Inferencia estadística: ejercicios de la PAU de Matemáticas CCSS resueltos

Los 10 ejercicios de inferencia estadística de la PAU de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales de Cataluña de 2024 a 2026: el enunciado tal como salió en el examen y la solución paso a paso, contrastada con la pauta de corrección. Cuando la pauta da otra cifra, te decimos por qué.

Exámenes enteros con este tema:2026 · junio · serie 12026 · junio · serie 52026 · extraordinaria2025 · junio · serie 12025 · junio · serie 42025 · extraordinaria2024 · junio · serie 12024 · junio · serie 52024 · extraordinaria

Lo que más se ha repetido en los exámenes

Los tipos de apartado que más se han repetido en este tema, cómo se resuelven y en cuántos de los 9 exámenes con ejercicios de este tema (2024–2026) han salido. Es lo que ha pasado, no una predicción. Desde 2025 el examen sigue el nuevo modelo de la PAU: entre paréntesis, el recuento de esos años.

En 9 de 9 exámenes (6 de 6 desde 2025)

  1. Elige la fórmula de las que da el enunciado según los datos: proporción (muestra grande), media con σ\sigma conocida o media de muestra grande con σ\sigma desconocida (se usa ss). Anota zγz_\gamma (1,961{,}96 para el 95 %, 2,582{,}58 para el 99 %).

  2. Calcula el estimador de la muestra: la media xˉ\bar x (suma de los datos entre nn) o la proporción p^\hat p (éxitos entre nn). Si piden la estimación como porcentaje, multiplica por 100100.

    p^=eˊxitosn\hat p=\frac{\text{éxitos}}{n}xˉ=∑xin\bar x=\frac{\sum x_i}{n}

  3. Sustituye cada parámetro en la fórmula y calcula el margen de error y los dos extremos.

    [xˉ−zγσn, xˉ+zγσn]\left[\bar x-z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \bar x+z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]

  4. Compara el intervalo con el valor de referencia (580 kg, 3 segundos, 30 minutos, la proporción de antes): si el valor está dentro, no puedes afirmar que haya cambiado; si todo el intervalo queda a un lado, sí.

Los ejercicios, del más reciente al más antiguo

2026Convocatoria ordinaria · Serie 1 · Ejercicio 3

2,5 puntosCoincide con la pautaTambién en Probabilidad
Enunciado oficial

Una empresa de telecomunicaciones considera que una página web es eficiente si su tiempo de carga es inferior a 3 segundos. La empresa afirma que al menos el 50 % de las páginas web que gestiona son eficientes. Para comprobar esta afirmación, se selecciona una muestra aleatoria de n=2.500n=2.500 páginas web gestionadas por esta empresa.

Fórmulas para resolver el ejercicio:

• ZZ∼normal (0,1){}\sim \text{normal}\,(0,1)→P(−1,96≤Z≤1,96){}\to P(-1{,}96\le Z\le 1{,}96)=0,95{}= 0{,}95 y P(−2,58≤Z≤2,58)=0,99P(-2{,}58\le Z\le 2{,}58)=0{,}99 • Intervalos de confianza con un nivel de confianza γ∈(0,1)\gamma\in(0,1) — para la proporción (muestras grandes): [p^−zγp^(1−p^)n, p^+zγp^(1−p^)n]\left[\hat p-z_\gamma\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\ \hat p+z_\gamma\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right] — para la media (muestras normales con la varianza σ2\sigma^2 conocida): [xˉ−zγσn, xˉ+zγσn]\left[\bar x-z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \bar x+z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right] — para la media (muestras grandes con la varianza σ2\sigma^2 desconocida): [xˉ−zγsn, xˉ+zγsn]\left[\bar x-z_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}},\ \bar x+z_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}}\right]

3.1 Se supone que, cada vez que se selecciona una página web para la muestra, esta puede ser eficiente (o no serlo) con una probabilidad p=0,5p=0{,}5 y que el hecho de que una página sea eficiente (o no) es independiente de que el resto de las páginas lo sean (o no). Se considera la variable aleatoria XX, que cuenta el número de páginas, de entre las 2.500 de la muestra, que son eficientes.

¿Qué distribución tiene la variable XX? Calcule la probabilidad de que como mucho 1.299 páginas sean eficientes. Para ello, utilice la aproximación por la distribución normal sin hacer la corrección por continuidad.

[1,25 puntos]

3.2 En la muestra de n=2.500n=2.500 páginas web, se ha obtenido una media muestral del tiempo de carga de xˉ=2,95\bar x=2{,}95 segundos y una desviación típica muestral de s=0,38s=0{,}38 segundos. Suponga que el tiempo de carga de las páginas web sigue una distribución normal.

Construya un intervalo de confianza del 95 % para el tiempo medio de carga de las páginas web que gestiona la empresa. A partir del intervalo obtenido, ¿qué se puede decir sobre la afirmación de la empresa de que al menos el 50 % de las páginas web que gestiona son eficientes?

[1,25 puntos]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

3.11,25 puntos

Planteamiento XX cuenta los éxitos (páginas eficientes) en 2 5002\,500 pruebas independientes con la misma probabilidad p=0,5p=0{,}5: es una binomial. Como nn es grande, la aproximamos por una normal con la misma media y la misma varianza, y tipificamos.

  1. Distribución de XX:

    X∼B(n=2 500, p=0,5)X\sim B(n=2\,500,\ p=0{,}5)

  2. Media y desviación típica de la binomial:

    μ=np=2 500⋅0,5=1 250\mu=np=2\,500\cdot 0{,}5=1\,250σ\sigma=np(1−p){}= \sqrt{np(1-p)}=2 500⋅0,5⋅0,5{}= \sqrt{2\,500\cdot 0{,}5\cdot 0{,}5}=625{}= \sqrt{625}=25{}= 25

  3. Aproximamos XX por una normal de media 1 2501\,250 y desviación típica 2525 (sin corrección por continuidad) y tipificamos:

    P(X≤1 299)P(X\le 1\,299)≈P(Z≤1 299−1 25025){}\approx P\left(Z\le \frac{1\,299-1\,250}{25}\right)=P(Z≤1,96){}= P(Z\le 1{,}96)

  4. Del dato P(−1,96≤Z≤1,96)=0,95P(-1{,}96\le Z\le 1{,}96)=0{,}95, por simetría cada cola deja 1−0,952=0,025\frac{1-0{,}95}{2}=0{,}025:

    P(Z≤1,96)=0,95+0,025=0,975P(Z\le 1{,}96)=0{,}95+0{,}025=0{,}975

ResultadoX∼B(2 500; 0,5)X\sim B(2\,500;\ 0{,}5) y P(X≤1 299)≈0,975P(X\le 1\,299)\approx 0{,}975.

La pauta oficial da: X∼B(2500, 0,5)X\sim B(2500,\ 0{,}5); P(X≤1299)P(X\le 1299)≈P(Z≤1,96){}\approx P(Z\le 1{,}96)=0,975{}= 0{,}975

3.21,25 puntos

Planteamiento La muestra es grande y no conocemos σ\sigma, así que usamos la tercera fórmula, con la desviación típica muestral ss; para el 95 %, zγ=1,96z_\gamma=1{,}96. Después comparamos el intervalo con los 3 segundos.

  1. Margen de error:

    zγsnz_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}}=1,96⋅0,382 500{}= 1{,}96\cdot\frac{0{,}38}{\sqrt{2\,500}}=1,96⋅0,3850{}= 1{,}96\cdot\frac{0{,}38}{50}=1,96⋅0,0076{}= 1{,}96\cdot 0{,}0076=0,014896{}= 0{,}014896

  2. Extremos del intervalo:

    2,95−0,014896≈2,93512{,}95-0{,}014896\approx 2{,}93512,95+0,014896≈2,96492{,}95+0{,}014896\approx 2{,}9649

  3. Todo el intervalo queda por debajo de 3 segundos, así que, con una confianza del 95 %, el tiempo medio μ\mu es inferior a 3 segundos.

