Programación lineal: ejercicios de la PAU de Matemáticas CCSS resueltos

Planteamiento Llamamos $x$ al número de embarcaciones que salen a hacer bautizos de submarinismo e $y$ al número de las que hacen excursiones por la costa, cada día. Cada embarcación va llena: 10 participantes en un bautizo y 25 en una excursión. Los valores de $x$ e $y$ tienen que ser enteros.

1. Ingresos de cada salida: $60\cdot 10=600$ € un bautizo y $18\cdot 25=450$ € una excursión. La función objetivo son los ingresos diarios, que queremos maximizar:

   $F(x,y)=600x+450y$

2. Instructores: 5 por bautizo y 2 por excursión, con 75 en total:

   $5x+2y\le 75$

3. Embarcaciones: hay 30.

   $x+y\le 30$

4. Las cantidades no pueden ser negativas:

   $x\ge 0$$y\ge 0$

5. Para dibujar las rectas frontera, buscamos sus cortes con los ejes:

   $5x+2y=75:\ (15;\ 0),\ (0;\ 37{,}5)$$x+y=30:\ (30;\ 0),\ (0;\ 30)$

6. El punto $(0,\ 0)$ cumple todas las desigualdades, así que la región factible es la parte del primer cuadrante que queda por debajo de las dos rectas: el cuadrilátero de vértices $C$, $D$, $A$ y $B$ del gráfico.

   $\begin{cases}5x+2y\le 75\\ x+y\le 30\\ x\ge 0,\ y\ge 0\end{cases}$

ResultadoFunción objetivo (ingresos diarios, en euros, que hay que maximizar): $F(x,y)=600x+450y$. Restricciones: $5x+2y\le 75$, $x+y\le 30$, $x\ge 0$, $y\ge 0$, con $x$ e $y$ enteros. La región factible es el cuadrilátero de vértices $C=(0,\ 0)$, $D=(15,\ 0)$, $A=(5,\ 25)$ y $B=(0,\ 30)$.

La pauta oficial da: $F(x,y)=600x+450y$; $x\ge 0$; $y\ge 0$; $5x+2y\le 75$; $x+y\le 30$

Planteamiento El máximo de una función objetivo lineal sobre una región factible acotada se alcanza en un vértice. Calculamos cada vértice como la intersección de dos rectas frontera y evaluamos $F$ en él.

1. Vértice $C$: rectas $x=0$ e $y=0$.

   $C=(0,\ 0)$

2. Vértice $D$: rectas $y=0$ y $5x+2y=75$ (cumple $15\le 30$):

   $5x=75\ \Longrightarrow\ x=15\ \Longrightarrow\ D=(15,\ 0)$

3. Vértice $A$: rectas $5x+2y=75$ y $x+y=30$. A la primera le restamos el doble de la segunda:

   $(5x+2y)-2(x+y)$${}= 75-60$${}\Longrightarrow 3x=15$${}\Longrightarrow x=5,\ y$${}= 30-5$${}= 25$${}\Longrightarrow A=(5,\ 25)$

4. Vértice $B$: rectas $x=0$ y $x+y=30$ (cumple $2\cdot 30=60\le 75$):

   $B=(0,\ 30)$

5. Valor de la función objetivo en cada vértice:

   $F(C)=0$$F(D)=600\cdot 15=9\,000$$F(A)$${}= 600\cdot 5+450\cdot 25$${}= 3\,000+11\,250$${}= 14\,250$$F(B)=450\cdot 30=13\,500$

6. El valor más grande es $F(A)$. En $A$ se usan todos los instructores y todas las embarcaciones:

   $5\cdot 5+2\cdot 25=75$$5+25=30$

7. Si «llenar todas las embarcaciones» se entiende como que tienen que salir las 30, la región factible se reduce al segmento de $x+y=30$ entre $B$ y $A$ ($0\le x\le 5$). Sobre este segmento $F$ crece con $x$, y el máximo sigue siendo $A$:

   $F(x,30-x)$${}= 600x+450(30-x)$${}= 13\,500+150x$${}\le 13\,500+150\cdot 5$${}= 14\,250$

Planteamiento Llamamos $x$ al número de cocas sin relleno e $y$ al número de cocas rellenas de crema. Trabajamos en kilogramos: una coca sin relleno gasta $0{,}5$ kg de harina y $0{,}3$ kg de azúcar, y una rellena, $0{,}4$ kg de harina y $0{,}12$ kg de azúcar.

