Examen PAU Matemáticas CCSS 2026 resuelto (extraordinaria)

Q: ¿Las soluciones son las oficiales?

No: las escribe EducaIA, paso a paso, y cada apartado está contrastado con la pauta oficial de corrección. En 2 de los 4 ejercicios nuestra respuesta no coincide del todo con la pauta (por un error de la pauta y por redondeo): lo explicamos al lado de la solución.

Q: ¿Dónde están el examen oficial y la pauta?

En los enlaces de arriba del todo: el PDF del examen en catalán y en castellano y el de la pauta de corrección, en la web de la Generalitat. El botón de imprimir prepara el examen con espacio para responder y las soluciones aparte.

Qué entraba, en puntos

Los puntos de cada apartado, sumados por el tema del temario que pregunta. Lo que se elegía dentro del ejercicio 4 va aparte, rayado.

Sistemas de ecuaciones 2,5
Funciones y derivadas 2,5
Probabilidad 1,25
Inferencia estadística 1,25
Ejercicio 4, a elegir: opción A, probabilidad y sistemas de ecuaciones; opción B, funciones y derivadas y matrices 2,5

Instrucciones del examen El examen consta de CUATRO ejercicios obligatorios. Cada ejercicio vale 2,5 puntos. Realice los ejercicios 1, 2 y 3 respondiendo a TODAS las cuestiones que se plantean. En el ejercicio 4, elija UNA de las dos opciones (A o B) propuestas e indíquela en la portada.

Los ejercicios del examen

2026Convocatoria extraordinaria · Serie 2 · Ejercicio 1

2,5 puntosLa pauta tiene un errorTemas: Funciones y derivadas

Enunciado oficial del ejercicio 1 de la PAU de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales de Cataluña de 2026 (convocatoria extraordinaria), en castellano. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Una empresa comercializa un accesorio tecnológico. Según varios estudios de mercado, la relación entre el precio de venta $p$ (en euros) y la cantidad demandada semanal $d(p)$ (en unidades) viene dada por la función $d(p)=500-10p-p^2$ , $0<p<15$ .

Se define también el ingreso semanal de la empresa como $I(p)=p\cdot d(p)$ .

1.1 Determine el precio $p$ que maximiza el ingreso semanal $I(p)$ . Para este precio, calcule la cantidad demandada semanal correspondiente y el valor del ingreso máximo.

[1,5 puntos]

1.2 El concepto de la elasticidad de la demanda con respecto al precio mide, como indica su nombre, la sensibilidad de la cantidad demandada ante los cambios relativos en el precio, y se utiliza para analizar cómo responden los consumidores a las variaciones de precios. Para funciones derivables, la elasticidad de la demanda con respecto al precio viene dada por la expresión $E(p)=\dfrac{p}{d(p)}d'(p)$ , en la que $d'(p)$ denota la derivada de la función $d(p)$ .

Calcule la expresión de la elasticidad de la demanda respecto al precio $E(p)$ y determine su valor para un precio de 5 € y para un precio de 10 €.

[1 punto]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

1.11,5 puntos

Planteamiento Escribimos $I(p)$ como polinomio, lo derivamos y buscamos dónde $I'(p)=0$ dentro de $(0,15)$ . El signo de la derivada antes y después del punto crítico confirma que es un máximo.

Ingreso semanal:
$I(p)$ ${}= p\left(500-10p-p^2\right)$ ${}= 500p-10p^2-p^3$ $0<p<15$
Derivada:
$I'(p)=500-20p-3p^2$
Igualamos a cero ( $3p^2+20p-500=0$ ):
$p$ ${}= \frac{-20\pm\sqrt{20^2+4\cdot 3\cdot 500}}{2\cdot 3}$ ${}= \frac{-20\pm\sqrt{6\,400}}{6}$ ${}= \frac{-20\pm 80}{6}$ ${}\Longrightarrow p=10$ $\text{o}\ \ p=-\frac{50}{3}$
Solo $p=10$ está dentro de $(0,15)$ . Signo de $I'$ a ambos lados:
$I'(9)=500-180-243=77>0$ $I'(11)$ ${}= 500-220-363$ ${}= -83$ ${}< 0$
$I$ crece hasta $p=10$ y decrece después: es el máximo de todo el intervalo. Demanda e ingreso:
$d(10)=500-100-100=300$ $I(10)=10\cdot 300=3\,000$

ResultadoEl ingreso es máximo con un precio de $p=10$ €: se demandan $300$ unidades semanales y el ingreso máximo es de $3\,000$ €.