  4. El tiempo de carga TT es normal, y la normal es simétrica respecto de su media: la mitad de las páginas tarda menos que μ\mu. Si μ<3\mu<3:

    P(T<3)>P(T<μ)=0,5P(T<3)>P(T<\mu)=0{,}5

ResultadoEl intervalo de confianza del 95 % es [2,9351; 2,9649][2{,}9351;\ 2{,}9649] segundos. Como queda todo por debajo de 3 segundos, los datos son coherentes con la afirmación de la empresa: más de la mitad de las páginas cargan en menos de 3 segundos, es decir, son eficientes.

La pauta oficial da: [2,9351, 2,9649][2{,}9351,\ 2{,}9649]

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 2026, convocatoria ordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 22 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

El examen entero, resueltoExamen en catalán (PDF)Examen en castellano (PDF)Pauta de corrección (PDF)Reutilizado según el aviso legal de la Generalitat

2026Convocatoria ordinaria · Serie 5 · Ejercicio 2

2,5 puntosLa pauta redondea distintoTambién en Probabilidad
Enunciado oficial

En el campus de una universidad, el 45 % del alumnado llega en tren, el 35 % en autobús y el resto utilizando medios propios. Entre los usuarios del tren, el 70 % utiliza la T-joven, mientras que el 30 % restante usa otros tipos de billetes. Entre los usuarios del autobús, el 60 % utiliza la T-joven y el 40 % usa otros tipos de billetes. Entre los que llegan al campus por medios propios, ninguno utiliza la T-joven.

Fórmulas para resolver el ejercicio:

• ZZ∼normal (0,1){}\sim \text{normal}\,(0,1)→P(−1,96≤Z≤1,96){}\to P(-1{,}96\le Z\le 1{,}96)=0,95{}= 0{,}95 y P(−2,58≤Z≤2,58)=0,99P(-2{,}58\le Z\le 2{,}58)=0{,}99 • Intervalos de confianza con un nivel de confianza γ∈(0,1)\gamma\in(0,1) — para la proporción (muestras grandes): [p^−zγp^(1−p^)n, p^+zγp^(1−p^)n]\left[\hat p-z_\gamma\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\ \hat p+z_\gamma\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right] — para la media (muestras normales con la varianza σ2\sigma^2 conocida): [xˉ−zγσn, xˉ+zγσn]\left[\bar x-z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \bar x+z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right] — para la media (muestras grandes con la varianza σ2\sigma^2 desconocida): [xˉ−zγsn, xˉ+zγsn]\left[\bar x-z_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}},\ \bar x+z_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}}\right]

2.1 Si se escoge un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que utilice la T-joven para llegar al campus? Si se sabe que un alumno usa la T-joven para llegar al campus, ¿cuál es la probabilidad de que lo haga en tren?

[1,25 puntos]

2.2 Se quiere realizar un estudio para saber cuánto tiempo tarda el alumnado en llegar al campus de la universidad desde que sale por la puerta de su casa. Por eso se pidió a una muestra de 300 estudiantes que calcularan este dato un día determinado. Se obtuvo que estos 300 estudiantes de media habían tardado 53 minutos en llegar al campus, y que la desviación típica era de 8 minutos.

Encuentre un intervalo de confianza del 95 % para el tiempo que tardan los alumnos en llegar al campus.

[1,25 puntos]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

2.11,25 puntos

Planteamiento Se piden dos probabilidades: la de que un alumno use la T-joven (probabilidad total, con los tres medios de transporte) y la de que llegue en tren sabiendo que usa la T-joven (Bayes). Llamamos TT, BB y MM a llegar en tren, en autobús y por medios propios, y JJ a usar la T-joven.

  1. Datos (los medios propios son el resto, 1−0,45−0,35=0,21-0{,}45-0{,}35=0{,}2):

    P(T)=0,45P(T)=0{,}45P(B)=0,35P(B)=0{,}35P(M)=0,2P(M)=0{,}2P(J∣T)=0,7P(J\mid T)=0{,}7P(J∣B)=0,6P(J\mid B)=0{,}6P(J∣M)=0P(J\mid M)=0

  2. Probabilidad total:

    P(J)P(J)=P(T) P(J∣T){}= P(T)\,P(J\mid T)+P(B) P(J∣B){}+P(B)\,P(J\mid B)+P(M) P(J∣M){}+P(M)\,P(J\mid M)=0,45⋅0,7+0,35⋅0,6{}= 0{,}45\cdot 0{,}7+0{,}35\cdot 0{,}6+0,2⋅0{}+0{,}2\cdot 0=0,315+0,21{}= 0{,}315+0{,}21=0,525{}= 0{,}525

  3. Bayes:

    P(T∣J)P(T\mid J)=P(T) P(J∣T)P(J){}= \frac{P(T)\,P(J\mid T)}{P(J)}=0,3150,525{}= \frac{0{,}315}{0{,}525}=35=0,6{}= \frac{3}{5}=0{,}6

ResultadoLa probabilidad de que un alumno escogido al azar use la T-joven es P(J)=0,525P(J)=0{,}525. Si usa la T-joven, la probabilidad de que llegue en tren es P(T∣J)=0,6P(T\mid J)=0{,}6.

La pauta oficial da: P(J)=0,525P(J)=0{,}525; P(T∣J)=35=0,6P(T\mid J)=\frac{3}{5}=0{,}6

2.21,25 puntos

Planteamiento Se pide un intervalo de confianza del 95 % para el tiempo medio que tarda el alumnado en llegar al campus. La muestra es grande (n=300n=300) y la desviación típica que tenemos es la de la muestra, s=8s=8, así que usamos la tercera fórmula con zγ=1,96z_\gamma=1{,}96.

  1. Datos:

    n=300n=300xˉ=53\bar x=53s=8s=8zγ=1,96z_\gamma=1{,}96

  2. Error típico y margen de error:

    sn=8300≈0,46188\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{8}{\sqrt{300}}\approx 0{,}46188zγsnz_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}}=1,96⋅0,46188{}= 1{,}96\cdot 0{,}46188≈0,9053{}\approx 0{,}9053

  3. Extremos del intervalo:

    53−0,9053≈52,0953-0{,}9053\approx 52{,}0953+0,9053≈53,9153+0{,}9053\approx 53{,}91

ResultadoEl intervalo de confianza del 95 % para el tiempo medio que tarda el alumnado en llegar al campus es [52,09; 53,91][52{,}09;\ 53{,}91] minutos.

La pauta oficial da: [52,0947; 53,9053][52{,}0947;\ 53{,}9053]

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 2026, convocatoria ordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 30 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

El examen entero, resueltoExamen en catalán (PDF)Examen en castellano (PDF)Pauta de corrección (PDF)Reutilizado según el aviso legal de la Generalitat

2026Convocatoria extraordinaria · Serie 2 · Ejercicio 3

2,5 puntosCoincide con la pautaTambién en Probabilidad
Enunciado oficial

En una asignatura de un máster de dos años, el 70 % de los estudiantes son de primer curso y el resto son de segundo curso. Según datos de cursos anteriores, la probabilidad de aprobar la asignatura es del 60 % para los estudiantes de primer curso y del 85 % para los de segundo curso.

