Matemáticas CCSS, PAU 2022 de Cataluña: el examen de junio (serie 5) resuelto

Planteamiento Llamamos $x$, $y$ y $z$ al número de monedas de 50 céntimos, de 1 € y de 2 €. El enunciado solo da dos condiciones para tres incógnitas; miramos qué tipo de sistema es.

1. Total de monedas y relación entre las de 50 céntimos y las de 2 €:

   $\begin{cases}x+y+z=40\\ x=2z\end{cases}$${}\Longrightarrow \begin{cases}x+y+z=40\\ x-2z=0\end{cases}$

2. Gauss ($F_2-F_1$):

   $\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&40\\ 1&0&-2&0\end{array}\right)$${}\to \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&40\\ 0&-1&-3&-40\end{array}\right)$

3. Quedan dos ecuaciones independientes para tres incógnitas: el sistema es compatible indeterminado ($\operatorname{rg}=2<3$). Tomamos $z=\lambda$ como parámetro:

   $z=\lambda$$x=2\lambda$$y=40-3\lambda$

4. Como son números de monedas, tienen que ser naturales: $y\ge 0$ obliga a que $\lambda\le 13$.

   $\lambda\in\{0,1,2,\ldots,13\}$

Planteamiento El valor total es $0{,}5x+y+2z$ euros. Sustituimos la solución del apartado a y miramos si el parámetro desaparece.

1. Sustitución:

   $0{,}5\cdot 2\lambda+(40-3\lambda)+2\lambda$${}= \lambda+40-3\lambda+2\lambda$${}= 40$

Planteamiento Hacemos los dos productos con las incógnitas $a$, $b$ y $c$, igualamos elemento a elemento con $\boldsymbol{C}$ y resolvemos el sistema que resulta.

1. Primer producto:

   $\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{X}$${}= \begin{pmatrix}1&0\\ 1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&b\\ 0&c\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}a&b\\ a&b+c\end{pmatrix}$

2. Segundo producto:

   $\begin{pmatrix}a&b\\ a&b+c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\ -1&-3\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}a-b&2a-3b\\ a-b-c&2a-3b-3c\end{pmatrix}$

3. Igualamos con $\boldsymbol{C}$:

   $\begin{cases}a-b=-1\\ 2a-3b=-2\\ a-b-c=-3\\ 2a-3b-3c=-8\end{cases}$

4. De la primera, $a=b-1$; sustituyendo en la segunda:

   $2(b-1)-3b$${}= -2$${}\Longrightarrow -b-2$${}= -2$${}\Longrightarrow b=0$$a=-1$

5. De la tercera:

   $-1-0-c=-3\ \Longrightarrow\ c=2$

6. La cuarta ecuación también se cumple, así que el sistema es compatible:

   $2\cdot(-1)-3\cdot 0-3\cdot 2=-8$

Planteamiento Llamamos $x$ al número de habitaciones reservadas con la tarifa estándar e $y$ al de la tarifa reducida, para una noche. Lo que el enunciado llama beneficio son los ingresos de esa noche.

1. Función objetivo (ingresos por noche, en euros), que hay que maximizar:

   $F(x,y)=120x+90y$

2. Restricciones: como máximo $420$ habitaciones, al menos el $20\ \%$ de $420$ con la tarifa reducida ($0{,}2\cdot 420=84$), estándar al menos el doble que reducida, y cantidades no negativas:

   $\begin{cases}x+y\le 420\\ y\ge 84\\ x\ge 2y\\ x\ge 0\end{cases}$

3. Rectas que limitan la región:

   $r_1:\ x+y=420$$r_2:\ y=84$$r_3:\ x=2y$

4. La región factible es el triángulo que queda por encima de $r_2$, por debajo de $r_1$ y a la derecha de $r_3$ (la condición $x\ge 0$ ya se cumple, porque $x\ge 2y\ge 168$). Los vértices son los cortes de las rectas dos a dos; los calculamos en el apartado b.