La pauta oficial da: $p=10$ , $d(10)=300$ , $I(10)=3\,000$

1.21 punto

Planteamiento Derivamos $d(p)$ y sustituimos en la fórmula de la elasticidad que da el enunciado; después ponemos $p=5$ y $p=10$ .

Derivada de la demanda:
$d'(p)=-10-2p$
Elasticidad:
$E(p)$ ${}= \frac{p}{d(p)}\,d'(p)$ ${}= \frac{p(-10-2p)}{500-10p-p^2}$ ${}= -\frac{2p^2+10p}{500-10p-p^2}$ $0<p<15$
Para $p=5$ :
$E(5)$ ${}= \frac{5\cdot(-20)}{500-50-25}$ ${}= \frac{-100}{425}$ ${}= -\frac{4}{17}$ ${}\approx -0{,}2353$
Para $p=10$ :
$E(10)=\frac{10\cdot(-30)}{500-100-100}=\frac{-300}{300}=-1$
Interpretación: a $5$ € la demanda es poco sensible al precio ( $|E|<1$ ); a $10$ € vale $-1$ , que es justo el precio donde el ingreso es máximo (apartado 1.1).

Resultado $E(p)$ ${}= \dfrac{p(-10-2p)}{500-10p-p^2}$ ; $E(5)=-\dfrac{4}{17}\approx -0{,}2353$ y $E(10)=-1$ .

La pauta oficial da: $E(p)$ ${}= \frac{p}{d(p)}qd'(p)$ ${}= \frac{p\cdot(-10-2p)}{500-10p-p^2}$ ; $E(5)=-\frac{4}{17}=-0{,}2353$ , $E(10)=-1$

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 2026, convocatoria extraordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 22 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

Examen en catalán (PDF)Examen en castellano (PDF)Pauta de corrección (PDF)Reutilizado según el aviso legal de la Generalitat

2026Convocatoria extraordinaria · Serie 2 · Ejercicio 2

2,5 puntosCoincide con la pautaTemas: Sistemas de ecuaciones

Enunciado oficial del ejercicio 2 de la PAU de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales de Cataluña de 2026 (convocatoria extraordinaria), en castellano. El texto está en la página. — Enunciado oficial

En el Instituto La Closa se ha organizado un viaje a Roma para el alumnado de segundo de bachillerato, pero no todos los alumnos han querido ir. Algunos alumnos han organizado, por su cuenta, un viaje alternativo a Londres, mientras que otros han decidido no viajar a ninguna parte. Se sabe que en segundo de bachillerato hay un total de 84 alumnos y que el número de alumnos que no han ido a ninguna parte es el triple del número de alumnos que han ido a Londres.

2.1 Plantee y estudie el sistema de ecuaciones correspondiente. ¿Se puede determinar el número de alumnos que han ido a cada viaje y el número de alumnos que no han ido a ninguna parte? Justifique la respuesta.

[0,75 puntos]

2.2 Resuelva el sistema anterior en función del número de alumnos que han ido a Londres. Deduzca que el número de alumnos que no han ido a ninguna parte es un múltiplo de 3 y que el número de alumnos que han ido a Roma es un múltiplo de 4.

[0,75 puntos]

2.3 Se dispone ahora de una nueva información: si 4 alumnos de los que no han ido a ninguna parte se hubieran apuntado al viaje a Roma, entonces el número de alumnos que habría ido a Roma habría sido el doble del número de alumnos que han ido a Londres y de los que no habrían ido a ninguna parte conjuntamente. ¿Se puede determinar ahora cuántos alumnos han ido a cada viaje y cuántos no han ido a ninguna parte? Justifique la respuesta y, si es posible, encuentre estas cantidades.

[1 punto]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

2.10,75 puntos

Planteamiento Llamamos $x$ a los alumnos que han ido a Roma, $y$ a los que han ido a Londres y $z$ a los que no han ido a ninguna parte. Cada dato es una ecuación; comparamos el rango de la matriz con el número de incógnitas.

