Matemáticas CCSS, PAU 2023 de Cataluña: el examen extraordinario resuelto

Planteamiento El beneficio es ingresos menos gastos, y no hay pérdidas cuando el beneficio es mayor o igual que cero.

1. Como vende todos los coches que fabrica, los ingresos son:

   $I(x)=35\,000x$

2. Beneficio:

   $B(x)$${}= 35\,000x$${}-(x^2+34\,880x+1\,100)$${}= -x^2+120x-1\,100$

3. Ceros del beneficio:

   $-x^2+120x-1\,100=0$${}\Longrightarrow x=\dfrac{120\pm\sqrt{14\,400-4\,400}}{2}$${}= \dfrac{120\pm 100}{2}$${}\Longrightarrow x=10$$\text{o}\ \ x=110$

4. Es una parábola abierta hacia abajo: es positiva entre las dos raíces y negativa fuera. Por ejemplo:

   $B(0)=-1\,100<0$$B(60)=2\,500>0$$B(120)=-1\,100<0$

Planteamiento Buscamos el máximo de $B(x)$ con la derivada.

1. Derivamos e igualamos a cero:

   $B'(x)=-2x+120=0\ \Longrightarrow\ x=60$

2. Signo de la derivada a ambos lados de $x=60$: el beneficio crece antes y decrece después, así que es un máximo.

   $B'(50)=20>0$$B'(70)=-20<0$

3. Beneficio máximo:

   $B(60)$${}= -3\,600+7\,200-1\,100$${}= 2\,500$

Planteamiento Llamamos $x$ al número de cajas A e $y$ al número de cajas B. A los vértices de la región factible los llamamos $O$, $P$, $Q$ y $R$, para no confundirlos con los tipos de caja.

1. Ingresos por caja, en euros:

   $\text{A: }8\cdot 0{,}60+2\cdot 0{,}70=4{,}8+1{,}4=6{,}2$$\text{B: }5\cdot 0{,}60+5\cdot 0{,}70=3+3{,}5=6{,}5$

2. La función objetivo son los ingresos totales, que queremos maximizar:

   $F(x,y)=6{,}2x+6{,}5y$

3. Naranjas disponibles, $24\,000$ kg:

   $8x+5y\le 24\,000$

4. Mandarinas disponibles, $12\,000$ kg:

   $2x+5y\le 12\,000$

5. Las cantidades no pueden ser negativas:

   $x\ge 0$$y\ge 0$

6. Cortes de las rectas frontera con los ejes, para dibujarlas:

   $8x+5y$${}= 24\,000:\ (3\,000;\ 0),\ (0;\ 4\,800)$$2x+5y$${}= 12\,000:\ (6\,000;\ 0),\ (0;\ 2\,400)$

7. El punto $(0;\ 0)$ cumple todas las desigualdades, así que la región factible es la parte del primer cuadrante que queda por debajo de las dos rectas: el cuadrilátero $OPQR$ del gráfico.

   $\begin{cases}8x+5y\le 24\,000\\ 2x+5y\le 12\,000\\ x\ge 0,\ y\ge 0\end{cases}$

ResultadoFunción objetivo (ingresos, en euros, que hay que maximizar): $F(x,y)=6{,}2x+6{,}5y$. Restricciones: $8x+5y\le 24\,000$ (naranjas), $2x+5y\le 12\,000$ (mandarinas), $x\ge 0$, $y\ge 0$. La región factible es el cuadrilátero de vértices $O=(0;\ 0)$, $P=(3\,000;\ 0)$, $Q=(2\,000;\ 1\,600)$ y $R=(0;\ 2\,400)$.

La pauta oficial da: $F(x,y)=6{,}2x+6{,}5y$; $x\ge 0$; $y\ge 0$; $8x+5y\le 24\,000$; $2x+5y\le 12\,000$

Planteamiento El máximo se alcanza en un vértice. Calculamos cada vértice como la intersección de dos rectas y evaluamos $F$ en él.

1. Vértice $O$: rectas $x=0$ e $y=0$.

   $O=(0;\ 0)$

2. Vértice $P$: rectas $y=0$ y $8x+5y=24\,000$ (cumple $2\cdot 3\,000=6\,000\le 12\,000$):

   $8x$${}= 24\,000$${}\Longrightarrow x=3\,000$${}\Longrightarrow P=(3\,000;\ 0)$

3. Vértice $Q$: rectas $8x+5y=24\,000$ y $2x+5y=12\,000$. Las restamos:

   $6x=12\,000\ \Longrightarrow\ x=2\,000$$5y$${}= 12\,000-4\,000$${}\Longrightarrow y=1\,600$${}\Longrightarrow Q=(2\,000;\ 1\,600)$

