02$$P(D\mid I)=0{,}05$

3. Probabilidad total de que sea defectuoso:

   $P(D)$${}= \frac{3}{7}\cdot 0{,}02+\frac{4}{7}\cdot 0{,}05$${}= \frac{0{,}06+0{,}2}{7}$${}= \frac{0{,}26}{7}$${}= \frac{13}{350}$${}\approx 0{,}0371$

4. Bayes:

   $P(T\mid D)$${}= \frac{P(T)\,P(D\mid T)}{P(D)}$${}= \frac{0{,}06/7}{0{,}26/7}$${}= \frac{0{,}06}{0{,}26}$${}= \frac{3}{13}$${}\approx 0{,}2308$

Planteamiento Llamamos $x$ a los alumnos que han ido a Roma, $y$ a los que han ido a Londres y $z$ a los que no han ido a ninguna parte. Cada dato es una ecuación; comparamos el rango de la matriz con el número de incógnitas.

1. Sistema:

   $\begin{cases}x+y+z=84\\ z=3y\end{cases}$${}\Longrightarrow \begin{cases}x+y+z=84\\ 3y-z=0\end{cases}$

2. Matriz ampliada (ya escalonada):

   $\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&84\\ 0&3&-1&0\end{array}\right)$

3. El rango de la matriz de coeficientes y el de la ampliada es $2$, menor que el número de incógnitas ($3$):

   $\operatorname{rg} A=\operatorname{rg} A^*=2<3$

Planteamiento Tomamos como parámetro los alumnos que han ido a Londres, $y=\lambda$, y despejamos las otras incógnitas.

1. De la segunda ecuación:

   $z=3\lambda$

2. De la primera:

   $x$${}= 84-\lambda-3\lambda$${}= 84-4\lambda$${}= 4(21-\lambda)$

3. Como $\lambda$ es un número natural, $z=3\lambda$ es múltiplo de 3 y $x=4(21-\lambda)$ es múltiplo de 4. Además, $x\ge 0$ obliga a que $0\le\lambda\le 21$.

Planteamiento Si 4 alumnos pasan de «no ir a ninguna parte» a Roma, a Roma habrían ido $x+4$ y sin viajar habrían quedado $z-4$. Esto da una tercera ecuación; estudiamos el sistema de tres ecuaciones por Gauss.

1. Nueva ecuación:

   $x+4$${}= 2\big(y+(z-4)\big)$${}\Longrightarrow x-2y-2z$${}= -12$

2. Gauss: $F_3-F_1$ y después $F_3+F_2$:

   $\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&84\\ 0&3&-1&0\\ 1&-2&-2&-12\end{array}\right)$${}\to \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&84\\ 0&3&-1&0\\ 0&-3&-3&-96\end{array}\right)$${}\to \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&84\\ 0&3&-1&0\\ 0&0&-4&-96\end{array}\right)$

3. Tres pivotes: el rango es $3$, igual al número de incógnitas, y el sistema es compatible determinado. Resolvemos de abajo arriba:

   $-4z=-96\Rightarrow z=24$$3y=z\Rightarrow y=8$$x=84-8-24=52$

4. Comprobación: a Roma habrían ido $52+4=56$, y Londres más los que no habrían viajado suman $8+20=28$:

   $56=2\cdot 28$

Planteamiento Cada inscripción es presencial con la proporción del curso pasado, y las 15 son independientes: el número $X$ de inscripciones presenciales es una binomial. Calculamos $P(X=10)$ con la fórmula de la binomial y la esperanza con $E(X)=np$.

1. Actividades presenciales del curso pasado: $96+84=180$ de $240$:

   $p=\frac{180}{240}=0{,}75$$1-p=0{,}25$

2. Distribución:

   $X\sim B(15;\ 0{,}75)$

3. Fórmula de la binomial, con $\binom{15}{10}=3\,003$:

   $P(X=10)$${}= \binom{15}{10}\,0{,}75^{10}\,0{,}25^{5}$${}= 3\,003\cdot\frac{3^{10}}{4^{15}}$${}\approx 0{,}1651$

4. Esperanza:

   $E(X)=np=15\cdot 0{,}75=11{,}25$

5. La esperanza es una media: no tiene por qué ser un número entero. Quiere decir que, de media, unas 11 de cada 15 inscripciones son presenciales.