Sistema:
$\begin{cases}x+y+z=84\\ z=3y\end{cases}$ ${}\Longrightarrow \begin{cases}x+y+z=84\\ 3y-z=0\end{cases}$
Matriz ampliada (ya escalonada):
$\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&84\\ 0&3&-1&0\end{array}\right)$
El rango de la matriz de coeficientes y el de la ampliada es $2$ , menor que el número de incógnitas ( $3$ ):
$\operatorname{rg} A=\operatorname{rg} A^*=2<3$

ResultadoEs un sistema compatible indeterminado (con un grado de libertad): hay infinitas soluciones y no se puede determinar cuántos alumnos han ido a cada viaje ni cuántos no han ido a ninguna parte.

La pauta oficial da: $\text{SCI}$

2.20,75 puntos

Planteamiento Tomamos como parámetro los alumnos que han ido a Londres, $y=\lambda$ , y despejamos las otras incógnitas.

De la segunda ecuación:
$z=3\lambda$
De la primera:
$x$ ${}= 84-\lambda-3\lambda$ ${}= 84-4\lambda$ ${}= 4(21-\lambda)$
Como $\lambda$ es un número natural, $z=3\lambda$ es múltiplo de 3 y $x=4(21-\lambda)$ es múltiplo de 4. Además, $x\ge 0$ obliga a que $0\le\lambda\le 21$ .

Resultado $(x,y,z)=(84-4\lambda,\ \lambda,\ 3\lambda)$ , con $\lambda\in\{0,1,\dots,21\}$ : los que no han ido a ninguna parte ( $3\lambda$ ) son múltiplo de 3 y los que han ido a Roma ( $4(21-\lambda)$ ), múltiplo de 4.

La pauta oficial da: $z=3y$ , $x=84-4y=4(21-y)$

2.31 punto

Planteamiento Si 4 alumnos pasan de «no ir a ninguna parte» a Roma, a Roma habrían ido $x+4$ y sin viajar habrían quedado $z-4$ . Esto da una tercera ecuación; estudiamos el sistema de tres ecuaciones por Gauss.

Nueva ecuación:
$x+4$ ${}= 2\big(y+(z-4)\big)$ ${}\Longrightarrow x-2y-2z$ ${}= -12$
Gauss: $F_3-F_1$ y después $F_3+F_2$ :
$\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&84\\ 0&3&-1&0\\ 1&-2&-2&-12\end{array}\right)$ ${}\to \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&84\\ 0&3&-1&0\\ 0&-3&-3&-96\end{array}\right)$ ${}\to \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&84\\ 0&3&-1&0\\ 0&0&-4&-96\end{array}\right)$
Tres pivotes: el rango es $3$ , igual al número de incógnitas, y el sistema es compatible determinado. Resolvemos de abajo arriba:
$-4z=-96\Rightarrow z=24$ $3y=z\Rightarrow y=8$ $x=84-8-24=52$
Comprobación: a Roma habrían ido $52+4=56$ , y Londres más los que no habrían viajado suman $8+20=28$ :
$56=2\cdot 28$

ResultadoSí: ahora el sistema es compatible determinado. $52$ alumnos han ido a Roma, $8$ a Londres y $24$ no han ido a ninguna parte.

La pauta oficial da: $x=52$ , $y=8$ , $z=24$

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 2026, convocatoria extraordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 22 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

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2026Convocatoria extraordinaria · Serie 2 · Ejercicio 3

2,5 puntosCoincide con la pautaTemas: Probabilidad, Inferencia estadística

Enunciado oficial del ejercicio 3 de la PAU de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales de Cataluña de 2026 (convocatoria extraordinaria), en castellano. El texto está en la página. — Enunciado oficial

En una asignatura de un máster de dos años, el 70 % de los estudiantes son de primer curso y el resto son de segundo curso. Según datos de cursos anteriores, la probabilidad de aprobar la asignatura es del 60 % para los estudiantes de primer curso y del 85 % para los de segundo curso.