   $x\ge 2y\ge 2\cdot 84=168$

ResultadoLa función objetivo es $F(x,y)=120x+90y$, con las restricciones $x+y\le 420$, $y\ge 84$, $x\ge 2y$ y $x\ge 0$. La región factible es el triángulo de vértices $A=(280,\ 140)$, $B=(336,\ 84)$ y $C=(168,\ 84)$ (gráfica).

La pauta oficial da: $F(x,y)=120x+90y$; $x\ge 0$; $y\ge 84$; $x+y\le 420$; $x\ge 2y$

Planteamiento La función objetivo alcanza el máximo en un vértice de la región: calculamos cada vértice como el corte de dos rectas y evaluamos $F$ en él.

1. Vértice $A$: corte de $r_1$ y $r_3$. Sustituyendo $x=2y$ en $x+y=420$:

   $3y=420\ \Longrightarrow\ y=140$$x=280$$A=(280,\ 140)$

2. Vértice $B$: corte de $r_1$ y $r_2$:

   $x=420-84=336$$B=(336,\ 84)$

3. Vértice $C$: corte de $r_2$ y $r_3$:

   $x=2\cdot 84=168$$C=(168,\ 84)$

4. Función objetivo en cada vértice:

   $F(A)=33\,600+12\,600=46\,200$$F(B)=40\,320+7\,560=47\,880$$F(C)=20\,160+7\,560=27\,720$

5. El valor más grande es el de $B$:

   $47\,880>46\,200>27\,720$

Planteamiento Trabajamos en miles de euros: cada coche se vende por $58$ miles de euros. El beneficio es ingresos menos costes.

1. Ingresos de $x$ coches:

   $I(x)=58x$

2. Beneficio:

   $B(x)$${}= 58x$${}-\left(\frac{1}{2}x^2-64x+4\,704\right)$${}= -\frac{1}{2}x^2+122x-4\,704$

Planteamiento No hay pérdidas cuando $B(x)\ge 0$: buscamos los ceros de la parábola (hacia abajo). El máximo está donde se anula la derivada.

1. Ceros (multiplicamos por $-2$):

   $x^2-244x+9\,408=0$${}\Longrightarrow x=\frac{244\pm\sqrt{59\,536-37\,632}}{2}$${}= \frac{244\pm\sqrt{21\,904}}{2}$${}= \frac{244\pm 148}{2}$

2. Las dos raíces; entre ellas la parábola es positiva:

   $x=48$$x=196$

3. Máximo: derivada igual a cero, y la segunda derivada es negativa.

   $B'(x)=-x+122=0\ \Longrightarrow\ x=122$$B''(x)=-1<0$

4. Beneficio máximo, en miles de euros:

   $B(122)$${}= -\frac{14\,884}{2}+14\,884$${}-4\,704$${}= -7\,442+14\,884-4\,704$${}= 2\,738$

Planteamiento Llamamos $a$ al nuevo precio en miles de euros. Escribimos el beneficio con ese precio e imponemos que el vértice de la parábola esté en $x=130$.

1. Nueva función de beneficio:

   $F(x)$${}= ax$${}-\left(\frac{1}{2}x^2-64x+4\,704\right)$${}= -\frac{1}{2}x^2+(64+a)x$${}-4\,704$

2. Derivada igual a cero en $x=130$ (el máximo de esta parábola está donde se anula la derivada):

   $F'(x)=-x+64+a$$F'(130)=0$${}\Longrightarrow 64+a$${}= 130$${}\Longrightarrow a=66$

Planteamiento La pendiente de la tangente en $x=0$ es $f'(0)$.

1. Derivada (regla de la cadena):

   $f'(x)=3e^{3x}$

2. En $x=0$:

   $f'(0)=3e^{0}=3$

Planteamiento La recta tangente pasa por el punto $(0,f(0))$ y tiene pendiente $3$.

1. Punto de tangencia:

   $f(0)=e^{0}=1$

2. Ecuación punto-pendiente:

   $y-1=3(x-0)\ \Longrightarrow\ y=3x+1$