Planteamiento Llamamos $x$, $y$ y $z$ a las actividades de Carme, Saïd y Martí. Los tres datos dan un sistema de tres ecuaciones, que resolvemos por Gauss.

1. Sistema:

   $\begin{cases}x-z=30\\ y-z=18\\ x+y+z=240\end{cases}$

2. Gauss: $F_3-F_1$ y después $F_3-F_2$:

   $\left(\begin{array}{ccc|c}1&0&-1&30\\ 0&1&-1&18\\ 1&1&1&240\end{array}\right)$${}\to \left(\begin{array}{ccc|c}1&0&-1&30\\ 0&1&-1&18\\ 0&1&2&210\end{array}\right)$${}\to \left(\begin{array}{ccc|c}1&0&-1&30\\ 0&1&-1&18\\ 0&0&3&192\end{array}\right)$

3. Resolvemos:

   $z=\frac{192}{3}=64$$y=64+18=82$$x=64+30=94$

Planteamiento Para saber si algún día hay 20 familias, resolvemos $f(t)=20$. Para el máximo, derivamos $f$, buscamos dónde se anula para $t\ge 0$ y comprobamos el cambio de signo.

1. Ecuación $f(t)=20$:

   $\frac{100t}{t^2+4}$${}= 20$${}\Longrightarrow 100t$${}= 20t^2+80$${}\Longrightarrow t^2-5t+4=0$${}\Longrightarrow t=1$$\text{o}\ \ t=4$

2. Derivada (regla del cociente):

   $f'(t)$${}= \frac{100(t^2+4)-100t\cdot 2t}{(t^2+4)^2}$${}= \frac{100(4-t^2)}{(t^2+4)^2}$

3. $f'(t)=0$ para $t=\pm 2$; solo tiene sentido $t=2$. El denominador es positivo, así que el signo es el de $4-t^2$:

   $0<t<2:\ f'(t)>0$$t>2:\ f'(t)<0$

4. Por tanto, $t=2$ es el máximo. Valor:

   $f(2)=\frac{100\cdot 2}{2^2+4}=\frac{200}{8}=25$

ResultadoSí: hay exactamente 20 familias inscritas los días $t=1$ y $t=4$. El máximo se alcanza el día $t=2$, con $25$ familias.

La pauta oficial da: $t=1$, $t=4$; $t=2$, $f(2)=25$

Planteamiento Cada fila de $\boldsymbol{R}$ dice qué parte de cada tipo de preparación hace una persona. Multiplicarla por las horas de cada tipo y sumar da las horas de preparación de esa persona.

1. Producto fila por columna:

   $\boldsymbol{R}\cdot\boldsymbol{h}$${}= \begin{pmatrix}0{,}50\cdot 24+0{,}30\cdot 21+0{,}20\cdot 15\\ 0{,}30\cdot 24+0{,}50\cdot 21+0{,}20\cdot 15\\ 0{,}20\cdot 24+0{,}20\cdot 21+0{,}60\cdot 15\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}12+6{,}3+3\\ 7{,}2+10{,}5+3\\ 4{,}8+4{,}2+9\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}21{,}3\\ 20{,}7\\ 18\end{pmatrix}$

2. Comprobación: cada columna de $\boldsymbol{R}$ suma $1$ (cada preparación se reparte entera), y el total de horas se conserva:

   $21{,}3+20{,}7+18=60=24+21+15$

Planteamiento Llamamos $x$, $y$ y $z$ a los precios (en euros) de la habitación individual, doble y triple. Los dos datos dan dos ecuaciones; despejamos $y$ y $z$ en función de $x$.