Fórmulas para resolver el ejercicio:

• ZZ∼normal (0,1){}\sim \text{normal}\,(0,1)→P(−1,96≤Z≤1,96){}\to P(-1{,}96\le Z\le 1{,}96)=0,95{}= 0{,}95 y P(−2,58≤Z≤2,58)=0,99P(-2{,}58\le Z\le 2{,}58)=0{,}99 • Intervalos de confianza con un nivel de confianza γ∈(0,1)\gamma\in(0,1) — para la proporción (muestras grandes): [p^−zγp^(1−p^)n, p^+zγp^(1−p^)n]\left[\hat p-z_\gamma\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\ \hat p+z_\gamma\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right] — para la media (muestras normales con la varianza σ2\sigma^2 conocida): [xˉ−zγσn, xˉ+zγσn]\left[\bar x-z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \bar x+z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right] — para la media (muestras grandes con la varianza σ2\sigma^2 desconocida): [xˉ−zγsn, xˉ+zγsn]\left[\bar x-z_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}},\ \bar x+z_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}}\right]

3.1 Si se elige un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que apruebe la asignatura? Si se sabe que un estudiante ha aprobado la asignatura, ¿cuál es la probabilidad de que sea de primer curso?

[1,25 puntos]

3.2 El profesor quiere estimar la nueva proporción de estudiantes que aprueban la asignatura después de introducir un nuevo método de enseñanza. Para ello, selecciona una muestra aleatoria de n=80n=80 estudiantes y observa que 55 de ellos han aprobado.

Encuentre un intervalo de confianza del 95 % para la proporción pp de aprobados con el nuevo método. ¿El intervalo obtenido permite afirmar que el nuevo método ha mejorado la tasa de aprobados respecto de la situación anterior? Razone la respuesta.

[1,25 puntos]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

3.11,25 puntos

Planteamiento Llamamos P1P_1 y P2P_2 a «ser de primer» y «ser de segundo» curso, y AA a «aprobar». La probabilidad de aprobar sale del teorema de la probabilidad total, y la de ser de primero sabiendo que ha aprobado, del teorema de Bayes.

  1. Datos:

    P(P1)=0,70P(P_1)=0{,}70P(P2)=1−0,70=0,30P(P_2)=1-0{,}70=0{,}30P(A∣P1)=0,60P(A\mid P_1)=0{,}60P(A∣P2)=0,85P(A\mid P_2)=0{,}85

  2. Probabilidad total:

    P(A)P(A)=P(P1)P(A∣P1){}= P(P_1)P(A\mid P_1)+P(P2)P(A∣P2){}+P(P_2)P(A\mid P_2)=0,70⋅0,60+0,30⋅0,85{}= 0{,}70\cdot 0{,}60+0{,}30\cdot 0{,}85=0,42+0,255{}= 0{,}42+0{,}255=0,675{}= 0{,}675

  3. Bayes:

    P(P1∣A)P(P_1\mid A)=P(P1)P(A∣P1)P(A){}= \frac{P(P_1)P(A\mid P_1)}{P(A)}=0,420,675{}= \frac{0{,}42}{0{,}675}=2845{}= \frac{28}{45}≈0,6222{}\approx 0{,}6222

ResultadoP(A)=0,675P(A)=0{,}675 y P(P1∣A)=2845≈0,6222P(P_1\mid A)=\dfrac{28}{45}\approx 0{,}6222.

La pauta oficial da: P(A)=0,675P(A)=0{,}675; P(P1∣A)=2845≈0,6222P(P_1\mid A)=\frac{28}{45}\approx 0{,}6222

3.21,25 puntos

Planteamiento La muestra es grande, así que usamos la fórmula del intervalo para la proporción con zγ=1,96z_\gamma=1{,}96. Después miramos si la proporción de antes, 0,6750{,}675 (apartado 3.1), queda dentro del intervalo.

  1. Proporción muestral:

    p^=5580=0,6875\hat p=\frac{55}{80}=0{,}6875

  2. Error típico:

    p^(1−p^)n\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}=0,6875⋅0,312580{}= \sqrt{\frac{0{,}6875\cdot 0{,}3125}{80}}=1164{}= \frac{\sqrt{11}}{64}≈0,05182{}\approx 0{,}05182

  3. Margen de error:

    1,96⋅0,05182≈0,10161{,}96\cdot 0{,}05182\approx 0{,}1016

  4. Extremos:

    0,6875−0,1016=0,58590{,}6875-0{,}1016=0{,}58590,6875+0,1016=0,78910{,}6875+0{,}1016=0{,}7891

  5. La proporción de aprobados de antes, 0,6750{,}675, está dentro del intervalo:

    0,5859<0,675<0,78910{,}5859<0{,}675<0{,}7891

ResultadoEl intervalo de confianza del 95 % es [0,5859; 0,7891][0{,}5859;\ 0{,}7891]. Como contiene el valor anterior, 0,6750{,}675, no podemos afirmar con una confianza del 95 % que el nuevo método haya mejorado la tasa de aprobados.

La pauta oficial da: [0,5859; 0,7891][0{,}5859;\ 0{,}7891]

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 2026, convocatoria extraordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 22 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

El examen entero, resueltoExamen en catalán (PDF)Examen en castellano (PDF)Pauta de corrección (PDF)Reutilizado según el aviso legal de la Generalitat

2025Convocatoria ordinaria · Serie 1 · Ejercicio 3

2,5 puntosLa pauta redondea distintoTambién en Probabilidad
Enunciado oficial

Hace unos años una granja de vacas frisonas dedicada a la producción de leche realizó un estudio sobre el peso de sus vacas y llegó a la conclusión de que esta variable seguía una distribución normal con una media de 580 kg y una desviación típica de 25 kg.

Fórmulas para resolver el ejercicio:

• ZZ∼normal (0,1){}\sim \text{normal}\,(0,1)→P(−1,96≤Z≤1,96){}\to P(-1{,}96\le Z\le 1{,}96)=0,95{}= 0{,}95 y P(−2,58≤Z≤2,58)=0,99P(-2{,}58\le Z\le 2{,}58)=0{,}99 • Intervalos de confianza con un nivel de confianza γ∈(0,1)\gamma\in(0,1) — para la proporción (muestras grandes): [p^−zγp^(1−p^)n, p^+zγp^(1−p^)n]\left[\hat p-z_\gamma\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\ \hat p+z_\gamma\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right] — para la media (muestras normales con la varianza σ2\sigma^2 conocida): [xˉ−zγσn, xˉ+zγσn]\left[\bar x-z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \bar x+z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right] — para la media (muestras grandes con la varianza σ2\sigma^2 desconocida): [xˉ−zγsn, xˉ+zγsn]\left[\bar x-z_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}},\ \bar x+z_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}}\right]

a) Calcule, de forma razonada, la probabilidad de que si se coge al azar una vaca frisona de esta granja, su peso esté entre 531 y 629 kg.

[1 punto]

b) Se cree que un cambio en el tipo de forraje que se da a las vacas ha modificado la media de su peso. Para comprobarlo, se ha obtenido el peso de una muestra de 10 vacas de la granja escogidas al azar:

569, 575, 611, 581, 583, 614, 589, 555, 566, 571.

Encuentre un intervalo de confianza del 95 % para la media del peso de las vacas, suponiendo que este peso sigue una distribución normal con una desviación típica de 25 kg. A partir del resultado obtenido, ¿se puede afirmar que la media del peso de las vacas ha cambiado? Justifique la respuesta.

[1,5 puntos]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

a)1 punto

Planteamiento Si XX es el peso, X∼N(580, 25)X\sim N(580,\,25) (media y desviación típica). Tipificamos con Z=X−58025Z=\frac{X-580}{25} y usamos el valor de ZZ que da el enunciado.