Fórmulas para resolver el ejercicio:

• $Z$ ${}\sim \text{normal}\,(0,1)$ ${}\to P(-1{,}96\le Z\le 1{,}96)$ ${}= 0{,}95$ y $P(-2{,}58\le Z\le 2{,}58)=0{,}99$ • Intervalos de confianza con un nivel de confianza $\gamma\in(0,1)$ — para la proporción (muestras grandes): $\left[\hat p-z_\gamma\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\ \hat p+z_\gamma\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right]$ — para la media (muestras normales con la varianza $\sigma^2$ conocida): $\left[\bar x-z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \bar x+z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]$ — para la media (muestras grandes con la varianza $\sigma^2$ desconocida): $\left[\bar x-z_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}},\ \bar x+z_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}}\right]$

3.1 Si se elige un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que apruebe la asignatura? Si se sabe que un estudiante ha aprobado la asignatura, ¿cuál es la probabilidad de que sea de primer curso?

[1,25 puntos]

3.2 El profesor quiere estimar la nueva proporción de estudiantes que aprueban la asignatura después de introducir un nuevo método de enseñanza. Para ello, selecciona una muestra aleatoria de $n=80$ estudiantes y observa que 55 de ellos han aprobado.

Encuentre un intervalo de confianza del 95 % para la proporción $p$ de aprobados con el nuevo método. ¿El intervalo obtenido permite afirmar que el nuevo método ha mejorado la tasa de aprobados respecto de la situación anterior? Razone la respuesta.

[1,25 puntos]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

3.11,25 puntos

Planteamiento Llamamos $P_1$ y $P_2$ a «ser de primer» y «ser de segundo» curso, y $A$ a «aprobar». La probabilidad de aprobar sale del teorema de la probabilidad total, y la de ser de primero sabiendo que ha aprobado, del teorema de Bayes.

Datos:
$P(P_1)=0{,}70$ $P(P_2)=1-0{,}70=0{,}30$ $P(A\mid P_1)=0{,}60$ $P(A\mid P_2)=0{,}85$
Probabilidad total:
$P(A)$ ${}= P(P_1)P(A\mid P_1)$ ${}+P(P_2)P(A\mid P_2)$ ${}= 0{,}70\cdot 0{,}60+0{,}30\cdot 0{,}85$ ${}= 0{,}42+0{,}255$ ${}= 0{,}675$
Bayes:
$P(P_1\mid A)$ ${}= \frac{P(P_1)P(A\mid P_1)}{P(A)}$ ${}= \frac{0{,}42}{0{,}675}$ ${}= \frac{28}{45}$ ${}\approx 0{,}6222$

Resultado $P(A)=0{,}675$ y $P(P_1\mid A)=\dfrac{28}{45}\approx 0{,}6222$ .

La pauta oficial da: $P(A)=0{,}675$ ; $P(P_1\mid A)=\frac{28}{45}\approx 0{,}6222$

3.21,25 puntos

Planteamiento La muestra es grande, así que usamos la fórmula del intervalo para la proporción con $z_\gamma=1{,}96$ . Después miramos si la proporción de antes, $0{,}675$ (apartado 3.1), queda dentro del intervalo.

Proporción muestral:
$\hat p=\frac{55}{80}=0{,}6875$
Error típico:
$\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}$ ${}= \sqrt{\frac{0{,}6875\cdot 0{,}3125}{80}}$ ${}= \frac{\sqrt{11}}{64}$ ${}\approx 0{,}05182$
Margen de error:
$1{,}96\cdot 0{,}05182\approx 0{,}1016$
Extremos:
$0{,}6875-0{,}1016=0{,}5859$ $0{,}6875+0{,}1016=0{,}7891$
La proporción de aprobados de antes, $0{,}675$ , está dentro del intervalo:
$0{,}5859<0{,}675<0{,}7891$

ResultadoEl intervalo de confianza del 95 % es $[0{,}5859;\ 0{,}7891]$ . Como contiene el valor anterior, $0{,}675$ , no podemos afirmar con una confianza del 95 % que el nuevo método haya mejorado la tasa de aprobados.

La pauta oficial da: $[0{,}5859;\ 0{,}7891]$

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 2026, convocatoria extraordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 22 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

Examen en catalán (PDF)Examen en castellano (PDF)Pauta de corrección (PDF)Reutilizado según el aviso legal de la Generalitat

2026Convocatoria extraordinaria · Serie 2 · Ejercicio 4

2,5 puntosLa pauta redondea distintoTemas: Probabilidad, Sistemas de ecuaciones, Funciones y derivadas, Matrices

Enunciado oficial del ejercicio 4 de la PAU de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales de Cataluña de 2026 (convocatoria extraordinaria), en castellano. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Tres amigos —Carme, Saïd y Martí— crearon hace unos años una pequeña asociación dedicada a la divulgación de las matemáticas. En esta asociación, organizan talleres para familias, visitan escuelas e institutos de todo el país, e imparten seminarios en línea.