1. Sistema:

   $\begin{cases}6x+2y=702\\ x+3z=2y+2z\end{cases}$${}\Longrightarrow \begin{cases}6x+2y=702\\ x-2y+z=0\end{cases}$

2. De la primera ecuación:

   $y=\frac{702-6x}{2}=351-3x$

3. De la segunda, sustituyendo $y$:

   $z$${}= 2y-x$${}= 2(351-3x)-x$${}= 702-7x$

Planteamiento La condición $z=2x$, junto con $z=702-7x$ del apartado a, da $x$. Después calculamos el precio de las tres maneras de alojar a las 10 personas que aparecen en el enunciado.

1. Igualamos:

   $2x=702-7x\ \Longrightarrow\ 9x=702\ \Longrightarrow\ x=78$

2. Los otros precios:

   $y=351-3\cdot 78=117$$z=2\cdot 78=156$

3. Seis individuales y dos dobles ($6+4=10$ personas):

   $6\cdot 78+2\cdot 117=468+234=702$

4. Una individual y tres triples ($1+9=10$ personas):

   $78+3\cdot 156=78+468=546$

5. Dos dobles y dos triples ($4+6=10$ personas):

   $2\cdot 117+2\cdot 156$${}= 234+312$${}= 546$

Planteamiento Llamamos $U$, $S$ e $I$ a los tres niveles (universidad, secundaria, infantil y primaria) y $A$ a «ser mujer». La probabilidad de ser mujer sale del teorema de la probabilidad total, y la de ser de secundaria sabiendo que es mujer, del teorema de Bayes.

1. Datos (el resto, $1-0{,}1-0{,}5$, es infantil y primaria):

   $P(U)=0{,}1,\ P(S)=0{,}5,\ P(I)=0{,}4$$P(A\mid U)$${}= 0{,}4,\ P(A\mid S)$${}= 0{,}52,\ P(A\mid I)$${}= 0{,}65$

2. Probabilidad total:

   $P(A)$${}= 0{,}1\cdot 0{,}4+0{,}5\cdot 0{,}52$${}+0{,}4\cdot 0{,}65$${}= 0{,}04+0{,}26+0{,}26$${}= 0{,}56$

3. Bayes:

   $P(S\mid A)$${}= \frac{P(S)P(A\mid S)}{P(A)}$${}= \frac{0{,}26}{0{,}56}$${}= \frac{13}{28}$${}\approx 0{,}4643$

Planteamiento Llamamos $x$, $y$ y $z$ a los inscritos de universidad, de secundaria y de infantil y primaria. Los porcentajes de cada nivel y el número de mujeres dan tres ecuaciones.

1. El 10 % del total es de universidad y el 50 %, de secundaria:

   $x=0{,}1(x+y+z)\Rightarrow -9x+y+z=0$$y=0{,}5(x+y+z)\Rightarrow x-y+z=0$

2. Las mujeres son 476:

   $0{,}4x+0{,}52y+0{,}65z$${}= 476$${}\Rightarrow 40x+52y+65z$${}= 47\,600$

3. Gauss con $F_1:\ x-y+z=0$. Hacemos $F_2+9F_1$ y $F_3-40F_1$:

   $\left(\begin{array}{ccc|c}1&-1&1&0\\ -9&1&1&0\\ 40&52&65&47\,600\end{array}\right)$${}\to \left(\begin{array}{ccc|c}1&-1&1&0\\ 0&-8&10&0\\ 0&92&25&47\,600\end{array}\right)$

4. De la segunda fila, $y=\frac{5}{4}z$. En la tercera:

   $92\cdot\frac{5}{4}z+25z$${}= 115z+25z$${}= 140z$${}= 47\,600$${}\Rightarrow z=340$

5. Las otras incógnitas:

   $y=\frac{5}{4}\cdot 340=425$$x=y-z=425-340=85$

6. Comprobación por otro camino: $P(A)=0{,}56$ es la fracción de mujeres, así que el total de inscritos es

   $\frac{476}{0{,}56}=850$$0{,}1\cdot 850=85$$0{,}5\cdot 850=425$$0{,}4\cdot 850=340$