  1. Tipificamos los dos extremos:

    531−58025=−4925=−1,96\frac{531-580}{25}=\frac{-49}{25}=-1{,}96629−58025=4925=1,96\frac{629-580}{25}=\frac{49}{25}=1{,}96

  2. Por tanto:

    P(531≤X≤629)P(531\le X\le 629)=P(−1,96≤Z≤1,96){}= P(-1{,}96\le Z\le 1{,}96)=0,95{}= 0{,}95

ResultadoP(531≤X≤629)=0,95P(531\le X\le 629)=0{,}95.

La pauta oficial da: P(−1,96≤Z≤1,96)=0,95P(-1{,}96\le Z\le 1{,}96)=0{,}95

b)1,5 puntos

Planteamiento La población es normal con σ=25\sigma=25 conocida, así que usamos la segunda fórmula con zγ=1,96z_\gamma=1{,}96. Si el intervalo contiene 580 kg, los datos no permiten decir que la media haya cambiado.

  1. Media de la muestra:

    xˉ\bar x=569+575+611+581+583+614+589+555+566+57110{}= \frac{569+575+611+581+583+614+589+555+566+571}{10}=5 81410{}= \frac{5\,814}{10}=581,4{}= 581{,}4

  2. Margen de error:

    zγσnz_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=1,96⋅2510{}= 1{,}96\cdot\frac{25}{\sqrt{10}}=4910{}= \frac{49}{\sqrt{10}}≈15,50{}\approx 15{,}50

  3. Extremos del intervalo:

    581,4−4910≈565,90581{,}4-\frac{49}{\sqrt{10}}\approx 565{,}90581,4+4910≈596,90581{,}4+\frac{49}{\sqrt{10}}\approx 596{,}90

  4. El valor de antes, 580580, está dentro del intervalo:

    565,90<580<596,90565{,}90<580<596{,}90

ResultadoEl intervalo de confianza del 95 % es [565,90; 596,90][565{,}90;\ 596{,}90] kg. Como contiene 580580 kg, con una confianza del 95 % no podemos afirmar que la media del peso haya cambiado.

La pauta oficial da: xˉ=581,4\bar x=581{,}4; [565,9048, 596,8952][565{,}9048,\ 596{,}8952]

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 2025, convocatoria ordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 22 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

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2025Convocatoria ordinaria · Serie 4 · Ejercicio 2

2,5 puntosLa pauta redondea distintoTambién en Probabilidad
Enunciado oficial

Una empresa fabrica bicicletas convencionales y eléctricas. El responsable de calidad de la empresa ha mirado el historial de ventas y ha calculado que el 5 % de las bicicletas convencionales habían tenido algún tipo de problema que había requerido una revisión posventa. En el caso de las bicicletas eléctricas, este porcentaje era del 15 %. Actualmente, el 25 % de la producción es de bicicletas convencionales y el 75 %, de bicicletas eléctricas.

Fórmulas para resolver el ejercicio:

• ZZ∼normal (0,1){}\sim \text{normal}\,(0,1)→P(−1,96≤Z≤1,96){}\to P(-1{,}96\le Z\le 1{,}96)=0,95{}= 0{,}95 y P(−2,58≤Z≤2,58)=0,99P(-2{,}58\le Z\le 2{,}58)=0{,}99 • Intervalos de confianza con un nivel de confianza γ∈(0,1)\gamma\in(0,1) — para la proporción (muestras grandes): [p^−zγp^(1−p^)n, p^+zγp^(1−p^)n]\left[\hat p-z_\gamma\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\ \hat p+z_\gamma\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right] — para la media (muestras normales con la varianza σ2\sigma^2 conocida): [xˉ−zγσn, xˉ+zγσn]\left[\bar x-z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \bar x+z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right] — para la media (muestras grandes con la varianza σ2\sigma^2 desconocida): [xˉ−zγsn, xˉ+zγsn]\left[\bar x-z_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}},\ \bar x+z_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}}\right]

a) Si se escoge una bicicleta al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tenga algún tipo de problema que requiera una revisión posventa? Si la bicicleta escogida al azar presenta algún tipo de problema que requiere una revisión posventa, ¿cuál es la probabilidad de que sea eléctrica?

[1,25 puntos]

b) El responsable de calidad cree que el dato según el cual un 15 % de bicicletas eléctricas tienen algún problema que requiere el servicio posventa ha quedado desfasado. Considera que actualmente tanto la tecnología como los controles de calidad previos han mejorado mucho y esta proporción ha disminuido. Para comprobarlo, toma una muestra de 100 bicicletas eléctricas que ha vendido en los últimos meses y observa que solo 8 han requerido una revisión posventa.

A partir de estos datos, encuentre un intervalo de confianza del 95 % para la proporción de bicicletas eléctricas que tienen algún problema y requieren una revisión posventa. A partir del resultado obtenido, ¿se puede afirmar que esta proporción ha disminuido?

[1,25 puntos]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

a)1,25 puntos

Planteamiento Se piden dos probabilidades: la de que una bicicleta necesite revisión posventa (probabilidad total) y la de que sea eléctrica sabiendo que la ha necesitado (Bayes). Llamamos CC a «es convencional», EE a «es eléctrica» y RR a «ha necesitado una revisión posventa».

  1. Datos:

    P(C)=0,25P(C)=0{,}25P(E)=0,75P(E)=0{,}75P(R∣C)=0,05P(R\mid C)=0{,}05P(R∣E)=0,15P(R\mid E)=0{,}15

  2. Probabilidad total:

    P(R)P(R)=P(C) P(R∣C){}= P(C)\,P(R\mid C)+P(E) P(R∣E){}+P(E)\,P(R\mid E)=0,25⋅0,05+0,75⋅0,15{}= 0{,}25\cdot 0{,}05+0{,}75\cdot 0{,}15=0,0125+0,1125{}= 0{,}0125+0{,}1125=0,125{}= 0{,}125

  3. Bayes:

    P(E∣R)P(E\mid R)=P(E) P(R∣E)P(R){}= \frac{P(E)\,P(R\mid E)}{P(R)}=0,11250,125{}= \frac{0{,}1125}{0{,}125}=0,9{}= 0{,}9

ResultadoLa probabilidad de que una bicicleta escogida al azar necesite revisión posventa es P(R)=0,125P(R)=0{,}125. Si la ha necesitado, la probabilidad de que sea eléctrica es P(E∣R)=0,9P(E\mid R)=0{,}9.

La pauta oficial da: P(R)=0,125P(R)=0{,}125; P(E∣R)=0,9P(E\mid R)=0{,}9

b)1,25 puntos

Planteamiento Se pide un intervalo de confianza del 95 % para la proporción de bicicletas eléctricas que necesitan revisión, y decidir si ha bajado del 15 %. La muestra es grande (n=100n=100), así que usamos la fórmula de la proporción con zγ=1,96z_\gamma=1{,}96.

  1. Proporción de la muestra:

    p^=8100=0,08\hat p=\frac{8}{100}=0{,}08

  2. Error típico:

    p^(1−p^)n\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}=0,08⋅0,92100{}= \sqrt{\frac{0{,}08\cdot 0{,}92}{100}}=0,000736{}= \sqrt{0{,}000736}≈0,027129{}\approx 0{,}027129

  3. Margen de error:

    zγp^(1−p^)nz_\gamma\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}=1,96⋅0,027129{}= 1{,}96\cdot 0{,}027129≈0,053173{}\approx 0{,}053173

  4. Extremos:

    0,08−0,053173≈0,02680{,}08-0{,}053173\approx 0{,}02680,08+0,053173≈0,13320{,}08+0{,}053173\approx 0{,}1332

  5. El valor de antes, 0,150{,}15, queda fuera del intervalo, por encima de su extremo superior:

    0,1332<0,150{,}1332<0{,}15

ResultadoEl intervalo de confianza del 95 % para la proporción es [0,0268; 0,1332][0{,}0268;\ 0{,}1332], es decir, entre un 2,68 %2{,}68\ \% y un 13,32 %13{,}32\ \%. Como todo el intervalo queda por debajo de 0,150{,}15, con una confianza del 95 % sí se puede afirmar que la proporción ha disminuido.