El curso pasado llevaron a cabo un total de 240 actividades, repartidas en 96 talleres familiares, 84 charlas en escuelas o institutos y 60 seminarios en línea. Los dos primeros tipos de actividades son presenciales, mientras que los seminarios en línea, evidentemente, no lo son.

Escoja UNA de las dos opciones (A o B) y responda a las cuestiones que se plantean. Indique en la portada del examen la opción elegida.

OPCIÓN A

4.1 Este curso, durante una semana concreta, el formulario de inscripción del web de la asociación recibe 15 inscripciones independientes, cada una de las cuales corresponde a uno de los tres tipos de actividades.

Suponiendo que la distribución de las inscripciones se mantiene como el curso pasado, calcule la probabilidad de que exactamente 10 de las 15 inscripciones sean para actividades presenciales.

Determine el número esperado de inscripciones a actividades presenciales de esa semana.

[1,5 puntos]

4.2 El curso pasado, para llevar a cabo las 240 actividades, los tres amigos decidieron organizarse de forma que cada actividad fuera realizada por una sola persona; es decir, no había actividades desarrolladas por más de uno de ellos. Si se sabe que Carme participó en 30 actividades más que Martí y que Saïd participó en 18 actividades más que Martí, ¿de cuántas actividades se encargó cada uno de los tres amigos?

[1 punto]

OPCIÓN B

4.1 Para estudiar el efecto de una campaña de promoción de los talleres familiares de este curso, los tres amigos modelizan el número de familias inscritas mediante la función $f(t)=\dfrac{100t}{t^2+4}$ , en la que $t$ representa el número de días desde el inicio de la campaña y $f(t)$ corresponde al número de familias inscritas ese día.

¿Hay algún día en que el número de familias inscritas sea exactamente 20? En caso afirmativo, indique cuál.

¿En qué día se logra el número máximo de familias inscritas? ¿Cuál es este número máximo?

[1,5 puntos]

4.2 Los tres amigos también quieren analizar cómo se reparten entre ellos el trabajo de preparación de las actividades. Para ello, revisan cómo se han organizado durante una semana concreta. En total, en este período han dedicado 24 horas a la preparación de talleres familiares, 21 horas a la preparación de charlas en centros educativos y 15 horas a la preparación de seminarios en línea.

La distribución del trabajo de preparación de cada uno de los tres tipos de actividades es la siguiente:

— Carme se encarga del 50 % de la preparación de los talleres familiares, del 30 % de la preparación de las charlas en centros educativos y del 20 % de la preparación de los seminarios en línea; — Saïd se encarga del 30 % de la preparación de los talleres familiares, del 50 % de la preparación de las charlas en centros educativos y del 20 % de la preparación de los seminarios en línea; — Martí se encarga del 20 % de la preparación de los talleres familiares, del 20 % de la preparación de las charlas en centros educativos y del 60 % de la preparación de los seminarios en línea.

Se agrupa esta información en las siguientes matrices:

$\boldsymbol{R}$ ${}= \begin{pmatrix}0{,}50&0{,}30&0{,}20\\ 0{,}30&0{,}50&0{,}20\\ 0{,}20&0{,}20&0{,}60\end{pmatrix}$ , $\boldsymbol{h}$ ${}= \begin{pmatrix}24\\ 21\\ 15\end{pmatrix}$ ,

que corresponden a la matriz de reparto porcentual y al vector de horas totales dedicadas a la preparación de cada tipo de actividad, respectivamente.

Calcule el vector $\boldsymbol{R}\cdot\boldsymbol{h}$ e interprete su significado.

¿Cuál de los tres amigos ha dedicado más horas a la preparación de actividades?

[1 punto]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

Opción A

4.11,5 puntos

Planteamiento Cada inscripción es presencial con la proporción del curso pasado, y las 15 son independientes: el número $X$ de inscripciones presenciales es una binomial. Calculamos $P(X=10)$ con la fórmula de la binomial y la esperanza con $E(X)=np$ .