1. La función objetivo son los ingresos, en euros, que queremos maximizar:

   $F(x,y)=15x+25y$

2. Harina, 60 kg (multiplicamos por 10):

   $0{,}5x+0{,}4y\le 60\ \Longleftrightarrow\ 5x+4y\le 600$

3. Azúcar, 30 kg (multiplicamos por 100 y dividimos por 6; si solo se multiplica por 10, sale la misma restricción escrita como $3x+1{,}2y\le 300$):

   $0{,}3x+0{,}12y$${}\le 30$${}\Longleftrightarrow 30x+12y$${}\le 3\,000$${}\Longleftrightarrow 5x+2y$${}\le 500$

4. Pedidos mínimos:

   $x\ge 60$$y\ge 30$

5. Para dibujar las rectas frontera de la harina y del azúcar, buscamos dos puntos de cada una:

   $5x+4y=600:\ (120,\ 0),\ (0,\ 150)$$5x+2y=500:\ (100,\ 0),\ (0,\ 250)$

6. El punto $(70,\ 40)$ cumple todas las condiciones ($510\le 600$ y $430\le 500$). La región factible es el cuadrilátero limitado por las rectas $x=60$, $y=30$, $5x+4y=600$ y $5x+2y=500$: el de vértices $A$, $B$, $C$ y $D$ del gráfico.

   $\begin{cases}5x+4y\le 600\\ 5x+2y\le 500\\ x\ge 60,\ y\ge 30\end{cases}$

ResultadoFunción objetivo (ingresos, en euros, que hay que maximizar): $F(x,y)=15x+25y$. Restricciones: $5x+4y\le 600$ (harina), $5x+2y\le 500$ (azúcar), $x\ge 60$ e $y\ge 30$, con $x$ e $y$ enteros. La región factible es el cuadrilátero de vértices $A=(60,\ 30)$, $B=(88,\ 30)$, $C=(80,\ 50)$ y $D=(60,\ 75)$.

La pauta oficial da: $F(x,y)=15x+25y$; $x\ge 60$; $y\ge 30$; $5x+4y\le 600$; $3x+1{,}2y\le 300$

Planteamiento El máximo se alcanza en un vértice de la región factible. Calculamos cada vértice como la intersección de dos rectas, evaluamos $F$ en él y, con el mejor, contamos los ingredientes gastados.

1. Vértice $A$: rectas $x=60$ e $y=30$.

   $A=(60,\ 30)$

2. Vértice $B$: rectas $y=30$ y $5x+2y=500$ (cumple $5\cdot 88+4\cdot 30=560\le 600$):

   $5x+60$${}= 500$${}\Longrightarrow x=88$${}\Longrightarrow B=(88,\ 30)$

3. Vértice $C$: rectas $5x+4y=600$ y $5x+2y=500$. Las restamos:

   $2y=100\ \Longrightarrow\ y=50$$5x$${}= 500-2\cdot 50$${}= 400$${}\Longrightarrow x=80$${}\Longrightarrow C=(80,\ 50)$

4. Vértice $D$: rectas $x=60$ y $5x+4y=600$ (cumple $5\cdot 60+2\cdot 75=450\le 500$):

   $300+4y$${}= 600$${}\Longrightarrow y=75$${}\Longrightarrow D=(60,\ 75)$

5. Función objetivo en los vértices:

   $F(A)=900+750=1\,650$$F(B)=1\,320+750=2\,070$$F(C)=1\,200+1\,250=2\,450$$F(D)=900+1\,875=2\,775$

6. El máximo está en $D$. Ingredientes gastados con 60 cocas sin relleno y 75 rellenas:

   $\text{harina: }0{,}5\cdot 60$${}+0{,}4\cdot 75$${}= 30+30$${}= 60$$\text{azúcar: }0{,}3\cdot 60$${}+0{,}12\cdot 75$${}= 18+9$${}= 27$

7. Sobrantes (en kg):

   $\text{harina: }60-60=0$$\text{azúcar: }30-27=3$

Planteamiento Llamamos $x$ al número de cajas A e $y$ al número de cajas B. A los vértices de la región factible los llamamos $O$, $P$, $Q$ y $R$, para no confundirlos con los tipos de caja.