La pauta oficial da: p^=0,08\hat p=0{,}08; [0,0268; 0,1332][0{,}0268;\ 0{,}1332] (entre el 2,6 %2{,}6\ \% y el 13,3 %13{,}3\ \%)

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 2025, convocatoria ordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 30 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

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2025Convocatoria ordinaria · Serie 4 · Ejercicio 4

2,5 puntosCoincide con la pautaTambién en Matrices, Funciones y derivadas, Sistemas de ecuaciones
Enunciado oficial

Una fábrica se dedica a elaborar pasta. Todo el proceso de producción se puede resumir en tres etapas:

1. Compra de materias primas. Para elaborar la pasta, la empresa tiene que comprar aceite, harina y sal de buena calidad. La compra la puede hacer a tres proveedores diferentes. El primer proveedor vende el aceite a 3 €/L, la harina a 0,6 €/kg y la sal a 1 €/kg. El segundo proveedor vende el aceite a 3,5 €/L, la harina a 1 €/kg y la sal a 0,7 €/kg. Finalmente, el tercer proveedor vende el aceite a 2,5 €/L, la harina a 0,8 €/kg y la sal a 0,9 €/kg.

2. Elaboración, empaquetado y control de calidad. Se fabrica y se envasa la pasta. Posteriormente, se comprueba que la pasta esté bien hecha y correctamente envasada en paquetes, y se verifica que los paquetes pesen 500 g de media.

3. Venta. La estrategia de venta y el precio de los paquetes se determinan realizando un estudio de mercado.

Escoja UNA de las dos opciones (A o B) y responda a las cuestiones que se plantean.

OPCIÓN A

a) La empresa necesita 300 litros de aceite, 700 kg de harina y 25 kg de sal. Escriba esta información junto con los precios por producto de cada proveedor en forma matricial (dejando muy claro qué representan las filas y las columnas) y calcule mediante un producto de matrices el coste total del pedido por cada proveedor. ¿Cuál de los tres proveedores es el más económico?

[1,25 puntos]

b) Cada paquete de pasta tiene un coste total de producción de 0,5 €. Si la empresa lo vende por 1,1 €, se venden 1.000 paquetes diarios de pasta. También han comprobado que la relación entre el precio de venta y el número de paquetes vendidos es lineal, de forma que por cada 0,01 € que se sube el precio de venta del paquete baja en 10 el número de paquetes vendidos. Denominaremos xx el número de veces que subimos 0,01 € el precio de venta del paquete.

Encuentre la función que describe el beneficio diario en función de xx y calcule el valor de venta del paquete que hace que el beneficio sea máximo. ¿Cuál es este beneficio?

[1,25 puntos]

OPCIÓN B

a) La empresa ha hecho un gran pedido al primer proveedor y se ha gastado 1.320 €. Ha comprado el triple de harina que de sal. Además, la cantidad gastada en harina representa el 30 % del dinero gastado en aceite. ¿Qué cantidad de cada producto ha comprado?

[1,25 puntos]

b) En el control de calidad, se ha tomado una muestra al azar del peso en gramos de 9 paquetes de pasta y se han obtenido los siguientes valores:

501, 506, 497, 495, 503, 491, 512, 505, 499.

Construya un intervalo de confianza del 95 % para la media del peso del paquete de pasta, suponiendo que este peso sigue una distribución normal con una desviación típica de 4 g. A partir de estos datos, razone brevemente si se puede afirmar que la etiqueta que dice que los paquetes son de 500 g es incorrecta.

[1,25 puntos]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

Opción A

a)1,25 puntos

Planteamiento Se pide escribir los datos en forma de matrices y calcular con un producto el coste del pedido en cada proveedor. Ponemos los proveedores en las filas y los productos (aceite, harina, sal) en las columnas de la matriz de precios; el pedido es un vector columna con los productos en el mismo orden.

  1. Matriz de precios PP (filas: proveedores 1.º, 2.º y 3.º; columnas: aceite en €/L, harina y sal en €/kg):

    PP=(30,613,510,72,50,80,9){}= \begin{pmatrix}3&0{,}6&1\\ 3{,}5&1&0{,}7\\ 2{,}5&0{,}8&0{,}9\end{pmatrix}

  2. Vector columna del pedido QQ (litros de aceite, kg de harina, kg de sal). Una matriz 3×33\times 3 por una 3×13\times 1 da una 3×13\times 1, un coste por proveedor:

    QQ=(30070025){}= \begin{pmatrix}300\\ 700\\ 25\end{pmatrix}

  3. Producto, cada fila por el pedido:

    P⋅QP\cdot Q=(3⋅300+0,6⋅700+1⋅253,5⋅300+1⋅700+0,7⋅252,5⋅300+0,8⋅700+0,9⋅25){}= \begin{pmatrix}3\cdot 300+0{,}6\cdot 700+1\cdot 25\\ 3{,}5\cdot 300+1\cdot 700+0{,}7\cdot 25\\ 2{,}5\cdot 300+0{,}8\cdot 700+0{,}9\cdot 25\end{pmatrix}=(900+420+251 050+700+17,5750+560+22,5){}= \begin{pmatrix}900+420+25\\ 1\,050+700+17{,}5\\ 750+560+22{,}5\end{pmatrix}=(1 3451 767,51 332,5){}= \begin{pmatrix}1\,345\\ 1\,767{,}5\\ 1\,332{,}5\end{pmatrix}

ResultadoEl pedido cuesta 1 3451\,345 € con el primer proveedor, 1 767,51\,767{,}5 € con el segundo y 1 332,51\,332{,}5 € con el tercero. El más económico es el tercer proveedor.

La pauta oficial da: P⋅Q=(1345; 1767,5; 1332,5)P\cdot Q=(1345;\ 1767{,}5;\ 1332{,}5); el tercer proveedor

b)1,25 puntos

Planteamiento Se pide el beneficio diario en función de xx, el precio de venta que lo hace máximo y ese beneficio. Si el precio sube xx veces 0,01 €, el paquete se vende a 1,1+0,01x1{,}1+0{,}01x euros y se venden 1 000−10x1\,000-10x paquetes; cada paquete deja de beneficio su precio menos los 0,50{,}5 € que cuesta producirlo.

  1. Beneficio por paquete:

    1,1+0,01x−0,5=0,6+0,01x1{,}1+0{,}01x-0{,}5=0{,}6+0{,}01x

  2. Beneficio diario: beneficio por paquete por paquetes vendidos (con 0≤x≤1000\le x\le 100, para que el número de paquetes no sea negativo):

    B(x)B(x)=(0,6+0,01x)(1 000−10x){}= (0{,}6+0{,}01x)(1\,000-10x)=600−6x+10x−0,1x2{}= 600-6x+10x-0{,}1x^2=−0,1x2+4x+600{}= -0{,}1x^2+4x+600

  3. Derivamos e igualamos a cero:

    B′(x)B'(x)=−0,2x+4=0{}= -0{,}2x+4=0⟹x=40,2{}\Longrightarrow x=\frac{4}{0{,}2}=20{}= 20

  4. Signo de la derivada a cada lado: BB crece antes de x=20x=20 y decrece después, así que en x=20x=20 hay un máximo:

    B′(10)=2>0B'(10)=2>0B′(30)=−2<0B'(30)=-2<0

  5. Precio de venta y beneficio máximo:

    1,1+0,01⋅20=1,31{,}1+0{,}01\cdot 20=1{,}3B(20)B(20)=(0,6+0,2)(1 000−200){}= (0{,}6+0{,}2)(1\,000-200)=0,8⋅800{}= 0{,}8\cdot 800=640{}= 640

ResultadoB(x)=−0,1x2+4x+600B(x)=-0{,}1x^2+4x+600 euros diarios. El beneficio es máximo si el paquete se vende a 1,301{,}30 €, y entonces es de 640640 € al día (se venden 800800 paquetes).