Actividades presenciales del curso pasado: $96+84=180$ de $240$ :
$p=\frac{180}{240}=0{,}75$ $1-p=0{,}25$
Distribución:
$X\sim B(15;\ 0{,}75)$
Fórmula de la binomial, con $\binom{15}{10}=3\,003$ :
$P(X=10)$ ${}= \binom{15}{10}\,0{,}75^{10}\,0{,}25^{5}$ ${}= 3\,003\cdot\frac{3^{10}}{4^{15}}$ ${}\approx 0{,}1651$
Esperanza:
$E(X)=np=15\cdot 0{,}75=11{,}25$
La esperanza es una media: no tiene por qué ser un número entero. Quiere decir que, de media, unas 11 de cada 15 inscripciones son presenciales.

Resultado $P(X=10)\approx 0{,}1651$ ; el número esperado de inscripciones presenciales es $E(X)=11{,}25$ .

La pauta oficial da: $P(X=10)\approx 0{,}1651$ ; $E(X)=11{,}25\ (\approx 11)$

4.21 punto

Planteamiento Llamamos $x$ , $y$ y $z$ a las actividades de Carme, Saïd y Martí. Los tres datos dan un sistema de tres ecuaciones, que resolvemos por Gauss.

Sistema:
$\begin{cases}x-z=30\\ y-z=18\\ x+y+z=240\end{cases}$
Gauss: $F_3-F_1$ y después $F_3-F_2$ :
$\left(\begin{array}{ccc|c}1&0&-1&30\\ 0&1&-1&18\\ 1&1&1&240\end{array}\right)$ ${}\to \left(\begin{array}{ccc|c}1&0&-1&30\\ 0&1&-1&18\\ 0&1&2&210\end{array}\right)$ ${}\to \left(\begin{array}{ccc|c}1&0&-1&30\\ 0&1&-1&18\\ 0&0&3&192\end{array}\right)$
Resolvemos:
$z=\frac{192}{3}=64$ $y=64+18=82$ $x=64+30=94$

ResultadoCarme se encargó de $94$ actividades, Saïd de $82$ y Martí de $64$ .

La pauta oficial da: $x=94$ , $y=82$ , $z=64$

Opción B

4.11,5 puntos

Planteamiento Para saber si algún día hay 20 familias, resolvemos $f(t)=20$ . Para el máximo, derivamos $f$ , buscamos dónde se anula para $t\ge 0$ y comprobamos el cambio de signo.

Ecuación $f(t)=20$ :
$\frac{100t}{t^2+4}$ ${}= 20$ ${}\Longrightarrow 100t$ ${}= 20t^2+80$ ${}\Longrightarrow t^2-5t+4=0$ ${}\Longrightarrow t=1$ $\text{o}\ \ t=4$
Derivada (regla del cociente):
$f'(t)$ ${}= \frac{100(t^2+4)-100t\cdot 2t}{(t^2+4)^2}$ ${}= \frac{100(4-t^2)}{(t^2+4)^2}$
$f'(t)=0$ para $t=\pm 2$ ; solo tiene sentido $t=2$ . El denominador es positivo, así que el signo es el de $4-t^2$ :
$0<t<2:\ f'(t)>0$ $t>2:\ f'(t)<0$
Por tanto, $t=2$ es el máximo. Valor:
$f(2)=\frac{100\cdot 2}{2^2+4}=\frac{200}{8}=25$

ResultadoSí: hay exactamente 20 familias inscritas los días $t=1$ y $t=4$ . El máximo se alcanza el día $t=2$ , con $25$ familias.

La pauta oficial da: $t=1$ , $t=4$ ; $t=2$ , $f(2)=25$

Gráfica de f(t)=100t/(t²+4) para t≥0: sube desde el origen hasta el máximo (2,25) y después baja lentamente. La recta horizontal y=20 corta la curva en t=1 y en t=4.

4.21 punto

Planteamiento Cada fila de $\boldsymbol{R}$ dice qué parte de cada tipo de preparación hace una persona. Multiplicarla por las horas de cada tipo y sumar da las horas de preparación de esa persona.

