Matemáticas CCSS, PAU 2022 de Cataluña: el examen extraordinario resuelto

Planteamiento Llamamos $x$, $y$ y $z$ a los kilómetros recorridos en autocar, a pie y en taxi. El trayecto total es $x+y+z$; cada frase del enunciado da una ecuación.

1. El autocar recorre la mitad del trayecto, a pie se recorre una vigésima parte, y en autocar se recorren $5$ km más que en taxi:

   $\begin{cases}x=\dfrac{x+y+z}{2}\\ y=\dfrac{x+y+z}{20}\\ x=z+5\end{cases}$${}\Longrightarrow \begin{cases}x-y-z=0\\ x-19y+z=0\\ x-z=5\end{cases}$

2. Gauss ($F_2-F_1$ y $F_3-F_1$):

   $\left(\begin{array}{ccc|c}1&-1&-1&0\\ 1&-19&1&0\\ 1&0&-1&5\end{array}\right)$${}\to \left(\begin{array}{ccc|c}1&-1&-1&0\\ 0&-18&2&0\\ 0&1&0&5\end{array}\right)$

3. La tercera fila da $y$, y la segunda, $z$:

   $y=5$$-18\cdot 5+2z=0\ \Longrightarrow\ z=45$

4. Y la primera, $x$:

   $x=y+z=5+45=50$

5. Comprobación: el trayecto es de $100$ km; la mitad son $50$, la vigésima parte son $5$ y $50=45+5$.

   $x+y+z=50+5+45=100$

Planteamiento El tiempo de cada tramo es la distancia dividida entre la velocidad.

1. Suma de los tres tiempos, en horas:

   $\frac{50}{100}+\frac{5}{5}+\frac{45}{90}=\frac{1}{2}+1+\frac{1}{2}=2$

Planteamiento La función da decenas de personas: $f(1)$ multiplicado por $10$ es el número de visitantes de la primera semana. La tasa de variación media entre $1$ y $4$ es $\frac{f(4)-f(1)}{4-1}$.

1. Primera semana:

   $f(1)$${}= \frac{240}{1-2+4}$${}= \frac{240}{3}$${}= 80$${}\Longrightarrow 80\cdot 10$${}= 800$

2. Cuarta semana:

   $f(4)=\frac{960}{16-8+4}=\frac{960}{12}=80$

3. Tasa de variación media:

   $\mathrm{TVM}[1,4]$${}= \frac{f(4)-f(1)}{4-1}$${}= \frac{80-80}{3}=0$

Planteamiento Buscamos el máximo de $f$ para $x\ge 1$: derivada (regla del cociente), puntos donde se anula y signo a ambos lados.

1. Derivada:

   $f'(x)$${}= \frac{240(x^2-2x+4)-240x(2x-2)}{(x^2-2x+4)^2}$${}= \frac{-240x^2+960}{(x^2-2x+4)^2}$

2. El denominador siempre es positivo. Ceros del numerador:

   $-240x^2+960=0$${}\Longrightarrow x^2$${}= 4$${}\Longrightarrow x=\pm 2$

3. Solo $x=2$ está dentro de $x\ge 1$. El numerador $240(4-x^2)$ es positivo si $1\le x<2$ y negativo si $x>2$: $f$ crece hasta la semana $2$ y después decrece, y tiene el máximo en $x=2$.

   $f'(1)=\frac{720}{9}=80>0$$f'(3)=\frac{-1\,200}{49}<0$

4. Valor máximo, en decenas de personas:

   $f(2)$${}= \frac{480}{4-4+4}$${}= 120$${}\Longrightarrow 120\cdot 10$${}= 1\,200$

Planteamiento Queremos minimizar la radiación que absorben las partes en buen estado, $4x+5y$, con dos condiciones: al menos $60$ grays en la parte dañada y como máximo $27$ grays alrededor.

1. Función objetivo, que hay que minimizar:

   $F(x,y)=4x+5y$

2. Restricciones:

   $\begin{cases}6x+4y\ge 60\\ 3x+y\le 27\\ x\ge 0,\ y\ge 0\end{cases}$

3. Rectas que limitan la región: $r_1$ corta los ejes en $(10,\ 0)$ y $(0,\ 15)$, y $r_2$ en $(9,\ 0)$ y $(0,\ 27)$. La región es la parte del primer cuadrante por encima de $r_1$ y por debajo de $r_2$.

   $r_1:\ 6x+4y=60$$r_2:\ 3x+y=27$

4. Vértice $A$: corte de $x=0$ con $r_1$.

   $4y=60\ \Longrightarrow\ A=(0,\ 15)$

5. Vértice $B$: corte de $x=0$ con $r_2$.

   $y=27\ \Longrightarrow\ B=(0,\ 27)$

6. Vértice $C$: corte de $r_1$ y $r_2$. De $r_2$, $y=27-3x$; sustituyendo en $r_1$:

   $6x+4(27-3x)$${}= 60$${}\Longrightarrow -6x$${}= -48$${}\Longrightarrow x=8$$y=27-24=3$$C=(8,\ 3)$

7. El eje $y=0$ no da ningún vértice: sus cortes con las rectas, $(10,\ 0)$ y $(9,\ 0)$, no cumplen la otra restricción. La región factible es, por tanto, el triángulo $ABC$, que es cerrado.