1. Ingresos por caja, en euros:

   $\text{A: }8\cdot 0{,}60+2\cdot 0{,}70=4{,}8+1{,}4=6{,}2$$\text{B: }5\cdot 0{,}60+5\cdot 0{,}70=3+3{,}5=6{,}5$

2. La función objetivo son los ingresos totales, que queremos maximizar:

   $F(x,y)=6{,}2x+6{,}5y$

3. Naranjas disponibles, $24\,000$ kg:

   $8x+5y\le 24\,000$

4. Mandarinas disponibles, $12\,000$ kg:

   $2x+5y\le 12\,000$

5. Las cantidades no pueden ser negativas:

   $x\ge 0$$y\ge 0$

6. Cortes de las rectas frontera con los ejes, para dibujarlas:

   $8x+5y$${}= 24\,000:\ (3\,000;\ 0),\ (0;\ 4\,800)$$2x+5y$${}= 12\,000:\ (6\,000;\ 0),\ (0;\ 2\,400)$

7. El punto $(0;\ 0)$ cumple todas las desigualdades, así que la región factible es la parte del primer cuadrante que queda por debajo de las dos rectas: el cuadrilátero $OPQR$ del gráfico.

   $\begin{cases}8x+5y\le 24\,000\\ 2x+5y\le 12\,000\\ x\ge 0,\ y\ge 0\end{cases}$

ResultadoFunción objetivo (ingresos, en euros, que hay que maximizar): $F(x,y)=6{,}2x+6{,}5y$. Restricciones: $8x+5y\le 24\,000$ (naranjas), $2x+5y\le 12\,000$ (mandarinas), $x\ge 0$, $y\ge 0$. La región factible es el cuadrilátero de vértices $O=(0;\ 0)$, $P=(3\,000;\ 0)$, $Q=(2\,000;\ 1\,600)$ y $R=(0;\ 2\,400)$.

La pauta oficial da: $F(x,y)=6{,}2x+6{,}5y$; $x\ge 0$; $y\ge 0$; $8x+5y\le 24\,000$; $2x+5y\le 12\,000$

Planteamiento El máximo se alcanza en un vértice. Calculamos cada vértice como la intersección de dos rectas y evaluamos $F$ en él.

1. Vértice $O$: rectas $x=0$ e $y=0$.

   $O=(0;\ 0)$

2. Vértice $P$: rectas $y=0$ y $8x+5y=24\,000$ (cumple $2\cdot 3\,000=6\,000\le 12\,000$):

   $8x$${}= 24\,000$${}\Longrightarrow x=3\,000$${}\Longrightarrow P=(3\,000;\ 0)$

3. Vértice $Q$: rectas $8x+5y=24\,000$ y $2x+5y=12\,000$. Las restamos:

   $6x=12\,000\ \Longrightarrow\ x=2\,000$$5y$${}= 12\,000-4\,000$${}\Longrightarrow y=1\,600$${}\Longrightarrow Q=(2\,000;\ 1\,600)$

4. Vértice $R$: rectas $x=0$ y $2x+5y=12\,000$ (cumple $5\cdot 2\,400=12\,000\le 24\,000$):

   $5y$${}= 12\,000$${}\Longrightarrow y=2\,400$${}\Longrightarrow R=(0;\ 2\,400)$

5. Función objetivo en los vértices:

   $F(O)=0$$F(P)=6{,}2\cdot 3\,000=18\,600$$F(Q)$${}= 6{,}2\cdot 2\,000+6{,}5\cdot 1\,600$${}= 12\,400+10\,400$${}= 22\,800$$F(R)=6{,}5\cdot 2\,400=15\,600$

6. El máximo está en $Q$, donde se venden todas las naranjas y todas las mandarinas:

   $8\cdot 2\,000+5\cdot 1\,600=24\,000$$2\cdot 2\,000+5\cdot 1\,600=12\,000$

Planteamiento Llamamos $x$ al número de cestas de tipo A e $y$ al de cestas de tipo B (números naturales). Los jamones y el turrón limitan la producción; el cava no, porque hay suficiente. Queremos hacer el máximo número de cestas, $x+y$.

1. Función objetivo (número total de cestas), que hay que maximizar:

   $f(x,y)=x+y$

2. Restricciones: jamones ($1$ y $2$ por cesta, $40$ en total), turrón ($5$ y $2$ por cesta, $120$ en total) y cantidades no negativas:

   $\begin{cases}x+2y\le 40\\ 5x+2y\le 120\\ x\ge 0,\ y\ge 0\end{cases}$

3. Rectas que limitan la región: $r_1$ corta los ejes en $(40,\ 0)$ y $(0,\ 20)$, y $r_2$ en $(24,\ 0)$ y $(0,\ 60)$. La región factible es el cuadrilátero que queda por debajo de las dos rectas, dentro del primer cuadrante.