4. Vértice $R$: rectas $x=0$ y $2x+5y=12\,000$ (cumple $5\cdot 2\,400=12\,000\le 24\,000$):

   $5y$${}= 12\,000$${}\Longrightarrow y=2\,400$${}\Longrightarrow R=(0;\ 2\,400)$

5. Función objetivo en los vértices:

   $F(O)=0$$F(P)=6{,}2\cdot 3\,000=18\,600$$F(Q)$${}= 6{,}2\cdot 2\,000+6{,}5\cdot 1\,600$${}= 12\,400+10\,400$${}= 22\,800$$F(R)=6{,}5\cdot 2\,400=15\,600$

6. El máximo está en $Q$, donde se venden todas las naranjas y todas las mandarinas:

   $8\cdot 2\,000+5\cdot 1\,600=24\,000$$2\cdot 2\,000+5\cdot 1\,600=12\,000$

Planteamiento Sustituimos $t=1$ y $t=2$, y para el largo plazo calculamos el límite cuando $t\to+\infty$. Los resultados son miles de personas.

1. Semana 1:

   $f(1)=\dfrac{30}{1-2+4}=\dfrac{30}{3}=10$

2. Semana 2:

   $f(2)=\dfrac{60}{4-4+4}=\dfrac{60}{4}=15$

3. A largo plazo: dividimos numerador y denominador por $t^2$, la potencia más alta del denominador.

   $\lim_{t\to+\infty}\dfrac{30t}{t^2-2t+4}$${}= \lim_{t\to+\infty}\dfrac{\frac{30}{t}}{1-\frac{2}{t}+\frac{4}{t^2}}$${}= \dfrac{0}{1}=0$

Planteamiento Buscamos el máximo de $f$ para $t\ge 0$ con la derivada. El denominador no se anula nunca, porque $t^2-2t+4=(t-1)^2+3>0$, así que $f$ es derivable en todo el dominio.

1. Derivada de un cociente:

   $f'(t)$${}= \dfrac{30(t^2-2t+4)-30t(2t-2)}{(t^2-2t+4)^2}$${}= \dfrac{30t^2-60t+120-60t^2+60t}{(t^2-2t+4)^2}$${}= \dfrac{120-30t^2}{(t^2-2t+4)^2}$

2. Igualamos a cero. La solución $t=-2$ no tiene sentido, porque $t\ge 0$.

   $120-30t^2=0\ \Longrightarrow\ t^2=4\ \Longrightarrow\ t=2$

3. Signo de la derivada: $f$ crece hasta $t=2$ y decrece a partir de ahí, así que $t=2$ es el máximo absoluto.

   $f'(1)=\dfrac{120-30}{3^2}=10>0$$f'(3)$${}= \dfrac{120-270}{7^2}$${}= -\dfrac{150}{49}$${}< 0$

4. Valor máximo, calculado en el apartado anterior:

   $f(2)=15$

Planteamiento Calculamos $\boldsymbol{A}^2$ en función de $a$ y la igualamos a la identidad.

1. Cuadrado de la matriz:

   $\boldsymbol{A}^2$${}= \begin{pmatrix}1&a\\ 2&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&a\\ 2&-1\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}1+2a&a-a\\ 2-2&2a+1\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}1+2a&0\\ 0&1+2a\end{pmatrix}$

2. Igualamos a $\boldsymbol{I}$: los dos elementos de la diagonal tienen que valer 1.

   $1+2a=1\ \Longrightarrow\ a=0$

Planteamiento Con $a=-1$ el cuadrado da $-\boldsymbol{I}$, y a partir de ahí las potencias se repiten cada cuatro.

1. Con $a=-1$, en la fórmula del apartado anterior:

   $\boldsymbol{A}^2$${}= \begin{pmatrix}1-2&0\\ 0&1-2\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}-1&0\\ 0&-1\end{pmatrix}$${}= -\boldsymbol{I}$

2. Potencia tercera:

   $\boldsymbol{A}^3$${}= \boldsymbol{A}^2\boldsymbol{A}$${}= -\boldsymbol{I}\boldsymbol{A}$${}= -\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}-1&1\\ -2&1\end{pmatrix}$

3. Potencia cuarta:

   $\boldsymbol{A}^4=\boldsymbol{A}^3\boldsymbol{A}=-\boldsymbol{A}^2=-(-\boldsymbol{I})=\boldsymbol{I}$

4. Como $\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{A}^3=\boldsymbol{A}^4=\boldsymbol{I}$, la inversa es $\boldsymbol{A}^3$:

   $\boldsymbol{A}^{-1}$${}= \boldsymbol{A}^3$${}= -\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}-1&1\\ -2&1\end{pmatrix}$

5. Dividimos 23 entre 4: $23=4\cdot 5+3$.

   $\boldsymbol{A}^{23}$${}= \left(\boldsymbol{A}^4\right)^5\boldsymbol{A}^3$${}= \boldsymbol{I}^5\boldsymbol{A}^3$${}= \boldsymbol{A}^3$${}= \begin{pmatrix}-1&1\\ -2&1\end{pmatrix}$