   $3\cdot 10=30>27$$6\cdot 9=54<60$

8. Función objetivo en cada vértice:

   $F(A)=75$$F(B)=135$$F(C)=32+15=47$

9. El valor más pequeño es el de $C$:

   $47<75<135$

ResultadoLa función objetivo es $F(x,y)=4x+5y$, con las restricciones $6x+4y\ge 60$, $3x+y\le 27$, $x\ge 0$ e $y\ge 0$; la región factible es el triángulo de vértices $A=(0,\ 15)$, $B=(0,\ 27)$ y $C=(8,\ 3)$. Hay que utilizar $8$ grays de rayos de cobalto y $3$ grays de rayos de cesio; las partes en buen estado absorben entonces $47$ grays, el mínimo posible.

La pauta oficial da: $F(x,y)=4x+5y$; $3x+y\le 27$; $6x+4y\ge 60$; $x\ge 0$; $y\ge 0$; $(8,\ 3)$

Planteamiento Sustituimos $x=7$ e $y=5$ en las dos restricciones y en la función objetivo.

1. Parte dañada (como mínimo $60$):

   $6\cdot 7+4\cdot 5=42+20=62\ge 60$

2. Alrededores (como máximo $27$):

   $3\cdot 7+5=26\le 27$

3. Radiación absorbida por las partes en buen estado:

   $F(7,\ 5)$${}= 28+25$${}= 53$${}> 47=F(8,\ 3)$

Planteamiento Calculamos los dos productos en función de $a$ y los igualamos elemento a elemento.

1. Primer producto:

   $\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B}$${}= \begin{pmatrix}1&-1\\ 0&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1\\ 0&a\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}2&1-a\\ 0&2a\end{pmatrix}$

2. Segundo producto:

   $\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{A}$${}= \begin{pmatrix}2&1\\ 0&a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\\ 0&2\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}2&-2+2\\ 0&2a\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}2&0\\ 0&2a\end{pmatrix}$

3. Solo se diferencian en el elemento de la fila 1, columna 2:

   $1-a=0\ \Longrightarrow\ a=1$

4. Con $a=1$:

   $\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B}$${}= \begin{pmatrix}2&0\\ 0&2\end{pmatrix}$${}= 2\cdot\boldsymbol{I}$

Planteamiento Dividimos entre $2$ la igualdad $\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B}=2\boldsymbol{I}$: el producto de cada matriz por la mitad de la otra da la identidad.

1. Como $\boldsymbol{A}\cdot\left(\frac{1}{2}\boldsymbol{B}\right)=\boldsymbol{I}$, la inversa de $\boldsymbol{A}$ es la mitad de $\boldsymbol{B}$ (con $a=1$):

   $\boldsymbol{A}^{-1}$${}= \frac{1}{2}\boldsymbol{B}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}2&1\\ 0&1\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}1&\frac{1}{2}\\ 0&\frac{1}{2}\end{pmatrix}$

2. Como $\left(\frac{1}{2}\boldsymbol{A}\right)\cdot\boldsymbol{B}=\boldsymbol{I}$, la inversa de $\boldsymbol{B}$ es la mitad de $\boldsymbol{A}$:

   $\boldsymbol{B}^{-1}$${}= \frac{1}{2}\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\ 0&1\end{pmatrix}$

3. Comprobación:

   $\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{A}^{-1}$${}= \begin{pmatrix}1&-1\\ 0&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&\frac{1}{2}\\ 0&\frac{1}{2}\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}1&0\\ 0&1\end{pmatrix}$

Planteamiento Las pérdidas actuales dan $f(0)=-2\,000$. El cambio de crecimiento a decrecimiento en el día $10$ y de decrecimiento a crecimiento en el día $20$ quiere decir que la derivada se anula ahí: $f'(10)=0$ y $f'(20)=0$.

1. Situación actual:

   $f(0)=c=-2\,000$

2. Derivada:

   $f'(x)=3x^2+2ax+b$

3. Las dos condiciones sobre la derivada:

   $\begin{cases}f'(10)=300+20a+b=0\\ f'(20)=1\,200+40a+b=0\end{cases}$

4. Restando la primera ecuación de la segunda:

   $900+20a=0\ \Longrightarrow\ a=-45$

5. Sustituyendo en la primera:

   $b$${}= -300-20\cdot(-45)$${}= -300+900$${}= 600$

6. Comprobación: con estos valores $f'(x)$${}= 3x^2-90x+600$${}= 3(x-10)(x-20)$, positiva antes de $10$, negativa entre $10$ y $20$ y positiva después, tal como dice el asesor.

   $f'(x)=3(x-10)(x-20)$

Planteamiento Buscamos el máximo absoluto de $f$ en $[0,30]$. Puede estar en el máximo relativo ($x=10$) o en un extremo del intervalo; en $x=20$ hay un mínimo relativo.

1. Valores en los candidatos:

   $f(0)=-2\,000$$f(10)$${}= 1\,000-4\,500+6\,000$${}-2\,000$${}= 500$

2. Y en el mínimo relativo ($x=20$) y en el otro extremo del intervalo ($x=30$):

   $f(20)$${}= 8\,000-18\,000$${}+12\,000-2\,000=0$$f(30)$${}= 27\,000-40\,500$${}+18\,000-2\,000$${}= 2\,500$

3. El valor más grande es $f(30)=2\,500$: el beneficio vuelve a crecer después del día $20$ y supera al del día $10$.

   $2\,500>500>0>-2\,000$