   $r_1:\ x+2y=40$$r_2:\ 5x+2y=120$

4. Vértice $O$: corte de los ejes $x=0$ e $y=0$.

   $O=(0,\ 0)$

5. Vértice $P$: corte de $y=0$ con $r_2$ (el corte de $y=0$ con $r_1$, $(40,\ 0)$, no cumple $r_2$ porque $5\cdot 40=200>120$).

   $5x=120\ \Longrightarrow\ P=(24,\ 0)$

6. Vértice $Q$: corte de $r_1$ y $r_2$. Restando la primera ecuación de la segunda:

   $4x=80\ \Longrightarrow\ x=20$$2y=40-20\ \Longrightarrow\ y=10$$Q=(20,\ 10)$

7. Vértice $R$: corte de $x=0$ con $r_1$ (el corte con $r_2$, $(0,\ 60)$, no cumple $r_1$ porque $2\cdot 60=120>40$).

   $2y=40\ \Longrightarrow\ R=(0,\ 20)$

8. Valor de la función objetivo en cada vértice:

   $f(O)=0$$f(P)=24$$f(Q)=20+10=30$$f(R)=20$

9. El máximo está en $Q$, que tiene coordenadas enteras. Comprobación de los recursos: se usan todos los jamones y todo el turrón, y $20+3\cdot 10=50$ botellas de cava.

   $20+2\cdot 10=40$$5\cdot 20+2\cdot 10=120$

ResultadoLa función objetivo es $f(x,y)=x+y$, con las restricciones $x+2y\le 40$, $5x+2y\le 120$, $x\ge 0$ e $y\ge 0$. La región factible es el cuadrilátero de vértices $O=(0,\ 0)$, $P=(24,\ 0)$, $Q=(20,\ 10)$ y $R=(0,\ 20)$. La empresa tiene que hacer $20$ cestas de tipo A y $10$ de tipo B: $30$ cestas en total.

La pauta oficial da: $f(x,y)=x+y$; $x+2y\le 40$; $5x+2y\le 120$; $(0,\ 0)$, $(24,\ 0)$, $(20,\ 10)$, $(0,\ 20)$; $x=20$, $y=10$; $30$

Planteamiento Ahora $x=y$: sustituimos $y$ por $x$ en las restricciones y buscamos el mayor número natural $x$ que las cumple.

1. Jamones:

   $x+2x$${}\le 40$${}\Longrightarrow 3x$${}\le 40$${}\Longrightarrow x$${}\le \frac{40}{3}=13{,}33\ldots$

2. Turrón:

   $5x+2x$${}\le 120$${}\Longrightarrow 7x$${}\le 120$${}\Longrightarrow x$${}\le \frac{120}{7}$${}= 17{,}14\ldots$

3. Las dos condiciones a la vez dejan $x\le 13{,}33\ldots$, y el número de cestas tiene que ser natural:

   $x=y=13$

4. Comprobación: hacen falta $39$ jamones y $91$ barras de turrón, y no hay suficiente para una cesta más de cada tipo ($14$ de cada tipo pedirían $42$ jamones).

   $13+2\cdot 13=39\le 40$$5\cdot 13+2\cdot 13=91\le 120$

Planteamiento Llamamos $x$ al número de habitaciones reservadas con la tarifa estándar e $y$ al de la tarifa reducida, para una noche. Lo que el enunciado llama beneficio son los ingresos de esa noche.

1. Función objetivo (ingresos por noche, en euros), que hay que maximizar:

   $F(x,y)=120x+90y$

2. Restricciones: como máximo $420$ habitaciones, al menos el $20\ \%$ de $420$ con la tarifa reducida ($0{,}2\cdot 420=84$), estándar al menos el doble que reducida, y cantidades no negativas:

   $\begin{cases}x+y\le 420\\ y\ge 84\\ x\ge 2y\\ x\ge 0\end{cases}$

3. Rectas que limitan la región:

   $r_1:\ x+y=420$$r_2:\ y=84$$r_3:\ x=2y$

4. La región factible es el triángulo que queda por encima de $r_2$, por debajo de $r_1$ y a la derecha de $r_3$ (la condición $x\ge 0$ ya se cumple, porque $x\ge 2y\ge 168$). Los vértices son los cortes de las rectas dos a dos; los calculamos en el apartado b.