Producto fila por columna:
$\boldsymbol{R}\cdot\boldsymbol{h}$ ${}= \begin{pmatrix}0{,}50\cdot 24+0{,}30\cdot 21+0{,}20\cdot 15\\ 0{,}30\cdot 24+0{,}50\cdot 21+0{,}20\cdot 15\\ 0{,}20\cdot 24+0{,}20\cdot 21+0{,}60\cdot 15\end{pmatrix}$ ${}= \begin{pmatrix}12+6{,}3+3\\ 7{,}2+10{,}5+3\\ 4{,}8+4{,}2+9\end{pmatrix}$ ${}= \begin{pmatrix}21{,}3\\ 20{,}7\\ 18\end{pmatrix}$
Comprobación: cada columna de $\boldsymbol{R}$ suma $1$ (cada preparación se reparte entera), y el total de horas se conserva:
$21{,}3+20{,}7+18=60=24+21+15$

Resultado $\boldsymbol{R}\cdot\boldsymbol{h}$ ${}= \begin{pmatrix}21{,}3\\ 20{,}7\\ 18\end{pmatrix}$ : son las horas de preparación de Carme, Saïd y Martí. Quien más ha dedicado es Carme, con $21{,}3$ horas.

La pauta oficial da: $(21{,}3;\ 20{,}7;\ 18)$

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 2026, convocatoria extraordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 22 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

Examen en catalán (PDF)Examen en castellano (PDF)Pauta de corrección (PDF)Reutilizado según el aviso legal de la Generalitat

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2024junio · serie 1 junio · serie 5 extraordinaria
2023junio · serie 1 junio · serie 5 extraordinaria
2022junio · serie 2 junio · serie 5 extraordinaria

Practica cada tema

Cada tema de este examen tiene su página con todos los ejercicios de la PAU de Matemáticas CCSS de 2022 a 2026.

Sistemas de ecuaciones Funciones y derivadas Probabilidad Inferencia estadística Matrices Todos los temas de Matemáticas CCSS

Preguntas frecuentes

¿Cómo era el examen extraordinario de Matemáticas CCSS de 2026?

El examen consta de CUATRO ejercicios obligatorios. Cada ejercicio vale 2,5 puntos. Realice los ejercicios 1, 2 y 3 respondiendo a TODAS las cuestiones que se plantean. En el ejercicio 4, elija UNA de las dos opciones (A o B) propuestas e indíquela en la portada. Por temas, los puntos eran: sistemas de ecuaciones (2,5 puntos), funciones y derivadas (2,5 puntos), probabilidad (1,25 puntos) y inferencia estadística (1,25 puntos). Ejercicio 4, a elegir: opción A, probabilidad y sistemas de ecuaciones; opción B, funciones y derivadas y matrices.

¿Las soluciones son las oficiales?

No: las escribe EducaIA, paso a paso, y cada apartado está contrastado con la pauta oficial de corrección. En 2 de los 4 ejercicios nuestra respuesta no coincide del todo con la pauta (por un error de la pauta y por redondeo): lo explicamos al lado de la solución.

¿Dónde están el examen oficial y la pauta?

En los enlaces de arriba del todo: el PDF del examen en catalán y en castellano y el de la pauta de corrección, en la web de la Generalitat. El botón de imprimir prepara el examen con espacio para responder y las soluciones aparte.

Soluciones escritas por EducaIA y contrastadas una a una con la pauta oficial de corrección.

Cómo hacemos y comprobamos los ejercicios

Matemáticas CCSS, PAU 2026 de Cataluña: el examen extraordinario resuelto

Qué entraba, en puntos

Los ejercicios del examen

2026Convocatoria extraordinaria · Serie 2 · Ejercicio 1

1.11,5 puntos

1.21 punto

2026Convocatoria extraordinaria · Serie 2 · Ejercicio 2

2.10,75 puntos

2.20,75 puntos

2.31 punto

2026Convocatoria extraordinaria · Serie 2 · Ejercicio 3

3.11,25 puntos

3.21,25 puntos

2026Convocatoria extraordinaria · Serie 2 · Ejercicio 4

4.11,5 puntos

4.21 punto

4.11,5 puntos

4.21 punto

Los otros exámenes de Matemáticas CCSS, resueltos

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Preguntas frecuentes

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