La pauta oficial da: B(x)=−0,1x2+4x+600B(x)=-0{,}1x^2+4x+600; x=20x=20; 1,3 €1{,}3\ \text{€}; B(20)=640 €B(20)=640\ \text{€}

Opción B

a)1,25 puntos

Planteamiento Se pide cuánto aceite, harina y sal se ha comprado al primer proveedor (aceite a 3 €/L, harina a 0,6 €/kg y sal a 1 €/kg). Llamamos xx a los litros de aceite, yy a los kilos de harina y zz a los kilos de sal; cada dato es una ecuación.

  1. Gasto total:

    3x+0,6y+z=1 3203x+0{,}6y+z=1\,320

  2. El triple de harina que de sal:

    y=3zy=3z

  3. Lo gastado en harina, 0,6y0{,}6y, es el 30 % de lo gastado en aceite, 3x3x:

    0,6y0{,}6y=0,3⋅3x{}= 0{,}3\cdot 3x⟹0,6y{}\Longrightarrow 0{,}6y=0,9x{}= 0{,}9x⟹y=1,5x{}\Longrightarrow y=1{,}5x

  4. De las dos últimas ecuaciones, z=y3=0,5xz=\frac{y}{3}=0{,}5x. Sustituimos yy y zz en la primera:

    3x+0,6⋅1,5x+0,5x3x+0{,}6\cdot 1{,}5x+0{,}5x=1 320{}= 1\,320⟹4,4x{}\Longrightarrow 4{,}4x=1 320{}= 1\,320⟹x=300{}\Longrightarrow x=300

  5. Las otras dos cantidades:

    y=1,5⋅300=450y=1{,}5\cdot 300=450z=0,5⋅300=150z=0{,}5\cdot 300=150

  6. Comprobación del gasto total:

    3⋅300+0,6⋅450+1503\cdot 300+0{,}6\cdot 450+150=900+270+150{}= 900+270+150=1 320{}= 1\,320

ResultadoSe han comprado 300300 litros de aceite, 450450 kg de harina y 150150 kg de sal.

La pauta oficial da: x=300x=300, y=450y=450, z=150z=150

b)1,25 puntos

Planteamiento Se pide un intervalo de confianza del 95 % para el peso medio de los paquetes y decidir si la etiqueta de 500 g es incorrecta. El peso es normal con desviación típica conocida, σ=4\sigma=4 g, así que usamos la fórmula de la media con σ\sigma conocida y zγ=1,96z_\gamma=1{,}96.

  1. Media de la muestra (n=9n=9):

    xˉ\bar x=501+506+497+495+503+491+512+505+4999{}= \frac{501+506+497+495+503+491+512+505+499}{9}=4 5099{}= \frac{4\,509}{9}=501{}= 501

  2. Margen de error:

    zγσnz_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=1,96⋅49{}= 1{,}96\cdot\frac{4}{\sqrt{9}}=1,96⋅43{}= 1{,}96\cdot\frac{4}{3}≈2,6133{}\approx 2{,}6133

  3. Extremos del intervalo:

    501−2,6133≈498,39501-2{,}6133\approx 498{,}39501+2,6133≈503,61501+2{,}6133\approx 503{,}61

  4. El peso de la etiqueta, 500500 g, está dentro del intervalo:

    498,39<500<503,61498{,}39<500<503{,}61

ResultadoEl intervalo de confianza del 95 % para el peso medio es [498,39; 503,61][498{,}39;\ 503{,}61] g. Como contiene 500500 g, con una confianza del 95 % no se puede afirmar que la etiqueta sea incorrecta.

La pauta oficial da: xˉ=501\bar x=501; [498,39; 503,61][498{,}39;\ 503{,}61]

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 2025, convocatoria ordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 30 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

El examen entero, resueltoExamen en catalán (PDF)Examen en castellano (PDF)Pauta de corrección (PDF)Reutilizado según el aviso legal de la Generalitat

2025Convocatoria extraordinaria · Serie 3 · Ejercicio 3

2,5 puntosLa pauta tiene un errorTambién en Probabilidad
Enunciado oficial

En un parque natural, los visitantes pueden acceder en coche, en bicicleta o a pie. Una vez dentro del parque, los visitantes pueden hacer una ruta guiada o bien visitarlo por su cuenta.

Fórmulas para resolver el ejercicio:

• ZZ∼normal (0,1){}\sim \text{normal}\,(0,1)→P(−1,96≤Z≤1,96){}\to P(-1{,}96\le Z\le 1{,}96)=0,95{}= 0{,}95 y P(−2,58≤Z≤2,58)=0,99P(-2{,}58\le Z\le 2{,}58)=0{,}99 • Intervalos de confianza con un nivel de confianza γ∈(0,1)\gamma\in(0,1) — para la proporción (muestras grandes): [p^−zγp^(1−p^)n, p^+zγp^(1−p^)n]\left[\hat p-z_\gamma\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\ \hat p+z_\gamma\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right] — para la media (muestras normales con la varianza σ2\sigma^2 conocida): [xˉ−zγσn, xˉ+zγσn]\left[\bar x-z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \bar x+z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right] — para la media (muestras grandes con la varianza σ2\sigma^2 desconocida): [xˉ−zγsn, xˉ+zγsn]\left[\bar x-z_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}},\ \bar x+z_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}}\right]

a) Se sabe que el 60 % de los visitantes acceden al parque en coche, el 15 % en bicicleta y el 25 % restante a pie. También se sabe que de los que llegan en coche el 80 % hacen la ruta guiada, mientras que de los que llegan en bicicleta la hacen el 60 % y de los que llegan a pie solo la hacen el 30 %.

Si se escoge un visitante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haga la ruta guiada? Si se sabe que ha hecho la ruta guiada, ¿cuál es la probabilidad de que haya accedido al parque en coche?

[1,25 puntos]

b) Se quiere realizar un estudio del tiempo que pasan de media los visitantes dentro del parque. Se ha preguntado a 100 visitantes cuánto rato han permanecido dentro del parque y se ha obtenido una media de 231 minutos con una desviación típica de 32 minutos.

Construya un intervalo de confianza del 95 % para el tiempo medio que pasan los visitantes dentro del parque.

[1,25 puntos]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

a)1,25 puntos

Planteamiento Llamamos CC, BB y PP al acceso en coche, en bicicleta y a pie, y RR a «hacer la ruta guiada». La probabilidad de hacer la ruta sale del teorema de la probabilidad total, y la de haber venido en coche sabiendo que la ha hecho, del teorema de Bayes.