   $x\ge 2y\ge 2\cdot 84=168$

ResultadoLa función objetivo es $F(x,y)=120x+90y$, con las restricciones $x+y\le 420$, $y\ge 84$, $x\ge 2y$ y $x\ge 0$. La región factible es el triángulo de vértices $A=(280,\ 140)$, $B=(336,\ 84)$ y $C=(168,\ 84)$ (gráfica).

La pauta oficial da: $F(x,y)=120x+90y$; $x\ge 0$; $y\ge 84$; $x+y\le 420$; $x\ge 2y$

Planteamiento La función objetivo alcanza el máximo en un vértice de la región: calculamos cada vértice como el corte de dos rectas y evaluamos $F$ en él.

1. Vértice $A$: corte de $r_1$ y $r_3$. Sustituyendo $x=2y$ en $x+y=420$:

   $3y=420\ \Longrightarrow\ y=140$$x=280$$A=(280,\ 140)$

2. Vértice $B$: corte de $r_1$ y $r_2$:

   $x=420-84=336$$B=(336,\ 84)$

3. Vértice $C$: corte de $r_2$ y $r_3$:

   $x=2\cdot 84=168$$C=(168,\ 84)$

4. Función objetivo en cada vértice:

   $F(A)=33\,600+12\,600=46\,200$$F(B)=40\,320+7\,560=47\,880$$F(C)=20\,160+7\,560=27\,720$

5. El valor más grande es el de $B$:

   $47\,880>46\,200>27\,720$

Planteamiento Queremos minimizar la radiación que absorben las partes en buen estado, $4x+5y$, con dos condiciones: al menos $60$ grays en la parte dañada y como máximo $27$ grays alrededor.

1. Función objetivo, que hay que minimizar:

   $F(x,y)=4x+5y$

2. Restricciones:

   $\begin{cases}6x+4y\ge 60\\ 3x+y\le 27\\ x\ge 0,\ y\ge 0\end{cases}$

3. Rectas que limitan la región: $r_1$ corta los ejes en $(10,\ 0)$ y $(0,\ 15)$, y $r_2$ en $(9,\ 0)$ y $(0,\ 27)$. La región es la parte del primer cuadrante por encima de $r_1$ y por debajo de $r_2$.

   $r_1:\ 6x+4y=60$$r_2:\ 3x+y=27$

4. Vértice $A$: corte de $x=0$ con $r_1$.

   $4y=60\ \Longrightarrow\ A=(0,\ 15)$

5. Vértice $B$: corte de $x=0$ con $r_2$.

   $y=27\ \Longrightarrow\ B=(0,\ 27)$

6. Vértice $C$: corte de $r_1$ y $r_2$. De $r_2$, $y=27-3x$; sustituyendo en $r_1$:

   $6x+4(27-3x)$${}= 60$${}\Longrightarrow -6x$${}= -48$${}\Longrightarrow x=8$$y=27-24=3$$C=(8,\ 3)$

7. El eje $y=0$ no da ningún vértice: sus cortes con las rectas, $(10,\ 0)$ y $(9,\ 0)$, no cumplen la otra restricción. La región factible es, por tanto, el triángulo $ABC$, que es cerrado.

   $3\cdot 10=30>27$$6\cdot 9=54<60$

8. Función objetivo en cada vértice:

   $F(A)=75$$F(B)=135$$F(C)=32+15=47$

9. El valor más pequeño es el de $C$:

   $47<75<135$

ResultadoLa función objetivo es $F(x,y)=4x+5y$, con las restricciones $6x+4y\ge 60$, $3x+y\le 27$, $x\ge 0$ e $y\ge 0$; la región factible es el triángulo de vértices $A=(0,\ 15)$, $B=(0,\ 27)$ y $C=(8,\ 3)$. Hay que utilizar $8$ grays de rayos de cobalto y $3$ grays de rayos de cesio; las partes en buen estado absorben entonces $47$ grays, el mínimo posible.

La pauta oficial da: $F(x,y)=4x+5y$; $3x+y\le 27$; $6x+4y\ge 60$; $x\ge 0$; $y\ge 0$; $(8,\ 3)$

Planteamiento Sustituimos $x=7$ e $y=5$ en las dos restricciones y en la función objetivo.

1. Parte dañada (como mínimo $60$):

   $6\cdot 7+4\cdot 5=42+20=62\ge 60$

2. Alrededores (como máximo $27$):

   $3\cdot 7+5=26\le 27$

3. Radiación absorbida por las partes en buen estado:

   $F(7,\ 5)$${}= 28+25$${}= 53$${}> 47=F(8,\ 3)$