Matemáticas CCSS, PAU 2024 de Cataluña: el examen extraordinario resuelto

Planteamiento Llamamos $x$, $y$ y $z$ a los euros invertidos en BTC, ETH y LNK. Las dos condiciones son dos ecuaciones: la inversión en BTC es igual a la de las otras dos juntas, y los intereses suman el 13 % del total.

1. Planteamiento:

   $\begin{cases}x=y+z\\ 0{,}15x+0{,}10y+0{,}13z=0{,}13(x+y+z)\end{cases}$

2. Simplificamos la segunda ecuación (pasamos todo a la izquierda):

   $0{,}02x-0{,}03y=0$

3. Sustituimos $x=y+z$:

   $0{,}02(y+z)-0{,}03y=0$${}\Longrightarrow 0{,}02z-0{,}01y=0$${}\Longrightarrow y=2z$

Planteamiento Añadimos la ecuación del total, $x+y+z=150\,000$, y usamos las dos relaciones que ya tenemos: $x=y+z$ e $y=2z$.

1. Como $x=y+z$, el total es el doble de $y+z$:

   $x+y+z$${}= 2(y+z)$${}= 150\,000$${}\Longrightarrow y+z$${}= 75\,000$

2. Con $y=2z$:

   $2z+z=75\,000\ \Longrightarrow\ z=25\,000$$y=2\cdot 25\,000=50\,000$

3. Y la inversión en BTC:

   $x$${}= y+z$${}= 50\,000+25\,000$${}= 75\,000$

4. Comprobación del rendimiento (el 13 % de 150 000 € son 19 500 €):

   $0{,}15\cdot 75\,000$${}+0{,}10\cdot 50\,000$${}+0{,}13\cdot 25\,000$${}= 11\,250+5\,000+3\,250$${}= 19\,500$

Planteamiento El volumen de un prisma de base cuadrada es el área de la base por la altura, $x^2y$. Como se piden centímetros, pasamos el volumen a $\mathrm{cm}^3$: $1$ litro $=1\ \mathrm{dm}^3=1\,000\ \mathrm{cm}^3$.

1. Volumen:

   $4\ \text{litros}=4\,000\ \mathrm{cm}^3$

2. Condición del volumen:

   $x^2y=4\,000\ \Longrightarrow\ y=\frac{4\,000}{x^2}$

Planteamiento El cartón es la superficie de la caja: la base ($x^2$) y las cuatro caras laterales ($4xy$), sin tapa. La ponemos en función solo de $x$ con el apartado a y buscamos su mínimo para $x>0$.

1. Superficie en función de $x$:

   $S(x)$${}= x^2+4xy$${}= x^2+4x\cdot\frac{4\,000}{x^2}$${}= x^2+\frac{16\,000}{x}$

2. Derivada:

   $S'(x)=2x-\frac{16\,000}{x^2}$

3. Igualamos a cero:

   $2x=\frac{16\,000}{x^2}\ \Longrightarrow\ x^3=8\,000\ \Longrightarrow\ x=20$

4. Signo de la derivada a ambos lados: $S$ decrece antes de 20 y crece después, así que es un mínimo.

   $S'(10)=20-160=-140<0$$S'(40)=80-10=70>0$

5. Altura:

   $y=\frac{4\,000}{20^2}=\frac{4\,000}{400}=10$

6. Cartón necesario:

   $S(20)$${}= 20^2+\frac{16\,000}{20}$${}= 400+800$${}= 1\,200$

ResultadoEl lado de la base debe medir $20$ cm y la altura, $10$ cm. Usará $1\,200\ \mathrm{cm}^2$ de cartón.

La pauta oficial da: $x=20$; $y=10$; $S=1\,200\ \mathrm{cm}^2$

Planteamiento Multiplicar $\boldsymbol{A}$ por una columna de unos suma las dos columnas de $\boldsymbol{A}$: da el total de espectadores de cada franja de edad. Para tener los ingresos, cada total se debe multiplicar por el precio de su entrada y sumar, que es lo que hace una matriz fila de precios a la izquierda.