  1. Datos:

    P(C)P(C)=0,6, P(B){}= 0{,}6,\ P(B)=0,15, P(P){}= 0{,}15,\ P(P)=0,25{}= 0{,}25P(R∣C)P(R\mid C)=0,8, P(R∣B){}= 0{,}8,\ P(R\mid B)=0,6, P(R∣P){}= 0{,}6,\ P(R\mid P)=0,3{}= 0{,}3

  2. Probabilidad total:

    P(R)P(R)=0,6⋅0,8+0,15⋅0,6{}= 0{,}6\cdot 0{,}8+0{,}15\cdot 0{,}6+0,25⋅0,3{}+0{,}25\cdot 0{,}3=0,48+0,09+0,075{}= 0{,}48+0{,}09+0{,}075=0,645{}= 0{,}645

  3. Bayes:

    P(C∣R)P(C\mid R)=P(C)P(R∣C)P(R){}= \frac{P(C)P(R\mid C)}{P(R)}=0,480,645{}= \frac{0{,}48}{0{,}645}=3243{}= \frac{32}{43}≈0,7442{}\approx 0{,}7442

ResultadoP(R)=0,645P(R)=0{,}645 y P(C∣R)=3243≈0,7442P(C\mid R)=\dfrac{32}{43}\approx 0{,}7442.

La pauta oficial da: P(R)=0,645P(R)=0{,}645; P(C∣R)=0,7442P(C\mid R)=0{,}7442

b)1,25 puntos

Planteamiento La muestra es grande (n=100n=100) y no conocemos σ\sigma: usamos la tercera fórmula, con la desviación típica de la muestra s=32s=32 y zγ=1,96z_\gamma=1{,}96.

  1. Margen de error:

    zγsnz_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}}=1,96⋅32100{}= 1{,}96\cdot\frac{32}{\sqrt{100}}=1,96⋅3,2{}= 1{,}96\cdot 3{,}2=6,272{}= 6{,}272

  2. Extremos del intervalo:

    231−6,272≈224,73231-6{,}272\approx 224{,}73231+6,272≈237,27231+6{,}272\approx 237{,}27

ResultadoEl intervalo de confianza del 95 % para el tiempo medio es [224,73; 237,27][224{,}73;\ 237{,}27] minutos.

La pauta oficial da: [224,728; 237,272][224{,}728;\ 237{,}272]

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 2025, convocatoria extraordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 22 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

El examen entero, resueltoExamen en catalán (PDF)Examen en castellano (PDF)Pauta de corrección (PDF)Reutilizado según el aviso legal de la Generalitat

2024Convocatoria ordinaria · Serie 1 · Ejercicio 6

2,5 puntosLa pauta redondea distinto
Enunciado oficial

Se quiere saber el porcentaje de personas que estarían a favor de la construcción de un polideportivo municipal en una población determinada. Se toma una muestra aleatoria de 350 personas, 218 de las cuales se manifiestan a favor de la propuesta y el resto, en contra.

a) Dé la estimación puntual de la proporción y del porcentaje de personas que están a favor de la construcción del polideportivo.

[1 punto]

b) Escriba un intervalo de confianza del 95 % para el porcentaje de personas que están a favor de la construcción del polideportivo en esta población.

Nota: Recuerde que, si ZZ sigue una distribución normal (0,1)(0,1), P(−1,96≤Z≤1,96)=0,95P(-1{,}96\le Z\le 1{,}96)=0{,}95. Recuerde también que, para muestras grandes, el intervalo de confianza para una proporción con un nivel de confianza γ∈(0,1)\gamma\in(0,1) viene dado por [p^−zγp^(1−p^)n, p^+zγp^(1−p^)n]\left[\hat p-z_\gamma\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\ \hat p+z_\gamma\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right].

[1,5 puntos]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

a)1 punto

Planteamiento La estimación puntual de la proporción de la población es la proporción de la muestra, p^=favorablesn\hat p=\frac{\text{favorables}}{n}.

  1. Proporción muestral, con n=350n=350:

    p^=218350=109175≈0,6229\hat p=\frac{218}{350}=\frac{109}{175}\approx 0{,}6229

  2. En porcentaje:

    0,6229⋅100≈62,29 %0{,}6229\cdot 100\approx 62{,}29\ \%

Resultadop^=109175≈0,6229\hat p=\dfrac{109}{175}\approx 0{,}6229, es decir, un 62,29 %62{,}29\ \% de personas a favor.

La pauta oficial da: p^=0,6229\hat p=0{,}6229; 62,29 %62{,}29\ \%

b)1,5 puntos

Planteamiento La muestra es grande (n=350n=350), así que usamos la fórmula de la nota con zγ=1,96z_\gamma=1{,}96 (confianza del 95 %). Para no arrastrar errores, usamos p^\hat p sin redondear y redondeamos solo los extremos.

  1. Error típico:

    p^(1−p^)n\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}=109175⋅66175350{}= \sqrt{\frac{\frac{109}{175}\cdot\frac{66}{175}}{350}}≈0,025907{}\approx 0{,}025907

  2. Margen de error:

    zγp^(1−p^)nz_\gamma\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}=1,96⋅0,025907{}= 1{,}96\cdot 0{,}025907≈0,05078{}\approx 0{,}05078

  3. Extremos del intervalo (p^≈0,62286\hat p\approx 0{,}62286):

    0,62286−0,05078≈0,57210{,}62286-0{,}05078\approx 0{,}57210,62286+0,05078≈0,67360{,}62286+0{,}05078\approx 0{,}6736

ResultadoEl intervalo de confianza del 95 % para la proporción es [0,5721; 0,6736][0{,}5721;\ 0{,}6736]: el porcentaje de personas a favor está entre el 57,21 %57{,}21\ \% y el 67,36 %67{,}36\ \%, con una confianza del 95 %.

La pauta oficial da: [57,21 %; 67,37 %][57{,}21\ \%;\ 67{,}37\ \%]

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 2024, convocatoria ordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 22 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

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2024Convocatoria ordinaria · Serie 5 · Ejercicio 6

2,5 puntosLa pauta redondea distinto
Enunciado oficial

Se quiere saber el tiempo medio, en minutos, que el alumnado de un instituto pasa diariamente conectado a una determinada red social. Se ha seleccionado una muestra de 175 estudiantes y se les ha pedido que proporcionen este dato. En esta muestra se ha obtenido una media de 90 minutos, con una desviación típica de 7 minutos.

Nota: Para resolver este problema, recuerde que, si ZZ sigue una distribución normal (0,1)(0,1), P(−1,96≤Z≤1,96)=0,95P(-1{,}96\le Z\le 1{,}96)=0{,}95 y P(−2,58≤Z≤2,58)=0,99P(-2{,}58\le Z\le 2{,}58)=0{,}99. Recuerde también que el intervalo de confianza para la media con un nivel de confianza γ∈(0,1)\gamma\in(0,1) cuando la variancia σ2\sigma^2 es desconocida y la muestra es grande viene dado por

[xˉ−zγsn, xˉ+zγsn]\left[\bar x-z_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}},\ \bar x+z_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}}\right].

a) Construya un intervalo de confianza del 95 % para el tiempo medio que el alumnado pasa diariamente conectado a esta red social.

[1 punto]

b) Construya un intervalo de confianza del 99 % para el tiempo medio que el alumnado pasa diariamente conectado a esta red social. Explique por qué este intervalo y el del apartado anterior son diferentes y qué información nos da exactamente cada uno de ellos.

[1,5 puntos]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

a)1 punto

Planteamiento Se pide un intervalo de confianza del 95 % para el tiempo medio diario. La muestra es grande (n=175n=175) y no conocemos la desviación típica de la población, así que usamos la fórmula de la nota con la desviación típica de la muestra, s=7s=7, y zγ=1,96z_\gamma=1{,}96.

  1. Datos:

    n=175n=175xˉ=90\bar x=90s=7s=7zγ=1,96z_\gamma=1{,}96

  2. Error típico de la media:

    sn=7175≈0,52915\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{7}{\sqrt{175}}\approx 0{,}52915

  3. Margen de error:

    zγsnz_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}}=1,96⋅0,52915{}= 1{,}96\cdot 0{,}52915≈1,0371{}\approx 1{,}0371

  4. Extremos del intervalo:

    90−1,0371≈88,9690-1{,}0371\approx 88{,}9690+1,0371≈91,0490+1{,}0371\approx 91{,}04

ResultadoEl intervalo de confianza del 95 % para el tiempo medio es [88,96; 91,04][88{,}96;\ 91{,}04] minutos diarios.

La pauta oficial da: [88,9629; 91,0371][88{,}9629;\ 91{,}0371]

b)1,5 puntos

Planteamiento Se pide el intervalo del 99 % y explicar por qué es distinto del anterior y qué dice cada uno. Con los mismos datos, solo cambia zγz_\gamma: para el 99 % es 2,582{,}58.

  1. Margen de error con zγ=2,58z_\gamma=2{,}58 (el error típico es el mismo, 0,529150{,}52915):

    zγsnz_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}}=2,58⋅0,52915{}= 2{,}58\cdot 0{,}52915≈1,3652{}\approx 1{,}3652

  2. Extremos:

    90−1,3652≈88,6390-1{,}3652\approx 88{,}6390+1,3652≈91,3790+1{,}3652\approx 91{,}37

  3. Los dos intervalos están centrados en la media de la muestra, 9090 minutos, pero el del 99 % es más ancho: para tener más confianza hay que usar un zγz_\gamma mayor (2,582{,}58 en lugar de 1,961{,}96), y el margen de error crece en la misma proporción:

    1,36521,0371\frac{1{,}3652}{1{,}0371}≈2,581,96{}\approx \frac{2{,}58}{1{,}96}≈1,32{}\approx 1{,}32

  4. Cada intervalo es un rango de valores posibles para el tiempo medio diario de todo el alumnado del instituto, no de un estudiante concreto. El del 95 % se ha construido con un método que acierta (es decir, que contiene la media real) en el 95 % de las muestras; el del 99 %, en el 99 %. Se gana confianza a cambio de perder precisión.

ResultadoEl intervalo de confianza del 99 % es [88,63; 91,37][88{,}63;\ 91{,}37] minutos. Es más ancho que el del 95 %, [88,96; 91,04][88{,}96;\ 91{,}04], porque un nivel de confianza mayor exige un zγz_\gamma mayor. Los dos estiman el tiempo medio diario del alumnado: con una confianza del 95 % está entre 88,9688{,}96 y 91,0491{,}04 minutos, y con una confianza del 99 %, entre 88,6388{,}63 y 91,3791{,}37 minutos; el segundo da más seguridad, pero es menos preciso.

La pauta oficial da: [88,6348; 91,3652][88{,}6348;\ 91{,}3652]

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 2024, convocatoria ordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 30 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

El examen entero, resueltoExamen en catalán (PDF)Examen en castellano (PDF)Pauta de corrección (PDF)Reutilizado según el aviso legal de la Generalitat

2024Convocatoria extraordinaria · Serie 3 · Ejercicio 6

2,5 puntosLa pauta redondea distinto
Enunciado oficial

Una empresa de autobuses afirma que realiza el trayecto entre el aeropuerto y el centro de la ciudad en 30 minutos. Se ha obtenido una muestra del tiempo, en minutos, que ha tardado en 10 trayectos escogidos al azar:

33, 29, 28, 31, 34, 35, 32, 29, 37, 35

a) Construya un intervalo de confianza del 95 % para la media del tiempo de trayecto, suponiendo que este tiempo sigue una distribución normal con una desviación típica de 2 minutos.

Nota: Recuerde que, si ZZ sigue una distribución normal (0,1)(0,1), P(−1,96≤Z≤1,96)=0,95P(-1{,}96\le Z\le 1{,}96)=0{,}95. Recuerde también que el intervalo de confianza para la media con un nivel de confianza γ∈(0,1)\gamma\in(0,1) cuando la variancia σ2\sigma^2 es conocida viene dado por [xˉ−zγσn, xˉ+zγσn]\left[\bar x-z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt n},\ \bar x+z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt n}\right].

[1,5 puntos]

b) A partir del resultado obtenido en el apartado anterior, ¿puede afirmarse que la información que proporciona la empresa de autobuses es errónea? Justifique la respuesta.

[1 punto]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

a)1,5 puntos

Planteamiento El tiempo es normal con σ=2\sigma=2 conocida, así que usamos la fórmula de la nota con zγ=1,96z_\gamma=1{,}96 (confianza del 95 %) y n=10n=10.

  1. Media de la muestra:

    xˉ\bar x=33+29+28+31+34+35+32+29+37+3510{}= \frac{33+29+28+31+34+35+32+29+37+35}{10}=32310{}= \frac{323}{10}=32,3{}= 32{,}3

  2. Margen de error:

    zγσnz_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt n}=1,96⋅210{}= 1{,}96\cdot\frac{2}{\sqrt{10}}=3,9210{}= \frac{3{,}92}{\sqrt{10}}≈1,2396{}\approx 1{,}2396

  3. Extremos del intervalo:

    32,3−1,2396≈31,0632{,}3-1{,}2396\approx 31{,}0632,3+1,2396≈33,5432{,}3+1{,}2396\approx 33{,}54

ResultadoEl intervalo de confianza del 95 % para la media del tiempo de trayecto es [31,06; 33,54][31{,}06;\ 33{,}54] minutos.

La pauta oficial da: xˉ=32,3\bar x=32{,}3; [31,0604; 33,5396][31{,}0604;\ 33{,}5396]

b)1 punto

Planteamiento Si el valor que da la empresa, 30 minutos, queda fuera del intervalo de confianza, los datos no son compatibles con esa media con una confianza del 95 %.

  1. Comparamos 30 con el intervalo del apartado a:

    30<31,0630<31{,}06

  2. Todo el intervalo queda por encima de 30, así que 30 no es un valor plausible para la media:

    30∉[31,06; 33,54]30\notin[31{,}06;\ 33{,}54]

ResultadoSí: con una confianza del 95 %, la media del tiempo de trayecto está entre 31,0631{,}06 y 33,5433{,}54 minutos, por encima de los 30 minutos que dice la empresa. Podemos afirmar que la información de la empresa es errónea (el trayecto dura, de media, más de 30 minutos).

La pauta oficial da: 30∉[31,0604; 33,5396]30\notin[31{,}0604;\ 33{,}5396]

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 2024, convocatoria extraordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 22 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

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Errores típicos que penaliza la pauta

Preguntas frecuentes

¿Cuántos ejercicios de inferencia estadística han caído en la PAU de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales de Cataluña?

Entre 2024 y 2026, 10 ejercicios en 9 de los 15 exámenes que tenemos resueltos (cada año, la ordinaria y la extraordinaria, y también la serie de incidencias). Ha caído en 2026, 2025 y 2024.

¿Las soluciones son las oficiales?

No: las escribe EducaIA, paso a paso, y cada resultado está contrastado con la pauta oficial de corrección. Cuando la pauta da otra cifra (casi siempre por redondeo), lo ponemos al lado con la explicación.

¿Qué hago si mi resultado no coincide con la pauta?

Mira primero si es el mismo valor escrito de otra forma: una fracción y su decimal, o un intervalo con más o menos decimales. Las pautas puntúan por separado el planteamiento, el cálculo y la respuesta: escribe la fórmula que usas con cada dato en su sitio y termina con una frase que conteste lo que pide el enunciado (qué precio, qué empresa, si el valor queda dentro del intervalo).

¿Puedo imprimir los ejercicios?

Sí. El botón de imprimir prepara una hoja con los enunciados oficiales, con espacio para responder, y las soluciones aparte. Cada ejercicio enlaza también el PDF oficial del examen y de la pauta.

Soluciones escritas por EducaIA y contrastadas una a una con la pauta oficial de corrección.

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