1. Producto:

   $\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B}$${}= \begin{pmatrix}122&620\\ 930&433\\ 384&281\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}122+620\\ 930+433\\ 384+281\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}742\\ 1\,363\\ 665\end{pmatrix}$

2. Cada fila es el total de personas de una franja de edad entre las dos salas: 742 menores de 18 años, 1 363 de entre 18 y 65 años y 665 mayores de 65 años. Por la propiedad asociativa, $\boldsymbol{C}\cdot\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B}=\boldsymbol{C}\cdot(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B})$:

   $(a\quad b\quad c)\begin{pmatrix}742\\ 1\,363\\ 665\end{pmatrix}$${}= 742a+1\,363b+665c$

3. Para que sean los ingresos, $a$, $b$ y $c$ deben ser los precios de cada franja:

   $\boldsymbol{C}=(5\quad 8{,}5\quad 6{,}5)$

4. Ingresos de la semana:

   $5\cdot 742+8{,}5\cdot 1\,363$${}+6{,}5\cdot 665$${}= \frac{10\cdot 742+17\cdot 1\,363+13\cdot 665}{2}$${}= \frac{7\,420+23\,171+8\,645}{2}$${}= \frac{39\,236}{2}$${}= 19\,618$

Planteamiento Hacemos el mismo cálculo con $\boldsymbol{D}$ en lugar de $\boldsymbol{A}$: $\boldsymbol{C}\cdot\boldsymbol{D}\cdot\boldsymbol{B}$ son los ingresos de esa semana, que dependen de $x$, y los igualamos a 12 076 €.

1. Total de cada franja:

   $\boldsymbol{D}\cdot\boldsymbol{B}$${}= \begin{pmatrix}84+23\\ 338+x\\ 256+408\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}107\\ 338+x\\ 664\end{pmatrix}$

2. Ingresos:

   $\boldsymbol{C}\cdot\boldsymbol{D}\cdot\boldsymbol{B}$${}= 5\cdot 107$${}+8{,}5(338+x)$${}+6{,}5\cdot 664$${}= 535+2\,873+8{,}5x$${}+4\,316$${}= 7\,724+8{,}5x$

3. Igualamos a los ingresos conocidos:

   $7\,724+8{,}5x$${}= 12\,076$${}\Longrightarrow 8{,}5x$${}= 4\,352$${}\Longrightarrow x=\frac{4\,352}{8{,}5}$${}= 512$

Planteamiento Cada abonado usa una sola zona, así que $A1$ y $A2$ se reparten todos los casos. La probabilidad de horario de mañana, $B1$, se obtiene con el teorema de la probabilidad total.

1. Datos:

   $P(A1)=0{,}4$$P(A2)=0{,}6$$P(B1\mid A1)=0{,}55$$P(B1\mid A2)=0{,}45$

2. Probabilidad total:

   $P(B1)$${}= P(A1)\,P(B1\mid A1)$${}+P(A2)\,P(B1\mid A2)$${}= 0{,}4\cdot 0{,}55+0{,}6\cdot 0{,}45$${}= 0{,}22+0{,}27$${}= 0{,}49$

Planteamiento Se pide $P(A1\mid B1)$: el teorema de Bayes, con el denominador del apartado a.

1. Teorema de Bayes:

   $P(A1\mid B1)$${}= \frac{P(A1)\,P(B1\mid A1)}{P(B1)}$${}= \frac{0{,}22}{0{,}49}$${}= \frac{22}{49}$${}\approx 0{,}4490$

Planteamiento El tiempo es normal con $\sigma=2$ conocida, así que usamos la fórmula de la nota con $z_\gamma=1{,}96$ (confianza del 95 %) y $n=10$.

1. Media de la muestra:

   $\bar x$${}= \frac{33+29+28+31+34+35+32+29+37+35}{10}$${}= \frac{323}{10}$${}= 32{,}3$

2. Margen de error:

   $z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt n}$${}= 1{,}96\cdot\frac{2}{\sqrt{10}}$${}= \frac{3{,}92}{\sqrt{10}}$${}\approx 1{,}2396$

3. Extremos del intervalo:

   $32{,}3-1{,}2396\approx 31{,}06$$32{,}3+1{,}2396\approx 33{,}54$

Planteamiento Si el valor que da la empresa, 30 minutos, queda fuera del intervalo de confianza, los datos no son compatibles con esa media con una confianza del 95 %.

1. Comparamos 30 con el intervalo del apartado a:

   $30<31{,}06$

2. Todo el intervalo queda por encima de 30, así que 30 no es un valor plausible para la media:

   $30\notin[31{,}06;\ 33{,}54]$